新疆喀什地區(qū)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期4月適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

絕密★啟用前喀什地區(qū)2024年普通高考4月份適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合交集的定義進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的模（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的定義求解即可.【詳解】，所以，所以.故選：B.3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)的和為，滿足，則公比（）A.1或3 B. C.1或 D.1【答案】D【解析】【分析】由給定等式結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)、前n項(xiàng)和列出方程求解即得.【詳解】正項(xiàng)等比數(shù)列的公比，由，得，整理得，即，所以，（負(fù)值舍）.故選：D4.已知函數(shù)，滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先結(jié)合冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則得到，解出即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，且，則時(shí)，單調(diào)遞增，若有，則有，解得，故選：A.5.在直角梯形中，且與交于點(diǎn)，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過作于，利用向量數(shù)量積的定義及投影向量的意義求解即得.【詳解】在直角梯形中，且，過作于，則，故，從而.因此，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用差角的余弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合二倍角的正弦，利用齊次式法計(jì)算即得.【詳解】由，得.故選：B7.數(shù)學(xué)中，懸鏈線指的是一種曲線，是兩端固定的一條（粗細(xì)與質(zhì)量分布）均勻、柔軟（不能伸長）的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀，它被廣泛應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中，比如計(jì)算山脈的形狀、婲述星系的形態(tài)、研究植物的生長等等．在合適的坐標(biāo)系中，這類曲線可用函數(shù)（其中為非零常數(shù)，）來表示，當(dāng)取到最小值為2時(shí)，下列說法正確的是（）A.此時(shí) B.此時(shí)的最小值為2C.此時(shí)的最小值為2 D.此時(shí)的最小值為0【答案】B【解析】分析】根據(jù)給定條件，判斷，再利用基本不等式逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】函數(shù)，為非零常數(shù)，，由取到最小值為2，得，對(duì)于A，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，D錯(cuò)誤.故選：B8.已知函數(shù)的定義域均為為的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則（）A.2 B.1 C.0 D.-1【答案】A【解析】【分析】由題意分析可得，再推導(dǎo)得的奇偶性和周期性，利用特殊值求出，進(jìn)而分析得到，計(jì)算可得答案.【詳解】由題意，可知，①，令可得，，所以.又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得，②令可得，，所以，聯(lián)立①②可得，，化簡(jiǎn)可得，所以是周期為2的函數(shù)，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，所?故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則B.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則C.已知一組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，則它的第70百分位數(shù)為7D.若事件滿足，則事件相互獨(dú)立【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)根據(jù)二項(xiàng)分布知識(shí)可判斷A，根據(jù)正態(tài)分布知識(shí)可判斷B，根據(jù)百分位數(shù)可判斷C，根據(jù)條件概率知識(shí)可判斷D.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，故A正確；因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，則對(duì)稱軸為，，故B錯(cuò)誤；這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以事件相互?dú)立.故選：AD.10.如圖圓臺(tái)，在軸截面中，，下面說法正確的是（）A.線段B.該圓臺(tái)的表面積為C.該圓臺(tái)體積為D.沿著該圓臺(tái)表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為5【答案】ABD【解析】【分析】在等腰梯形中求出判斷A；利用圓臺(tái)表面積公式、體積公式計(jì)算判斷BC；利用側(cè)面展開圖計(jì)算判斷D.【詳解】顯然四邊形是等腰梯形，，其高即為圓臺(tái)的高對(duì)于A，在等腰梯形中，，A正確；對(duì)于B，圓臺(tái)的表面積，B正確；對(duì)于C，圓臺(tái)的體積，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將圓臺(tái)一半側(cè)面展開，如下圖中扇環(huán)且為中點(diǎn)，而圓臺(tái)對(duì)應(yīng)的圓錐半側(cè)面展開為且，又，在△中，，斜邊上的高為，即與弧相離，所以C到AD中點(diǎn)的最短距離為5cm，D正確.故選：ABD11.對(duì)于數(shù)列，定義：，稱數(shù)列是的“倒和數(shù)列”．下列說法正確的有（）A.若數(shù)列單調(diào)遞增，則數(shù)列單調(diào)遞增B.若，則數(shù)列有最小值2C.若，則數(shù)列有最小值D.若，且，則【答案】CD【解析】【分析】結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)分析判斷ABC；作差變形計(jì)算判斷D.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，對(duì)于A，由于函數(shù)在定義域上不單調(diào)，則由數(shù)列單調(diào)遞增，無法判斷數(shù)列單調(diào)性，A錯(cuò)誤；對(duì)于BC，，則數(shù)列有最小值，B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)于D，由，得，，整理得，而，因此，D正確.故選：CD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及單調(diào)性的某些數(shù)列問題，數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，判斷其單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，背景函數(shù)的條件，應(yīng)緊扣題中的限制條件.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓和圓，則兩圓公共弦所在直線的方程為________．【答案】【解析】【分析】判斷兩圓相交，再把兩圓方程相減消去二次項(xiàng)即得.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，顯然，因此圓相交，所以兩圓公共弦所在直線的方程為，即.故答案為：13.已知函數(shù)，其中，滿足，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)代入計(jì)算，化簡(jiǎn)可得關(guān)于的方程，解方程即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，?故答案為：.14.“蒙旦圓”涉及的是幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓的離心率為，則該橢圓的蒙日?qǐng)A方程為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再求出橢圓在頂點(diǎn)處的切線交點(diǎn)坐標(biāo)即可求出蒙日?qǐng)A方程.【詳解】由橢圓的離心率為，得，解得，橢圓在頂點(diǎn)處的切線分別為，它們交于點(diǎn)，顯然點(diǎn)在橢圓的蒙日?qǐng)A上，因此，所以橢圓的蒙日?qǐng)A方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用蒙日?qǐng)A的定義，求出橢圓的兩條切線的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是解題之關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）；（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即得.（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解導(dǎo)數(shù)值大于0，小于0的不等式即得.【小問1詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在處的切線方程是.【小問2詳解】由（1）知，的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，由，得或，由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.16.已知在中，角的對(duì)邊分別為，且．（1）求；（2）若，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式得到，即可得解.（2）由余弦定理求出，再由，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.【小問1詳解】在中，由正弦定理及，得，而，則，又，即，于是，又，所以.【小問2詳解】由（1）知，，由余弦定理得，即，而，解得，由為的中點(diǎn)，得，所以.17.如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，且平面平面為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，即可證明為平行四邊形，從而得到，即可得證.（2）取中點(diǎn)，連接，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，而為的中點(diǎn)，則且，又且，則且，于是四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】取中點(diǎn)為，連接，由為等腰梯形，得，由平面平面，平面平面，平面，得平面，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作直線的垂線，以點(diǎn)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，等腰梯形中，，，則，由，，得，于是，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓交于另一點(diǎn)，且直線的斜率滿足．（1）求橢圓的方程；（2）證明直線過定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件求出即可得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及求解并驗(yàn)證即可.【小問1詳解】由點(diǎn)在橢圓上，得，由為橢圓的左焦點(diǎn)，得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】依題意，直線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)其方程為，，，由消去y并整理得，，，，由得，即，整理得，即有，而，解得，滿足，直線：過定點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與圓錐曲線相交的直線過定點(diǎn)問題，設(shè)出直線的斜截式方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出直線斜率與縱截距的關(guān)系即可解決問題.19.為了解居民體育鍛煉情況，某地區(qū)對(duì)轄區(qū)內(nèi)居民體育鍛煉進(jìn)行抽樣調(diào)查，統(tǒng)計(jì)其中400名居民體育鍛煉的次數(shù)與年齡，得到如下的頻數(shù)分布表．年齡次數(shù)每周0～2次70553659每周3～4次25404431每周5次及以上552010（1）若把年齡在的鍛煉者稱為青年，年齡在的鍛煉者稱為中年，每周體育鍛煉不超過2次的稱為體育鍛煉頻率低，不低于3次的稱為體育鍛煉頻率高，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷體育鍛煉頻率的高低與年齡是否有關(guān)聯(lián)；（2）從每周體育鍛煉5次及以上的樣本鍛煉者中，按照表中年齡段采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣，抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中年齡在與的人數(shù)分別為，求的分布列與期望；（3）已知小明每周的星期六、星期天都進(jìn)行體育鍛煉，且兩次鍛煉均在跑步、籃球、羽毛球3種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中選擇一種，已知小明在某星期六等可能選擇一種運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目，如果星期六選擇跑步、籃球、羽毛球，則星期天選擇跑步的概率分別為，求小明星期天選擇跑步的概率．參考公式：．附：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）有關(guān)；（2）分布列見解析；期望為；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出的列聯(lián)表，求得卡方值，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量的可能取值為，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解；（3）根據(jù)題意，結(jié)合全概率公式，即可求解.【小問1詳解】零假設(shè)：體育鍛煉頻率的高低與年齡無關(guān)，由題得列聯(lián)表如下：青年中年合計(jì)體育鍛煉頻率低12595220體育鍛煉頻率高75105180合計(jì)200200400，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷