新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解答題培優(yōu)練習(xí)專題07 數(shù)列求和（錯(cuò)位相減法）(典型題型歸類訓(xùn)練)（解析版）

專題07數(shù)列求和（錯(cuò)位相減法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1題型一：乘型 1題型二：除型 5三、專題07數(shù)列求和（錯(cuò)位相減法）專項(xiàng)訓(xùn)練 9一、必備秘籍錯(cuò)位相減法求和：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和即可用此法來求.SKIPIF1<0倍錯(cuò)位相減法：若數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求和時(shí)一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫SKIPIF1<0倍錯(cuò)位相減法．溫馨提示：1.兩個(gè)特殊數(shù)列等差與等比的乘積或商的組合.2.關(guān)注相減的項(xiàng)數(shù)及沒有參與相減的項(xiàng)的保留.二、典型題型題型一：乘型例題1．（2023秋·陜西西安·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)已知SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式相減并化簡(jiǎn)得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式相加得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，又當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.例題2．（2023秋·甘肅定西·高二甘肅省臨洮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的公比q；(2)設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求滿足SKIPIF1<0的n的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)13【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，錯(cuò)位相減得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，∴滿足SKIPIF1<0的n的最小值為13．例題3．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（1），SKIPIF1<0（2），由（1）-（2）得SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，若為SKIPIF1<0奇數(shù)時(shí)SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.例題4．（2023秋·湖南邵陽(yáng)·高三湖南省邵東市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意知SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0也適合SKIPIF1<0；所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也適合，故SKIPIF1<0；又?jǐn)?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.題型二：除型例題1．（2023秋·山東濱州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0為遞增的等差數(shù)列，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，求非零常數(shù)SKIPIF1<0的值；(2)在（1）的條件下，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由SKIPIF1<0為遞增的等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為方程SKIPIF1<0的兩根，因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0為遞增的等差數(shù)列，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為等差數(shù)列，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.例題2．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三周南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)為正的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0①，所以SKIPIF1<0②.②SKIPIF1<0①兩得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又因SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.例題3．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為正數(shù)，且滿足SKIPIF1<0．(1)證明：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍去），所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.例題4．（2023春·河南周口·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)記SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,兩式作差得:SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,則SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.（2）由(1)知:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，兩式作差得:SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.三、專題07數(shù)列求和（錯(cuò)位相減法）專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前100項(xiàng)之和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】令數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0兩式相減得：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的前100項(xiàng)之和為SKIPIF1<0.故選：B2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)之和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由題意知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，兩式相減可得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0..故選：A3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的虛部為(

).A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1011 D．2022【答案】A【詳解】由題意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以復(fù)數(shù)z的虛部為1012，故選：A4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B.二、填空題5．（2023秋·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由已知得，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<06．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為：SKIPIF1<0，①則：SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.7．（2023秋·河南洛陽(yáng)·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)即為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若對(duì)任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是.【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)即為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0單調(diào)遞增，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0若對(duì)任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【詳解】SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，兩式相減得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗(yàn)符合要求.則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0③，SKIPIF1<0④，③-④得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0三、解答題9．（2023春·新疆烏魯木齊·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，公比不為SKIPIF1<0的等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由題意不妨設(shè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的公差、公比分別為SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，所以分別解得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，因此由定義可知SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式分別為SKIPIF1<0.（2）由（1）可知SKIPIF1<0，所以由題意有SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，以上兩式作差得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，綜上所述：SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0.10．（2023秋·福建三明·高三三明一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列.(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)記SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0的公比為q，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.11．（2023秋·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式與SKIPIF1<0；(2)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(2)證明見解析【詳解】（1）解：SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）證明：SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0