2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)同步練習(xí)-第五章 函數(shù)應(yīng)用綜合拔高練

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

第五章函數(shù)應(yīng)用

綜合拔置)練

五年高考練

考點(diǎn)1函數(shù)零點(diǎn)、方程的根與函數(shù)圖象的關(guān)系

1.(2020全國(guó)I理,12)若2a+log2a=平+210g4b廁()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

2.(2020天津,9)已知函數(shù)；若函數(shù)g(x);f(x)-|kx2-2x|(k￡R)恰有4

個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是()

A.(-oo,-0u(2V2,+oo)

B.(-OO,-|)U(0,2V2)

C.(-oo,0)U(0,2V2)

D.(-°°,0)U(2V2,+oo)

3.(2018課標(biāo)全國(guó)1,9)已知函數(shù)除):=f(x)+x+a.若g(x)存在2

個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()

A.[-l,0)B.[0,+oo)

C.[-l,+oo)D.[l,+oo)

4.(2017課標(biāo)全國(guó)ID,12)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(exT+e”+i)有唯一零點(diǎn)廁

a=

A11C1

----

2B.32D.1

5.(2021北京,15)已知f(x)=|lgx|-kx-2,給出下列四個(gè)結(jié)論：

⑴若k=0,則f(x)有兩個(gè)零點(diǎn);

(2)31<<0,使得1:僅)有一個(gè)零點(diǎn)；

(3)51<<0,使得1:僅)有三個(gè)零點(diǎn)；

(4)31<>0,使得1:僅)有三個(gè)零點(diǎn).

以上正確結(jié)論的序號(hào)是.

:或E,x<入當(dāng)入=2時(shí),不等式

f(x)<0的解集是.若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則A的取值范圍

是.

2x

7.(2018天津,14)已知a>0,函數(shù)f(x)={^2+^+^；:'若關(guān)于的方程

f(x)=ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是.

考點(diǎn)2函數(shù)模型的應(yīng)用

8.(2020全國(guó)新高考1,6)基本再生數(shù)Ro與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基

本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所

需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)=ert描述累計(jì)感染

病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與Ro,T近似滿足

Ro=l+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出Ro=3.28,T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始

階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(In2*669)()

A.1.2天B.1.8天C25天D.3.5天

9.(2020全國(guó)ID理,4)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.

有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位:天)的

Logistic模型:嗔)=]+四黑53)，其中K為最大確診病例數(shù).當(dāng)I(t*)=0.95K時(shí)標(biāo)志

著已初步遏制疫情廁t*約為(In19?3)()

A.60B.63C.66D.69

三年模擬練

應(yīng)用實(shí)踐

1.(2021江西撫州期末)用二分法求函數(shù)f(x)=log2x+a-2x零點(diǎn)的近似值時(shí)，如果

確定零點(diǎn)所處的初始區(qū)間為C，鄉(xiāng),那么a的取值范圍為()

A.(-oo,2)

B.(|,+8)

D.（-8,2）U（|,+8）

11

2.（2020山東日照期中）函數(shù)f（x）5等的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）

則）B.（/

3.（2020安徽蕪湖調(diào)研）如圖所示，一張正方形的紙片，剪去兩個(gè)一樣的小矩形得到

一個(gè)"E"圖案.設(shè)剪去的小矩形的一條邊長(zhǎng)為x,其鄰邊長(zhǎng)為y,剪去部分的面積

為20,若2WXW10,設(shè)y=f（x）,則函數(shù)y=f（x）的圖象是（）

0—210^0\~2rtr%

4.（2020江西南昌調(diào)研）已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）=ex+x-2的零點(diǎn)為a,

函數(shù)g（x）=lnx+x-2的零點(diǎn)為b,則下列不等式中成立的是（）

A.a<l<bB.a<b<l

C.l<a<bD.b<l<a

(-2x<-2,

5.(2020陜西寶雞期末)已知函數(shù)f(x)=ax2-x+2,函數(shù)g(x)=%；f2a<2,若函數(shù)

2,x>2,

y=f(x)-g(x)恰好有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-oo,0)

B.(-oo,0)U(0,|)

D.(-OO,0)U(L+8)

6.(2022廣西柳州一模)5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一是著名的香農(nóng)公

式:C=Wlog2(l+它表示在受高斯白噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C

取決于信道帶寬W.S是信道內(nèi)所傳信號(hào)的平均功率,N是信道內(nèi)部的高斯噪聲功

率怖叫作信噪比.按照香農(nóng)公式，在不改變W的情況下,將信噪比寶從1999提升至

入使得C增加了20%,則人的值約為(參考數(shù)據(jù):1g2^0.3,10396^9120)()

A.9121B.9119

C.9919D.10999

7.(2022北京一零一中學(xué)期末)已知某種藥物在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減,

現(xiàn)給某病人靜脈注射了該藥物2500mg,設(shè)經(jīng)過x小時(shí)后，藥物在病人血液中的

量為ymg.

(Dy與x的關(guān)系式為;

(2)當(dāng)該藥物在病人血液中的量保持在1500mg以上時(shí)，才有療效;而低于500

mg時(shí)，病人就有危險(xiǎn),則要使病人沒有危險(xiǎn)，再次注射該藥物的時(shí)間不能超過

小時(shí).(參考數(shù)據(jù)：0.823工0.6,0.872弋020.899。0.11)

8.(2020福建龍巖一中月考)已知函數(shù)f(x)=x2-3mx+n的兩個(gè)零點(diǎn)分別為1和2.

(1)求m,n的值；

(2)若不等式f(x)-k>0在x￡[0,5]上恒成立，求k的取值范圍；

⑶令g(x)二修,若函數(shù)F(x)=g(2x)-「2x在x￡[-1,1]上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)r的取值范

圍.

遷移創(chuàng)新

9.（2022山西太原期中）國(guó)慶節(jié)期間,某商場(chǎng)進(jìn)行如下的優(yōu)惠促銷活動(dòng)：

優(yōu)惠一:一次購(gòu)買商品的價(jià)格，每滿60元立減5元；

優(yōu)惠二:在優(yōu)惠一之后，每滿400元再減40元.

例如，一次購(gòu)買商品的價(jià)格為140元，則實(shí)際支付金額為140-5xM=140-

L6UJ

5x2=130（元），其中岡表示不大于x的最大整數(shù).又如，一次購(gòu)買商品的價(jià)格為

880元廁實(shí)際支付金額為880-5x［嚶］-40x2=730（元）.

L6UJ

（1）小明計(jì)劃在該商場(chǎng)購(gòu)買兩件價(jià)格分別是250元和650元的商品，他是分兩次

支付好，還是一次性支付好?請(qǐng)說明理由；

（2）已知某商品是小明常用必需品，其價(jià)格為30元/件.小明趁商場(chǎng)促銷，想多購(gòu)買

幾件該商品,其預(yù)算不超過500元,試求他應(yīng)購(gòu)買多少件該商品，才能使其平均價(jià)

格最低.最低平均價(jià)格是多少？

本章達(dá)標(biāo)檢測(cè)見增分測(cè)評(píng)卷P9

答案與分層梯度式解析

第五章函數(shù)應(yīng)用

綜合拔IWJ練

五年高考練

1.132a+log2a=22b+log2b<22b+log2(2b),

令f(x)=2x+log2X,則f(a)<f(2b),

易知f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以a<2b,故選B.

2.P令h(x)=|kx2-2x|,函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|(kwR)恰有4個(gè)零點(diǎn)，即y=f(x)與

y=h(x)的圖象恰有4個(gè)不同交點(diǎn).

當(dāng)k=/時(shí),h(x)斗*2xH，+2x|在同一直角坐標(biāo)系中作出y=f(x),y=h(x)的圖

象，如圖1所示.

此時(shí)y=f(x)與y=h(x)的圖象恰有4個(gè)不同交點(diǎn),即函數(shù)g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4

個(gè)零點(diǎn)才非除A,B;

當(dāng)k=l時(shí),h(x)=|x2-2x|,作出y=h(x)與y=f(x)的圖象如圖2所示.

此時(shí)函數(shù)y=f(x)與y=h(x)的圖象僅有2個(gè)交點(diǎn)，不符合題意才非除C.故選D.

3。令h(x)=-x-a,由題意可知函數(shù)f(x)與h(x)的圖象存在2個(gè)交點(diǎn)，如圖，

月㈤

當(dāng)x=0時(shí),h。=-a而圖可知要滿足y=f(x)與y=h(x)的圖象存在2個(gè)交點(diǎn)，需要-

、1,即笑-1.故選(：.

4.C由函數(shù)f(x)有零點(diǎn)彳導(dǎo)x2-2x+a(ex：L+ex+1)=0有解，即(x-l)2-l+a(ex；+e-

x+i)=O有解,

令t=x-L則上式可化為t2-l+a(et+e-t)=0,即a=嘉.

令h(t)二冷，易得h(t)為偶函數(shù)，

由f(x)有唯一零點(diǎn)得函數(shù)h(t)的圖象與直線y=a有唯一交點(diǎn)，則此交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

為0,

所以a=y與故選C.

5.答案(1)(2)(4)

解析令f(x)=|lgx|-kx-2=0,^#|lgx|=kx+2,

所以f(x)的零占個(gè)數(shù)即函羲g(x)與h(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

當(dāng)k=0時(shí)，如圖a,g(x)與h(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)廁f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，故⑴正確；

當(dāng)k>0時(shí)，如圖b,存在h(x)=kox+2的圖象與函數(shù)g(x)=|lgx|(x>l)的圖象相切

的情況，此時(shí)h(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)0<k<k。時(shí),g(x)與h(x)的圖象有三

個(gè)交點(diǎn)，則f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，故(4)正確；

&k<0而如圖c,g(x但標(biāo)x)的圖象最多有兩個(gè)交點(diǎn),g(x)與h(x)的圖象相切時(shí)有

一個(gè)交點(diǎn)，如圖d,故⑵正確，⑶不正確.

綜上，正確結(jié)論的序號(hào)為⑴⑵(4).

圖C

圖d

6答案(l,4);(l,3]U(4,+oo)

解析當(dāng)人=2時(shí),不等式f(x)<0等價(jià)于

儼22,或產(chǎn)<2,

lx-4<0"^U2-4x+3<0,

gp2<x<4或l<x<2,

故不等式f(x)<0的解集為(L4).

易知函數(shù)y=x-4(x￡R)有一個(gè)零點(diǎn)xi=4,函數(shù)y=x2-4x+3(x￡R)有兩個(gè)零點(diǎn)

X2二1X：—3

在同二坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，要使函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則只能有以

下兩種情形:①兩個(gè)零點(diǎn)為L(zhǎng)3,結(jié)合圖可知,此時(shí)入>4.②兩個(gè)零點(diǎn)為1,4,結(jié)合圖可

知，此時(shí)1<入43.

綜上，入的取值范圍為(L3]U(4,+8).

7.答案(4,8)

解需設(shè)g(x)=f(x)-ax而題意可知方程f(x)=ax恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解即函數(shù)

y=g(x)有2個(gè)零點(diǎn)，即y=g(x)的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，滿足條件的y=g(x)的圖

象有以下兩種情況：

情況一：

情況二：

=:，不等式組無解.

="8a>0,

綜上，滿足條件的a的取值范圍是(4,8).

8.13因?yàn)镽o=3.28,T=6且Ro=l+rT,所以指數(shù)增長(zhǎng)率r=攀=0.38,設(shè)累計(jì)感染

病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為t天廁I(t)=2I(0),gpeJ2,即e。38t=2,兩邊取自然

對(duì)數(shù)得lne0-38t=ln2,即0.38t=ln2,又In2+0.69,所以t=占a然*1.8.故選B.

U.3OU.Jo

9.CI(t*)=—書=0.95K,整理可得嚴(yán)(9=19,兩邊取自然對(duì)數(shù)得0.23(廣

53)=lnl9,解得566,故選C.

三年模擬練

ir若零點(diǎn)所處的初始區(qū)間為G，3

則fe)f(*(-2+W)(T+a-l)<。

解得2<a<|,所以a的取值范圍為(2.|),故選C.

11

2.B易知f(x)在R上單調(diào)遞增，其圖象是一條連續(xù)的曲線.」(§=(『(券<0,f

11

削削(3>。,

???f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為質(zhì)斗故選B.

3.A由題意知2乂丫=20,「沖=10,4=32<410),故選A.

4.A令f(x)=ex+x-2=0,則ex=2-x,

令g(x)=lnx+x-2=0廁Inx=2-x,

設(shè)yi=ex,y2=lnx,y3=2-x,

x

在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)yi=e,y2=lnx,y3=2-x的圖象，如圖.

?.,函數(shù)f(x)=ex+x-2的零點(diǎn)為a,函數(shù)g(x)=lnx+x-2的零點(diǎn)為b,

「?yi=ex與y3=2-x圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a,y2=lnx與y3=2-x圖象的交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)為b面圖象知a<1<b,故選A.

5.13依題意得f(x)與g(x)的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，且f(x)的圖象恒過點(diǎn)(0,2).

當(dāng)a=0時(shí),f(x)=2-x,止匕時(shí)f(x)與g(x)的圖象僅有1個(gè)交點(diǎn)，舍去.

當(dāng)a<0時(shí),f(x)的圖象開口向下且恒過點(diǎn)(0,2),此時(shí)f(x)與g(x)的圖象一定有2個(gè)

不同的交點(diǎn).

當(dāng)a>0時(shí),f(x)的圖象開口向上且恒過點(diǎn)。2),對(duì)稱軸為直線x=/且《>0.

當(dāng)f(x)與g(x)的圖象僅有1個(gè)交點(diǎn)時(shí),可求得a=l，

要使f(x)與g(x)的圖象有2個(gè)不同的交點(diǎn)，只需0<2<去

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,0)U(o,0.

故選B.

6.13由題意得把喘雷產(chǎn)=20%,

.?.^=1.2,.-.log2(l+X)=1.2log22000,

.??1+入=200012,/.A=200012-1,

y.lg200012=1.2lg2000=1.2(lg2+3)*1.2x(0.3+3)=3.96,

.-.2OCX)12=103.96英120,/.A=2000i2_i=9119.

7.答案(l)y=2500x0.8x(2)7.2

解析⑴由題意知，經(jīng)過x小時(shí)后，藥物在病人血液中的量y=2500x(1-

20%)x=2500x0.8x,即y與x的關(guān)系式為y=2500x0.8\

(2)令2500x0.8x2500,即0.8x>0.2.

.??0.8&02y=0.8x是單調(diào)遞減函數(shù)，

/.x<7.2,

要使病人沒有危險(xiǎn)，再次注射該藥物的時(shí)間不能超過7.2小時(shí).

8.解析⑴由函數(shù)f(x)=x2-3mx+n的兩個(gè)零點(diǎn)分別為1和2,

可得l-3m+n=0,4-6m+n=0,解得m=l,n=2.

(2)由⑴可得f(x)=x2-3x+2.

由不等式f(x)-k>0在x￡［0,5］上恒成立，可得不等式k<f(x)在x￡［0,5］上恒成立，

,.,f(x)=x2-3x+2=(%-，工

「.f(x)=x2-3x+2在x￡［0,5］上的最小值為f(|)=T，k<q.

⑶由⑴得g(x)="=x+|-3.

?