山東省日照市五蓮縣2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023~2024學(xué)年度下學(xué)期期中學(xué)科學(xué)業(yè)水平監(jiān)測九年級(jí)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試題分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分．第Ⅰ卷為選擇題，36分；第Ⅱ卷為非選擇題，84分；共120分．2．答卷前務(wù)必將自己的姓名、座號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)按要求填寫在答題卡上的相應(yīng)位置．3．第Ⅰ卷每題選出答案后，都必須用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)（ABCD）涂黑，如需改動(dòng)，必須先用橡皮擦干凈，再改涂其它答案．4．第Ⅱ卷必需用0.5毫米黑色簽字筆書寫到答題卡題號(hào)所指示的答題區(qū)域，不得超出預(yù)留范圍．5．在草稿紙、試卷上答題均無效．第Ⅰ卷（選擇題36分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.的平方根是（）A.4 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】先求得，再根據(jù)平方根的定義求解即可．【詳解】解：∵，4的平方根是，∴的平方根是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平方根、算術(shù)平方根，熟知一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)是解答的關(guān)鍵，此題容易錯(cuò)解為B．2.一個(gè)正方體沿四條棱的中點(diǎn)切割掉一部分后，如圖所示，則該幾何體的左視圖是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)簡單幾何體的三視圖的畫法，看得見的輪廓線用實(shí)線表示，看不見的輪廓線用虛線表示可得答案．【詳解】解：從左面看該幾何體，選項(xiàng)C中的圖形符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查簡單幾何體的三視圖，理解視圖的意義是正確判斷的前提，掌握看得見的輪廓線用實(shí)線表示，看不見的輪廓線用虛線表示是得出正確答案的關(guān)鍵．3.是指大氣中直徑米的顆粒物，將用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．【詳解】解：用科學(xué)記數(shù)法表示為，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．4.如圖是嬰兒車的平面示意圖,其中AB∥CD,∠1=120°,∠3=40°,那么∠2的度數(shù)為（）A.80° B.90° C.100° D.102°【答案】A【解析】【詳解】分析：根據(jù)平行線性質(zhì)求出∠A，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠2=180°∠1?∠A，代入求出即可．詳解：∵AB∥CD.∴∠A=∠3=40°，∵∠1=60°，∴∠2=180°∠1?∠A=80°，故選：A.點(diǎn)睛：本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°.5.若圓錐的側(cè)面積等于其底面積的3倍，則該圓錐側(cè)面展開圖所對(duì)應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)為（）A.60° B.90° C.120° D.180°【答案】C【解析】【詳解】解:設(shè)母線長為R，底面半徑為r，可得底面周長=2πr，底面面積=πr2，側(cè)面面積=lr=πrR，根據(jù)圓錐側(cè)面積恰好等于底面積的3倍可得3πr2=πrR，即R=3r.根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長，設(shè)圓心角為n，有，即.可得圓錐側(cè)面展開圖所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角度數(shù)n=120°．故選C．考點(diǎn)：有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算6.已知a、b是一元二次方程的兩根，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，再通分和進(jìn)行同分母的加法運(yùn)算得到原式，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，．7.以下說法：①與是同類二次根式；②長度等于半徑的弦所對(duì)的圓周角為；③若式子有意義，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是；④若直線不經(jīng)過第三象限．則．其中正確的結(jié)論有（）A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同類二次根式的定義、圓周角定理、二次根式和分式有意義的條件、一次函數(shù)的性質(zhì)分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【詳解】解：①，，因此與是同類二次根式，故①正確；②長度等于半徑的弦與兩條半徑組成等邊三角形，所以該弦所對(duì)的圓心角為，所對(duì)的圓周角為或，故②錯(cuò)誤；③若式子有意義，則且，所以且，故③錯(cuò)誤；④若直線不經(jīng)過第三象限，則且，所以，故④錯(cuò)誤．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式的定義、圓周角定理、二次根式和分式有意義的條件、一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理、一次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．8.如圖，在建筑物AB左側(cè)距樓底B點(diǎn)水平距離150米的C處有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）為，坡頂D到BC的垂直距離米（點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)），在點(diǎn)D處測得建筑物頂A點(diǎn)的仰角為50°，則建筑物AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：；；）A.69.2米 B.73.1米 C.80.0米 D.85.7米【答案】D【解析】【分析】作DF⊥AB于F點(diǎn)，得到四邊形DEBF為矩形，首先根據(jù)坡度的定義以及DE的長度，求出CE，BE的長度，從而得到DF=BE，再在Rt△ADF中利用三角函數(shù)求解即可得出結(jié)論．【詳解】如圖所示，作DF⊥AB于F點(diǎn)，則四邊形DEBF為矩形，∴,∵斜坡CD的坡度（或坡比）為，∴在Rt△CED中，，∵，∴，∴，∴，在Rt△ADF中，∠ADF=50°，∴，將代入解得：，∴AB=AF+BF=35.7+50=85.7米，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解坡度的定義，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形，熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．9.已知關(guān)于的不等式組有且只有4個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則所有滿足條件的整數(shù)的和為（）A.3 B.5 C.9 D.10【答案】A【解析】【分析】解不等式組得出每個(gè)不等式的解集，根據(jù)不等式組整數(shù)解的個(gè)數(shù)得出關(guān)于的范圍，由方程有實(shí)數(shù)根知且，解得且，繼而可得符合條件的整數(shù)和．【詳解】解：解不等式得：，∵不等式組有且只有4個(gè)整數(shù)解，∴整數(shù)解為，，，0，∴，解得：，關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，且，解得且，在且中，符合條件的整數(shù)和為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組和一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．10.如圖，已知正方形的邊長為2，點(diǎn)F是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，且，點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，則長度的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，推出，得到點(diǎn)F在以為直徑的半圓上移動(dòng)，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為O，正方形關(guān)于直線對(duì)稱的正方形，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B，連接交于E，交半圓O于F，線段的長即為的長度最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)F在以為直徑的半圓上移動(dòng)，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為O，正方形關(guān)于直線對(duì)稱的正方形，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B，連接交于E，交半圓O于F，線段的長即為的長度最小值，，∵，∴，∴，∴，∴的長度最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，勾股定理，最小值問題，正確理解點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．11.拋物線的圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，下列說法：①；②（為全體實(shí)數(shù)）；③若圖象上存在點(diǎn)和，當(dāng)時(shí)，滿足，則m的取值范圍為；④若直線與拋物線兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為分別為，．則不等式的解集為．其中正確個(gè)數(shù)有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)字母系數(shù)與圖象的關(guān)系、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等知識(shí)，由拋物線的對(duì)稱軸得出，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，即可判斷①；用與的數(shù)量關(guān)系，可將原式化簡得到關(guān)于的不等式，即可判斷②；利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系即可判斷③；利用二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題即可判斷④．【詳解】解：拋物線開口向下，，對(duì)稱軸為直線，，，代入原解析式得：，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，即，，故①正確；設(shè)，則，，左側(cè)為時(shí)函數(shù)值，右側(cè)為時(shí)的函數(shù)值，顯然不成立，故②錯(cuò)誤；由題意得，、是一元二次方程的兩個(gè)根，從圖象上看，由于二次函數(shù)具有對(duì)稱性，、關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)和，當(dāng)時(shí)，滿足，即m的取值范圍為，故③正確；直線與拋物線兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為分別為，．則不等式，即的解集為或，故④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的有①③，共個(gè)，故選：B．12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一邊長為1的正方形，邊，分別在x軸、y軸上，如果以對(duì)角線為邊作第二個(gè)正方形，再以對(duì)角線為邊作第三個(gè)正方形，照此規(guī)律作下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵是由坐標(biāo)的規(guī)律發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過8次作圖后，點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)與第一次坐標(biāo)符號(hào)相同，每次正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼谋叮紫惹蟪觥?、、、、、、、的坐?biāo)，找出這些坐標(biāo)之間的規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律計(jì)算出的坐標(biāo)．【詳解】正方形的邊長為1，，正方形的邊是正方形的對(duì)角線，，的坐標(biāo)為，同理可知，的坐標(biāo)為，同理可知，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，，，，，由規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過8次作圖后，點(diǎn)的坐標(biāo)符號(hào)與第一次坐標(biāo)符號(hào)相同，每次正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼谋?，，的橫坐標(biāo)符號(hào)與相同，橫縱坐標(biāo)相同，且都在第一象限，的坐標(biāo)為．故選：C．第Ⅱ卷（非選擇題84分）二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，滿分16分．不需寫出解答過程，請(qǐng)將答案直接寫在答題卡相應(yīng)位置上．）13.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：，故答案為：．14.關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是______．【答案】且【解析】【分析】本題考查解分式方程，分式方程的解及解一元一次不等式，熟練掌握解分式方程及不等式的方法是解題的關(guān)鍵．利用去分母將原方程化為整式方程，根據(jù)題意列得關(guān)于m的一元一次不等式，解不等式并結(jié)合方程的增根即可求得m的取值范圍．【詳解】解：去分母得：，解得：，∵原方程的解是非負(fù)數(shù)，∴且，解得：且．故答案為：且．15.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，的半徑為，連接交于點(diǎn)E，則圖中陰影部分面積是______．【答案】【解析】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和已知條件可求出，，進(jìn)而求出，，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出，利用解直角三角形求出，再由圖形中面積之間的關(guān)系即可得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，四邊形是內(nèi)接四邊形，，，，解得，，，，的半徑為，，，，，解得，，，陰影部分面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，解直角三角形、圓周角定理以及扇形面積的計(jì)算方法，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理以及扇形面積的計(jì)算方法是正確解答的前提，求出和是解決問題的關(guān)鍵．16.在平面直角坐標(biāo)系中，將如圖放置，直角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)，恰好分別落在函數(shù)，的圖象上，則__________．【答案】【解析】【分析】過點(diǎn)A、B分別作軸于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)E，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可以得到，，再根據(jù)，得到AO與OB的值，根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)果．【詳解】過點(diǎn)A、B分別作軸于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)E，∵A、B正好落在，的圖象上，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)OA=2m，OB=3m，∴，在Rt△AOB中，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，反比例函數(shù)k的幾何意義，相似三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確抓住直角三角形這一個(gè)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共6小題，滿分68分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.（1）計(jì)算：．（2）先化簡，再求值：，其中．【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則以及運(yùn)算順序是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)乘方、指數(shù)冪、絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行化簡，再計(jì)算加減即可；（2）括號(hào)內(nèi)先通分，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分即可化簡，求出的值，代入計(jì)算即可．詳解】（1）解：原式．（2）解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．18.中華文化源遠(yuǎn)流長，文學(xué)方面，《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》、《紅樓夢(mèng)》是我國古代長篇小說中的典型代表，被稱為“四大古典名著”．某中學(xué)為了解學(xué)生對(duì)四大名著的閱讀情況，就“四大古典名著你讀完了幾部”的問題在全校學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______部，中位數(shù)是______部；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中“4部”所在扇形的圓心角為______度；（3）該校共有1560名學(xué)生．估計(jì)該校沒有讀過四大名著的學(xué)生有多少人？（4）沒有讀過四大古典名著的兩名學(xué)生準(zhǔn)備從中各自隨機(jī)選擇一部來閱讀，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求他們恰好選中同一名著的概率．【答案】（1）圖見解析，1，；（2）；（3）78人；（4）．【解析】【分析】（1）用“3部”人數(shù)除以對(duì)應(yīng)的百分比即可求得本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)，利用本次調(diào)查的總?cè)藬?shù)減去其余各部人數(shù)，即可得到“2部”人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，再根據(jù)眾數(shù)，中位數(shù)概念求解即可；（2）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖得到“4部”人數(shù)所占比例，用乘以“4部”人數(shù)所占比例即可；（3）根據(jù)調(diào)查人數(shù)中沒有讀過四大名著的學(xué)生所占比乘以總?cè)藬?shù)1560即可解題；（4）利用列表法或樹狀圖法得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【小問1詳解】解：由題知，（人），（人），補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1部，中位數(shù)是（部）；故答案為：，；【小問2詳解】解：扇形統(tǒng)計(jì)圖中“4部”所在扇形的圓心角為：；故答案為：；【小問3詳解】解：（人），答：估計(jì)該校沒有讀過四大名著的學(xué)生有人?！拘?詳解】解：《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》、《紅樓夢(mèng)》分別用字母A、B、C、D表示，樹狀圖如下圖所示：由圖知，一共有16種可能性，其中他們恰好選中同一名著的可能性有4種，∴他們恰好選中同一名著的概率．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖以及條形統(tǒng)計(jì)圖的運(yùn)用、中位數(shù)、眾數(shù)、用樣本估計(jì)總體、利用樹狀圖求概率等知識(shí)點(diǎn)，讀懂統(tǒng)計(jì)圖、從統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解題的關(guān)鍵．19.6月1日是兒童節(jié)，為了迎接兒童節(jié)到來，蘭州某商場計(jì)劃購進(jìn)一批甲、乙兩種玩具，已知一件甲種玩具的進(jìn)價(jià)與一件乙種玩具的進(jìn)價(jià)的和為40元，用90元購進(jìn)甲種玩具的件數(shù)與用150元購進(jìn)乙種玩具的件數(shù)相同．（1）求每件甲種、乙種玩具的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）商場計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種玩具共48件，其中甲種玩具的件數(shù)少于24件，并且商場決定此次進(jìn)貨的總資金不超過1000元，求商場共有幾種進(jìn)貨方案？（3）在（2）條件下，若每件甲種玩具售價(jià)30元，每件乙種玩具售價(jià)45元，請(qǐng)求出賣完這批玩具獲利W（元）與甲種玩具進(jìn)貨量m（件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出最大利潤為多少？【答案】（1）甲、乙兩種玩具分別是15元/件，25元/件；（2）故商場共有四種進(jìn)貨方案：方案一：購進(jìn)甲種玩具20件，乙種玩具28件；方案二：購進(jìn)甲種玩具21件，乙種玩具27件；方案三：購進(jìn)甲種玩具22件，乙種玩具26件；方案四：購進(jìn)甲種玩具23件，乙種玩具25件；（3）W＝﹣5m+960，最大利潤860元.【解析】【分析】(1)設(shè)甲種玩具進(jìn)價(jià)為x元/件，則乙種玩具進(jìn)價(jià)為(40﹣x)元/件，根據(jù)用90元購進(jìn)甲種玩具的件數(shù)與用150元購進(jìn)乙種玩具的件數(shù)相同可列方程求解；(2)設(shè)購進(jìn)甲種玩具m件，則購進(jìn)乙種玩具(48﹣m)件，根據(jù)甲種玩具的件數(shù)少于24件，并且商場決定此次進(jìn)貨的總資金不超過1000元，可列出不等式組求解；(3)先列出有關(guān)總利潤和進(jìn)貨量的一次函數(shù)關(guān)系式，然后利用一次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合自變量的取值范圍求最大值即可．【詳解】(1)設(shè)甲種玩具進(jìn)價(jià)x元/件，則乙種玩具進(jìn)價(jià)為(40﹣x)元/件，根據(jù)題意，得，解得x＝15，經(jīng)檢驗(yàn)x＝15是原方程的解，則40﹣x＝25，答：甲、乙兩種玩具分別是15元/件，25元/件；(2)設(shè)購進(jìn)甲種玩具m件，則購進(jìn)乙種玩具(48﹣m)件，由題意，得，解得20≤m＜24，∵m是整數(shù)，∴m取20，21，22，23，故商場共有四種進(jìn)貨方案：方案一：購進(jìn)甲種玩具20件，乙種玩具28件；方案二：購進(jìn)甲種玩具21件，乙種玩具27件；方案三：購進(jìn)甲種玩具22件，乙種玩具26件；方案四：購進(jìn)甲種玩具23件，乙種玩具25件；(3)設(shè)購進(jìn)甲種玩具m件，賣完這批玩具獲利W元，則購進(jìn)乙種玩具(48﹣m)件，根據(jù)題意得：W＝(30﹣15)m+(45﹣25)(48﹣m)＝﹣5m+960，∵比例系數(shù)k＝﹣5＜0，∴W隨著m的增大而減小，∴當(dāng)m＝20時(shí)，有最大利潤W＝﹣5×20+960＝860元．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，列分式方程解實(shí)際問題的應(yīng)用，一元一次不等式解方案設(shè)計(jì)問題的應(yīng)用，找出題中的等量關(guān)系與不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．20.如圖，菱形的邊長為，點(diǎn)，分別是邊，．上的動(dòng)點(diǎn)，，連接，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求周長的最小值；（3）若，求的長．【答案】（1）見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，，可得是等邊三角形，證明，即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)最短時(shí)，周長有最小值，當(dāng)與垂直時(shí)，最短，此時(shí)，根據(jù)三角形周長公式即可求解；（3）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解．【小問1詳解】，，又四邊形是菱形，，是等邊三角形，，，又，，，，；【小問2詳解】，，，的周長為，當(dāng)最短時(shí)，周長有最小值．，，是等邊三角形，當(dāng)與垂直時(shí)，最短，此時(shí)，周長的最小值；【小問3詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，，，，又，，，當(dāng)時(shí)，，又，，，，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．21.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，連接AC，過上一點(diǎn)E作EG∥AC交CD的延長線于點(diǎn)G，連接AE交CD于點(diǎn)F，且EG=FG．（1）求證：EG是⊙O的切線；（2）延長AB交GE的延長線于點(diǎn)M，若AH=2，，求OM的長．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接OE，如圖，通過證明∠GEA+∠OEA=90°得到OE⊥GE，然后根據(jù)切線的判定定理得到EG是⊙O的切線；（2）連接OC，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OH=r-2，利用勾股定理得到，解得r=3，然后證明Rt△OEM∽R(shí)t△CHA，再利用相似比計(jì)算OM的長．【詳解】（1）證明：連接OE，如圖，

∵GE=GF，∴∠GEF=∠GFE，而∠GFE=∠AFH，∴∠GEF=∠AFH，∵AB⊥CD，∴∠OAF+∠AFH=90°，∴∠GEA+∠OAF=90°，∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAF，∴∠GEA+∠OEA=90°，即∠GEO=90°，∴OE⊥GE，∴EG是⊙O的切線；（2）解：連接OC，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OH=r-2，在Rt△OCH中，，解得r=3，在Rt△ACH中，AC=，∵AC∥G