華師大版八年級數(shù)學上冊教案：14.1 勾股定理 第四課時 反證法

PAGE第14章《勾股定理》教案————第2頁共20頁課題：14.1勾股定理第四課時反證法＆.教學目標：1.知道什么是反證法，了解用反證法證題的步驟。2.會用反證法證不易直接證法證明的簡單問題。3.通過利用反證法推證命題，體會逆向思維，培養(yǎng)學生的逆向思維能力及思考問題的全面性。＆.教學重點、難點：重點：反證法推證命題的步驟。難點：反證法的邏輯推理過程。＆.教學過程：一、情景導入古時候有一個賣矛和盾的商人，賣矛的時候說他的矛是世界上最銳利的矛，什么樣的盾都能戳破；賣盾的時候說他的盾是世界上最堅固的盾，什么樣的矛都戳不破。于是，就有人問他：“假設(shè)你說的都是真的，那么用你的矛戳你的盾，會如何呢？”這個商人無言以對。提出疑問的人用的是一種什么樣的邏輯方法呢？本節(jié)我們學習邏輯推理的另一種方法——反證法。二、探究新知我們知道：在中，若，，，且，則.問題：在中，若，，，且，請問結(jié)論成立嗎？為什么？解析：如果我們從條件出發(fā)證明結(jié)論是很困難的，我們可采用下面的方法證明：假設(shè)，由勾股定理的逆定理可知是直角三角形，且，這與已知條件矛盾.假設(shè)不成立，從而說明原結(jié)論成立。這種證明方法與前面的證明方法不同，它是首先假設(shè)結(jié)論的反面成力，然后經(jīng)過正確的邏輯推理得出與已知、定理、公理矛盾的結(jié)論，說明假設(shè)不成立，從而得到原結(jié)論正確，像這樣的證明方法叫做反證法。＆.反證法的定義：首先假設(shè)結(jié)論的反面成力，然后經(jīng)過正確的邏輯推理得出與已知、定理、公理矛盾的結(jié)論，說明假設(shè)不成立，從而得到原結(jié)論正確，像這樣的證明方法叫做反證法。探究1：通過例題，你能歸納出反證法證明的一般步驟嗎？步驟：（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面是正確的；（2）從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，推出與公理、已證的定理、定義或已知條件相矛盾的結(jié)論；（3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而得出原結(jié)論正確。∵∴（等式的基本性質(zhì)）探究2：反證法適合證明哪幾類問題？可以證明以下幾類問題：（1）結(jié)論以否定的形式出現(xiàn)的命題；（2）以“至多”“至少”或者“不多于”等形式陳述的命題；（3）關(guān)于“唯一性”或者“存在性”結(jié)論的命題；（4）某一系統(tǒng)的起始命題。思考：運用反證法需要注意什么問題？歸納：反證法需要注意的問題有：（1）反證法否定的是結(jié)論，而不是已知條件；（2）周密考查原命題結(jié)論的反面，如果不只是一種情況，必須把各種情況列舉出來并逐一否定后，才能證明原命題結(jié)論正確；（3）在推理過程中，要充分使用已知條件，否則推不出矛盾，或者不能斷定推出的結(jié)果是錯誤的。三、講解例題，鞏固新知§.例1、求證：兩條直線相交只有一個交點。已知：兩條相交直線、.求證：與只有一個交點.解析：想從已知條件“兩條相交直線、”出發(fā)，經(jīng)過推理，得出結(jié)論“它們只有一個交點”是很困難的，因此可以考慮用反證法。證明：假設(shè)與不止一個交點，不妨假設(shè)有兩個交點、.∵兩點確定一條直線，即經(jīng)過點和的直線有且只有一條，這與已知兩條直線矛盾，假設(shè)不成立∴兩條直線相交只有一個交點。歸納：根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知條件矛盾外，還可以與我們學過的定理、公理矛盾.反證法的首要一步要找到結(jié)論的反面，如果第一步錯誤，后面所給予的前提都不成立。同步練習：寫出下列各結(jié)論的反面：（1）是實數(shù)；（2）大于；（3）小于；（4）兩條直線平行§.例2、已知：有、、三條直線，且，求證：證明：假設(shè)與不平行，則可設(shè)它們的交點為.那么過點就有兩條直線、與直線平行這與“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”矛盾，假設(shè)不成立.故§.例3、求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于.已知：求證：中至少有一個內(nèi)角小于或等于.證明：假設(shè)中沒有一個內(nèi)角小于或等于即，，∴這與三角形內(nèi)角和為矛盾，假設(shè)不成立?！嘀兄辽儆幸粋€內(nèi)角小于或等于.歸納：“至少有一個”包括一個和一個以上，它的反面是“沒有”，要特別引起大家的重視?！?例4、用反證法證明：等腰三角形的底角必定為銳角。已知：在中，.求證：、為銳角.解析：解題的關(guān)鍵是反證法的第一步否定結(jié)論，需要分類討論。證明：假設(shè)等腰三角形的底角不是銳角，那么只有兩種情況：第一種情況：兩個底角是直角；由則這與三角形的內(nèi)角和定理矛盾∴這個假設(shè)不成立.第二種情況：兩個底角是鈍角.由，則這與三角形的內(nèi)角和定理矛盾∴“兩個底角是鈍角”這個假設(shè)不成立.故原命題正確。注意：本例中“是銳角（小于）”的反面有兩種情況，這時，必須分別證明命題結(jié)論反面的每一種情況都不可能成立，最后才能肯定命題的結(jié)論一定正確.此題是對反證法的進一步理解?！?例5、已知：如圖，中，、兩點分別在、上.圖1CDEABA圖1CDEABA證明：假設(shè)、互相平分.連結(jié)∴四邊形是平行四邊形∴（平行四邊形的對邊互相平行）這與、相交于點矛盾.故假設(shè)錯誤，即、不能互相平分.§.例6、已知：如圖，中，，.求證：.證明：假設(shè)P圖2CABA在P圖2CABA（已知），（公共邊），（已知）∴（）∴（全等三角形的對應(yīng)角相等）這與已知條件矛盾，假設(shè)不成立.∴四、鞏固練習教材練習五、課堂小結(jié)通過本節(jié)課的學習，要求同學們1.理解掌握反證法是證明問題的又一方法，它體現(xiàn)了逆向思維方式，當一個命題的證明從正面很難解決時，我們應(yīng)該有用反證法解決問題的意識。2.掌握用反證法證明的一般思路：假設(shè)命題不成立→正確的推理，得出矛盾→肯定待定命題的結(jié)論。3.用反證法證題時，需注意以下事項：（1）周密考查原命題結(jié)論的否定事項，防止否定不當或有所遺漏；（2）推理過程必須完整，否則不能說明命題的真?zhèn)涡裕唬?）在推理過程中，要充分使用已知條件，否則推不出矛盾，或者不能斷定推出的結(jié)果是錯誤的。六、課外作業(yè)1.教材習題2.補充題：Ⅰ.在一個梯形中，如果同一條底邊上的兩個內(nèi)角不相等，那么這個梯形是等腰梯形嗎？Ⅱ.求證：在同一平面上，如果一條直線和兩條平行線中的一條相交，那么和另一條也相交。Ⅲ.三角形內(nèi)角中至多有一個角是鈍角。Ⅲ.請舉出幾個反證法的生活案例。參考案例：（1）路邊苦李王戎歲時，與小伙伴們外出游玩，看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子，小伙伴們紛紛去摘取果子，只有王戎站在原地不動.王戎回答說：“樹在道邊而多子，此必苦李?！蓖跞质窃鯓又览钭邮强嗟哪?？他運用了怎樣的推理方法？假設(shè)李子不是苦的，即李子是甜的，那么這長在人來人往的大路邊的李子會不會被過路人摘去解渴呢？那么，樹上的李子還會這么多嗎？這與事實矛盾，說明李子是甜的這個假設(shè)是錯的，所以，李子是苦的.（2）古希臘時，有三個哲學家，由于爭論和天氣的炎熱感到疲倦，于是就在花園里一棵大樹下躺下休息睡著了。這時一個愛開