方程求解省公開課金獎(jiǎng)全國(guó)賽課一等獎(jiǎng)微課獲獎(jiǎng)?wù)n件

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)二方程求解(1)云南大學(xué)數(shù)學(xué)系任課教師：朱娟萍數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)試驗(yàn)1/22求高次代數(shù)方程根是一個(gè)基本、古老數(shù)學(xué)問題定義：一些由實(shí)際問題列出方程中經(jīng)常包含三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，它與n(≥2)代數(shù)方程一起統(tǒng)稱為非線性方程(組)，記作引言例：exsin(x)+5x3=02/22計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)學(xué)軟件飛速發(fā)展，為一些古老數(shù)學(xué)問題處理提供了極大方便。如利用MATLAB圖形功效就能幫助我們判斷方程有沒有根，確定根近似位置，比如：-0.51.52.50.252.5引言3/22對(duì)于普通非線性方程，怎樣得到比較準(zhǔn)確近似解?引言引例:放射性廢物處理問題【問題背景】一段時(shí)間,美國(guó)原子能委員會(huì)是按以下方式處理濃縮放射性廢物.他們將廢物裝入密封性能很好圓桶中,然后扔到水深300英尺海里.這種做法是否會(huì)造成放射性污染,很自然地引發(fā)了生態(tài)學(xué)家及社會(huì)各界關(guān)注.原子能委員會(huì)一再確保,圓桶非常堅(jiān)固,決不會(huì)破漏,這種做法是絕對(duì)安全.然而一些工程師們卻對(duì)此表示懷疑,他們認(rèn)為圓桶在海底相撞時(shí)有可能發(fā)生破裂.由此雙方展開了一場(chǎng)筆墨官司.

終究誰意見正確呢?只能讓事實(shí)說話了!4/22工程師們進(jìn)行了大量破壞性試驗(yàn),發(fā)覺圓桶在直線速度為40ft/s沖撞下會(huì)發(fā)生破裂,剩下問題就是計(jì)算圓桶沉入300ft深海底時(shí),其末速度終究有多大?

問題分析引例:放射性廢物處理問題問題關(guān)鍵在于圓桶到底能承受多大速度碰撞?圓桶和海底碰撞時(shí)速度有多大?5/221.使用55加侖圓桶;(1加侖=3.7854升)2.裝滿放射性廢物時(shí)圓桶重量為

W=527.436磅(1磅=0.4526千克)3.在海水中圓桶受到浮力B=470.327磅4.圓桶下沉?xí)r受到海水阻力D=Cv

C

為常數(shù),經(jīng)測(cè)算得:C=0.08.5.建立坐標(biāo)系,取垂直向下為坐標(biāo)方向y,海平面為坐標(biāo)原點(diǎn).y0問題假設(shè)6/22依據(jù)牛頓第二定律,圓桶下沉?xí)r應(yīng)滿足微分方程建立模型7/22為了求出圓桶與海底碰撞速度v(t),需要求出圓桶下沉到海底300英尺時(shí)時(shí)間t,再計(jì)算v(t)，要做到這一點(diǎn)是十分困難.若將速度v看成是海水深度y函數(shù),即由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法知建立模型8/22借助數(shù)值方法求出v(300)=45.1ft/s，顯然大于40ft/s結(jié)論：放射性廢物不能隨意放入公海！建立模型9/22數(shù)學(xué)建模普通步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型組成模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ头治瞿Ｐ颓蠼饽Ｐ蛻?yīng)用方程慣用求解方法圖形放大法簡(jiǎn)單迭代法加速迭代法10/22

方程f(x)=01）建立坐標(biāo)系，畫曲線f(x)2）觀察曲線f(x)與x軸相交交點(diǎn)3）將其中一個(gè)交點(diǎn)進(jìn)行局部放大4）該交點(diǎn)橫坐標(biāo)值就是方程根

1．圖形放大法例:

求方程x5+2x2+4=0一個(gè)根該方程有幾個(gè)根？欲尋找其中一個(gè)實(shí)根，而且到達(dá)一定精度11/22畫方程曲線圖x=-6:0.01:6;y=x.^5+2.*x.^2+4;y1=x;plot(x,y,x,y1)或ezplot(‘f(x)’,[a,b])由此判斷：方程一個(gè)根在區(qū)間[-2，2]內(nèi)，所以將區(qū)間[-6，6]縮小至[-2，2]，再觀察！1．圖形放大法

逐次縮小區(qū)間，觀察一個(gè)根在-1.55-1.5之間12/2213/222.簡(jiǎn)單迭代算法引例：3x

ex=0Z

1）該方程有多少個(gè)根？怎樣判斷？2）怎樣進(jìn)行迭代求解？方程變形：

x=ex/301/31/30.46520.46520.530814/22方程3x

ex=0迭代求解表：x=ex/32.簡(jiǎn)單迭代算法15/220.616y=xy=ex/3迭代過程如圖所表示2.簡(jiǎn)單迭代算法16/22方程：f(x)=0經(jīng)過簡(jiǎn)單變形：x=j(x)或j(x)=f(x)+xx被稱為不動(dòng)點(diǎn)迭代過程以下：

xn+1=j(xn)，n=0，1，…x0定義為迭代初值1.表示式x=j(x)是否唯一？2.迭代產(chǎn)生序列是否一定會(huì)收斂？3.迭代與初始值x0是否相關(guān)？Z

2.簡(jiǎn)單迭代算法17/22解：第一步結(jié)構(gòu)迭代函數(shù)：

x=j(x) 例：用迭代方法求解方程

x3-x2-x-1=02.簡(jiǎn)單迭代算法第二步迭代設(shè)定初值x0=1，xn+1=j(xn)，n=0，，…用MATLAB編程x=1;y=1;z=1;(初始點(diǎn)）fork=1:20x=x^3-x^2-1;%j1(x)y=(y^2+y+1)^(1/3);%j2(y)z=1+1/z+1/z^2;%j3(z)endX，y，z18/22序號(hào)j3(x)序號(hào)j2(x)j3(x)1j2(x)1.44223.000081.81751.813621.65371.444491.83851.855431.75322.1716101.83891.829441.79951.6725111.83911.845451.82091.9554121.83921.835561.83081.7730131.83921.841671.83541.8822j1(x)迭代是失?。ǖ皇諗?/p>

）準(zhǔn)確解：x=1.8393計(jì)算結(jié)果2.簡(jiǎn)單迭代算法19/22迭代函數(shù)j2(x)和j3(x)選取是成功。準(zhǔn)確解為x=1.8393。而且選取函數(shù)j2(x)、j3(x)其收斂速度不一致，前者速度快些！結(jié)論1、當(dāng)碰到迭代不收斂時(shí)有什么處理方法？2、怎樣提升收斂速度？對(duì)于給定方程f(x)=0,有各種方式將它改寫成等價(jià)形式x=j(x)。主要是怎樣改寫使得序列收斂？加速迭代收斂法若x=j(x)迭代不收斂，由j(x)與x加權(quán)平均，h(x)=l

j(x)+(1-l)x進(jìn)行迭代，其中l(wèi)為參數(shù)20/22

x=h

(x)x=j(x)xn+1

=h

(xn)xn+1

=j(xn)關(guān)鍵是怎樣確定函數(shù)h(x)中參數(shù)l？加速迭代收斂法理論證實(shí)：在滿足|h’(x)|<1條件下，令h