專題02 直線與圓的方程（5考點串講+7熱考題型）（高教版2021·基礎(chǔ)模塊下冊）（解析版）

專題02直線與圓的方程考點串講考點串講考點一、距離與中點坐標(biāo)公式（1）數(shù)軸上兩點間距離公式數(shù)軸上點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，則A，B兩點間的距離為：．（2）平面上兩點間距離公式在平面直角坐標(biāo)系中，兩點，之間的距離公式為：.（3）線段中點坐標(biāo)公式若點A，B的坐標(biāo)分別為，，線段AB的中點M的坐標(biāo)為：.考點二、直線的方程（1）直線的傾斜角與斜率直線的傾斜角：當(dāng)直線l與x軸相交時，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0°.因此，直線的傾斜角α的取值范圍為．直線的斜率：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，常用小寫字母k表示，即．當(dāng)直線平行于x軸或者與x軸重合時k＝0；當(dāng)直線的傾斜角為銳角時k>0；當(dāng)直線的傾斜角為鈍角時k<0；傾斜角為90°的直線沒有斜率．傾斜角不同，直線的斜率也不同．因此，我們可以用斜率表示直線的傾斜程度．經(jīng)過兩點，()的直線的斜率公式為：．（2）直線方程的幾種形式名稱方程適用范圍點斜式存在斜截式存在截距式且一般式(A，B不同時為0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的所有直線截距：直線l與x軸交點(a，0)的橫坐標(biāo)a叫做直線l在x軸上的截距，直線l與y軸交點(0，b)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距（注：截距不是距離）．考點三、兩條直線的位置關(guān)系（1）兩條直線的位置關(guān)系平行：對于兩條不重合的直線，，其斜率分別為，，有，特別地，當(dāng)直線，的斜率都不存在時，與的關(guān)系為（注：兩直線平行則傾斜角相等，可能沒有斜率）.垂直：如果兩條直線，的斜率都存在，且分別為，，則有，特別地，若直線：，直線：，則與的關(guān)系為．另有結(jié)論：設(shè)，則；；與重合；與相交.（2）兩條直線的交點坐標(biāo)一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組，若方程組有惟一解，則兩條直線相交，此解就是交點的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行．（3）距離公式點到直線的距離公式：點到直線：的距離．兩條平行直線間的距離公式：兩條平行直線：（）和：（）間的距離.考點四、圓（1）圓的定義在平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合叫圓，確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑．（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程叫做以點為圓心，為半徑長的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．圓的一般方程：方程叫做圓的一般方程．注：將上述一般方程配方得，此為該一般方程對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，表示的是以為圓心，為半徑長的圓．（3）點與圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有：若點在圓上若點在圓外若點在圓內(nèi)考點五、直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示公共點個數(shù)幾何特征代數(shù)特征(解的個數(shù))相離0無實數(shù)解相切1兩組相同實數(shù)解相交2兩組不同實數(shù)解常用結(jié)論：計算直線被圓截得的弦長為的方法：熱考題型熱考題型類型一、求兩點間的距離、中點坐標(biāo)【例1】已知點，則線段AB的中點坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得：線段AB的中點坐標(biāo)為，即.故選：A.【例2】已知的頂點分別為，，，則AB邊上的中線長為．【答案】【解析】由已知，，設(shè)AB的中點為D，AB的中點D坐標(biāo)為，.故答案為：.【變式1】已知線段的端點及中點，則點的坐標(biāo)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，的端點及中點，則，解得：，故點的坐標(biāo)為，故選：B.【變式2】若點在軸上，點在軸上，線段的中點的坐標(biāo)是，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】線段的中點為，設(shè)，所以，所以.故選：A.類型二、求直線的傾斜角、斜率【例1】過，兩點的直線的傾斜角是（

）A．45 B．60° C．120° D．135°【答案】D【解析】由已知直線的斜率為，，所以傾斜角.故選：D.【例2】常值函數(shù)所表示直線的斜率為．【答案】0【解析】表示的直線平行于x軸，傾斜角為0°，故斜率為tan0°=0.故答案為：0．【變式1】直線的傾斜角為______．【答案】【解析】直線的斜率為1，設(shè)直線的傾斜角為，，則，所以.故答案為：.【變式2】如圖，已知直線，，的斜率分別為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題圖知直線的傾斜角為鈍角，∴，又直線，的傾斜角均為銳角，且直線的傾斜角較大，∴，∴，故選：D.類型三、求直線方程【例1】已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意知：直線的斜率為，則直線的方程為.故選：C.【例2】已知直線過點，，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由直線的兩點式方程可得，直線l的方程為，即．故選：C．【例3】傾斜角為，在軸上的截距為的直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由傾斜角為可知所求直線的斜率為，由直線的斜截式方程可得.故選：B.【變式1】已知直線過點，，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由直線的兩點式方程可得，直線l的方程為，即．故選：C．【變式2】經(jīng)過點A(2,5)，B(－3,6)的直線方程為____________．【答案】x＋5y－27＝0【解析】由兩點式得直線方程為eq\f(y－6,5－6)＝eq\f(x＋3,2＋3)，即x＋5y－27＝0.故答案為：x＋5y－27＝0.【變式3】直線在軸上的截距為5，斜率為2，則該直線方程為.【答案】【解析】直線方程為即.故答案為：.類型四、直線過定點、點到直線的距離【例1】直線恒過點（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為直線所以由直線的點斜式方程可得直線恒過點.故選：C.【例2】點到直線的距離是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】點到直線的距離為：,故選：B.【變式1】直線y＝k(x－2)＋3必過定點，該定點坐標(biāo)是（

）A．(－2，3) B．(2，3) C．(3，－2) D．(3，2)【答案】B【解析】將直線方程化為點斜式得y－3＝k(x－2)，所以該直線過定點(2，3).故選：B.【變式2】已知，兩點到直線l：的距離相等，則（

）A．或 B．或4 C．2或4 D．或【答案】A【解析】由題意得，解得或.故選：A.類型五、兩直線的位置關(guān)系【例1】已知直線，．若，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由題意得，，解得.經(jīng)驗證符合題意.故選：D.【例2】已知直線：與：，則這兩條直線的位置關(guān)系是（）A．重合 B．平行 C．垂直 D．不能確定【答案】C【解析】因為直線：的斜率為：，直線：的斜率為，所以，所以這兩條直線的位置關(guān)系是垂直，故選：C.【變式1】若直線：與直線：互相平行，則的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】若直線：與直線：互相平行，，解得.故選：A．【變式2】已知直線與互相垂直，則（

）A． B． C．1 D．1或【答案】C【解析】因為直線與互相垂直，所以，解得.故選：C.類型六、圓的方程問題【例1】圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】由于圓，所以其圓心坐標(biāo)為，即；半徑為.故選：A.【例2】圓心為且過原點的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓心為且過原點的圓的半徑為，故圓心為且過原點的圓的圓的方程為.故選：C．【變式1】圓心在坐標(biāo)原點，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】圓心在坐標(biāo)原點，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.【變式2】以兩點和為直徑端點的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意可得，圓心為線段的中點，半徑為，故要求的圓的方程為.故選：B.類型七、直線和圓的位置關(guān)系、求圓的弦長【例1】直線與圓相切，則（

）A．3 B． C．或1 D．3或【答案】D【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，又直線與圓相切，則，解之得或.故選：D．【例2】直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．相交或相切【答案】A【解析】因為直線恒過定點，而，所以定點在圓內(nèi)，所以直線與圓相交.故選：A.【例3】經(jīng)過點且斜率為的直線與圓：相交于，兩點，若，則的值為.【答案】或【解析】由已知條件得，設(shè)直線的方程為，圓：的圓心為，半徑為，由勾股定理得圓心到直線的距離為，即圓心為到直線的距離為：，解得或.故答案為：或.【變式1】直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【答案】B【解析】圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相切.故選：B.【變式2】圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2x+y+