初中數(shù)學(xué)-實(shí)數(shù)

初中數(shù)學(xué)講義一實(shí)數(shù)

本章節(jié)授課計(jì)劃：本章將首先學(xué)習(xí)平方根與立方根，在此基礎(chǔ)上引入無理數(shù)，把數(shù)系的范圍

擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，然后類比有理數(shù)，引入實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的表示和實(shí)數(shù)的運(yùn)算。并用這些知識(shí)解決

一些實(shí)際問題。

算術(shù)平方根的定義：一般的，如果一個(gè)正數(shù)X的平方等于a,即x?=a,那么這個(gè)正數(shù)X叫

做a的算術(shù)平方根。a的算術(shù)平方根記為6,讀作根號(hào)a,a叫做被開方數(shù)。

例22=4V4=2

V9=3

42=16V16=4

V25=

注意：我們可以把被開方數(shù)看成正方形的面積，算數(shù)平方根看成正方形的邊長

所以被開方數(shù)和算術(shù)平方根一定為非負(fù)數(shù)，即0和正數(shù)

因?yàn)槊娣e大的正方形所對(duì)的邊長一定大，那么就有如下規(guī)律

若a＞b,則調(diào)＞V6

若avb,則低＜4b

若a=b,貝!=Vb

我們規(guī)定零的算術(shù)平方根是零

對(duì)于分式的算術(shù)平方根，例如

a2Ja2a

-二一

b之后b

25

練習(xí)：

36

平方根的定義：一般的，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根或二次方根。

這就是說，如果x?=a,那么x叫做a的平方根。

注意：平方根的定義中沒有提到x必須是正數(shù)，所以x的取值范圍是沒有限制的。

±Va=x

因?yàn)檎龜?shù)的平方是正數(shù)，負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)，0的平方還是0,沒有一個(gè)數(shù)的平方為負(fù)數(shù)。

由此可見一個(gè)正數(shù)的平方根是兩個(gè)互為相反數(shù)的實(shí)數(shù)，0的平方根還是0,負(fù)數(shù)沒有平方根

例如：52=25,(-5)2=25,所以25的平方根為5和-5，記作±5為25的平方根

練習(xí)：求下列數(shù)的平方根

(1)100(2嗒(3)0.25

求一個(gè)數(shù)平方根的運(yùn)算，叫做開平方，簡稱開方

考點(diǎn)

①比較大?。菏煊浱厥獾拈_方運(yùn)算，牢記被開方數(shù)大的，開完方后也大

特殊的開方運(yùn)算

V1=1V4=2V9=3

V16=4V25=5V36=6

V49=7V64=8V81=9

②被開方數(shù)一定大于等于0,根式的值一定大于等于0,常與“多個(gè)非負(fù)式子相加得0,則每

個(gè)非負(fù)式子都為零”相結(jié)合考察。

例：間+小心力,貝!]a=0,b=0,c=0

總結(jié)

名稱算術(shù)平方根平方根

數(shù)學(xué)語言Va=x±y/a=x

當(dāng)a大于012（互為相反數(shù)）

個(gè)數(shù)

當(dāng)a等于011

被開方數(shù)a大于等于0大于等于0

課后練習(xí)：

1、歷的平方根是O

2、若（4a-3b產(chǎn)+lc-2bl=0,則a:b:c=。

3、一個(gè)正數(shù)的平方根為2a-3和1-a,則這個(gè)數(shù)是,

思考題：

⑴實(shí)數(shù)0<x<1，則x,x2,V%,（的大小關(guān)系是什么？

（2）代數(shù)式x2+1,?,|y|,（m-1）2,正中一定是正數(shù)的有o

立方根的定義：一般的，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根。

也就是說，如果x3=a,那么x叫做a的立方根。

例：如果33=27,那么3就是27的立方根，記作g=3

如果43=64,那么4就是64的立方根，記作幃：=4

如果（-3）3=-27,那么-3就是-27的立方根，記作昨方=-3

如果（-4）3=-64,那么-4就是-64的立方根，記作/』=-4

由上等式可知，三次方根的被開方數(shù)可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù)

當(dāng)被開方數(shù)為正數(shù)時(shí)，開方后還為正數(shù)

當(dāng)被開方數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，開方后還為負(fù)數(shù)

當(dāng)被開方數(shù)為0時(shí)，開方后還為0

求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方，開立方與立方互為逆運(yùn)算

形如胃的式子，我們把n稱作根指數(shù)，X稱作被開方數(shù)，當(dāng)n=2時(shí)，可以省略n,其他情

況一律不能省略no

一般的：V-a=-Va

總結(jié)

名稱算數(shù)平方根平方根立方根

數(shù)學(xué)語言4a±y[a

被開方數(shù)a大于等于0大于等于0無限制

正數(shù)正數(shù)正數(shù)和負(fù)數(shù)正數(shù)

a的取值0000

負(fù)數(shù)無無負(fù)數(shù)

課后練習(xí)

①如果一個(gè)數(shù)的平方根等于這個(gè)數(shù)的立方根，那么這個(gè)數(shù)是O

②如果x?=64,那么正的值是o

③若某個(gè)正方體的體積為V,那么這個(gè)正方體的邊長為（用含V的式子表示卜

④計(jì)算：1+2-J72+M-VU百

整數(shù)：正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、。統(tǒng)稱為整數(shù)無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)

自然數(shù)：正整數(shù)、0統(tǒng)稱為自然數(shù)實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)

有理數(shù)：整數(shù)、分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)

有理數(shù)無理數(shù)

整數(shù)正有理數(shù)

實(shí)數(shù)

分?jǐn)?shù)負(fù)無理數(shù)

——

數(shù)a的相反數(shù)是-a,一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0

的絕對(duì)值還是Oo

實(shí)數(shù)也可以進(jìn)行加、減、乘、除、開立方和乘方運(yùn)算，正數(shù)和0可以進(jìn)行開方運(yùn)算

一般的，不能直接化為正數(shù)的根式都是無理數(shù),T也是無理數(shù)

例如:72=1.41421……

73=1.73205......

75=2.23607……

76=2.44949……

TT=3.1415926……

同時(shí)，二次根式的加減運(yùn)算也符合分配律和交換律、結(jié)合律

例如:(V3+V2)-V2=V3+V2-V2=V3

3V3+2V3=(3+2)V3=5V3

同時(shí)還滿足一個(gè)重要運(yùn)算法則

VmxVn=Vmn

例如:V2XV3=V6V5XV7=V35

一個(gè)數(shù)先平方再開方還等于這個(gè)數(shù)本身，即衣=x

一個(gè)數(shù)先開方再平方還等于這個(gè)數(shù)本身，即衣2=x

考點(diǎn)

①區(qū)分實(shí)數(shù)的一系列概念，這是學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn)

②確定某個(gè)根式的小數(shù)部分

例如求舊的小數(shù)部分，通過比大小的方法，我們可以得出

V9<V13<V16

又因?yàn)槲?3,W石=4,所以3V履<4

即是一個(gè)比3大，比4小的無限不循環(huán)小數(shù)，則底的小數(shù)部分為反-3

練習(xí)：若g的小數(shù)部分為a,整數(shù)部分為b,貝IJb2+a-V17=

總結(jié)

正整數(shù)“

整數(shù)1零+，

（有理數(shù)J跳整數(shù)>有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)"