115對(duì)坐標(biāo)的曲面積分517省公開課一等獎(jiǎng)全國示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

第十一章山東交通學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室第五節(jié)對(duì)坐標(biāo)曲面積分

一、有向曲面及曲面元素投影

二、對(duì)坐標(biāo)曲面積分概念與性質(zhì)

三、對(duì)坐標(biāo)曲面積分計(jì)算法四、兩類曲面積分聯(lián)絡(luò)第1頁一、有向曲面及曲面元素投影雙側(cè)曲面曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)第2頁普通曲面都是兩側(cè)，您見過只有一側(cè)曲面嗎？第3頁第4頁全部些人都沿著曲面同一側(cè)行走第5頁其方向用法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)

設(shè)

為有向曲面,側(cè)要求

指定了側(cè)曲面叫有向曲面,表示:其面元在xOy面上投影記為面積為則要求類似可要求第6頁第7頁二、對(duì)坐標(biāo)曲面積分概念與性質(zhì)

1.引例設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)不可壓縮流體速度場(chǎng)為求單位時(shí)間流過有向曲面

流量

.分析:若

是面積為S

平面,則流量法向量:

流速為常向量:

第8頁對(duì)普通有向曲面

,用“分割，近似，求和，取極限”

對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)不可壓縮流體速度場(chǎng)進(jìn)行分析可得,則第9頁設(shè)

為光滑有向曲面,在

上定義了一個(gè)意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作P,Q,R

叫做被積函數(shù);

叫做積分曲面.或第二類曲面積分.以下極限都存在向量場(chǎng)若對(duì)

任

則稱此極限為向量場(chǎng)A在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)曲面積2.定義：第10頁引例中,流過有向曲面

流體流量為稱為Q

在有向曲面

上對(duì)

z,x

曲面積分;稱為R

在有向曲面

上對(duì)

x,

y

曲面積分.稱為P

在有向曲面

上對(duì)

y,z

曲面積分;第11頁3.性質(zhì)(1)若之間無公共內(nèi)點(diǎn),則(2)用

ˉ

表示

反向曲面,則第12頁定理:

設(shè)光滑曲面取上側(cè),是

上連續(xù)函數(shù),則若取下側(cè)三、對(duì)坐標(biāo)曲面積分計(jì)算法第13頁例1.

計(jì)算其中

是半球面上側(cè).解:

原式第14頁解:

原式其中

是球面上側(cè).上側(cè)上側(cè)把

分為上下兩部分思索：假如

是整個(gè)球面外側(cè)呢？

例2.

計(jì)算第15頁

若則有

若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))說明:分面投影法第16頁整個(gè)表面外側(cè)解:

其中

是整個(gè)曲面分成六個(gè)平面上側(cè)下側(cè)前側(cè)后側(cè)右側(cè)左側(cè)先求例3.

計(jì)算同理第17頁解:其中

為球面外側(cè)在第一和第五卦限部分.上側(cè)下側(cè)把

分為上下兩部分例4.計(jì)算曲面積分第18頁第19頁四、兩類曲面積分聯(lián)絡(luò)取上側(cè)取前側(cè)取右側(cè)第20頁另首先，曲面在一點(diǎn)處法向量或取上側(cè)取下側(cè)第21頁所以通理歸一投影法第22頁其中

解:

利用兩類曲面積分聯(lián)絡(luò),有∴原式=旋轉(zhuǎn)拋物面介于平面z=0原式=例5.

計(jì)算曲面積分及z=2之間部分下側(cè).第23頁第24頁內(nèi)容小結(jié)定義:1.兩類曲面積分及其聯(lián)絡(luò)

第25頁性質(zhì):聯(lián)絡(luò):第26頁2.慣用計(jì)算公式及方法面積分第一類(對(duì)面積)第二類(對(duì)坐標(biāo))二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不一樣時(shí)分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(4)確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面注：二重積分是第一類曲面積分特殊情況.轉(zhuǎn)化第27頁當(dāng)時(shí)，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“

”)類似可考慮在yOz面及zOx面上二重積分轉(zhuǎn)化公式.第28頁思索與練習(xí)1.P167題2提醒:

設(shè)則

取上側(cè)時(shí),

取下側(cè)時(shí),第29頁是平面在第四卦限部分上側(cè),計(jì)算提醒: