函數(shù)及其性質(zhì)專項訓練- 高三數(shù)學一輪復習

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁高三數(shù)學上學期一輪復習專題：函數(shù)及其性質(zhì)一、單選題1．已知對數(shù)函數(shù)，函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的3倍，得到函數(shù)的圖象，再將的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象恰好與函數(shù)的圖象重合，則的值是（

）A． B． C． D．2．設(shè)方程和方程的根分別為，設(shè)函數(shù)，則（）A． B．C． D．3．函數(shù)的部分圖象大致如圖所示，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)，若實數(shù)成等差數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．5．若定義在上的函數(shù)，滿足，且，則（

）A．0 B．-1 C．2 D．16．已知函數(shù)的定義域為，且若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)與及其導函數(shù)和的定義域都為，且為奇函數(shù)，則下列等式一定正確的是（

）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)的定義域為，對于函數(shù)圖象上一點，若集合只有1個元素，則稱函數(shù)具有性質(zhì).下列函數(shù)中具有性質(zhì)的是（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知偶函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．10．已知定義域均為的函數(shù)與，其導函數(shù)分別為與，且，，函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，則（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱 B．8是函數(shù)的一個周期C． D．11．我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的值域為B．函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形C．函數(shù)的導函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．若函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)的圖象有2024個交點，記為，則三、填空題12．已知是奇函數(shù)，且當時，，若，則.13．寫出滿足下列條件①②③的一個函數(shù)：．①的定義域為；②，f?x=?fx；③，都有．14．歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則；若，則的最大值為．四、解答題15．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.16．定義在上的奇函數(shù)有最小正周期為2，且時，.(1)求在上的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性；(3)當為何值時，方程在上有實數(shù)解.17．已知函數(shù).(1)若在上周期為，求的值；(2)當時，判斷函數(shù)在上零點的個數(shù)：(3)已知在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術(shù)．在中國，剪紙具有廣泛的群眾基礎(chǔ)，交融于各族人民的社會生活，是名種民俗活動的重要組成部分，傳承視覺形象和造型格式，蘊涵了豐富的文化歷史信息，表達了廣大民眾的社會認知、道德觀念、實踐經(jīng)驗、生活理想和審美情趣．現(xiàn)有一張矩形卡片，對角線長為（為常數(shù)），從中裁出一個內(nèi)接正方形紙片，使得點，分別，上，設(shè)，矩形紙片的面積為，正方形紙片的面積為．(1)當時，求正方形紙片的邊長（結(jié)果用表示）；(2)當變化時，求的最大值及對應(yīng)的值．19．設(shè)函數(shù)，其中a為常數(shù)．對于給定的一組有序?qū)崝?shù)，若對任意、，都有，則稱為的“和諧數(shù)組”．(1)若，判斷數(shù)組是否為的“和諧數(shù)組”，并說明理由；(2)若，求函數(shù)的極值點；(3)證明：若為的“和諧數(shù)組”，則對任意，都有．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．D【分析】根據(jù)函數(shù)圖像變換法則求出函數(shù)的解析式，由條件列方程，解方程求解即可【詳解】因為將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的3倍，得到函數(shù)的圖象，所以，即，將的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式，因為所得圖象恰好與函數(shù)的圖象重合，所以，所以，又且，解得，故選：D2．B【分析】畫出的圖象，由反函數(shù)的性質(zhì)得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得解.【詳解】由得，由得，所以令，這3個函數(shù)圖象情況如下圖所示：設(shè)交于點，交于點，由于的圖象關(guān)于直線對稱，而的交點為，所以，注意到函數(shù)的對稱軸為直線，即，且二次函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線方程，從而.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于畫出的圖象，利用數(shù)形結(jié)合再由反函數(shù)的對稱性得到方程的根或交點.3．A【分析】結(jié)合圖象可知為奇函數(shù)且，在上先增后減.根據(jù)函數(shù)的奇偶性和，結(jié)合導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性依次判斷選項即可.【詳解】由圖可知，的圖象關(guān)于原點對稱，則為奇函數(shù)，且，在上先增后減.A：，函數(shù)的定義域為R，，故A符合題意；B：，函數(shù)的定義域為R，，由，得，則，在上單調(diào)遞增，故B不符合題意；C：，當時，，函數(shù)顯然沒有意義，故C不符合題意；D：，函數(shù)的定義域為R，，由，得，則，在上單調(diào)遞增，故D不符合題意.故選：A4．C【分析】先由，得出關(guān)于對稱；再由題意得出結(jié)果即可.【詳解】因為函數(shù)，所以，所以關(guān)于對稱；若實數(shù)成等差數(shù)列，則，又因為，所以，所以.故選：C.5．D【分析】利用賦值法，先后求出，，再令，得到，即可求解.【詳解】令，則有，又，∴.令，.則有，∴.令，則有.∵，∴，∴，∴.故選：D.6．D【分析】當時，判斷函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性可知；當時，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復合函數(shù)單調(diào)性可知單調(diào)遞增，可得，然后將原不等式轉(zhuǎn)化為即可得解.【詳解】當時，，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，所以；當時，，因為在上單調(diào)遞增，為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又在上為增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，所以.綜上，在上恒成立，當且僅當時取等號.所以不等式，解得且且，即原不等式的解集為.故選：D【點睛】思路點睛：解分段函數(shù)相關(guān)不等式時，需要根據(jù)自變量范圍進行分類討論，利用單調(diào)性求解即可.7．C【分析】首先對兩邊求導，得，與聯(lián)立可得：，這樣就知道圖象關(guān)于對稱，再由為奇函數(shù)，又知道圖象關(guān)于點對稱，這樣由雙對稱性質(zhì)可知是周期函數(shù)且周期為4，然后即可用賦值法得到結(jié)果.【詳解】對兩邊求導，得，又由，得，所以，可得．由為奇函數(shù)，得，則，令得：，則由上面兩式可得：，即是以4為周期的周期函數(shù)，則．故選：C．8．D【分析】根據(jù)性質(zhì)的定義，結(jié)合各個函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可逐一判斷各選擇.【詳解】根據(jù)題意，要滿足性質(zhì)，則的圖象不能在過點的直線的上方，且這樣的直線只有一條；對A：的圖象，以及過點的直線，如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，過點的直線有無數(shù)條都滿足題意，故A錯誤；對B：的圖象，以及過點的直線，如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，不存在過點的直線，使得的圖象都在該直線的上方，故B錯誤；對C：的圖象，以及過點的直線，如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，不存在過點的直線，使得的圖象都在該直線的上方，故C錯誤；對D：的圖象，以及過點的直線，如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，存在唯一的一條過點的直線y=?1，即，滿足題意，故D正確.故選：D.9．BD【分析】根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)，首先推出函數(shù)為周期函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的符號，可得有關(guān)的結(jié)論.【詳解】因為fx為偶函數(shù)，所以；因為是上的奇函數(shù)，所以，且的圖象是由的圖象向左平移個單位得到的，所以的圖象關(guān)于點對稱，進一步得fx的圖象關(guān)于點中心對稱，即.所以，所以.所以函數(shù)fx是周期函數(shù)，且周期為；又fx在上單調(diào)遞增，所以在上，有.所以函數(shù)的草圖如下：

由圖可知：，故A錯；，故B對；，故C錯；，故D對.故選：BD10．ABD【分析】根據(jù)題意，先由條件以及函數(shù)的對稱中心可得函數(shù)的周期，即可判斷AB，再賦值計算，結(jié)合函數(shù)的周期性以及對稱性，即可判斷CD【詳解】因為，令，則，即，所以，用替換可得，即，又，則，，所以，令，可得，所以，再由，令，則，所以，即，用替換，可得，且，即，將代入，可得，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，故A正確；又函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，即，所以是函數(shù)的一個周期，故B正確；由，令，則，因為函數(shù)關(guān)于直線對稱，則，且函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，所以，則，故C錯誤；由，令可得，令可得，則，又8是函數(shù)的一個周期，且函數(shù)關(guān)于直線對稱，則，，又函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，即，令，則，所以f2+f4則，故D正確；故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了函數(shù)的對稱性以及周期性的綜合應(yīng)用，難度較大，解得本題的關(guān)鍵在于求得函數(shù)的對稱軸，從而確定其周期，即可得到結(jié)果.11．BCD【分析】借助指數(shù)函數(shù)的值域求解判斷A；利用給定定義計算判斷B；利用復合函數(shù)求導法則結(jié)合對稱性判斷C；利用中心對稱的性質(zhì)計算判斷D.【詳解】對于A，顯然的定義域為R，，則，即函數(shù)的值域為，A錯誤；對于B，令，，即函數(shù)是奇函數(shù)，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，B正確；對于C，由選項B知，，即，兩邊求導得，即，因此函數(shù)的導函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；對于D，由函數(shù)滿足為奇函數(shù)，得函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱，由選項B知，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2024個交點關(guān)于點對稱，因此，D正確.故選：BCD【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的定義域為D，，①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點對稱.②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.12．3【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，并結(jié)合指數(shù)以及對數(shù)的運算性質(zhì)，代入求值，即可求得答案.【詳解】由題意知是奇函數(shù)，且當時，，故，則，故答案為：313．（答案不唯一，形如，p，q為奇數(shù)，且均可）【分析】根據(jù)題意函數(shù)需分別滿足題中①②③的條件，且答案不唯一.【詳解】由③知(不妨取x>0時)，所以函數(shù)在0,+∞上是增函數(shù)，函數(shù)在0,+∞上是減函數(shù)，又由①②，函數(shù)為奇函數(shù)且定義域為，所以可取冪函數(shù)．故答案為：（答案不唯一，形如，，為奇數(shù)，且均可）.14．4【分析】由歐拉函數(shù)定義，確定中與8互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)求，且，應(yīng)用作差法判斷的單調(diào)性，即可求最大值.【詳解】由題設(shè)，則中與8互質(zhì)的數(shù)有，共4個數(shù)，故，在中，與互質(zhì)的數(shù)為范圍內(nèi)的所有奇數(shù)，共個，即，所以，則，當時，當時，即，所以的最大值為.故答案為：4，15．(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導，對a進行討論，利用導函數(shù)的正負分析單調(diào)性即可；（2）要使恒成立，則只需恒成立，對a進行討論，并根據(jù)（1）中所得單調(diào)性，即可分析符合的情況，進而得到實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由，得①當時，，所以在上單調(diào)遞增；②當時，令，得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知：當時，在上單調(diào)遞增，，所以當時不合題意.②當時，，符合題意.③當時，，要使恒成立，則只需恒成立，即：，亦即：.記，則，于是在上單調(diào)遞減；又因為，所以當時，，即；當時，，不合題意.綜上可知的取值范圍為.【點睛】方法點睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.16．(1)(2)在上為減函數(shù)(3)或【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求解，（2）由單調(diào)性的定義即可求解,（3）由單調(diào)性求解函數(shù)的值域，即可求解.【詳解】（1）是上的奇函數(shù)，.又為最小正周期，.設(shè)，則，（2）設(shè)，由于所以，，所以在上為減函數(shù).（3）在上為減函數(shù)，，即.同理，在上時，.又，當或時，在內(nèi)有實數(shù)解.17．(1)(2)一個零點(3)【分析】（1）利用恒成立，得到在上恒成立，即可求值；（2）對函數(shù)求導，討論、，根據(jù)導數(shù)符號判斷單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理研究零點的個數(shù)；（3）將問題化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，討論參數(shù)并研究其單調(diào)性，進而分區(qū)間判斷是否恒成立求參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題意，在上，所以，即在上恒成立，又，故.（2）當時，則，當時，所以，即在上單調(diào)遞增.又，所以在上有且僅有一個零點；當時，所以在上無零點.綜上，在上有且僅有一個零點.（3）由，即，整理得，令，則，當時，對任意有，又，所以，此時在上單調(diào)遞增，故，符合題意.當時，令，則，所以，在上恒成立，即在上單調(diào)遞增.又.當，即時，在上有，此時在上單調(diào)遞增，，符合題意.當，即時，若，即，由零點存在定理，存在使，故上，所以在上遞減，此時，不合題意.若，即，此時對恒有且不恒為0.即在上單調(diào)遞減，所以，不合題意.綜上，的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造中間函數(shù)研究函數(shù)符號.18．(1)(2)，【分析】（1）設(shè)正方形的邊長為，則，，計算得到，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.（2）確定，，計算，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計算最值得到答案.【詳解】（1）設(shè)正方形的邊長為，則，，則，，，即，整理得到，當時，.（2），，，則，，則在上單調(diào)遞減，故，故的最大值為，此時，，故.19．(1)是的“和諧數(shù)組”，理由見解析；(2)為函數(shù)的一個極大值點,為的一個極小值點.(3)見解析【分析】（1）代入有，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)性質(zhì)可得，再將代入即可證明；（2）代入值有，直接求導，令導函數(shù)為0即可得到其極值點；（3）假設(shè)存在,使得,通過和諧數(shù)組定義轉(zhuǎn)化得對任意恒成立，設(shè)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可證明假設(shè)不成立.【詳解】（1）是的“和諧數(shù)組”