2024秋高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.3二元一次不等式組與簡單的線性3.3.2第2課時線性規(guī)劃的實際應(yīng)用達(dá)標(biāo)檢測含解析新人教A版必修5

PAGE1-線性規(guī)劃的實際應(yīng)用A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．有5輛6噸的汽車，4輛4噸的汽車，要運輸最多的貨物，完成這項運輸任務(wù)的線性目標(biāo)函數(shù)為()A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4yC．z＝x＋y D．z＝4x＋5y解析：設(shè)需x輛6噸汽車，y輛4噸汽車．則運輸貨物的噸數(shù)為z＝6x＋4y，即目標(biāo)函數(shù)z＝6x＋4y.答案：A2．某服裝制造商有10m2的棉布料，10m2的羊毛料和6m2的絲綢料，做一條褲子須要1m2的棉布料，2m2的羊毛料和1m2的絲綢料，做一條裙子須要1m2的棉布料，1m2的羊毛料和1m2的絲綢料，做一條褲子的純收益是20元，一條裙子的純收益是40元，為了使收益達(dá)到最大，若生產(chǎn)褲子x條，裙子y條，利潤為z，則生產(chǎn)這兩種服裝所滿意的數(shù)學(xué)關(guān)系式與目標(biāo)函數(shù)分別為()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,2x＋y≤10，,x＋y≤6，,x，y∈N，))z＝20x＋40yB.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥10，,2x＋y≥10，,x＋y≤6，,x，y∈N，))z＝20x＋40yC.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,2x＋y≤10，,x＋y≤6，))z＝20x＋40yD.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,2x＋y≤10，,x＋y≤6，,x，y∈N，))z＝40x＋20y解析：由題意可知選A.答案：A3．某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用水3噸、煤2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用水1噸、煤3噸．銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，銷售每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，若該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗水不超過13噸，煤不超過18噸，則該企業(yè)可獲得的最大利潤是________萬元．()A．23 B．27 C．28 D．30解析：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y噸，由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,3x＋y≤13，,2x＋3y≤18，))利潤z＝5x＋3y，作出可行域如圖中陰影部分所示，求出可行域邊界上各端點的坐標(biāo)，閱歷證知當(dāng)x＝3，y＝4，即生產(chǎn)甲產(chǎn)品3噸，乙產(chǎn)品4噸時可獲得最大利潤27萬元．答案：B4．某農(nóng)戶支配種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表：品種每畝年產(chǎn)量/噸每畝年種植成本/萬元每噸售價/萬元黃瓜41.20.55韭菜60.90.3為使一年的種植總利潤(總利潤＝總銷售收入－總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為()A．50，0 B．30，20C．20，30 D．0，50解析：設(shè)黃瓜、韭菜的種植面積分別為x，y畝，則總利潤z＝4×0.55x＋6×0.3y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y.此時x，y滿意條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤50，,1.2x＋0.9y≤54，,x≥0，,y≥0.))畫出可行域如圖，得最優(yōu)解為A(30，20)，故選B.答案：B5．某學(xué)校用800元購買A、B兩種教學(xué)用品，A種用品每件100元，B種用品每件160元，兩種用品至少各買一件，要使剩下的錢最少，A、B兩種用品應(yīng)各買的件數(shù)為()A．2，4 B．3，3C．4，2 D．不確定解析：設(shè)買A種用品x件，B種用品y件，剩下的錢為z元，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(100x＋160y≤800，,x≥1，,y≥1，,x，y∈N*.))求z＝800－100x－160y取得最小值時的整數(shù)解(x，y)，用圖解法求得整數(shù)解為(3，3)．答案：B二、填空題6．某公司有60萬元資金，支配投資甲、乙兩個項目，按要求對項目甲的投資不小于項目乙投資的eq\f(2,3)倍，且對每個項目的投資不能低于5萬元．對項目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確規(guī)劃投資后，在這兩個項目上共可獲得的最大利潤為________萬元．解析：設(shè)對項目甲投資x萬元，對項目乙投資y萬元，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤60，,x≥\f(2,3)y，,x≥5，,y≥5.))目標(biāo)函數(shù)z＝0.4x＋0.6y.作出可行域如圖所示，由直線斜率的關(guān)系知目標(biāo)函數(shù)在A點取最大值，代入得zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2.答案：31.27．某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車．某天需運往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運輸一次．派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運輸一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運輸一次可得利潤350元，該公司合理支配當(dāng)天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤為________元．解析：設(shè)派用甲型卡車x(輛)，乙型卡車y(輛)，獲得的利潤為u(元)，u＝450x＋350y，由題意，x，y滿意關(guān)系式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≤12，,2x＋y≤19，,10x＋6y≥72，,0≤x≤8，,0≤y≤7，))作出相應(yīng)的平面區(qū)域(略)，u＝450x＋350y＝50(9x＋7y)在由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝12，,2x＋y＝19))確定的交點(7，5)處取得最大值4900元．答案：49008．配置A、B兩種藥劑都須要甲、乙兩種原料，用料要求如下表所示(單位：kg)：藥劑原料甲乙A25B54藥劑A、B至少各配一劑，且藥劑A、B每劑售價分別為100元、200元，現(xiàn)有原料甲20kg，原料乙33kg，那么可以獲得的最大銷售額為________元．解析：設(shè)配制藥劑A為x劑，藥劑B為y劑，則有不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5y≤20，,5x＋4y≤33，,x∈N*，,y∈N*))成立，即求u＝100x＋200y在上述線性約束條件下的最大值．借助于線性規(guī)劃可得x＝5，y＝2時，u最大，umax＝900.答案：900三、解答題9．某車間小組共12人．需配給兩種型號的機器，一臺A型機器須要2人操作，每天耗電30千瓦時，能生產(chǎn)出價值4萬元的產(chǎn)品：一臺B型機器須要3人操作，每天耗電20千瓦時，能生產(chǎn)出價值3萬元的產(chǎn)品．現(xiàn)每天供應(yīng)車間的電量不多于130千瓦時，問：該車間小組應(yīng)如何配置兩種型號的機器，才能使每天的產(chǎn)值最大？最大值是多少？解：設(shè)需安排給車間小組A型，B型兩種機器分別為x臺，y臺，每天產(chǎn)值為z萬元，則z＝4x＋3y，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，y≥0，,x∈N，y∈N，,2x＋3y≤12，,30x＋20y≤130，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N，,2x＋3y≤12，,3x＋2y≤13.))作出可行域如圖陰影部分所示：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝12，,3x＋2y＝13，))得A(3，2)，所以zmax＝4×3＋3×2＝18.因此，當(dāng)配給車間小組A型機器3臺，B型機器2臺時，每天能得到最大產(chǎn)值18萬元．10．某商場為使銷售空調(diào)和冰箱獲得的總利潤達(dá)到最大，對即將出售的空調(diào)和冰箱相關(guān)數(shù)據(jù)進行調(diào)查，得出下表：資金每臺空調(diào)或冰箱所需資金/元月資金供應(yīng)數(shù)量/元空調(diào)冰箱成本3000200030000工人工資500100011000每臺利潤600800—問：該商場怎樣確定空調(diào)或冰箱的月供應(yīng)量，才能使總利潤最大？最大利潤是多少？解：設(shè)空調(diào)和冰箱的月供應(yīng)量分別為x，y臺，月總利潤為z元，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3000x＋2000y≤30000，,500x＋1000y≤11000，,x，y∈N*，))z＝600x＋800y，作出可行域(如圖所示)．因為y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(z,800)，表示縱截距為eq\f(z,800)，斜率為k＝－eq\f(3,4)的直線，當(dāng)z最大時eq\f(z,800)最大，此時，直線y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(z,800)必過四邊形區(qū)域的頂點．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3000x＋2000y＝30000，,500x＋1000y＝11000，))得交點(4，9)，所以x，y分別為4，9時，z＝600x＋800y最大，zmax＝600x＋800y＝9600(元)．所以空調(diào)和冰箱的月供應(yīng)量分別為4臺、9臺時，月總利潤最大，最大值為9600元．B級實力提升1．某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品每噸所需的煤、電和產(chǎn)值如表所示：品種用煤/噸用電/千瓦產(chǎn)值/萬元甲產(chǎn)品7208乙產(chǎn)品35012但國家每天安排給該廠的煤、電有限，每天供煤至多56噸，供電至多450千瓦，則該廠最大日產(chǎn)值為()A．120萬元 B．124萬元C．130萬元 D．135萬元解析：設(shè)該廠每天支配生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品y噸，則日產(chǎn)值z＝8x＋12y，線性約束條件為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7x＋3y≤56，,20x＋50y≤450，,x≥0，y≥0，))作出可行域(如圖所示)，把z＝8x＋12y變形為一簇平行直線系l：y＝－eq\f(8,12)x＋eq\f(z,12)，由圖可知，當(dāng)直線l經(jīng)過可行域上的點M時，截距eq\f(z,12)最大，即z取最大值，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7x＋3y＝56，,20x＋50y＝450，))得M(5，7)，zmax＝8×5＋12×7＝124，所以，該廠每天支配生產(chǎn)甲產(chǎn)品5噸，乙產(chǎn)品7噸時該廠日產(chǎn)值最大，最大日產(chǎn)值為124萬元．答案：B2．在“家電下鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)．現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供運用．每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺．若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為________元．解析：設(shè)需運用甲型貨車x輛，乙型貨車y輛，運輸費用z元，依據(jù)題意，得線性約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20x＋10y≥100，,0≤x≤4，,0≤y≤8，,x，y∈N*，))目標(biāo)函數(shù)z＝400x＋300y，畫圖(圖略)可知，當(dāng)平移直線400x＋300y＝0至經(jīng)過點(4，2)時，z取得最小值2200.答案：22003．某玩具生產(chǎn)公司每天支配生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產(chǎn)一個衛(wèi)兵需5min，生產(chǎn)一個騎兵需7min，生產(chǎn)一個傘兵需4min，已知總生產(chǎn)時間不超過10h．若生產(chǎn)一個衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤6元，生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤3元．(1)用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個數(shù)x與騎兵個數(shù)y表示每天的利潤W(元)；(2)怎樣安排生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？解：(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個數(shù)為100－x－y，所以利潤W＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)約束條件為：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x＋7y＋4（100－x－y）≤600，,100－x－y≥0，,x∈N，,y∈N，))整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\