2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.6-雙曲線【導(dǎo)學(xué)案】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.6-雙曲線[考試要求]1．了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.2．掌握其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3．了解雙曲線的簡單應(yīng)用．1．雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的______等于非零常數(shù)(____|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的____，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的____．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2?yy2a2?x圖形性質(zhì)焦點(diǎn)________________________________________________________________焦距__________________范圍________或______，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：______；對稱中心：____頂點(diǎn)________________________________________________________________軸實(shí)軸：線段________，長：____；虛軸：線段________，長：____，實(shí)半軸長：__，虛半軸長：__離心率e＝ca∈漸近線y＝±bay＝±aba，b，c的關(guān)系c2＝__________(c>a>0，c>b>0)3．等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為________，離心率為e＝__．[常用結(jié)論]1．雙曲線x2a2?y(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b．(2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦)，其長為2b2a，異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長為(4)設(shè)P，A，B是雙曲線上的三個(gè)不同的點(diǎn)，其中A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線PA，PB斜率存在且不為0，則直線PA與PB的斜率之積為b2(5)P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則S△PF1F2＝b2tanθ2(6)P是雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是左、右焦點(diǎn)，則|PF1|＋|PF2|≥2c.2．巧設(shè)雙曲線方程(1)與雙曲線x2a2?y2b2＝1(a＞0，b(2)過已知兩個(gè)點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為mx2＋ny2＝1(mn＜0)．一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線． ()(2)方程x2m?y2n＝1((3)雙曲線x2m2?y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于2． ()二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版選擇性必修第一冊P127習(xí)題3.2T1改編)已知雙曲線x2－y216＝1上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于4，那么點(diǎn)2．(人教A版選擇性必修第一冊P124例3改編)雙曲線x23．(人教A版選擇性必修第一冊P120例1改編)已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A(－5，0)，B(5，0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|－|MB|＝6，則點(diǎn)M的軌跡方程是________．4．(人教A版選擇性必修第一冊P121練習(xí)T3改編)若方程x22+m+考點(diǎn)一雙曲線的定義及其應(yīng)用[典例1](1)在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)A(－3，0)，B(3，0)，其內(nèi)切圓圓心在直線x＝2上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為()A．x24?B．x29?C．x29+D．x29+(2)(2023·湖北十堰二模)已知P(x0，y0)是雙曲線E：x24－y2＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，△PF1F2的周長為12＋25，則cos∠F1PF2＝________，△PF1F[聽課記錄]雙曲線定義的應(yīng)用(1)利用定義求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，要分清是差的絕對值為常數(shù)，還是差為常數(shù)，即是雙曲線還是雙曲線的一支．(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立|PF1|與|PF2|的關(guān)系．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)(2024·廣東廣州大灣區(qū)模擬)已知F為雙曲線C：x24?y25＝1的左焦點(diǎn)，PA．4＋62 B．4＋65C．6＋62 D．6＋65(2)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2－y23＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且|OP|＝2，則△PF1F考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程[典例2](1)(2024·山東濟(jì)南模擬)已知雙曲線C的漸近線方程為2x±3y＝0，且經(jīng)過點(diǎn)(32，2)，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x29?y2C．y24?x2(2)(2024·廣東海珠區(qū)模擬)已知雙曲線Γ：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)，四點(diǎn)A(6，3)，B4，[聽課記錄]求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，確定2a，2b或2c，從而求出a2，b2.(2)待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為x2m2?y2n2[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，PF2與x軸垂直，A．x24?y2C．x24?y28＝1 (2)(2024·北京海淀區(qū)模擬)與雙曲線x2[聽課記錄]考點(diǎn)三雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的漸近線[典例3](2023·山東威海一模)已知雙曲線C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)為F1，M為C上一點(diǎn)，M關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為N，若∠MF1N＝60°，且|F1A．y＝±33x B．y＝±3C．y＝±66x D．y＝±6[聽課記錄]雙曲線的離心率[典例4](1)(2021·全國甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為()A．72 B．C．7 D．13(2)若斜率為2的直線與雙曲線x2a2?yA．(1，2) B．(2，＋∞)C．(1，3) D．(3，＋∞)[聽課記錄]雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用[典例5](1)已知M(x0，y0)是雙曲線C：x22－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若MF1A．?33，3C．?223，(2)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與雙曲線的左支交于點(diǎn)A，與右支交于點(diǎn)B，若|AF1|＝2a，∠FA．1 B．12C．13 D．[聽課記錄]1．求雙曲線漸近線方程的方法求雙曲線x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)或y2a2?x2b2＝1(a>0，2．求雙曲線的離心率或其范圍的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2+(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2?a2消去[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)(多選)(2024·山東濰坊模擬)已知雙曲線M：x2a2?yA．M的離心率為2B．M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y2C．M的漸近線方程為y＝±33D．直線x＋y－2＝0經(jīng)過M的一個(gè)焦點(diǎn)(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知雙曲線x2a2?y2b(3)已知點(diǎn)F是雙曲線x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于A考點(diǎn)四直線與雙曲線的位置關(guān)系[典例6](1)(2023·全國乙卷)設(shè)A，B為雙曲線x2－y29＝1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段A．(1，1) B．(－1，2)C．(1，3) D．(－1，－4)(2)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1(－17，0)，F(xiàn)2(17，0)，點(diǎn)M滿足|MF1|－|MF2|＝2，記M的軌跡為C.①求C的方程；②設(shè)點(diǎn)T在直線x＝12上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ[聽課記錄]解決直線與雙曲線的位置關(guān)系有關(guān)的問題時(shí)，有時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想，有時(shí)利用方程思想．根據(jù)直線的斜率k與漸近線的斜率或某切線的斜率的關(guān)系來判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系會比較快捷．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．(1)已知雙曲線x216?y29＝1的左焦點(diǎn)為F1，過F1的直線l交雙曲線左支于A．?B．?∞C．?D．?∞(2)過雙曲線x2－y23＝1的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則滿足|AB|＝6的直線A．4條 B．3條C．2條 D．1條(3)(多選)已知雙曲線C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，其中|F1F2|＝2c，過右焦點(diǎn)F2A．弦AB的最小值為2B．若AB＝m，則△F1AB的周長為2m＋4aC．若AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)且AB的斜率為k，則kOM·k＝bD．若直線AB的斜率為3，則雙曲線的離心率e∈[2，＋∞)參考答案與解析[考試要求]1．了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.2．掌握其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3．了解雙曲線的簡單應(yīng)用．1．雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2?yy2a2?x圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范圍x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實(shí)軸：線段A1A2，長：2a；虛軸：線段B1B2，長：2b，實(shí)半軸長：a，虛半軸長：b離心率e＝ca∈(1，＋∞漸近線y＝±bay＝±aba，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)3．等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，離心率為e＝2．[常用結(jié)論]1．雙曲線x2a2?y(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b．(2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．(3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦)，其長為2b2a，異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長為(4)設(shè)P，A，B是雙曲線上的三個(gè)不同的點(diǎn)，其中A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線PA，PB斜率存在且不為0，則直線PA與PB的斜率之積為b2(5)P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則S△PF1F2＝b2tanθ2(6)P是雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是左、右焦點(diǎn)，則|PF1|＋|PF2|≥2c.2．巧設(shè)雙曲線方程(1)與雙曲線x2a2?y2b2＝1(a＞0，b(2)過已知兩個(gè)點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為mx2＋ny2＝1(mn＜0)．一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線． ()(2)方程x2m?y2n＝1((3)雙曲線x2m2?y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于2． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版選擇性必修第一冊P127習(xí)題3.2T1改編)已知雙曲線x2－y216＝1上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于4，那么點(diǎn)6[設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，|PF1|＝4，則||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又雙曲線上的點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離的最小值為c－a＝17－1＞2，故|PF2|＝6．]2．(人教A版選擇性必修第一冊P124例3改編)雙曲線x21075y＝±5612x[雙曲線y225?x224∴實(shí)軸長為2a＝10，離心率e＝ca＝7漸近線方程為y＝±56123．(人教A版選擇性必修第一冊P120例1改編)已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A(－5，0)，B(5，0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|－|MB|＝6，則點(diǎn)M的軌跡方程是________．x29?y216＝1(x≥3)[由雙曲線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的右支．又由題意可知焦點(diǎn)在x軸上，且c＝5，a＝3，所以b＝c2?4．(人教A版選擇性必修第一冊P121練習(xí)T3改編)若方程x22+m+(－2，－1)[因?yàn)榉匠蘹22+m+y2m+1＝1表示雙曲線，所以(2＋m)(考點(diǎn)一雙曲線的定義及其應(yīng)用[典例1](1)在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)A(－3，0)，B(3，0)，其內(nèi)切圓圓心在直線x＝2上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為()A．x24?B．x29?C．x29+D．x29+(2)(2023·湖北十堰二模)已知P(x0，y0)是雙曲線E：x24－y2＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，△PF1F2的周長為12＋25，則cos∠F1PF2＝________，△PF1F(1)A(2)151631[(1)如圖，設(shè)△ABC與內(nèi)切圓的切點(diǎn)分別為D，E則有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線的右支(右頂點(diǎn)除外)，即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為x24?(2)在雙曲線E中，a＝2，b＝1，則c＝a2+b根據(jù)對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線E的右支上，則|PF1|－|PF2|＝4.因?yàn)閨F1F2|＝2c＝25，△PF1F2的周長為12＋25，所以|PF1|＋|PF2|＝12，所以|PF1|＝8，|PF2|＝4．在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝PF12則sin∠F1PF2＝1?cos2∠F1所以△PF1F2的面積為S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝12×8×雙曲線定義的應(yīng)用(1)利用定義求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，要分清是差的絕對值為常數(shù)，還是差為常數(shù)，即是雙曲線還是雙曲線的一支．(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正、余弦定理，結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立|PF1|與|PF2|的關(guān)系．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)(2024·廣東廣州大灣區(qū)模擬)已知F為雙曲線C：x24?y25＝1的左焦點(diǎn)，PA．4＋62 B．4＋65C．6＋62 D．6＋65(2)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2－y23＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且|OP|＝2，則△PF1F(1)B(2)3[(1)設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為M，由雙曲線的方程可得：a2＝4，b2＝5，則a＝2，b＝5，c＝3，所以F(－3，0)，M(3，0)，且|PF|－|PM|＝2a＝4，所以|PF|＝|PM|＋4，△APF的周長為|PA|＋|PF|＋|AF|＝|PA|＋|PM|＋4＋|AF|＝|PA|＋|PM|＋4＋35≥|AM|＋4＋35＝4＋65，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，A三點(diǎn)共線時(shí)取等號，則△APF周長的最小值為4＋65.故選B.(2)雙曲線的焦點(diǎn)為F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，因?yàn)閨OP|＝2＝12|F1F2|，所以點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓上，即△F1F2P是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16．又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以4＝||PF1|－|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16－2|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，所以S△PF1F2＝12|PF1|【教師備選資源】已知定點(diǎn)F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，N是圓O：x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是()A．橢圓 B．雙曲線C．直線 D．圓B[如圖，連接ON，由題意可得|ON|＝1，且N為MF1的中點(diǎn)，又O為F1F2的中點(diǎn)，所以|MF2|＝2．因?yàn)辄c(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為M，線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P，由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，所以由雙曲線的定義可得，點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線．]考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程[典例2](1)(2024·山東濟(jì)南模擬)已知雙曲線C的漸近線方程為2x±3y＝0，且經(jīng)過點(diǎn)(32，2)，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x29?y2C．y24?x2(2)(2024·廣東海珠區(qū)模擬)已知雙曲線Γ：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)，四點(diǎn)A(6，3)，B4，(1)A(2)x25－y2＝1[(1)根據(jù)漸近線方程可設(shè)雙曲線C的方程為x29?y∵雙曲線C過點(diǎn)(32，2)，∴λ＝2－1＝1，∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29故選A.(2)因?yàn)辄c(diǎn)C，D關(guān)于原點(diǎn)對稱，且雙曲線Γ也關(guān)于原點(diǎn)對稱，故點(diǎn)C，D都在雙曲線Γ上，對于點(diǎn)A，62a2＞52a2，3b2＜所以點(diǎn)B，C，D都在雙曲線Γ上，所以25a2因此，雙曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25－y2求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線，確定2a，2b或2c，從而求出a2，b2.(2)待定系數(shù)法：“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)位置不好確定，可將雙曲線方程設(shè)為x2m2?y2n2[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，PF2與x軸垂直，A．x24?y2C．x24?y28＝1 (2)(2024·北京海淀區(qū)模擬)與雙曲線x2(1)D(2)y29?x216＝1[(1)由題意可知|PF1|＝43c3，|PF2|＝23c3，2b＝22，由雙曲線的定義可得43c3?23c3＝2a，即c＝3a.又b＝2，c(2)雙曲線x216?y29＝1的漸近線方程為y＝±34x，由焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，5)，可設(shè)所求雙曲線的方程為y2a2?雙曲線漸近線的方程為y＝±abx，由題意有ab＝34，解得a2＝9，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y29【教師備選資源】1．(2023·廣東惠州三調(diào))“m＞2”是“方程x22?m+A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B[因?yàn)榉匠蘹22?m+y2m+1＝1表示雙曲線，所以(2－m)(m即m∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．因?yàn)?2，＋∞)是(－∞，－1)∪(2，＋∞)的真子集，所以“m＞2”是“方程x22?m+2．(2024·安徽合肥模擬)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是等軸雙曲線C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，|F1F2|＝2|OP|，A．x22?y2C．x26?y2D[|F1F2|＝2|OP|，O是F1F2的中點(diǎn)，所以PF1⊥PF2．又a＝b，則c＝2a，S△PF1F2所以雙曲線C的方程為x28?3．如圖，已知橢圓C1和雙曲線C2交于P1，P2，P3，P4四個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)1和F2分別是C1的左、右焦點(diǎn)，也是C2的左、右焦點(diǎn)，并且六邊形P1P2F1P3P4F2是正六邊形．若橢圓C1的方程為x24+23+x24?23?y223＝1[設(shè)雙曲線C根據(jù)橢圓C1的方程x24+23+y22又六邊形P1P2F1P3P4F2為正六邊形，則點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1，3)．則點(diǎn)P1在雙曲線C2上，可得1a2又a2＋b2＝4，解得a則雙曲線C2的方程為x24?23考點(diǎn)三雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的漸近線[典例3](2023·山東威海一模)已知雙曲線C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)為F1，M為C上一點(diǎn)，M關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為N，若∠MF1N＝60°，且|F1A．y＝±33x B．y＝±3C．y＝±66x D．y＝±6D[如圖所示，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)M在左支上，設(shè)右焦點(diǎn)為F2，連接MF2，NF2，由對稱性知四邊形MF1NF2為平行四邊形，又|F1N|＝2|F1M|，∴|F2M|＝2|F1M|.∵|F2M|－|F1M|＝2a，∴|F1M|＝2a，|F2M|＝|F1N|＝4a，又∠MF1N＝60°，∴∠F1MF2＝120°.在△MF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|F1M|2＋|F2M|2－2|F1M|·|F2M|·cos120°，∴4c2＝4a2＋16a2－2×2a×4a×?12，整理得c2＝7a2，∴a2＋b2＝7a2，∴ba∴雙曲線C的漸近線方程為y＝±bax＝±6x雙曲線的離心率[典例4](1)(2021·全國甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為()A．72 B．C．7 D．13(2)若斜率為2的直線與雙曲線x2a2?yA．(1，2) B．(2，＋∞)C．(1，3) D．(3，＋∞)(1)A(2)D[(1)設(shè)|PF2|＝m，|PF1|＝3m，則|F1F2|＝m2+9m2?2×3m×m×cos60°＝7m，所以C的離心率e＝ca(2)因?yàn)樾甭蕿?的直線與雙曲線x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以ba＞2，則e＝ca＝雙曲線幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用[典例5](1)已知M(x0，y0)是雙曲線C：x22－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若MF1A．?33，3C．?223，(2)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與雙曲線的左支交于點(diǎn)A，與右支交于點(diǎn)B，若|AF1|＝2a，∠FA．1 B．12C．13 D．(1)A(2)B[(1)因?yàn)镕1?3，0，F(xiàn)23，0，x022?y02＝1，所以MF1·MF2＝(－3－x(2)如圖所示，由雙曲線定義可知|AF2|－|AF1|＝2a.又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因?yàn)椤螰1AF2＝2π所以S△AF1F2＝12|AF1|·|AF2|·＝12×2a×4a×32＝23a由雙曲線定義可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以△BAF2為等邊三角形，邊長為4a，所以S△ABF2＝34|AB|2＝34×(4a)2所以S△AF1F2故選B.]1．求雙曲線漸近線方程的方法求雙曲線x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)或y2a2?x2b2＝1(a>0，2．求雙曲線的離心率或其范圍的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2+(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝c2?a2消去[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)(多選)(2024·山東濰坊模擬)已知雙曲線M：x2a2?yA．M的離心率為2B．M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y2C．M的漸近線方程為y＝±33D．直線x＋y－2＝0經(jīng)過M的一個(gè)焦點(diǎn)(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知雙曲線x2a2?y2b(3)已知點(diǎn)F是雙曲線x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于A(1)ACD(2)y＝±3x(3)(1，2)[(1)因?yàn)殡p曲線M：x2a2?y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距為4，所以有a2＋雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，則過一、三象限的漸近線的斜率為3或33，即ba＝3或ba＝3聯(lián)立①②可得：a2＝1，b2＝3，c2＝4或a2＝3，b2＝1，c2＝4.因?yàn)閍＞b，所以a2＝3，b2＝1，c2＝4，故雙曲線M的方程為x23－y2M的離心率為43＝2雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23－yM的漸近線方程為y＝±33x直線x＋y－2＝0經(jīng)過M的一個(gè)焦點(diǎn)(2，0)，D正確．故選ACD.(2)因?yàn)殡p曲線的方程是x2a2?y所以雙曲線的漸近線方程為y＝±bax因?yàn)殡x心率為e＝ca＝2，可得c＝2a，所以c2＝4a2即a2＋b2＝4a2，可得b＝3a，由此可得雙曲線的漸近線方程為y＝±3x.(3)若△ABE是銳角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝b2a，|FE|＝a＋c，則b2a＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，則e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，則1＜【教師備選資源】1．如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)．若雙曲線E：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，從F2發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且cos∠BAC＝－A．5C．10B[依題意，直線CA，DB都過點(diǎn)F1，如圖，有AB⊥BF1，cos∠BAF1＝35設(shè)|BF2|＝m，則|BF1|＝2a＋m，顯然有tan∠BAF1＝43，|AB|＝34|BF1|＝34(2a＋m)，|AF2|＝32a－14m，因此|AF1|＝2a＋|AF2|＝7在Rt△ABF1中，|AB|2＋|BF1|2＝|AF1|2，即916(2a＋m)2＋(2a＋m)2＝7解得m＝23a，即|BF1|＝83a，|BF2|＝2令雙曲線半焦距為c，在Rt△BF1F2中，|BF2|2＋|BF1|2＝|F1F2|2，即23a2＋83a2＝(2c)所以雙曲線E的離心率為1732．(2024·天津西青區(qū)模擬)設(shè)P是雙曲線x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)與圓x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)A．10C．3B[如圖，連接PF1，PF2，由題意可得PF1⊥PF2，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，由雙曲線的定義可得m－n＝2a，且m2＋n2＝4c2，tan∠PF2F1＝mn則m＝3a，n＝a，9a2＋a2＝4c2，即有c2＝52a2，e＝ca＝故選B.]3．(2024·廣東汕頭金山中學(xué)模擬)如圖，發(fā)電廠的冷卻塔外形是由雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所得到的曲面，該冷卻塔總高度為70米，水平方向上塔身最窄處的半徑為20米，最高處塔口半徑為25米，塔底部塔口半徑為202米，則該雙曲線的離心率為________．5[如圖，以冷卻塔的軸截面的最窄處所在的直線為x軸，垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為x2a2?y2b2＝1(設(shè)C(25，m)(m＞0)，B(202，－70＋m)，所以25220所以c2＝a2＋b2＝400＋1600＝2000，所以e＝ca＝200020＝考點(diǎn)四直線與雙曲線的位置關(guān)系[典例6](1)(2023·全國乙卷)設(shè)A，B為雙曲線x2－y29＝1上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段A．(1，1) B．(－1，2)C．(1，3) D．(－1，－4)(2)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1(－17，0)，F(xiàn)2(17，0)，點(diǎn)M滿足|MF1|－|MF2|＝2，記M的軌跡為C.①求C的方程；②設(shè)點(diǎn)T在直線x＝12上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ(1)D[結(jié)合選項(xiàng)可知，直線AB的斜率存在且不為零．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，由點(diǎn)A，B在雙曲線上，得x12?y129=1，x22?y229=1，兩式作差，得x12?x22＝y(tǒng)12?由雙曲線方程可得漸近線方程為y＝±3x，如圖．對于A選項(xiàng)，因?yàn)閗AB＝9×11＝9>3，所以直線AB與雙曲線無交點(diǎn)，不符合題意；對于B選項(xiàng)，因?yàn)閗AB＝9×?12＝－92<－3，所以直線AB與雙曲線無交點(diǎn)，不符合題意；對于C選項(xiàng)，kAB＝9×13＝3，此時(shí)直線AB與漸近線y＝3x重合，與雙曲線不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；對于D選項(xiàng)，因?yàn)閗AB＝9×?1?4(2)[解]①因?yàn)閨MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|＝217，所以點(diǎn)M的軌跡C是以F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支．設(shè)雙曲線的方程為x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)，半焦距為c，則2a＝2，c＝17，得a＝1，b所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為x2－y216＝1(x②設(shè)T12，t，由題意可知，直線AB，PQ的斜率均存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為y－t＝k1x?12(k1≠0)，直線PQ的方程為y－t＝k2x?由y?t=k1x?12，x2?y216=1設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，易知16?k1則xAxB＝?t?k122?1616?k1所以|TA|＝1+k12|TB|＝1+k12則|TA|·|TB|＝(1+k1＝1+k12同理得|TP|·|TQ|＝1+k因?yàn)閨TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以1+k12t2+12k即k12＝又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0.故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.解決直線與雙曲線的位置關(guān)系有關(guān)的問題時(shí)，有時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想，有時(shí)利用方程思想．根據(jù)直線的斜率k與漸近線的斜率或某切線的斜率的關(guān)系來判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系會比較快捷．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．(1)已知雙曲線x216?y29＝1的左焦點(diǎn)為F1，過F1的直線l交雙曲線左支于A．?B．?∞C．?D．?∞(2)過雙曲線x2－y23＝1的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則滿足|AB|＝6的直線A．4條 B．3條C．2條 D．1條(3)(多選)已知雙曲線C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，其中|F1F2|＝2c，過右焦點(diǎn)F2A．弦AB的最小值為2B．若AB＝m，則△F1AB的周長為2m＋4aC．若AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)且AB的斜率為k，則kOM·k＝bD．若直線AB的斜率為3，則雙曲線的離心率e∈[2，＋∞)(1)B(2)B(3)ABC[(1)雙曲線的漸近線方程為y＝±34x，當(dāng)直線l與漸近線平行時(shí)，與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)直線l的斜率大于零時(shí)，要與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，則需直線斜率k＞34；當(dāng)直線l的斜率小于零時(shí)，要與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，則需斜率k＜－(2)當(dāng)直線l的傾斜角為90°時(shí)，|AB|＝2b2a＝6，則當(dāng)直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，滿足題意的直線l有1條；當(dāng)直線l的傾斜角為0°時(shí)，|AB|＝2<6，則當(dāng)直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于一點(diǎn)時(shí)，還可作出2條直線l，使得|AB|＝6.故滿足題意的直(3)AB的最小值為通徑2b由雙曲線的定義得|AF1|＋|BF1|－|AB|＝4a，得|AF1|＋|BF1|＝4a＋m，所以△F1AB的周長|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m，B正確；設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x兩式相減得x1則1a則1a2?1b2·kOM·k＝0，則kOM若直線AB的斜率為3，所以ba＜3所以b2＜3a2，所以c2＜4a2，所以1＜e＜2，D錯(cuò)誤．故選ABC.]【教師備選資源】1．(2022·全國甲卷)記雙曲線C：x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)的離心率為e，寫出滿足條件“直線y＝22(滿足1<e≤5皆可)[雙曲線C：x2a2?y2b2＝1(a>0，b結(jié)合漸近線的特點(diǎn)，只需0<ba≤2，即b2可滿足條件“直線y＝2x與C無公共點(diǎn)”．所以e＝ca＝1+b2又因?yàn)閑>1，所以1<e≤5.故答案為2(滿足1＜e≤5皆可)．]2．(多選)已知雙曲線C的方程為x29?y216＝1，A，B兩點(diǎn)分別是雙曲線C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上任意一點(diǎn)(與A，B兩點(diǎn)不重合)，記直線PA，PB的斜率分別為A．雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為4B．若雙曲線C的實(shí)半軸長、虛半軸長同時(shí)增加相同的長度m(m＞0)，則離心率變大C．k1·k2為定值D．存在實(shí)數(shù)t使得直線y＝53x＋tAC[對于A，∵雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)F(5，0)，漸近線方程化為4x±3y＝0，∴焦點(diǎn)F到漸近線的距離為d＝4×516+9對于B，雙曲線C的離心率e＝53，若C的實(shí)半軸長、虛半軸長同時(shí)增加相同的長度m(m＞0)，則b+ma+m?ba＝4+m∴新離心率e′＝1+b+ma+m2＜1+對于C，由題知A(－3，0)，B(3，0)，設(shè)P(x，y)，∵k1＝y(tǒng)x+3，k2＝y(tǒng)x?3，∴k1·k2＝y(tǒng)x+3又點(diǎn)P在雙曲線上，∴x2∴y2＝16x29?1∴k1·k2＝16x2?9對于D，雙曲線C的漸近線方程為y＝±43x，53＞根據(jù)雙曲線圖象(圖略)可知，直線y＝53x＋t若與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)必在雙曲線的同一支上，故3．(多選)(2024·衡水中學(xué)模擬)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過F1作傾斜角為π6的直線分別交y軸、雙曲線右支于點(diǎn)A．∠F1PF2＝πB．雙曲線E的離心率等于3C．△PF1F2的內(nèi)切圓半徑為3－1D．若A，B為雙曲線E上的兩點(diǎn)且關(guān)于原點(diǎn)對稱，則PA，PB的斜率存在時(shí)，其乘積為2ABD[如圖所示，因?yàn)镸，O分別是PF1，F(xiàn)1F2的中點(diǎn)，所以在△PF1F2中，PF2∥MO，所以PF2⊥x軸．A選項(xiàng)中，因?yàn)橹本€PF1的傾斜角為π6，所以∠F1PF2＝πB選項(xiàng)中，Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c，|PF2|＝233c，|PF1|＝4所以|PF1|－|PF2|＝2a＝233c，得e＝caC選項(xiàng)中，△PF1F2的周長為(2＋23)c，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，根據(jù)三角形的等面積法，有(2＋23)cr＝2c×233c，得r＝1?33D選項(xiàng)中，A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，可設(shè)A(m，n)，B(－m，－n)，Pc，233c，根據(jù)e＝ca＝3得P所以當(dāng)斜率存在時(shí)，kPA＝n?2am?3a，kPB＝?n?2a?m?3a，kPA因?yàn)锳，B在雙曲線上，所以m2即m2a2?n22a2＝1，得所以kPA·kPB＝4a2?課時(shí)分層作業(yè)(五十七)雙曲線一、單項(xiàng)選擇題1．(2024·四川成都模擬)已知雙曲線x2a2?y2bA．6 B．62C．92 D．122B[根據(jù)題意可得ba=1，2c=12，c2∴該雙曲線的虛軸長為2b＝62.故選B.]2．(2024·山東菏澤模擬)已知雙曲線x2a2?y2b2＝1(a＞0，A．23 B．34C．26 D．39D[因?yàn)殡p曲線的一條漸近線的傾斜角為π3，所以斜率為3，所以ba＝3，該漸近線為y＝3x，即3x－y＝0，因?yàn)樵撾p曲線過點(diǎn)P(4，3)，所以將b＝3a代入得16a2?93a2＝1，得a2＝13，b2＝39，c2＝a2＋所以F(213，0)，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為3×2133+13．(2024·山西太原模擬)已知雙曲線C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)與斜率為1的直線交于A，BA．2 B．103C．52 D．C[法一：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x12a所以x2+x所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，所以y2?y1x所以4b2a2＝1，即b2a2＝14，則法二：直線AB過點(diǎn)(4，1)，斜率為1，所以其方程為y－1＝x－4，即y＝x－3，代入x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)并整理得(b2－a2)x2＋6a2x－9因?yàn)?4，1)為線段AB的中點(diǎn)，所以－6a2b2?a2＝2×所以C的離心率e＝1+b2a4．已知A，B，P是雙曲線x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)上不同的三點(diǎn)，且A，BA．52 B．6C．2 D．21D[設(shè)A(x1，y1)，P(x2，y2)，根據(jù)對稱性，知B(－x1，－y1)，所以kPA·kPB＝y(tǒng)2?y因?yàn)辄c(diǎn)A，P在雙曲線上，所以x1得x22?x12a所以kPA·kPB＝b2a2＝43，所以e2＝a2+b5．(2023·廣西南寧二模)已知橢圓C1與雙曲線C2有共同的焦點(diǎn)F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，離心率分別為e1，e2，點(diǎn)P為橢圓C1與雙曲線C2在第一象限的公共點(diǎn)，且∠F1PF2＝π3，若e2＝3，則橢圓C1A．x29+y2C．x212+y29＝1 A[由題意知橢圓C1與雙曲線C2的共焦點(diǎn)F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，所以c1＝c2＝3.因?yàn)殡p曲線C2的離心率e2＝3，所以a2＝c2e2＝1，b2＝c22?a22＝2，所以雙曲線C根據(jù)雙曲線的定義知|PF1|－|PF2|＝2a2＝2，由余弦定理知，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，得12＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|，又因?yàn)閨PF1|－|PF2|＝2，得|PF2|＝2，|PF1|＝4.根據(jù)橢圓的定義知|PF1|＋|PF2|＝2a1＝6，所以a1＝3，b1＝a12?c12＝6，所以橢圓故選A.]6．(2023·河南鄭州一模)設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x23－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，Q為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)P(0，2)．當(dāng)|QF1|＋|PQ|取最小值時(shí)，|QFA．3?2 C．6－2 D．6＋2A[由雙曲線定義得|QF1|－|QF2|＝2a＝23，故|QF1|＋|PQ|＝|PQ|＋|QF2|＋23.如圖所示，當(dāng)P，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)共線，即Q在M位置時(shí)，|QF1|＋|PQ|取最小值，∵F2(2，0)，P(0，2)，∴直線PF2的方程為y＝－x＋2，聯(lián)立x23－y2＝1，解得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為3?6此時(shí)|QF2|＝3?62?22+故選A.]7．(2024·安徽六安模擬)已知雙曲線C：x216?y29＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y＝kx與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝|F1FA．18 B．10C．9 D．6C[直線y＝kx與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝|F1F2|，則四邊形AF1BF2為矩形，所以AF1⊥BF1，|BF1|＝|AF2|，由雙曲線C：x216?y29＝1可得a＝4，b＝3，則所以|AB|＝|F1F2|＝2c＝10，所以|AF1|2＋|BF1|2＝|AB|2＝100，又||AF1|－|BF1||＝||AF1|－|AF2||＝2a＝8，所以|AF1|2＋|BF1|2－2|AF1||BF1|＝64，解得|AF1||BF1|＝18，所以S△ABF1＝12|AF1||BF8．(2024·江西南昌模擬)已知雙曲線C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若在C上存在點(diǎn)P(不是頂點(diǎn))，使得∠PF2F1＝3A．(2，2) B．(3，＋∞)C．(1，3] D．(1，2]A[設(shè)PF1與y軸交于Q點(diǎn)，連接QF2，則QF1＝QF2，∴∠QF1F2＝∠QF2F1.因?yàn)椤螾F2F1＝3∠PF1F2，故P點(diǎn)在雙曲線右支上，且∠PF2Q＝∠PQF2＝2∠PF1F2，故|PQ|＝|PF2|，而|PF1|－|PF2|＝2a，故|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a，在Rt△QOF1中，|QF1|＞|OF1|，即2a＞c，故e＝ca由∠PF2F1＝3∠PF1F2，且三角形內(nèi)角和為180°，故∠PF1F2＜180°4＝45°，則cos∠PF1F2＝OF1QF1＞cos45°，即c2a＞2所以C的離心率的取值范圍為(2，2)．故選A.]二、多項(xiàng)選擇題9．(2024·福建福州模擬)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，以線段F1F2為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A．|PF1|與雙曲線的實(shí)軸長相等B．△PF1F2的面積為32aC．雙曲線的離心率為10D．直線3x＋2y＝0是雙曲線的一條漸近線BCD[因?yàn)閨PF1|＝3|PF2|，又由題意及雙曲線的定義可得：|PF1|－|PF2|＝2a，則|PF2|＝a，|PF1|＝3a≠2a，A不正確；因?yàn)镻在以F1F2為直徑的圓上，所以PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝12×3a在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝10a2，即4c2＝10a2，所以離心率e＝ca＝10因?yàn)閎2＝c2－a2＝32a2所以漸近線的方程為y＝±bax＝±32即3x±2y＝0，D正確．故選BCD.]10．(2024·湖南常德模擬)如圖為陜西博物館收藏的國寶－－唐金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作的典范．該杯的主體部分可以近似看作雙曲線C：x2a2?y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右支與直線x＝0,y＝4,y＝－2圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為103A．雙曲線C的方程為x2B．雙曲線y23－x2＝1與雙曲線C．雙曲線C上存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使它與D，E兩點(diǎn)的連線的斜率之積為3D．存在一點(diǎn)，使過該點(diǎn)的任意直線與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)ABC[由題意可得M533，4所以533解得a2＝3，b2＝9，所以雙曲線方程為x2雙曲線x23?y29＝1的漸近線方程為y＝±3x，雙曲線y23－由題意得D(－3，0)，E(3，0)，設(shè)P(x0，y0)(x0≠±3)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則x023?y029＝1，即y02＝3x02所以