法向量的求法及其空間幾何題的解答

狀元堂一對(duì)一個(gè)性化輔導(dǎo)教案教師張敏科目數(shù)學(xué)時(shí)間2013年6月4日學(xué)生董洲年級(jí)高二學(xué)校德陽(yáng)西校區(qū)授課內(nèi)容空間法向量求法及其應(yīng)用立體幾何知識(shí)點(diǎn)與例題講解難度星級(jí)★★★★教學(xué)內(nèi)容上堂課知識(shí)回憶〔教師安排〕：平面向量的根本性質(zhì)及計(jì)算方法空間向量的根本性質(zhì)及計(jì)算方法本堂課教學(xué)重點(diǎn)：掌握空間法向量的求法及其應(yīng)用掌握用空間向量求線線角，線面角，面面角及點(diǎn)面距熟練靈活運(yùn)用空間向量解決問(wèn)題得分：平面法向量的求法及其應(yīng)用平面的法向量1、定義：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有兩大類(lèi)〔從方向上分〕，無(wú)數(shù)條。2、平面法向量的求法方法一(內(nèi)積法):在給定的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面的法向量[或，或]，在平面內(nèi)任找兩個(gè)不共線的向量。由，得且，由此得到關(guān)于的方程組，解此方程組即可得到。平面法向量的應(yīng)用求空間角(1)、求線面角：如圖2-1，設(shè)是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，，那么AB與平面所成的角為：圖2-1-1:圖2-1-2:圖2-1-1圖2-1-1αBACAABα圖2-1-2Cα圖2-3ββα圖2-2(2)、求面面角:設(shè)向量，分別是平面、的法向量，那么二面角的平面角為：α圖2-3ββα圖2-2〔圖2-2〕;(圖2-3)兩個(gè)平面的法向量方向選取適宜,可使法向量夾角就等于二面角的平面角。約定，在圖2-2中，的方向?qū)ζ矫娑韵蛲?，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)；在圖2-3中，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)，的方向?qū)ζ矫娑韵騼?nèi)。我們只要用兩個(gè)向量的向量積〔簡(jiǎn)稱(chēng)“外積”，滿足“右手定那么”〕使得兩個(gè)半平面的法向量一個(gè)向內(nèi)一個(gè)向外，那么這兩個(gè)半平面的法向量的夾角即為二面角的平面角。求空間距離圖2-4n圖2-4nabAB方法指導(dǎo)：如圖2-4,①作直線a、b的方向向量、，求a、b的法向量，即此異面直線a、b的公垂線的方向向量；②在直線a、b上各取一點(diǎn)A、B，作向量；圖2-5AαMBNO③求向量在上的射影d，那么異面直線圖2-5AαMBNO,其中AaBAaBα圖2-6方法指導(dǎo)：如圖2-5,假設(shè)點(diǎn)B為平面α外一點(diǎn)，點(diǎn)A為平面α內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為，那么點(diǎn)P到平面α的距離公式為圖2-7α圖2-7αβAB方法指導(dǎo)：如圖2-6,直線與平面之間的距離：，其中。是平面的法向量〔4〕、平面與平面間的距離:方法指導(dǎo)圖2-8αa圖2-8αa證明圖2-9αa〔1〕、證明線面垂直：在圖2-8中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量共線〔〕。圖2-9αa〔2〕、證明線面平行：在圖2-9中,向是平面的法向量，是直線a的方向向量，證明平面的法向量與直線所在向量垂直〔〕。圖2-10圖2-10βα〔3〕、證明面面垂直：在圖2-10中，是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量垂直〔〕圖2-11αβ〔4〕、證明面面平行：在圖2-11中,向是平面的法向量，是平面的法向量，證明兩平面的法向量共線〔〕。圖2-11αβ圖3-1C圖3-1CDMAPB1、〔2005全國(guó)I，18〕〔本大題總分值12分〕如圖3-1,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)〔Ⅰ〕證明：面PAD⊥面PCD；〔Ⅱ〕求AC與PB所成的角；〔Ⅲ〕求面AMC與面BMC所成二面角的大小解:以A點(diǎn)為原點(diǎn),以分別以AD，AB，AP為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz如下圖.，，設(shè)平面PAD的法向量為，，設(shè)平面PCD的法向量為，，即平面PAD平面PCD。，，，，設(shè)平在AMC的法向量為.又,設(shè)平面PCD的法向量為..面AMC與面BMC所成二面角的大小為.2、(2006年云南省第一次統(tǒng)測(cè)19題)(此題總分值12分)圖3-2如圖3-2，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，圖3-2AB＝AA1＝a，BC＝a，M是AD的中點(diǎn)。(Ⅰ)求證：AD∥平面A1BC；(Ⅱ)求證：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求點(diǎn)A到平面A1MC的距離。解:以D點(diǎn)為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如下圖.,,設(shè)平面A1BC的法向量為又,,,即AD//平面A1BC.,,設(shè)平面A1MC的法向量為:,又,,設(shè)平面A1BD1的法向量為:,,,即平面A1MC平面A1BD1.設(shè)點(diǎn)A到平面A1MC的距離為d,是平面A1MC的法向量,又,A點(diǎn)到平面A1MC的距離為:.用空間向量解決立體幾何的“三步曲”(1)、建立空間直角坐標(biāo)系(利用現(xiàn)有三條兩兩垂直的直線，注意已有的正、直條件,相關(guān)幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用，建立右手系)，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；〔化為向量問(wèn)題〕〔2〕、通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；〔進(jìn)行向量運(yùn)算〕〔3〕、把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。〔回到圖形問(wèn)題〕立體幾何知識(shí)點(diǎn)和例題講解一、知識(shí)點(diǎn)<一>常用結(jié)論1．證明直線與直線的平行的思考途徑：〔1〕轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn)；〔2〕轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；〔3〕轉(zhuǎn)化為線面平行；〔4〕轉(zhuǎn)化為線面垂直；〔5〕轉(zhuǎn)化為面面平行.2．證明直線與平面的平行的思考途徑：〔1〕轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；〔2〕轉(zhuǎn)化為線線平行；〔3〕轉(zhuǎn)化為面面平行.3．證明平面與平面平行的思考途徑：〔1〕轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)；〔2〕轉(zhuǎn)化為線面平行；〔3〕轉(zhuǎn)化為線面垂直.4．證明直線與直線的垂直的思考途徑：〔1〕轉(zhuǎn)化為相交垂直；〔2〕轉(zhuǎn)化為線面垂直；〔3〕轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；〔4〕轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.5．證明直線與平面垂直的思考途徑：〔1〕轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；〔2〕轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；〔3〕轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；〔4〕轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；〔5〕轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.6．證明平面與平面的垂直的思考途徑：〔1〕轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；〔2〕轉(zhuǎn)化為線面垂直.7.夾角公式：設(shè)a＝，b＝，那么cos〈a，b〉=.8．異面直線所成角：=〔其中〔〕為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量〕9.直線與平面所成角：(為平面的法向量).10、空間四點(diǎn)A、B、C、P共面，且x+y+z=111.二面角的平面角或〔，為平面，的法向量〕.12.三余弦定理：設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設(shè)AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．那么.13.空間兩點(diǎn)間的距離公式假設(shè)A，B，那么=.14.異面直線間的距離：(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點(diǎn)，為間的距離).15.點(diǎn)到平面的距離：〔為平面的法向量，是經(jīng)過(guò)面的一條斜線，〕.16.三個(gè)向量和的平方公式：17.長(zhǎng)度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長(zhǎng)分別為，夾角分別為,那么有.〔立體幾何中長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)的公式是其特例〕.18.面積射影定理.(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的).19.球的組合體(1)球與長(zhǎng)方體的組合體:長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng),正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng),正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).(3)球與正四面體的組合體:棱長(zhǎng)為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.20.

求點(diǎn)到面的距離的常規(guī)方法是什么？〔直接法、體積法〕21.

求多面體體積的常規(guī)方法是什么？〔割補(bǔ)法、等積變換法〕〈二〉溫馨提示：1.在用反三角函數(shù)表示直線的傾斜角、兩條異面直線所成的角等時(shí)，你是否注意到它們各自的取值范圍及義？①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍依次.②直線的傾斜角、到的角、與的夾角的取值范圍依次是．③反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是．二、題型與方法【例題解析】考點(diǎn)1點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)到平面的距離就是求點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面內(nèi)的垂足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.例1如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)．ABCD〔Ⅰ〕求證：平面ABCD〔Ⅱ〕求二面角的大??；〔Ⅲ〕求點(diǎn)到平面的距離．考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．解答過(guò)程：解法二：〔Ⅰ〕取中點(diǎn)，連結(jié)．為正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．xzABCDOFy取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，那么，，，，，xzABCDOFy，，．，，，．平面．〔Ⅱ〕設(shè)平面的法向量為．，．，，令得為平面的一個(gè)法向量．由〔Ⅰ〕知平面，為平面的法向量．，．二面角的大小為．〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕，為平面法向量，．點(diǎn)到平面的距離．小結(jié)：本例中〔Ⅲ〕采用了兩種方法求點(diǎn)到平面的距離.解法二采用了平面向量的計(jì)算方法，把不易直接求的B點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點(diǎn)K到平面的距離的計(jì)算方法，這是數(shù)學(xué)解題中常用的方法；解法一采用了等體積法，這種方法可以防止復(fù)雜的幾何作圖，顯得更簡(jiǎn)單些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法.考點(diǎn)2異面直線的距離此類(lèi)題目主要考查異面直線的距離的概念及其求法，考綱只要求掌握已給出公垂線段的異面直線的距離.例2三棱錐，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，棱的長(zhǎng)為2，且垂直于底面.分別為的中點(diǎn)，求CD與SE間的距離.思路啟迪：由于異面直線CD與SE的公垂線不易尋找，所以設(shè)法將所求異面直線的距離，轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到平面的距離.解答過(guò)程：如下圖，取BD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，SF，CF，為的中位線，∥∥面,到平面的距離即為兩異面直線間的距離.又線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線上一點(diǎn)C到平面的距離，設(shè)其為h，由題意知，,D、E、F分別是AB、BC、BD的中點(diǎn)，在Rt中，在Rt中，又由于，即，解得故CD與SE間的距離為.小結(jié)：通過(guò)本例我們可以看到求空間距離的過(guò)程，就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程.考點(diǎn)3直線到平面的距離此類(lèi)題目再加上平行平面間的距離，主要考查點(diǎn)面、線面、面面距離間的轉(zhuǎn)化.例3．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，G是的中點(diǎn)，求BD到平面的距離.BACDBACDOGH解答過(guò)程：解析一∥平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求點(diǎn)O平面的距離,，，平面,又平面平面，兩個(gè)平面的交線是,作于H，那么有平面，即OH是O點(diǎn)到平面的距離.在中，.又.即BD到平面的距離等于.解析二∥平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求點(diǎn)B平面的距離.設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為h，將它視為三棱錐的高，那么,即BD到平面的距離等于.小結(jié)：當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關(guān)鍵是選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點(diǎn)直接作出距離；解析二是等體積法求出點(diǎn)面距離.考點(diǎn)4異面直線所成的角此類(lèi)題目一般是按定義作出異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角形來(lái)求角.異面直線所成的角是高考考查的重點(diǎn).例4、如圖，在中，，斜邊．可以通過(guò)以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角的直二面角．是的中點(diǎn)．〔=1\*ROMANI〕求證：平面平面； 〔=2\*ROMANII〕求異面直線與所成角的大?。悸穯⒌希骸?2\*ROMANII〕的關(guān)鍵是通過(guò)平移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形內(nèi).解答過(guò)程：解法1：〔=1\*ROMANI〕由題意，，，是二面角是直二面角，，又，平面，又平面．平面平面．〔=2\*ROMANII〕作，垂足為，連結(jié)〔如圖〕，那么，是異面直線與所成的角．在中，，，．又．在中，．異面直線與所成角的大小為．解法2：〔=1\*ROMANI〕同解法1．〔=2\*ROMANII〕建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，那么，，，，，，．異面直線與所成角的大小為．小結(jié)：求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：①平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；②補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，如解析三.一般來(lái)說(shuō)，平移法是最常用的，應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法.同時(shí)要特別注意異面直線所成的角的范圍：.考點(diǎn)5直線和平面所成的角此類(lèi)題主要考查直線與平面所成的角的作法、證明以及計(jì)算.線面角在空間角中占有重要地位，是高考的?？純?nèi)容.例5.四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面．，，，．〔Ⅰ〕證明；〔Ⅱ〕求直線與平面所成角的大?。疾槟康模罕拘☆}主要考查直線與直線,直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．解答過(guò)程：DBDBCAS〔Ⅰ〕作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面．因?yàn)?，所以．又，為等腰直角三角形，．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系，，，，，，DBCAS，，所以DBCAS〔Ⅱ〕取中點(diǎn)，，連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，．，，．，，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直．所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，那么與互余．，．，，所以，直線與平面所成的角為．小結(jié)：求直線與平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問(wèn)題是〔1〕先判斷直線和平面的位置關(guān)系；〔2〕當(dāng)直線和平面斜交時(shí)，常用以下步驟：①構(gòu)造——作出斜線與射影所成的角，②證明——論證作出的角為所求的角，③計(jì)算——常用解三角形的方法求角，④結(jié)論——點(diǎn)明直線和平面所成的角的值.考點(diǎn)6二面角此類(lèi)題主要是如何確定二面角的平面角，并將二面角的平面角轉(zhuǎn)化為線線角放到一個(gè)適宜的三角形中進(jìn)行求解.二面角是高考的熱點(diǎn)，應(yīng)重視.例6．如圖，直二面角，，，，，，直線和平面所成的角為．〔I〕證明；ABABCQP〔II〕求二面角的大小．命題目的：此題主要考查直線與平面垂直、二面角等根本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.ABCQPOH過(guò)程指引：〔I〕在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)ABCQPOH因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以．而，所以，，從而，又，所以平面．因?yàn)槠矫?，故．〔II〕解法一：由〔I〕知，，又，，，所以．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，由三垂線定理知，．故是二面角的平面角．由〔I〕知，，所以是和平面所成的角，那么，不妨設(shè)，那么，．在中，，所以，于是在中，．故二面角的大小為．ABCQPOxyz解法二：由〔I〕知，，，，故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系〔如圖〕．ABCQPOxyz因?yàn)?，所以是和平面所成的角，那么．不妨設(shè)，那么，．在中，，所以．那么相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，，．所以，．設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得取，得．易知是平面的一個(gè)法向量．設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，．所以．故二面角的大小為．小結(jié)：此題是一個(gè)無(wú)棱二面角的求解問(wèn)題.解法一是確定二面角的棱，進(jìn)而找出二面角的平面角.無(wú)棱二面角棱確實(shí)定有以下三種途徑：①由二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線確定棱，②由二面角兩個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱，③補(bǔ)形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二那么是利用平面向量計(jì)算的方法，這也是解決無(wú)棱二面角的一種常用方法，即當(dāng)二面角的平面角不易作出時(shí)，可由平面向量計(jì)算的方法求出二面角的大小.考點(diǎn)7利用空間向量求空間距離和角眾所周知，利用空間向量求空間距離和角的套路與格式固定.當(dāng)掌握了用向量的方法解決立體幾何問(wèn)題這套強(qiáng)有力的工具時(shí)，不僅會(huì)降低題目的難度，而且使得作題具有很強(qiáng)的操作性.例7．如圖，是棱長(zhǎng)為的正方體，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且．〔1〕求證：四點(diǎn)共面；〔2〕假設(shè)點(diǎn)在上，，點(diǎn)在上，，垂足為，求證：平面；〔3〕用表示截面和側(cè)面所成的銳二面角的大小，求．命題意圖：本小題主要考查平面的根本性質(zhì)、線線平行、線面垂直、二面角等根底知識(shí)和根本運(yùn)算，考查空間想象能力、邏輯推理能力和運(yùn)算能力．過(guò)程指引：解法二：建立如下圖的坐標(biāo)系，那么，，，所以，故，，共面．又它們有公共點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面．〔2〕如圖，設(shè)，那么，而，由題設(shè)得，得．因?yàn)?，，有，又，，所以，，從而，．故平面．?〕設(shè)向量截面，于是，．而，，得，，解得，，所以．又平面，所以和的夾角等于或〔為銳角〕．于是．故．小結(jié)：向量法求二面角的大小關(guān)鍵是確定