新高考數(shù)學一輪復習知識總結 一元二次函數(shù)、方程和不等式（含解析）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式單元總結知識點一：不等式的主要性質(1)對稱性：SKIPIF1<0(2)傳遞性：SKIPIF1<0(3)加法法則：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(4)乘法法則：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(5)乘方法則：SKIPIF1<0SKIPIF1<0(6)開方法則：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0要點詮釋：不等式性質中要注意等價雙向推出和單向推出關系的不同.知識點二：基本不等式兩個重要不等式①SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時取等號“=”）；②基本不等式：如果SKIPIF1<0是正數(shù)，那么SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時取等號“=”）.算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)算術平均數(shù)：SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0的算術平均數(shù)；幾何平均數(shù)：SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0的幾何平均數(shù)；因此基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).基本不等式的應用SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0（定值），那么當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0；SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0（定值），那么當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0.要點詮釋：在用基本不等式求函數(shù)的最值時，應具備的三個條件①一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值.幾個常用變形不等式：①SKIPIF1<0（當且僅當a=b時等號成立）；②（a+b）2≥4ab（當且僅當a=b時等號成立）；③SKIPIF1<0；特別地：SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0SKIPIF1<0.知識點三：三個“二次”的關系一元二次不等式SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0的解集：設相應的一元二次方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0的兩根為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則不等式的解的各種情況如下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0二次函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的圖象一元二次方程SKIPIF1<0有兩相異實根SKIPIF1<0有兩相等實根SKIPIF1<0無實根SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0RSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解一元二次不等式的步驟（1）先看二次項系數(shù)是否為正，若為負，則將二次項系數(shù)化為正數(shù)：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）計算判別式SKIPIF1<0，分析不等式的解的情況：①SKIPIF1<0時，求根SKIPIF1<0（注意靈活運用因式分解和配方法）；②SKIPIF1<0時，求根SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0時，方程無解（3）寫出解集.要點詮釋：若SKIPIF1<0，可以轉化為SKIPIF1<0的情形解決.類型一：不等式的性質例1．若SKIPIF1<0為實數(shù)，則下列結論中正確的是（）A.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C.若SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D.若SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【思路點撥】利用不等式的性質，逐項進行判斷.【解析】若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0同號.當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.所以A項正確，B項錯誤.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0同理，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0顯然C項不正確.同理D項也不正確.【總結升華】解答此類問題應注意一下幾個方面：（1）準確理解不等式的性質；（2）掌握作差法比較大小這種最基本的方法；（3）了解符號的運算規(guī)律；（4）靈活利用特殊數(shù)值對結論進行檢驗.例2．已知函數(shù)SKIPIF1<0,滿足SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,那么SKIPIF1<0的取值范圍是.【思路點撥】將SKIPIF1<0用SKIPIF1<0及SKIPIF1<0表示出來，再利用不等式性質求得正確的范圍.【解析】解法一：方程思想(換元)：由SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。解法二：待定系數(shù)法設f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)SKIPIF1<0解法三：數(shù)形結合(線性規(guī)劃)SKIPIF1<0所確定區(qū)域如圖：SKIPIF1<0設SKIPIF1<0，將邊界點(0,1)(3,7)代入即求出.【總結升華】利用幾個不等式的范圍來確定某個不等式的范圍是一類常見的綜合問題，對于這類問題要注意：“同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減）”，這種轉化不是等價變形，在一個解題過程中多次使用這種轉化時，就有可能擴大真實的取值范圍，解題時務必小心謹慎，先建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，最后通過“一次性不等關系的運算，求得待求的范圍”，是避免犯錯誤的一條途徑.類型二：不等式的求解例3．已知函數(shù)SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0，若關于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為_______.【解析】SKIPIF1<0的值域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【總結升華】解決本題的關鍵是（1）準確把握一元二次不等式的解法；（2）掌握一元二次不等式的解集、一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點三者之間的關系，根據(jù)需要進行彼此的互化.例4．已知關于x的方程SKIPIF1<0的兩根為SKIPIF1<0，試問是否存在實數(shù)m，使得不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0對任意實數(shù)a∈[－1,1]及l(fā)∈[－1,1]恒成立？若存在，求m的取值范圍；若不存在，說明理由．SKIPIF1<0SKIPIF1<0【總結升華】①在含參不等式問題中，二次不等式恒成立的充要條件的理論依據(jù):ax2+bx+c>0對任何xSKIPIF1<0R恒成立SKIPIF1<0a>0且Δ=b2-4ac<0；ax2+bx+c<0對任何xSKIPIF1<0R恒成立SKIPIF1<0a<0且Δ=b2-4ac<0。②與不等式恒成立相互依存,相互支撐與相互轉化的最值命題：μ＜f(x)恒成立SKIPIF1<0μ＜f(x)的最小值μ＞f(x)恒成立SKIPIF1<0μ＞f(x)的最大值類型三：均值不等式求最值及應用例5．已知正數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，試求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的范圍?！舅悸伏c撥】利用均值不等式化歸為其它不等式的求解或者轉化為函數(shù)最值的求解.【解析】解法一：由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時取“=”號，故SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時取“=”號，故SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0解法二：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，并求得SKIPIF1<0時取“=”號，故SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0。SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，并求得SKIPIF1<0時取“=”號，故SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0。【總結升華】利用均值不等式求函數(shù)的最值，除了抓住均值不等式的使用條件“一正、二定、三相等”外，還要靈活變換函數(shù)式，配湊均值不等式，并正確應用均值不等式求解函數(shù)最值問題.例6．求函數(shù)的最小值.【思路點撥】是二項“和”的形式，但其“積”的形式不為定值.而可與相約，即其積為定積1，因此可以先添、減項6，即，再用均值不等式.【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時,等號成立.所以的最小值是SKIPIF1<0.【總結升華】為了創(chuàng)造條件利用均值不等式，添項是常用的一種變形技巧；為了保證式子的值不變，添項后一定要再減去同一項.例7．為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：SKIPIF1<