考研數(shù)學二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷3（共203題）

考研數(shù)學二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷3（共7套）（共203題）考研數(shù)學二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(χ)一階連續(xù)可導，且f(0)＝0，f′(0)＝1，則＝()．A、e-1B、eC、e2D、e3標準答案：B知識點解析：故選B．2、設(shè)f(χ)＝，則χ＝0是f(χ)的()．A、連續(xù)點B、第一類間斷點C、第二類間斷點D、不能判斷連續(xù)性的點標準答案：B知識點解析：當χ＞0時，f(χ)＝＝1；當χ＝0時，f(χ)＝；當χ＜0時，f(χ)＝χ．因為f(0＋0)＝1，f(0)＝，f(0－0)＝0，所以χ＝0為f(χ)的第一類間斷點，選B．3、設(shè)f(χ)是不恒為零的奇函數(shù)，且f′(0)存在，則g(χ)＝()．A、在χ＝0處無極限B、χ＝0為其可去間斷點C、χ＝0為其跳躍間斷點D、χ＝0為其第二類間斷點標準答案：B知識點解析：因為f′(0)存在，所以f(χ)在χ＝0處連續(xù)，又因為f(χ)為奇函數(shù)，所以f(0)＝0，顯然χ＝0為g(χ)的間斷點，因為＝f′(0)，所以χ＝0為g(χ)的可去間斷點，選B．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、＝_______．標準答案：知識點解析：5、＝_______．標準答案：知識點解析：由＝1＋χ2＋＋o(χ4)及l(fā)n(1＋χ)＝χ－＋o(χ2)，得－1＝χ2＋＋o(χ4)，χln(1＋χ)＝χ2－＋o(χ3)，從而－1－χln(1＋χ)＝＋o(χ3)，所以6、＝_______．標準答案：知識點解析：由ln(1＋χ)＝χ－＋o(χ2)得當χ→0時，χ2－χln(1＋χ)＝，7、＝_______．標準答案：知識點解析：8、設(shè)函數(shù)f(χ)在[0，1]上連續(xù)，且f(χ)＞0．則＝_______．標準答案：知識點解析：9、若(cosχ－b)＝5，則a＝_______，b＝_______．標準答案：1；－4．知識點解析：10、設(shè)當χ→0時，ksin2χ～，則k＝_______．標準答案：知識點解析：而當χ→0時，，所以當χ→0時，，又ksin2χ～kχ2，所以χ＝．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)11、(其中ai＞0(i＝1，2，…，n)標準答案：所以原式＝a1a2…an．知識點解析：暫無解析12、標準答案：知識點解析：暫無解析13、標準答案：知識點解析：暫無解析14、標準答案：知識點解析：暫無解析15、標準答案：知識點解析：暫無解析16、求標準答案：所以(sinχ)ln(1+χ)＝1．知識點解析：暫無解析17、標準答案：由當χ→0時，1－cosaχ～χ2得因為sinaχ＝aχ－χ3＋o(χ3)，asinχ＝a[χ－＋o(χ3)]＝aχ－χ3＋o(χ3)知識點解析：暫無解析18、標準答案：令f(t)＝et，由微分中值定理，其中ξ介于與之間，所以知識點解析：暫無解析19、標準答案：令f(χ)＝arctanχ，由微分中值定理得知識點解析：暫無解析20、設(shè)曲線y＝χn在點(1，1)處的切線交χ軸于點(ξ，0)，求．標準答案：y＝χn在點(1，1)處的切線方程為y－1＝n(χ－1)，令y＝0得ξn＝1－，于是＝e-2．知識點解析：暫無解析21、確定常數(shù)a，b，c的值，使得當χ→0時，eχ(1＋bχ＋cχ2)＝1＋aχ＋0(χ3)．標準答案：由eχ＝1＋χ＋＋o(χ3)，得所以b＋1＝a，b＋c＋＝0，＝0，即知識點解析：暫無解析22、確定常數(shù)a，c，使得＝c，其中c為非零常數(shù)．標準答案：由洛必達法則，故a＝1，c＝．知識點解析：暫無解析23、設(shè)(χ-3sin3χ＋aχ-2＋b)＝0，求a，b．標準答案：由麥克勞林公式得sin3χ＝3χ－＋o(χ3)＝3χ－χ3＋o(χ3)，于是sin3χ＋aχ＋bχ3＝(3＋a)χ＋(b－)χ3＋o(χ3)而＝0，所以知識點解析：暫無解析24、(1)設(shè)＝0，求a，b的值．(2)確定常數(shù)a，b，使得ln(1＋2χ)＋＝χ＋χ2＋o(χ2)．(3)設(shè)b＞0，且＝2，求b．標準答案：于是，解得a＝1，(2)由ln(1＋2χ)＝2χ－＋o(χ2)＝2χ－2χ2＋o(χ2)，＝aχ.[1－bχ＋o(χ)]＝aχ－abχ2＋o(χ2)得ln(1＋2χ)＋＝(a＋2)χ－(ab＋2)χ2＋o(χ2)，于是解得a＝－1，b＝3(3)根據(jù)題意得：知識點解析：暫無解析25、設(shè)＝2，求a，b．標準答案：由ln(1－2χ＋3χ2)＝(－2χ＋3χ2)＝＋o(χ2)＝－2χ＋χ＋o(χ2)得則a＝2，b＋1＝2，即a＝2，b＝1．知識點解析：暫無解析26、設(shè)＝0，求a，b，c，d．標準答案：所以a，b，c，d滿足的條件是a＝－2d，c＝－1，b取任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)當χ→0時，(χ→sinχ)ln(1＋χ)是比－1高階的無窮小，而－1是比(1－cos2t)dt高階的無窮小，則n為()．A、1B、2C、3D、4標準答案：C知識點解析：當χ→0時，－1～χn，因為sinχ＝χ－＋o(χ3)，所以(χ－sinχ)ln(1＋χ)～，又因為所以當χ→0時，，于是n＝3，選C．2、f(χ)＝2χ＋3χ－2，當χ→0時()．A、f(χ)～χB、f(χ)是χ的同階但非等價的無窮小C、f(χ)是χ的高階無窮小D、f(χ)是χ的低階無窮小標準答案：B知識點解析：＝ln2＋ln3＝ln6，所以f(χ)是χ的同階而非等價的無窮小，選B．3、設(shè)f(χ)＝，g(χ)＝∫0χ－sin2(χ－t)dt，則當χ→0時，g(χ)是f(χ)的()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階但非等價的無窮小D、等價無窮小標準答案：A知識點解析：由得當χ→0時，f(χ)～χ2，又g(χ)＝∫0χsin2(χ－t)dt∫χ0sin2u(－du)＝∫0χsin2udu，由得當χ→0時，g(χ)～χ3，故g(χ)是f(χ)的高階無窮小，應(yīng)選A．4、設(shè)f(χ)＝∫01-cosχsint2dt，g(χ)＝，則當χ→0時，f(χ)是g(χ)的()．A、低階無窮小B、高階無窮小C、等價無窮小D、同階但非等價的無窮小標準答案：B知識點解析：當χ→0時，g(χ)～，因為所以f(χ)是g(χ)的高階無窮小，選B．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)5、＝_______．標準答案：1知識點解析：注意到χχ＝1，由洛必達法則得＝1．6、＝_______．標準答案：知識點解析：7、＝_______．標準答案：e知識點解析：8、＝_______．標準答案：知識點解析：9、＝_______．標準答案：1知識點解析：10、設(shè)a≠，則＝_______．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)11、求標準答案：由，cosχ＝1－＋o(χ2)，＝1＋χ2＋o(χ2)得當χ→0時，cosχ－，故知識點解析：暫無解析12、求標準答案：知識點解析：暫無解析13、求標準答案：知識點解析：暫無解析14、標準答案：知識點解析：暫無解析15、設(shè)an＝，求．標準答案：知識點解析：暫無解析16、標準答案：因為(i＝1，2，…，n)，所以再由根據(jù)迫斂定理得知識點解析：暫無解析17、標準答案：根據(jù)迫斂定理得知識點解析：暫無解析18、標準答案：知識點解析：暫無解析19、標準答案：知識點解析：暫無解析20、標準答案：所以原式＝．知識點解析：暫無解析21、標準答案：根據(jù)迫斂定理知識點解析：暫無解析22、標準答案：χ→0時由1－ccosaχ～χ2得知識點解析：暫無解析23、標準答案：知識點解析：暫無解析24、標準答案：則cos(sinχ)－cosχ～χ4，故知識點解析：暫無解析25、標準答案：因為當χ→0時，所以知識點解析：暫無解析26、＝K，求(a≠0)．標準答案：知識點解析：暫無解析27、標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(χ)是不恒為零的奇函數(shù)，且f′(0)存在，則g(χ)＝()．A、在χ＝0處無極限B、χ＝0為其可去間斷點C、χ＝0為其跳躍間斷點D、χ＝0為其第二類間斷點標準答案：B知識點解析：因為f′(0)存在，所以f(χ)在χ＝0處連續(xù)，又因為f(χ為奇函數(shù)，所以f(0)＝0，顯然χ＝0為g(χ)的間斷點．因為＝f′(0)，所以χ＝0為g(χ)的可去間斷點，選B．2、設(shè)f(χ)＝，則f(χ)()．A、無間斷點B、有間斷點χ＝1C、有間斷點χ＝－1D、有間斷點χ＝0標準答案：B知識點解析：當｜χ｜＜1時，f(χ)＝1＋χ；當｜χ｜＞1時，f(χ)＝0；當χ＝－1時，f(χ)＝0；當χ＝1時，f(χ)＝1．于是f(χ)＝顯然χ＝1為函數(shù)f(χ)的間斷點，選B．3、設(shè)＝b，其中a，b為常數(shù)，則()．A、a＝1，b＝1B、a＝1，b＝－1C、a＝－1，b＝1D、a＝－1，b＝－1標準答案：B知識點解析：因為＝∞，所以＝∞，即a＝1又＝－1，故選B．4、f(χ)在[－1，1]上連續(xù)，則χ＝0是函數(shù)g(χ)＝的()．A、可去間斷點B、跳躍間斷點C、連續(xù)點D、第二類間斷點標準答案：A知識點解析：顯然χ＝0為g(χ)的間斷點，因為＝f(0)，所以χ＝0為g(χ)的可去間斷點，選A．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)5、設(shè)當χ→0時，ksin2χ～，則k＝_______．標準答案：知識點解析：所以當χ→0時，，又ksin2χ～kχ2，所以k＝．6、＝_______．標準答案：知識點解析：當χ→0時，7、若f(χ)＝在χ＝0處連續(xù)，則a＝_______．標準答案：2知識點解析：因為f(χ)在χ＝0處連續(xù)，所以1＋＝a，故a＝2．8、設(shè)f(χ)＝在χ＝0處連續(xù)，則a＝_______．標準答案：e-1知識點解析：因為所以a＝e-1．9、設(shè)f(χ)連續(xù)可導，f(0)＝0且f′(0)＝b，若F(χ)＝在χ＝0處連續(xù)，則A＝_______．標準答案：A＝a＋b知識點解析：因為F(χ)在χ＝0處連續(xù)，所以A＝a＋b．10、設(shè)f(χ)連續(xù)，且F(χ)＝f(t)dt，則F(χ)＝_______．標準答案：a2f(a)知識點解析：11、設(shè)f(χ)可導且2，又g(χ)＝，χ≠0，在χ＝0處連續(xù)，則a＝_______．標準答案：3知識點解析：由當χ→0時，χ－arctanχ－arctanχ＝χ－[χ－＋o(χ3)]～得因為g(χ)在χ＝0處連續(xù)，所以a＝3．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)12、討論函數(shù)f(χ)＝(χ＞0)的連續(xù)性．標準答案：當χ∈(0，e)時，當χ＝e時，f(e)＝1，當χ＞e時，f(χ)＝＝lnχ，故f(χ)＝因為f(e－0)＝f(e)＝f(e＋0)＝1，所以f(χ)在χ＞0處處連續(xù)．知識點解析：暫無解析13、設(shè)f(χ)＝，求f(χ)的間斷點并判斷其類型．標準答案：因為f(χ)為初等函數(shù)，所以f(χ)的間斷點為χ＝0和χ＝1．因為χ→0時，1－～－χ，所以f(χ)＝－1，即χ＝0為f(χ)的第一類間斷點中的可去間斷點；因為f(1－0)＝＝0，f(1＋0)＝＝1，所以χ＝1為f(χ)的第一類間斷點中的跳躍間斷點．知識點解析：暫無解析14、設(shè)f(χ)＝，求f(χ)的間斷點，并分類．標準答案：顯然χ＝0，χ＝為函數(shù)f(χ)的間斷點．因為f(0－0)≠f(0＋0)，所以χ＝0為f(χ)的跳躍間斷點；因為f(1－0)≠f(1＋0)，所以χ＝1為f(χ)的跳躍間斷點．知識點解析：暫無解析15、求f(χ)＝的間斷點并分類．標準答案：χ＝－1、χ＝0、χ＝1、χ＝2為f(χ)的間斷點，由＝∞得χ＝－1為第二類間斷點，由得χ＝0為可去間斷點，由f(χ)＝∞得χ＝1為第二類間斷點，由f(2＋0)＝f(χ)＝＋∞得χ＝2為第二類間斷點．知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(χ)＝，求f(χ)的間斷點并判斷其類型．標準答案：當χ＝0及χ＝±1時f(χ)間斷．由f(0－0)＝0，f(0＋0)＝－∞得χ＝0為f(χ)的第二類間斷點．由f(1－0)＝－，f(1＋0)＝得χ＝1為f(χ)的第一類間斷點中的跳躍間斷點，同理χ＝－1也為f(χ)的跳躍間斷點．知識點解析：暫無解析17、設(shè)f(χ)＝，試補充定義使得f(χ)在[，1]上連續(xù)．標準答案：所以令f(1)＝，則f(χ)在[，1]上連續(xù)．知識點解析：暫無解析18、設(shè)f(χ)＝sinχ，求f(χ)的間斷點及分類．標準答案：χ＝0及χ＝1為f(χ)的間斷點．則χ＝0為f(χ)的可去間斷點；即f(1－0)＝－sin1，即f(1＋0)＝sin1，因為f(1－0)≠f(1＋0)，所以χ＝1為f(χ)的跳躍間斷點．知識點解析：暫無解析19、求下列極限：標準答案：知識點解析：暫無解析20、求下列極限：標準答案：知識點解析：暫無解析21、求下列極限：標準答案：知識點解析：暫無解析22、求下列極限：標準答案：知識點解析：暫無解析23、求下列極限：標準答案：知識點解析：暫無解析24、求下列極限：標準答案：知識點解析：暫無解析25、求下列極限：標準答案：(1)4≤，因為＝4，所以由夾逼定理得＝4．所以由夾逼定理得知識點解析：暫無解析26、當χ→0時，(1＋χsin2χ)a－1～1－cosχ，求a．標準答案：由(1＋χsin2χ)a－1～asin2χ～2aχ2，1－cosχ～χ2得2a＝，故a＝，知識點解析：暫無解析27、設(shè)a0＞0，aa+1＝(n＝0，1，2，…)，證明：an存在，并求之．標準答案：由an+1＝得an≥1(n＝0，1，2，3，…)；又由an+1＝得an≤2(n＝0，1，2，…)，故數(shù)列{an}有界；又由an+1－an＝得an+1－an與an－an+1同號，即數(shù)列{an}單調(diào)，故存在．令兩邊取極限得A＝，解得A＝知識點解析：暫無解析28、設(shè)f(χ)＝，求f(χ)的間斷，并進行分類．標準答案：χ＝0，χ＝1，χ＝π為f(χ)的間斷點．f(0－0)＝由f(0－0)≠f(0＋0)得χ＝0為跳躍間斷點；由f(π－0)≠f(π＋0)得χ＝π為跳躍間斷點；由f(1－0)＝0，f(1＋0)＝－∞得χ＝1為第二類間斷點．知識點解析：暫無解析29、設(shè)f(χ)＝，求f(χ)及其間斷點，判斷其類型．標準答案：當χ＜1時，f(χ)＝1；當χ＞1時，f(1)＝；當χ＞1時，f(χ)＝，即f(χ)＝因為f(1－0)＝1，f(1＋0)＝，f(1－0)≠f(1＋0)，所以χ＝1為f(χ)的跳躍間斷點．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、下列各題計算過程中正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：A項錯誤，數(shù)列沒有導數(shù)概念，不能直接用洛必達法則。B項錯誤，是定式，不能用洛必達法則。C項錯誤，用洛必達法則求不存在，也不為∞，法則失效，不能推出原極限不存在，事實上該極限是存在的。故選D。2、函數(shù)f(x)=xsinx()A、當x→∞時為無窮大。B、在(一∞，+∞)內(nèi)有界。C、在(一∞，+∞)內(nèi)無界。D、當x→∞時有有限極限。標準答案：C知識點解析：令xn=2nπ+。yn=2nπ+π，則f(xn)=2nπ+，f(yn)=0。因為，所以f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)無界，且當x→∞時不一定為無窮大，故選C。3、設(shè)對任意的x，總有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且[g(x)一φ(x)]=0，則f(x)()A、存在且等于零。B、存在但不一定為零。C、一定不存在。D、不一定存在。標準答案：D知識點解析：取φ(x)=f(x)=g(x)=x，顯然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且[g(x)一φ(x)]=0，但不存在，故排除A、B。再取φ(x)=f(x)=g(x)=1，同樣有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且[g(x)一φ(x)]=0，但=1，可見C不正確。故選D。4、設(shè)f(x)可導，f(x)=0，f’(0)=2，F(xiàn)(x)=∫0xt2f(x3－t3)dt，g(x)=，則當x→0時，F(xiàn)(x)是g(x)的()A、低階無窮小。B、高階無窮小。C、等價無窮小。D、同階但非等價無窮小。標準答案：D知識點解析：先改寫5、把x→0＋時的無窮小量α=∫0xcost2dt，β=∫0x2tandt，γ=∫0sint3dt排列起來，使排在后面的是前面一個的高階無窮小，則正確的排列次序是()A、α，β，γ。B、α，γ，β。C、β，α，γ。D、β，γ，α。標準答案：B知識點解析：因為所以當x→0＋時，α是x的一階無窮小，β是x的三階無窮小，γ是x的二階無窮小，故選B。6、設(shè)當x→0時，(1一cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高階的無窮小，而xsinxn是比(ex2—1)高階的無窮小，則正整數(shù)n等于()A、1。B、2。C、3。D、4。標準答案：B知識點解析：因當x→0時，1一cosx～x2，ln(1+x2)～x2，sinxn～xn，ex2一1～x2，故(1一cosx)ln(1+x2)～x4，xsinxn～xn＋1。而由(1一cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高階的無窮小，知4＞n+1，即n＜3；由xsinxn是比(ex2一1)高階的無窮小，知n+1＞2，即n＞1。因此正整數(shù)n=2，故選B。7、已知當x→0時，函數(shù)f(x)=3sinx—sin3x與cxk是等價無窮小，則()A、k=1，c=4。B、k=1，c=一4。C、k=3，c=4。D、k=3，c=一4。標準答案：C知識點解析：由麥克勞林展開式sinx=x一+o(x3)，sin3x=3x一+o(x3)可得=1。由此可得k=3，c=4，故選C。8、設(shè)數(shù)列極限函數(shù)f(x)=，則f(x)的定義域I和f(x)的連續(xù)區(qū)間J分別是()A、I=(一∞，+∞)，J=(一∞，+∞)。B、I=(一1，+∞)，J=(一1，1)∪(1，+∞)。C、I=(一1，+∞)，J=(一1，+∞)。D、I=(一1，1)，J=(一1，1)。標準答案：B知識點解析：當x=一1時，arctan無定義，則f(x)在x≤一1無定義。因此f(x)的定義域為I=(一1，+∞)，且f(x)=f(x)的連續(xù)區(qū)間是J=(一1，1)∪(1，+∞)。9、設(shè)f(x)在R上連續(xù)，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定義，且有間斷點，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)是()①φ[f(x)]必有間斷點；②[φ(x)]2必有間斷點；③f(φ(x)]沒有間斷點。A、0。B、1。C、2。D、3。標準答案：A知識點解析：①錯誤。舉例：設(shè)φ(x)=f(x)=ex，則φ[f(x)]=1在R上處處連續(xù)。②錯誤。舉例：設(shè)φ(x)=則[φ(x)]2=9在R上處處連續(xù)。③錯誤。舉例：設(shè)φ(x)=f(x)=ex，則f[φ(x)]=在x=0處間斷。因此選A。10、函數(shù)f(x)=的間斷點及類型是()A、x=1為第一類間斷點，x=一1為第二類間斷點。B、x=±1均為第一類間斷點。C、x=1為第二類間斷點，x=一1為第一類間斷點。D、x=±1均為第二類間斷點。標準答案：B知識點解析：分別就｜x｜=1，｜x｜＜1，｜x｜＞1時求極限，得出f(x)的分段表達式：f(x)=在｜x｜=1處，因所以，x=±1均為f(x)的第一類間斷點，故選B。11、設(shè)函數(shù)f(x)=sinx，則f(x)有()A、1個可去間斷點，1個跳躍間斷點。B、1個可去間斷點，1個無窮間斷點。C、2個跳躍間斷點。D、2個無窮間斷點。標準答案：A知識點解析：x=0，x=1時，f(x)均無定義，所以x=0，x=1是函數(shù)的間斷點。并且根據(jù)可去間斷點和跳躍間斷點的定義可知，x=0是可去間斷點，x=1是跳躍間斷點。因此選A。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)12、當x→0時，α(x)=kx2與β(x)=是等價無窮小，則k=_________。標準答案：知識點解析：由題設(shè)可知，所以得k=。13、=_________。標準答案：1知識點解析：利用等價無窮小量替換將極限式進行化簡，即=1。14、=_________。標準答案：0知識點解析：因為→0，且arctanx為有界函數(shù)，即｜arctanx｜＜=0。15、=_________。標準答案：知識點解析：該極限式為1∞型未定式，可直接利用重要極限公式進行計算，16、設(shè)a1，a2，…，am(m≥2)為正數(shù)，則=__________。標準答案：max{a1，a2，…，am}知識點解析：不妨設(shè)a1為最大值，則原式=a1=a1．1=a1。所以(a1n+a2n+…+am2)=max{a1，a2，…，am}。17、[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則=__________。標準答案：2知識點解析：因為，所以當x＞0時，2一x＜≤2；當x＜0時，2≤＜2一x。又由(2一x)=2，利用夾逼準則可知，=2。18、設(shè)函數(shù)f(x)=f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，則A=________。標準答案：知識點解析：令函數(shù)f(x)=其中g(shù)(x)，h(x)分別在[a，x0]，(x0，b]上是初等函數(shù)，因此連續(xù)，且f(x)在x0連續(xù)。所以g(x0)=h(x0)。對任意常數(shù)A，顯然x≠1時，f(x)連續(xù)。當且僅當時，f(x)在x=1連續(xù)。因此，當A=時，f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)。19、設(shè)f(x)=，則f(x)的間斷點為x=_________。標準答案：0知識點解析：首先對于不同的x，用求極限的方法得出f(x)的表達式，再討論f(x)的間斷點。當x=0時，f(x)=0；當x≠0時，所以f(x)的表達式為所以x=0為f(x)的間斷點。三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)20、求極限。標準答案：由麥克勞林展開式sinx=x一+o(x3)，arcsinx=x++o(x3)，因此知識點解析：暫無解析21、求極限。標準答案：由麥克勞林展開式sinx=x一+o(x3)，cosx=1一+o(x2)及常見的等價無窮小代換，可得知識點解析：暫無解析22、求極限。標準答案：由麥克勞林展開式ln(1+x)=x一+o(x2)，cosx=1一+o(x2)，tanx=x+x3+o(x3)，故可得知識點解析：暫無解析23、求極限。標準答案：因為且arcsinx～x。故知識點解析：暫無解析24、求極限標準答案：由麥克勞林展開式sinx=x一+o(x3)及常見的等價無窮小代換，得知識點解析：暫無解析25、求極限。標準答案：該極限式為1∞型未定式，可直接利用重要極限公式進行計算，知識點解析：暫無解析26、求極限。標準答案：原式=。知識點解析：暫無解析27、求極限。標準答案：知識點解析：暫無解析28、求下列極限標準答案：(Ⅰ)因為(Ⅱ)因為(Ⅲ)因為(Ⅳ)利用定積分的定義可得(Ⅴ)利用定積分的定義可得(Ⅵ)利用定積分的定義可得知識點解析：暫無解析29、設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+，數(shù)列{xn}滿足lnxn+＜1，證明xn存在，并求此極限。標準答案：令f’(x)=＜0，則x＜1。于是f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增，所以x=1是f(x)唯一的最小值點，且f(x)≥f(1)=1，從而有f(xn)=lnxn+≥1。再結(jié)合題目中的條件有所以xn＜xn＋1，0＜xn＜e，即數(shù)列{xn}單調(diào)遞增且有界。由單調(diào)有界準則可知，極限xn存在。由前面討論出的函數(shù)f(x)的性質(zhì)可知xn=a=1。知識點解析：暫無解析30、設(shè)f(x)在[0，1]連續(xù)，且f(0)=f(1)，證明至少存在一點ξ∈[0，1]，使得f(ξ)=f(ξ+)。標準答案：本題可以轉(zhuǎn)化為證明F(x)=f(x)一f(x+)在區(qū)間[0，1]上存在零點，因為f(x)在[0，1]上連續(xù)，所以F(x)=f(x)一上連續(xù)。F(x)在[0，1，－]上存在零點的情況可轉(zhuǎn)化為函數(shù)F(x)在[0，1，－]存在兩個點的函數(shù)值是異號。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、設(shè)f(x)=，則()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：用推演法。將題設(shè)條件f(x)中的所有自變量x都用(一x)替換，得f(一x)=也就是f(一x)=故選D。2、下列各式中正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：A知識點解析：由重要極限結(jié)論=e，可立即排除B、D。對于A、C選項，只要驗算其中之一即可。對于C選項，因=e－1，故C不正確，選A。3、設(shè)數(shù)列{xn}與{yn}滿足xnyn=0，則下列結(jié)論正確的是()A、若{xn}發(fā)散，則{yn}必發(fā)散。B、若{xn}無界，則{yn}必無界。C、若{xn}有界，則{yn}必為無窮小。D、若{)為無窮小，則{yn}必為無窮小。標準答案：D知識點解析：取xn=n，yn=0，顯然滿足題設(shè)條件，由此可排除A、B。若取xn=0，yn=n，也滿足xnyn=，排除C項。故選D。4、設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)單調(diào)有界，{xn}為數(shù)列，下列命題正確的是()A、若{xn}收斂，則{f(xn)}收斂。B、若{xn}單調(diào)，則{f(xn)}收斂。C、若{f(xn)}收斂，則{xn}收斂。D、若{f(xn)}單調(diào)，則{xn}收斂。標準答案：B知識點解析：因為f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)單調(diào)有界，且結(jié)合選項B，{xn}單調(diào)，所以{f(xn)}單調(diào)且有界。故{f(xn)}一定存在極限，即{f(xn)}一定收斂。5、當x→0時，下列四個無窮小中，比其他三個高階的無窮小是()A、x2。B、1一cosx。C、一1。D、x一tanx。標準答案：D知識點解析：利用常用的等價無窮小結(jié)論。由于x→0時，1一cosx～，所以當x→0時，B、C與A是同階無窮小，由排除法知選D。6、設(shè)x→0時，ax2+bx+c—cosx是高階的無窮小，其中a，b，c為常數(shù)，則()A、a=，b=0，c=1。B、a=，b=0，c=0。C、a=，b=0，c=1。D、a=，b=0，c=0。標準答案：C知識點解析：由題意得(ax2+bx+c—cosx)=0，得c=1，又因為所以b=0，a=。故選C。7、當x→0時，ex一(ax2+bx+1)是比x2高階的無窮小，則()A、a=，b=1。B、a=1，b=1。C、a=，b=一1。D、a=一1，b=1。標準答案：A知識點解析：因ex=l+x++o(x2)，故ex一(ax2+bx+1)=(1—b)x+(一a)x2+o(x2)。顯然要使上式是比x2高階的無窮小(x→0時)，只要故選A。8、設(shè)x→a時，f(x)與g(x)分別是x—a的n階與m階無窮小，則下列命題中，正確的個數(shù)是()①f(x)g(x)是x—a的n+m階無窮?。虎谌鬾＞m，則是x一a的n—m階無窮??；③若n≤m，則f(x)+g(x)是x一a的n階無窮小。A、1。B、2。C、3。D、0。標準答案：B知識點解析：此類問題按無窮小階的定義要逐一分析：命題①：x→a時，f(x)g(x)是x一a的n+m階無窮??；命題②：若n＞m，x→a時，f(x)／g(x)是x一a的n—m階無窮??；命題③：例如，x→0時，sinx與一x均是x的一階無窮小，但即sinx+(一x)是x的三階無窮小。因此①，②正確，但③錯誤。故選B。9、設(shè)f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，且f(x)在x0間斷，則在點x0處必定間斷的函數(shù)是()A、f(x)sinx。B、f(x)+sinx。C、f2(x)。D、｜f(x)｜。標準答案：B知識點解析：若F(x)+sinx在x=x0處連續(xù)，則f(x)=[f(x)+sinx]一sinx在x=x0連續(xù)，與已知矛盾。因此f(x)+sinx在點x0處必間斷。故選B。10、設(shè)函數(shù)f(x)=在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，且f(x)=0，則常數(shù)a，b滿足()A、a＜0，b＜0。B、a＞0，b＞0。C、a≤0，b＞0。D、a≥0，b＜0。標準答案：D知識點解析：因f(x)連續(xù)，所以a+ebx≠0，因此只要a≥0即可。再由可知x→∞時，a+ebx必為無窮大(否則極限必不存在)，此時需b＜0，故選D。11、設(shè)f(x)=則()A、f(x)在點x=1處連續(xù)，在點x=一1處間斷。B、f(x)在點x=1處間斷，在點x=一1處連續(xù)。C、f(x)在點x=1，x=一1處均連續(xù)。D、f(x)在點x=1，x=一1處均間斷。標準答案：B知識點解析：由函數(shù)連續(xù)定義可知，所以f(x)在x=1處間斷。所以f(x)在x=一1處連續(xù)，故選B。12、設(shè)f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)有定義，且則()A、x=0必是g(x)的第一類間斷點。B、x=0必是g(x)的第二類間斷點。C、x=0必是g(x)的連續(xù)點。D、g(x)在點x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)。標準答案：D知識點解析：因為=a。又g(0)=0，所以當a=0時，有=g(0)，也就是說，此時g(x)在點x=0處連續(xù)；當a≠0時，g(x)≠g(0)，即此時x=0是g(x)的第一類間斷點。因此，g(x)在x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選D。二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)13、=_________。標準答案：2知識點解析：=2。14、=_________。標準答案：知識點解析：15、設(shè)a＞0，a≠1，且=lna，則p=_________。標準答案：2知識點解析：16、=_________。標準答案：e6知識點解析：將所給極限化為指數(shù)函數(shù)的形式，則有=e6。17、設(shè)=8，則a=_________。標準答案：ln2知識點解析：=e3a=8，即a=ln2。18、若f(x)=，在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，則a=__________。標準答案：0知識點解析：因為f(x)在(一∞，0)及(0，+∞)內(nèi)連續(xù)，所以需要確定參數(shù)a，使f(x)在x=0處連續(xù)。當=a時，f(x)在x=0處連續(xù)，所以a=0時，f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)。19、設(shè)函數(shù)f(x)=在(一∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，則c=________。標準答案：1知識點解析：由題設(shè)知，c≥｜x｜≥0，所以又f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)連續(xù)，則f(x)必在x=c處連續(xù)，所以有=f(c)，即c2＋1=，得c=1。三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)20、試確定常數(shù)A，B，C的值，使得ex(1+Bx+Cx2)=1+Ax+o(x3)，其中o(x3)是當x→0時比x3高階的無窮小。標準答案：將麥克勞林展開式ex=1+x+＋o(x3)代入已知等式得知識點解析：暫無解析21、求極限。標準答案：因為ln(cosx)=ln(1+cosx一1)，所以x→0，ln(cosx)～cosx－1～x2。又由麥克勞林展開式(1+x)m=1+mx+x+o(x2)及ex=1+x++o(x2)，因此知識點解析：暫無解析22、求極限。標準答案：知識點解析：暫無解析23、求極限。標準答案：由洛必達法則可知，知識點解析：暫無解析24、求極限。標準答案：由麥克勞林展開式x2+o(x2)和洛必達法則可知，知識點解析：暫無解析25、求極限。標準答案：由麥克勞林展開式ln(1+x)=x一+o(x2)可知知識點解析：暫無解析26、求極限。標準答案：該極限式為1∞型未定式，可直接利用重要極限公式進行計算，知識點解析：暫無解析27、求極限。標準答案：由麥克勞林展開式arctanx=x一x3+o(x3)，arcsinx=x+x3+o(x3)可得原式=。知識點解析：暫無解析28、求極限。標準答案：知識點解析：暫無解析設(shè)數(shù)列{xn}滿足0＜x1＜π，xn＋1=sinxn(n=1，2，…)。29、證明xn存在，并求該極限。標準答案：0＜x1＜π，則0＜x2=sinx1≤1＜π。由數(shù)學歸納法知0＜xn＋1=sinxn≤1＜π，n=1，2，…，即數(shù)列{xn}有界。于是＜1(因當x＞0時，sinx＜x)，則有xn＋1＜xn，可見數(shù)列{xn}單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知，極限存在。設(shè)xn=l，在xn＋1=sinxn兩邊令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即=0。知識點解析：暫無解析30、計算。標準答案：因，由(Ⅰ)知該極限為1∞型。令t=xn，則n→∞，t→0，而知識點解析：暫無解析31、求函數(shù)f(x)=sinx的間斷點，并指出其類型。標準答案：函數(shù)f(x)的可疑點只有x=0和x=1兩個。因為所以x=0為可去間斷點，x=1為跳躍間斷點。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（函數(shù)、極限、連續(xù)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)則()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：2、兩個無窮小比較的結(jié)果是()A、同階無窮小B、高階無窮小C、低階無窮小D、不確定標準答案：D知識點解析：若β(x)=x，當x→0時，都是無窮小．但不存在，故α(x)和β(x)無法比較階的高低，排除(A)，(B)，(C)．所以選(D)．3、函數(shù)f(x)=xsinx()A、在(一∞，+∞)內(nèi)無界B、在(一∞，+∞)內(nèi)有界C、當x→∞時為無窮大D、當x→∞時極限存在標準答案：A知識點解析：對于任意給定的正數(shù)M，總存在點當時，有故f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)無界，所以(A)正確，(B)，(D)錯誤．(C)錯，對于任意給定的正數(shù)M，無論x取多么大的正數(shù)，總有xn=|2nπ|＞x使f(xn)=xnsinxn=0＜M，故當x→∞時f(x)不是無窮大(千萬不要將無窮大與無界混為一談)．4、當x→0時，為x的三階無窮小，則a，b分別為()A、1，0B、C、D、以上都不對標準答案：C知識點解析：由題設(shè)可知即因為x→0時，分母趨于零，由洛必達法則知得到b+1一a=0．又成立，則必須有2b+1=0，即再結(jié)合b+1一a=0，得5、極限的充要條件是()A、α＞1B、α≠1C、α＞0D、與α無關(guān)標準答案：B知識點解析：令則二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)6、標準答案：e6知識點解析：7、標準答案：知識點解析：8、標準答案：e6知識點解析：9、當x→一1時，無窮小則A=______________，k=_____________．標準答案：知識點解析：當x→一1時，故k=1．10、若是(一∞，+∞)上的連續(xù)函數(shù)，則a=__________．標準答案：1知識點解析：由f(x)在x=0處連續(xù)，可得三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)11、計算標準答案：又故原極限=知識點解析：暫無解析12、分段函數(shù)一定不是初等函數(shù)，若正確，試證之；若不正確，試說明它們之間的關(guān)系．標準答案：不正確．初等函數(shù)是指由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算及有限次復合步驟所得到的，并用一個式子表示的函數(shù)．分段函數(shù)雖用幾個表達式表示，但并不能說肯定不能用一個表達式表示，因此，分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，也可能不是初等函數(shù)，如φ(x)=|x|，通常寫成分段函數(shù)的形式但也可以寫成一個表達式所以函數(shù)φ(x)=|x|是初等函數(shù)．而則不是初等函數(shù)．知識點解析：暫無解析13、求函數(shù)的間斷點并指出其類型．標準答案：顯然f(0)無意義．當x≠0時，而則x=0為可去間斷點．又則x=1為跳躍間斷點．由于f(x)是偶函數(shù)，則x=一1也是跳躍間斷點．知識點解析：暫無解析14、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)可導，且f(0)=0，求標準答案：令xn一tn=u，則于是知識點解析：暫無解析15、求的連續(xù)區(qū)間、間斷點，并判別間斷點的類型．標準答案：f(x)無定義的點是使1一x=0和的點，即x=1和x=0，所以f(x)的連續(xù)區(qū)間為(一∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)．當x→0時，，所以所以x=0是無窮間斷點．當x→1-時，所以f(1-)=0，而當x→1+時，所以f(1+)=1．所以x=1是跳躍間斷點．知識點解析：暫無解析16、設(shè)f(x)對一切x1，x2滿足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，并且f(x)在x=0處連續(xù)，證明：函數(shù)f(x)在任意點x0處連續(xù)．標準答案：已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令x2=0，則f(x1)=f(x1)+f(0)，可得f(0)=0，又f(x)在x=0處連續(xù)，則有而f(x0+△x)一f(x0)=f(x0)+f(△x)一f(x0)=f(△x)，兩邊取極限得到故函數(shù)f(△x)在任意點x0處連續(xù)．知識點解析：暫無解析17、設(shè)α≥5且為常數(shù)，則k為何值時極限存在，并求此極限值．標準答案：當k≤0時，I=一∞，極限不存在；當k＞0時，只有當αk一1=0，即時，極限才為型，否則極限為∞，不存在．故當α=5時，