2023年廣東省普通高中學業(yè)水平合格性考試數(shù)學真題試卷含詳解

2023年廣東省普通高中學業(yè)水平合格性考試

數(shù)學

（時間：90分鐘，總分:150分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題6分，共72分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.設集合M={°,2},N={TQ1},則MDN=（）

A{0,1}B.{0,1,2)

C.{-1,0,1,2)D.{-1,0,1}

2.下列函數(shù)中，在其定義域上是增函數(shù)的是（)

A./(X)=-XB./(x)=f

C./(x)=3vD./(x)=~

3.已知X、y>0,且Xy=36,則尤+y的最小值是（）

A.10B.12C.13D.15

4.不等式（x-5）（x+2）>0的解集是（）

人.{工|工<-2或尢>5}B.{x∣x<-5或x>2}

C{x∣-2<x<5}D.{x∣-5<x<2}

5已知向量4=（2,0）,Z?=（—1,一2）,則〃+/?二=()

A.（1,2）B.(1,-2)

C.（2,1）D.(-3,2)

6二.下列函數(shù)可能是對數(shù)函數(shù)的是（）

-oΓ----------?

;一

δΓ?

7.己知角α的頂點與原點重合，始邊與X軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過P(1,?Λ^),則tana的值為()

A6B,昱C.

D.√3

2

23

8.某人連續(xù)投籃兩次,則他至少投中一次的對立事件是()

A.至多投中一次B.兩次都投中

C.只投中一次D.兩次都沒投中

要獲得/(x)=Sin(X+3],只需要將正弦圖像(

9.)

向左移動,個單位向右移動,個單位

AB.

66

71π

C.向左移動一個單位D.向右移動m個單位

66

10.已知a和夕是兩個不同平面，A：a!!β,B:a和4沒有公共點，則A是8的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.已知函數(shù)/(x)=,若a=∕(±),則/(a)的值是()

11

A—2B.-1C.I—nD.—2

12.若/+/=。2,則見瓦。三個數(shù)稱之為勾股數(shù)，從3,4,12,13中任取兩個，能和5組成勾股數(shù)的概率是()

二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分.

13.已知復數(shù)z=T+(m-2)i,要讓Z為實數(shù)，則實數(shù)機為.

14.函數(shù)/(x)=CoS2x的最小正周期是.

15.棱長為2的正方體的內切球的直徑為.

16.已知向量a和人的夾角為90,忖=2,W=Q,則.

17.己知某校高一高二高三的人數(shù)分別為400、450、500,選派該校學生參加志愿者活動，采用分層抽樣的方法選取

27人，則高二抽取的人數(shù)為.

18.函數(shù)/U)是偶函數(shù)，當x≥0時，/(X)=X(1+Λ),則/(—D=.

三、解答題：本大題共4小題，第19~21題各10分，第22題12分，共42分.解答需寫出文字說明，

證明過程和演算步驟.

19.在..ABC中，內角A、B、C的對邊分別為〃、b、c,b=2,c=」-,6=60.

3

⑴求C；

(2)求a.

20.甲和乙射箭，兩人比賽的分數(shù)結果如下：

甲868659

乙6778104

求甲和乙分數(shù)的平均數(shù)和方差，并說明甲和乙發(fā)揮的情況.

21.某企業(yè)十年內投資一個項目，2022年投資200萬，之后每一年的投資額比前一年增長10%.

(1)求該企業(yè)在2024年該項目的頭投資金額；

(2)該企業(yè)在哪一年的投資金額將達到400萬元？(參考數(shù)據(jù)：log∣.∣2=7.4)

22.如圖，圓的直徑為AB=4,直線BA垂直圓所在的平面，C是圓上的任意一點.

P

(1)證明BCL面PACi

(2)若尸A=20,AC=2,求PB與面以C的夾角.

2023年廣東省普通高中學業(yè)水平合格性考試

數(shù)學

(時間：90分鐘，總分:150分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題6分，共72分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.設集合”={&i2},N={T°,1},則MDN=()

A.{0,1}B.{0,1,2}

C.{-1,0,1,2)D.{-1,0,1}

【答案】C

【分析】利用并集的定義可求得集合MUN.

【詳解】因為集合M={0,l,2},N={-l,0,l},因此，MUN={-1,0,1,2}.

故選：C.

2.下列函數(shù)中，在其定義域上是增函數(shù)的是()

A./(X)=-XB./(x)=f

c./(X)=3ΛD./(x)=5

【答案】C

【分析】利用基本初等函數(shù)的單調性逐項判斷，可得出合適的選項.

【詳解】對于A選項，函數(shù)/(X)=-X在定義域R上為減函數(shù)，A不滿足條件；

對于B選項，函數(shù)/(X)=/定義域R上不單調，B不滿足條件；

對于C選項，函數(shù)/(x)=3'在定義域R上為增函數(shù)，C滿足條件；

對于D選項，函數(shù)/(x)=L在定義域{x∣XH0}上不單調，D不滿足條件.

X

故選：C.

3.已知X、y>(),且孫=36,則χ+y的最小值是()

A.10B.12C.13D.15

【答案】B

【分析】利用基本不等式可求得χ+y的最小值.

【詳解】因為X、y>0,且孫=36,由基本不等式可得χ+y≥2而=12,

當且僅當X=y=6時，等號成立，故X+y的最小值是12.

故選：B.

4.不等式(x—5)(x+2)>0的解集是()

A.{x∣x<-2或x>5]8.{劃》<一5或%>2}

C.{x∣-2<x<5}D.{x∣-5<x<2}

【答案】A

【分析】根據(jù)二次不等式與二次函數(shù)圖象的關系得結論.

【詳解】y=(x-5)(x+2)的圖象是開口向上的拋物線,它與X軸的兩交點分別是(-2,0),(5,0),

不等式的解為x<-2或x>5,

故選：A.

5.已知向量α=(2,0),人=(-1,-2),則α+方=()

A.(1,2)B.(1,-2)

C.(2,1)D.(-3,2)

【答案】B

【分析】由向量加法的坐標運算計算.

【詳解】由題意“+b=(2—1,0—2)=(1,—2),

故選：B.

6,下列函數(shù)可能是對數(shù)函數(shù)的是()

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的圖象可得合適的選項.

【詳解】對數(shù)函數(shù)的定義域為(0,+8),ABCD四個選項中最有可能是對數(shù)函數(shù)的是A選項.

故選：A.

7.已知角α的頂點與原點重合，始邊與X軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過P（l,√i）,則Iana的值為（）

A.BB.3C,?D.√3

232

【答案】D

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義計算.

【詳解】由題意tana=

1

故選：D.

8.某人連續(xù)投籃兩次，則他至少投中一次的對立事件是（）

A.至多投中一次B.兩次都投中

C只投中一次D.兩次都沒投中

【答案】D

【分析】根據(jù)對立事件的定義判斷.

【詳解】至少投中1次的反面是沒有一次投中，因此選項D正確.

故選：D.

9.要獲得/（x）=Sin[X+:],只需要將正弦圖像（）

A.向左移動Z個單位B.向右移動W個單位

66

7171

C.向左移動一個單位D.向右移動一個單位

66

【答案】A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的概念判斷.

【詳解】把y=sinx的圖象向左平移[個單位，所得圖象的函數(shù)解析式為y=sin（x+L）.

66

故選：A.

10.已知a和夕是兩個不同平面，A-.allβ,B:a和“沒有公共點，則A是8的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)面面平行的定義判斷.

【詳解】兩個平面平行的定義是：兩個平面沒有公共點，則這兩個平面平行，因此A是B的充要條件.

故選：C.

H.已知函數(shù)=若"=U則/(α)的值是()

11

A—2B.—1C.—D.—

102

【答案】D

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義求值.

［詳解］a=/(A)=Ig5=T,/(?)=/(-1)=2-1=1.

故選：D.

12.若/+。2=。2,則。乃,C三個數(shù)稱之為勾股數(shù)，從3,4,12,13中任取兩個，能和5組成勾股數(shù)的概率是()

【答案】B

【分析】用列舉法寫出所有基本事件，得出的逆反應概率事件的基本事件，計數(shù)后計算即得.

【詳解】從3,4,12,13中任取兩個的基本事件有(3,4),(3,12),(3,13),(4,12),(4,13),(12,13)共6個,

其中能和5組成勾股數(shù)的有(3,4),(12,13)兩個基本事件，

所以所求概率為P=§='.

故選：B.

二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分.

13.已知復數(shù)z=T+(m—2)i,要讓Z為實數(shù)，則實數(shù)機為.

【答案】2

【分析】由復數(shù)的定義求解.

【詳解】Z為實數(shù)，則加一2=0，m=2?

故答案為：2.

14.函數(shù)/(x)=COS2x的最小正周期是.

【答案】兀

_2π

【分析】根據(jù)周期公式T=L即可求出函數(shù)的周期.

【詳解】解：/(x)=cos2x,

Qa)=2,

.?.T=-=π,即函數(shù)/(x)=CoS2x的最小正周期是".

故答案為：兀.

15.棱長為2的正方體的內切球的直徑為.

【答案】2

【分析】根據(jù)正方體的幾何性質可得結果.

【詳解】棱長為2的正方體的內切球的直徑為2.

故答案：2.

16.已知向量α和b的夾角為90，忖=2,W=G,則α力=.

【答案】0

【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義可求得。的值.

【詳解】由平面向量數(shù)量積的定義可得α?b=W?∣4cos90=0.

故答案為：0.

17.已知某校高一高二高三的人數(shù)分別為400、450、500,選派該校學生參加志愿者活動，采用分層抽樣的方法選取

27人，則高二抽取的人數(shù)為.

【答案】9

【分析】由分層抽樣的定義按比例計算.

450

【詳解】由題意高二抽取的人數(shù)為---------------×27=9.

400+450+5∞

故答案為：9.

18.函數(shù)AX)是偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)=x(l+x),則/(—1)=.

【答案】2

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出解析式后即可代入求解.

【詳解】因為當x≥0時，/(x)=x(l+x),

所以當x<0時，-x>0,

所以JD=-X(I-χ),

函數(shù)/(χ)是偶函數(shù)，

所以/(X)=/(-%)=-?(l-?),

所以/(-1)=1(1+1)=2,

故答案為：2■

三、解答題：本大題共4小題，第19~21題各10分，第22題12分，共42分.解答需寫出文字說明，

證明過程和演算步驟.

19.在..ABC中，內角A、B、C的對邊分別為〃、b、c,b=2,c=」-,6=60.

3

⑴求C；

(2)求a.

【答案】(I)C=30

_46

3

【分析】(1)利用正弦定理求出SinC,結合大邊對大角定理可求得角C的值：

(2)求得A=90，利用勾股定理可求得”的值.

【小問1詳解】

Cb空XB

解：由正弦定理可得二一=-一，所以，.「csinB^VxV1.

sinCsinBSinC=---=------=-

b22

因為則0<C<60，故C=30.

【小問2詳解】

解：由(1)可知A=180-(B+C)=90,所以,

20.甲和乙射箭，兩人比賽分數(shù)結果如下:

甲868659

乙6778104

求甲和乙分數(shù)的平均數(shù)和方差，并說明甲和乙發(fā)揮的情況.

【答案】答案見解析

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差公式可求得甲和乙分數(shù)的平均數(shù)和方差，結合平均數(shù)與方差的大小關系可得出結論.

8+6+8+6+5+9

【詳解】解：甲分數(shù)的平均數(shù)為漏=7,

6

(8-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2

方差為*=

6

6+7+7+8+10+4=

乙分數(shù)的平均數(shù)為X乙=---------------=7,

6

(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(10-7)2+(4-7)210

方差為*=----------------------------------------------=--,

63

所以，4=花，端＜或，故甲乙分數(shù)