廣東省廣州市八區(qū)2024-2025學年高二數(shù)學下學期期末教學質(zhì)量檢測試題含解析

PAGE20-廣東省廣州市八區(qū)2024-2025學年高二數(shù)學下學期期末教學質(zhì)量檢測試題（含解析）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題所給的四個選項中，只有一個是正確的．1.復數(shù)z滿意，則A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以,選B.2.已知隨機變量，那么隨機變量的均值（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆利用二項分布的期望公式計算即可得解.【詳解】因為，所以有.故選：B.【點睛】本題考查二項分布期望計算，側(cè)重考查對基礎學問的理解和駕馭，屬于基礎題.3.為探討某地區(qū)中學生的性別與閱讀量的關(guān)系，運用列聯(lián)表進行獨立性檢驗，經(jīng)計算，則所得的結(jié)論是：有______把握認為“該地區(qū)中學生的性別與閱讀量有關(guān)系”附表：A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由值與表中的臨界值進行比較可得答案.【詳解】解：因為，所以有99%的把握認為“該地區(qū)中學生的性別與閱讀量有關(guān)系”，故選：C【點睛】此題考查獨立性檢驗，與臨界值比較是解題的關(guān)鍵，屬于基礎題.4.已知隨機變量聽從正態(tài)分布，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先計算出，由正態(tài)密度曲線的對稱性得出，于是得出可得出答案．【詳解】由題可知，，由于，所以，，因此，，故選:B.【點睛】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上的概率，考查正態(tài)密度曲線的對稱性，解題時要留意正態(tài)密度曲線的對稱軸，利用對稱性來計算，考查運算求解實力，屬于基礎題．5.設函數(shù)的圖象與軸相交于點，則曲線在點處的切線方程（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求Q點坐標，然后求f（x）的導數(shù)，進而求得切線斜率，最終利用點斜式可得切線方程．【詳解】∵函數(shù)的圖象與軸相交于點，且f（0）＝2，得Q（0，2）．∵＝ex，∴＝e0＝1．則曲線在點處的切線方程為y-2=x,即y＝x+2故選:D.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義和曲線在某點處的切線方程，步驟一般為：一，對函數(shù)求導，代入已知點得到在這一點處的斜率；二，求出這個點的橫縱坐標；三，利用點斜式寫出直線方程.6.“勾股定理”在西方被稱為“畢達哥拉斯定理”，我國古代的數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅“股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的具體證明．如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成大正方形，若直角三角形中較小的銳角的正切值為，現(xiàn)在向該大正方形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在小正方形概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設直角三角形中較短的直角邊長為，計算出小正方形和正方形的邊長，利用幾何概型的概率公式可求得所求事務的概率.【詳解】設直角三角形中較短的直角邊長為，由于，則直角三角形中較長的直角邊長為，所以，小正方形的邊長為，大正方形的邊長為，因此，向該大正方形區(qū)域內(nèi)隨機地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在小正方形概率為.故選：B【點睛】本題考查幾何概型概率的計算，解答的關(guān)鍵就是計算出兩個正方形的邊長，考查計算實力，屬于基礎題.7.現(xiàn)有、、、、五人，隨意并排站成一排，那么、相鄰且在左邊的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將、捆綁，并計算出、相鄰且在左邊的排法種數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事務的概率.【詳解】將、捆綁，則、相鄰且在左邊的排法種數(shù)為種，因此，、相鄰且在左邊的概率為.故選：B.【點睛】本題考查排列數(shù)的應用，同時也考查了利用古典概型的概率公式計算事務的概率，考查計算實力，屬于基礎題.8.如圖，在平行六面體中，與的交點為，點在上，且，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】在平行六面體中，依據(jù)空間向量加法合成法則，對向量進行線性表示即可【詳解】解：因為，所以，在平行六面體中，，故選：C【點睛】此題考查了空間向量的加法運算問題，解題時應結(jié)合圖形進行解答，屬于基礎題.9.在綻開式中，二項式系數(shù)的最大值為，含的系數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可求得，依據(jù)通項公式可求得.【詳解】因為，所以二項綻開式中共有7項，所以第四項的二項式系數(shù)最大，所以，依據(jù)二項綻開式的通項公式可得，所以.故選：A【點睛】本題考查了二項式系數(shù)的性質(zhì)，考查了二項綻開式的通項公式，屬于基礎題.10.已知某三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，正視圖如圖所示．若該三棱錐的全部頂點都在球的球面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由正視圖和已知條件作出圖形如下圖所示，利用正弦定理求得，再由勾股定理和直角三角形的射影定理求得球的直徑，運用球的表面積公式可得選項.【詳解】如下圖所示，延長交球于點，設的外心為點，連接，，由正弦定理得，所以，因為平面，由勾股定理可知，三棱錐的高，所以，由于點是以為直徑的球上一點，所以，由射影定理可知，球的直徑，因此，球的表面積為.故選：A.【點睛】本題考查三視圖，三棱錐的外接球，球的表面積，關(guān)鍵在于外接球的直徑與三棱錐的棱長、高等之間的關(guān)系，求得外接球的半徑，屬于中檔題.11.在正方體的個頂點中，以隨意個頂點為頂點的三棱錐，共有（）A.個 B.個 C.個 D.個【答案】C【解析】【分析】利用間接法可得結(jié)果：從正方體的個頂點中任取四個頂點的取法減去四點共面的情形即可得到結(jié)果.【詳解】從正方體的個頂點中任取四個頂點，共有種，其中有6個表面和6個對角面中的四個頂點共面，不能構(gòu)成三棱錐，所以共有個三棱錐.故選：C.【點睛】本題考查了簡潔的組合應用題，考查了間接法，屬于基礎題12.設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當時，則使得成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)得到，在是增函數(shù)，再依據(jù)為奇函數(shù)，依據(jù)，解得的解集．【詳解】令，，時，,在上是增函數(shù)，奇函數(shù),為偶函數(shù),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,因此，,因此使得成立的的取值范圍是,故選：D.【點睛】本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查了構(gòu)造函數(shù)及數(shù)形結(jié)合的思想．解決本題的關(guān)鍵是能夠想到通過構(gòu)造函數(shù)解決，屬于中檔題．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上．13.某中學的三個年級共名學生，用分層抽樣的方法從全體學生中抽取一個容量為的樣本．已知高一年級出名學生，高二年級出名學生，則在高三年級應抽取______名學生．【答案】43【解析】分析】由題意利用分層抽樣的定義和方法，求出結(jié)果．【詳解】解：高三年級人數(shù)為，故在高三年級應抽取的人數(shù)為，故答案為：43．【點睛】本題主要考查分層抽樣的定義和方法，屬于基礎題．14.設是原點，向量，對應的復數(shù)分別為，，那么向量對應的復數(shù)的實部為______，虛部為_______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用向量的減法運算求得的坐標，進而求得向量對應的復數(shù)，再結(jié)合復數(shù)的概念，即可求解.【詳解】由題意，點是原點，向量，對應的復數(shù)分別為，，可得，則，所以向量對應的復數(shù)為則向量對應的復數(shù)的實部為，虛部為．故答案為：，.【點睛】本題主要考查了復數(shù)的代數(shù)形式，復數(shù)的幾何意義，以及復數(shù)的基本概念，屬于基礎題.15.在的綻開式中，含項的系數(shù)是_______________.【答案】84【解析】【分析】通過求出各項二項綻開式中項的系數(shù)，利用組合數(shù)的性質(zhì)求出系數(shù)和即可得結(jié)果.【詳解】的綻開式中，含項的系數(shù)為：，故答案是：84.【點睛】該題考查的是有關(guān)二項式對應項的系數(shù)和的問題，涉及到的學問點有指定項的二項式系數(shù)，組合數(shù)公式，屬于簡潔題目.16.若函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．下列函數(shù)中全部具有性質(zhì)的函數(shù)的序號為_______．①②③④【答案】①③④.【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，①具有性質(zhì)；利用導數(shù)探討函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，②不具有性質(zhì)，③具有性質(zhì)，④具有性質(zhì).【詳解】對于①，令，因為，所以在上單調(diào)遞增，故①具有性質(zhì)；對于②，令，則，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以②不具有性質(zhì)；對于③，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故③具有性質(zhì)；對于④，令，則，令，則，由，得，由，得，所以在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，所以時，取得最小值1，所以，，所以在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，故④具有性質(zhì).故答案為：①③④.【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為,（2）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）求導后，利用導數(shù)的符號可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）知，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，依據(jù)單調(diào)性可得最大最小值.【詳解】（1），由，得或；由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，因為，，，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點睛】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于基礎題.18.如圖，四棱錐中，底面，，，，為線段上一點，，為的中點．（1）證明：平面；（2）若，，求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，可得且，結(jié)合已知條件，可證四邊形是平行四邊形，進而有，即可證明結(jié)論；（2）依據(jù)等體積法，由已知求出，，，即可求出點到平面的距離.【詳解】解：（1）由已知得，取的中點，連接，由為中點，知且，又且，得且所以四邊形是平行四邊形，有，平面，平面，故平面.（2）記點到平面的距離為，由題可知，,.在中，.則..因為,所以.解得.【點睛】本題考查直線與平面平行的判定，考查了空間想象實力和思維實力，考查了利用等體積法求點到面的距離，屬于中檔題.19.如圖是某地區(qū)2000年至2024年環(huán)境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖．為了預料該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回來模型．依據(jù)2000年至2024年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為，，，）建立模型①：；依據(jù)2010年至2024年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為，，，）建立模型②：．（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎設施投資額的預料值；（2）你認為用哪個模型得到的預料值更牢靠？并說明理由．【答案】（1）利用模型①預料值為億元，利用模型②預料值為億元，（2）利用模型②得到的預料值更牢靠．【解析】【分析】（1）兩個回來直線方程中無參數(shù)，所以分別求自變量為2024年時所對應的函數(shù)值，就得結(jié)果;（2）依據(jù)折線圖知2000到2009，與2010到2024是兩個有明顯區(qū)分的直線，且2010到2024的增幅明顯高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能較好得到2024的預料.【詳解】（1）利用模型①，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎設施投資額的預料值為（億元）．利用模型②，該地區(qū)2024年的環(huán)境基礎設施投資額的預料值為（億元）．（2）利用模型②得到的預料值更牢靠．理由如下：（i）從折線圖可以看出，2000年至2024年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線上下，這說明利用2000年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的改變趨勢．2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2024年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的旁邊，這說明從2010年起先環(huán)境基礎設施投資額的改變規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2024年的數(shù)據(jù)建立的線性模型可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的改變趨勢，因此利用模型②得到的預料值更牢靠．（ii）從計算結(jié)果看，相對于2024年環(huán)境基礎設施投資額276億元，由模型①得到的預料值270.4億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預料值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預料值更牢靠．【點睛】本題主要考查線性回來方程的應用，結(jié)合條件求出對應的預料值是解決本題的關(guān)鍵.屬于基礎題.20.如圖1，在平行四邊形中，，，，將沿折起，使得平面平面，如圖2．

圖1圖2（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在點，使得二面角的大小為？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）點存在，且為線段的中點.【解析】【分析】（1）由余弦定理，求得，依據(jù)勾股定理，證得，作于點，從而平面，，由，得到平面，進而，再由，即可證得平面；（2）以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法能求出點存在，且為線段的中點.【詳解】（1）在中，因為，，，由余弦定理得，所以，所以，所以，作于點，因為平面平面，平面平面，所以平面，所以，又因為，所以平面，因為平面，所以，又由，所以平面.（2）以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，假設點存在，設，則，設平面的一個法向量為，則，取，可得，平面的一個法向量為，假設在線段上存在點，使得二面角的大小為，則，解得，所以點存在，且點是線段的中點.【點睛】本題考查了線面平行的判定與證明，以及空間角的求解及應用，意在考查學生的空間想象實力和邏輯推理實力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.21.某超市安排在九月訂購一種時令水果，每天進貨量相同，進貨成本每個元，售價每個元（統(tǒng)一按個銷售）．當天未售出的水果，以每個元的價格當天全部賣給水果罐頭廠依據(jù)往年銷售閱歷，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關(guān).假如最高氣溫不低于，需求量為個；假如最高氣溫位于區(qū)間，需求量為個；假如最高氣溫低于，需求量為個．為了確定九月份的訂購安排，統(tǒng)計了前三年九月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求九月份這種水果一天的需求量（單位：個）的分布列．（2）設九月份一天銷售這種水果的利潤為