人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊3.4 函數(shù)的應(yīng)用(一)【課件】

第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1．理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具數(shù)學(xué)建模2．在實(shí)際情境中，會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律數(shù)學(xué)建模|自學(xué)導(dǎo)引|

常見的函數(shù)模型y＝kx＋b

y＝ax2＋bx＋c

【預(yù)習(xí)自測】一個(gè)矩形的周長是40，矩形的長y關(guān)于寬x的函數(shù)解析式為 (

)A．y＝20－x(0＜x＜10) B．y＝20－2x(0＜x＜20)C．y＝40－x(0＜x＜10) D．y＝40－2x(0＜x＜20)【答案】A【解析】由題意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x．又因?yàn)?0－x＞x，所以0＜x＜10．故選A．

解決函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(一)審題；(二)建模；(三)解模；(四)還原．這些步驟用框圖表示如圖：【答案】2500|課堂互動|題型1一次函數(shù)、二次函數(shù)模型商場銷售某一品牌的羊毛衫，購買人數(shù)是羊毛衫標(biāo)價(jià)的一次函數(shù)，標(biāo)價(jià)越高，購買人數(shù)越少．把購買人數(shù)為零時(shí)的最低標(biāo)價(jià)稱為無效價(jià)格，已知無效價(jià)格為每件300元．現(xiàn)在這種羊毛衫的成本價(jià)是100元/件，商場以高于成本價(jià)的價(jià)格(標(biāo)價(jià))出售．問：(1)商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件多少元？(2)通常情況下，獲取最大利潤只是一種“理想結(jié)果”，如果商場要獲得最大利潤的75%，那么羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件多少元？解：(1)設(shè)購買人數(shù)為n人，羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件x元，利潤為y元，則x∈(100，300]，n＝kx＋b(k＜0)．因?yàn)?＝300k＋b，即b＝－300k，所以n＝k(x－300)，所以利潤y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10000k(x∈(100，300])．因?yàn)閗＜0，所以x＝200時(shí)，ymax＝－10000k，即商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件200元．(2)由題意，得k(x－100)(x－300)＝－10000k·75%，x2－400x＋37500＝0，解得x＝250或x＝150，所以商場要獲取最大利潤的75%，每件標(biāo)價(jià)為250元或150元．一次函數(shù)、二次函數(shù)模型問題的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)確定一次函數(shù)模型時(shí)，一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來確定，常用待定系數(shù)法．(2)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)．1．加工爆米花時(shí)，爆開且不煳的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t(單位：min)滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，求最佳加工時(shí)間．(2)由(1)知①當(dāng)0≤t≤10時(shí)，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為t＝5，該函數(shù)在t∈[0，5]單調(diào)遞增，在t∈(5，10]單調(diào)遞減，所以ymax＝1225(當(dāng)t＝5時(shí)取得)，ymin＝1200(當(dāng)t＝0或10時(shí)取得)．②當(dāng)10＜t≤20時(shí)，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，圖象開口向上，對稱軸為t＝45，該函數(shù)在t∈(10，20]單調(diào)遞減，所以ymax＜1200(當(dāng)t＝10時(shí)取得1200)，ymin＝600(當(dāng)t＝20時(shí)取得)．由①②知ymax＝1225(當(dāng)t＝5時(shí)取得)，ymin＝600(當(dāng)t＝20時(shí)取得)．分段函數(shù)模型的求解策略(1)實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解．(2)構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函數(shù)的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．2．某市營業(yè)區(qū)內(nèi)住宅電話通話費(fèi)用為前3min0.20元，以后每分鐘0.10元(前3min不足3min按3min計(jì)，以后不足1min按1min計(jì))．(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出一次通話在6min內(nèi)(包括6min)的話費(fèi)y(元)關(guān)于通話時(shí)間t(min)的函數(shù)圖象；(2)如果一次通話tmin(t＞0)，寫出話費(fèi)y(元)關(guān)于通話時(shí)間t(min)的函數(shù)關(guān)系式(可用[t]表示不小于t的最小整數(shù))．解：(1)如圖所示．題型3冪函數(shù)模型的應(yīng)用某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比．已知投資1萬元時(shí)兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元．(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額x的函數(shù)關(guān)系式．(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大收益，最大收益是多少萬元？冪函數(shù)模型應(yīng)用的求解策略(1)給出含參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，確定函數(shù)關(guān)系式．(2)利用函數(shù)關(guān)系式解決相關(guān)問題．(3)回歸到應(yīng)用問題中去，給出答案．3．在固定壓力差(壓力差為常數(shù))下，當(dāng)氣體通過圓形管道時(shí)，其流量R與管道半徑r的四次方成正比．(1)寫出函數(shù)解析式；(2)假設(shè)氣體在半徑為3cm的管道中的流量為400cm3/s，求該氣體通過半徑為rcm的管道時(shí)，其流量R的函數(shù)解析式；(3)已知(2)中的氣體通過的管道半徑為5cm，計(jì)算該氣體的流量．|素養(yǎng)達(dá)成|1．函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例主要包括三個(gè)方面：(1)利用給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題；(2)建立確定性的函數(shù)模型解決實(shí)際問題；(3)建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題．2．在引入自變量建立目標(biāo)函數(shù)解決函數(shù)應(yīng)用題時(shí)，一是要注意自變量的取值范圍，二是要檢驗(yàn)所得結(jié)果，必要時(shí)運(yùn)用估算和近似計(jì)算，以使結(jié)果符合實(shí)際問題的要求．3．在實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的過程中，要充分使用數(shù)學(xué)語言，如引入字母、列表、畫圖等使實(shí)際問題數(shù)學(xué)符號化(體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng))．4．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，通過建立函數(shù)模型，解決實(shí)際問題的基本過程，如圖所示．1．(題型1)一輛勻速行駛的汽車90min行駛的路程為180km，則這輛汽車行駛的路程y(km)與時(shí)間t(h)之間的函數(shù)解析式是 (

)A．y＝2t B．y＝120tC．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0)【答案】D【解析】90min＝1.5h，所以汽車的速度為180÷1.5＝120(km/h)，則路程y(km)與時(shí)間t(h)之間的函數(shù)解析式是y＝120t(t≥0)．2．(題型2)已知A，B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/時(shí)的速度從A地到達(dá)B地，在B地停留1小時(shí)后再以50千米/時(shí)的速度返回A地，則汽車離開