1997年第8“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試卷（初一第2試）

1997年第8屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試卷（初一第2試）一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（3分）的8倍與的和是A． B． C． D．2．（3分）（2018?武侯區(qū)校級自主招生）成立的條件是A． B． C． D．3．（3分）（2014秋?圍場縣校級期末）文具店、書店和玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西邊20米處，玩具店位于書店東邊100米處，小明從書店沿街向東走了40米，接著又向東走了米，此時小明的位置在A．文具店 B．玩具店 C．文具店西邊40米 D．玩具店東米4．（3分）有4個關(guān)于方程：（1）（2）（3）（4）其中同解的兩個方程是A．（1）與（2） B．（1）與（3） C．（1）與（4） D．（2）與（4）5．（3分）已知，且，則的值是A． B． C． D．6．（3分）1997個不全相等的有理數(shù)之和為零，則這1997個有理數(shù)中A．至少有一個是零 B．至少有998個正數(shù) C．至少有一個是負(fù)數(shù) D．至多有1995個是負(fù)數(shù)7．（3分），，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則A． B． C． D．8．（3分）平面上三條直線相互間的交點個數(shù)為A．3個 B．1個或3個 C．1個或2個或3個 D．不一定，有可能是0個或1個或2個或3個9．（3分）如果個同學(xué)在小時內(nèi)共搬運塊磚，那么個同學(xué)以同樣速度搬運塊磚所需要的小時數(shù)是A． B． C． D．10．（3分）將27個大小相同的小正方體組成一個大正方體，現(xiàn)將大正方體各面上的某些小方格涂上黑色，如圖所示，而且上與下、前與后、左與右相對兩個面上的涂色方式相同，這時，至少有一個面上涂有黑色的小正方體的個數(shù)是A．18 B．20 C．22 D．24二、填空題（共10小題，每小題4分，滿分40分）11．（4分）化簡．12．（4分）的負(fù)倒數(shù)等于19，則．13．（4分）若是關(guān)于，的二元一次方程，則的值等于．14．（4分）《數(shù)理天地》（初中版）月刊，全年共出12期，每期定價2.50元，某中學(xué)初一年級組織集體訂閱，有些學(xué)生訂半年而另一些學(xué)生訂全年，共需訂費1320元，若訂全年的同學(xué)都改訂半年，而訂半年的同學(xué)均改訂全年時，共需訂費1245元，則該中學(xué)初一年級訂閱《數(shù)理天地》（初中版）的學(xué)生共有人．15．（4分）如圖所示，是直線上一點，，于，平分，則圖中彼此互補的角共有對．16．（4分）（2018秋?江北區(qū)校級期中）設(shè)，則．17．（4分）如圖所示，中，點在邊上，，點在邊上，，點在邊上，，已知陰影的面積是19平方厘米，那么的面積是平方厘米．18．（4分）容器中盛有濃度為的農(nóng)藥溶液升，容器中盛有濃度為的同類農(nóng)藥溶液升，現(xiàn)將中藥液的倒入中，混合均勻后再由倒溶液回，使中的藥液恢復(fù)為升，則互摻后、兩容器中的藥量差比互摻前、兩容器中的藥量差減少了升．19．（4分）（2016秋?碑林區(qū)校級期末）計算：．20．（4分）有一滿池水，池底有泉總能均勻地向外涌流，已知用24部型抽水機6天可抽干池水，若用21部型抽水機8天也可抽干池水，設(shè)每部抽水機單位時間的抽水量相同，要使這一池水永抽不干，則至多只能用部型抽水機抽水．三、解答題（共2小題，滿分30分）21．（15分）已知一個七位自然數(shù)是99的倍數(shù)（其中、是阿拉伯?dāng)?shù)字），試求之值，簡寫出求解過程．22．（15分）用24個面積為1的單位正三角形拼成如圖所示的正六邊形，我們把面積為4的正三角形稱為“希望形”．（1）請你回答，圖中共可數(shù)出多少個不同的“希望形”？（2）將這24個自然數(shù)填入24個單位正三角形中（每個里只填1個數(shù)）．我們依次對所有“希望形”中的4個單位正三角形中填的數(shù)同時加上一個相同的自然數(shù)稱為一次操作，問能否經(jīng)過有限次操作后，使圖中24個單位正三角形中都變?yōu)橄嗤淖匀粩?shù)？如果能，請給出一種填法，如果不能，請簡述理由．

1997年第8屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試卷（初一第2試）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．（3分）的8倍與的和是A． B． C． D．【考點】32：列代數(shù)式【分析】的8倍表示為：，則的8倍與的和表示為：．【解答】解：由題意得，的8倍與的和為．故選：．【點評】本題考查了列代數(shù)式，列代數(shù)式首先要弄清語句中各種數(shù)量的意義及其相互關(guān)系，然后把各種數(shù)量用適當(dāng)?shù)淖帜竵肀硎荆詈笤侔褦?shù)及字母用適當(dāng)?shù)倪\算符號連接起來，從而列出代數(shù)式．2．（3分）（2018?武侯區(qū)校級自主招生）成立的條件是A． B． C． D．【考點】15：絕對值【分析】根據(jù)條件分析與的關(guān)系，進而求出正確答案．【解答】解：當(dāng)、異號或、中有一個為0時，成立，，故選：．【點評】此題主要考查了絕對值的性質(zhì)，能夠根據(jù)已知條件正確地判斷出、的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．3．（3分）（2014秋?圍場縣校級期末）文具店、書店和玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西邊20米處，玩具店位于書店東邊100米處，小明從書店沿街向東走了40米，接著又向東走了米，此時小明的位置在A．文具店 B．玩具店 C．文具店西邊40米 D．玩具店東米【考點】11：正數(shù)和負(fù)數(shù)；19：有理數(shù)的加法【專題】11：計算題；12：應(yīng)用題【分析】首先審清題意，明確“正”和“負(fù)”所表示的意義；向東走了米就是向西走了60米，再根據(jù)題意作答．【解答】解：向東走了米就是向西走了60米．所以，小明從書店向東走了40米，再向西走60米，結(jié)果是小明的位置在書店西邊20米，也就是文具店的位置，故選．【點評】解答本題的關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負(fù)表示．4．（3分）有4個關(guān)于方程：（1）（2）（3）（4）其中同解的兩個方程是A．（1）與（2） B．（1）與（3） C．（1）與（4） D．（2）與（4）【考點】88：同解方程【分析】（1）移項可解出的值．（2）先去括號在移項合并可得出的值．（3）直接可得出的值．（4）直接移項即可，注意分式有意義的條件．【解答】解：（1）方程的解為，（2）方程的解為，（3）方程的解為，（4）方程無解．只有（1）（2）是同解方程．故選：．【點評】本題考查同解方程的知識，關(guān)鍵是正確求出4個方程的解，難度不大，注意要細(xì)心運算．5．（3分）已知，且，則的值是A． B． C． D．【考點】15：絕對值；44：整式的加減【專題】11：計算題【分析】根據(jù)題意得到與同時為負(fù)數(shù)，利用絕對值的代數(shù)意義化簡，去括號合并即可得到結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意得：，且，即，，則原式．故選：．【點評】此題考查了整式的加減，涉及的知識有：去括號法則，以及合并同類項法則，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．6．（3分）1997個不全相等的有理數(shù)之和為零，則這1997個有理數(shù)中A．至少有一個是零 B．至少有998個正數(shù) C．至少有一個是負(fù)數(shù) D．至多有1995個是負(fù)數(shù)【考點】19：有理數(shù)的加法【專題】11：計算題【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則，舉反例，排除錯誤選項，從而得出正確結(jié)果．【解答】解：由題意，這1997個有理數(shù)可以有零，也可以沒有零，則排除；這1997個有理數(shù)中，必須有正數(shù)和負(fù)數(shù)．例如，1996個和一個1996相加為零，則否定了和．故選：．【點評】本題考查了有理數(shù)的加法．在進行有理數(shù)加法運算時，首先判斷加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0，從而確定用哪一條法則．在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”．7．（3分），，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則A． B． C． D．【考點】13：數(shù)軸；18：有理數(shù)大小比較【專題】11：計算題【分析】本題可根據(jù)數(shù)軸上各點的位置采用取特殊值的方法設(shè)出、、的值，再根據(jù)有理數(shù)大小比較的法則進行比較．【解答】解：設(shè)，，，則，，，，故選：．【點評】本題考查的是有理數(shù)大小比較，熟知數(shù)軸的特點是解答此題的關(guān)鍵．8．（3分）平面上三條直線相互間的交點個數(shù)為A．3個 B．1個或3個 C．1個或2個或3個 D．不一定，有可能是0個或1個或2個或3個【考點】：相交線【專題】13：作圖題【分析】此題要根據(jù)直線的不同位置關(guān)系分析：①三直線平行；②三條直線相交于一點；③兩直線平行被第三直線所截；④兩直線相交，又被第三直線所截．故可得出答案．【解答】解：根據(jù)直線的不同位置關(guān)系，可判斷交點個數(shù)：任意畫三條直線，相交的情況有四種可能：1、三直線平行，沒有交點；2、三條直線相交同一點，一個交點；3、兩直線平行被第三直線所截，得到兩個交點；4、兩直線相交得到一個交點，又被第三直線所截，共三個交點．故選：．【點評】此題注意結(jié)合直線的不同位置關(guān)系進行分析．9．（3分）如果個同學(xué)在小時內(nèi)共搬運塊磚，那么個同學(xué)以同樣速度搬運塊磚所需要的小時數(shù)是A． B． C． D．【考點】列代數(shù)式（分式）【專題】工程問題【分析】應(yīng)先求得1個人1小時的工作效率，進而求得個同學(xué)1小時的工作效率；個同學(xué)以同樣速度搬運塊磚所需要的小時數(shù)工作量個同學(xué)1小時的工作效率，【解答】解：個同學(xué)在小時內(nèi)共搬運塊磚，個同學(xué)1小時的工作效率為，個同學(xué)1小時的工作效率為，個同學(xué)以同樣速度搬運塊磚所需要的小時數(shù)為故選：．【點評】考查列代數(shù)式；得到個同學(xué)以同樣速度搬運塊磚所需要的小時數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵；得到個同學(xué)1小時的工作效率是解決本題的突破點．10．（3分）將27個大小相同的小正方體組成一個大正方體，現(xiàn)將大正方體各面上的某些小方格涂上黑色，如圖所示，而且上與下、前與后、左與右相對兩個面上的涂色方式相同，這時，至少有一個面上涂有黑色的小正方體的個數(shù)是A．18 B．20 C．22 D．24【考點】：專題：正方體相對兩個面上的文字【專題】121：幾何圖形問題【分析】根據(jù)圖形可知第一層至少有一個面上涂有黑色的小正方體的個數(shù)是7個，第二層至少有一個面上涂有黑色的小正方體的個數(shù)是6個，第三層至少有一個面上涂有黑色的小正方體的個數(shù)是7個，相加即可求出結(jié)果．【解答】解：正方體各面上的某些小方格涂上黑色，而且上與下、前與后、左與右相對兩個面上的涂色方式相同，第一層至少有一個面上涂有黑色的小正方體的個數(shù)是7個，第二層至少有一個面上涂有黑色的小正方體的個數(shù)是6個，第三層至少有一個面上涂有黑色的小正方體的個數(shù)是7個，個．故選：．【點評】本題考查靈活運用正方體的相對面解答問題，立意新穎，是一道不錯的題．注意按順序一層一層地數(shù)．二、填空題（共10小題，每小題4分，滿分40分）11．（4分）化簡．【考點】44：整式的加減【專題】11：計算題【分析】根據(jù)平方的非負(fù)性去掉絕對值，然后合并即可．【解答】解：由題意可得：，原式，，故填：．【點評】本題考查整式的加減，難度不大，注意在合并同類項時要細(xì)心．12．（4分）的負(fù)倒數(shù)等于19，則．【考點】17：倒數(shù)【專題】511：實數(shù)；66：運算能力【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義先列出算式，求出的值，再代入要求的式子進行計算即可得出答案．【解答】解：的負(fù)倒數(shù)等于19，，，；故答案為：．【點評】此題考查了倒數(shù)，熟練掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，是一道基礎(chǔ)題．13．（4分）若是關(guān)于，的二元一次方程，則的值等于．【考點】91：二元一次方程的定義【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可建立關(guān)于和的二元一次方程組，再求解．【解答】解：依題意，得，解，得，所以．【點評】二元一次方程必須符合以下三個條件：（1）方程中只含有2個未知數(shù)；（2）含未知數(shù)項的最高次數(shù)為一次；（3）方程是整式方程．14．（4分）《數(shù)理天地》（初中版）月刊，全年共出12期，每期定價2.50元，某中學(xué)初一年級組織集體訂閱，有些學(xué)生訂半年而另一些學(xué)生訂全年，共需訂費1320元，若訂全年的同學(xué)都改訂半年，而訂半年的同學(xué)均改訂全年時，共需訂費1245元，則該中學(xué)初一年級訂閱《數(shù)理天地》（初中版）的學(xué)生共有57人．【考點】：二元一次方程組的應(yīng)用【專題】12：應(yīng)用題【分析】設(shè)訂半年的學(xué)生人，訂全年的學(xué)生人，根據(jù)有些學(xué)生訂半年而另一些學(xué)生訂全年，共需訂費1320元，若訂全年的同學(xué)都改訂半年，而訂半年的同學(xué)均改訂全年時，共需訂費1245元的等量關(guān)系列出方程組即可求得、的值，即可求得訂閱學(xué)生的總數(shù)．【解答】解：設(shè)訂半年的學(xué)生人，訂全年的學(xué)生人，根據(jù)題意可以列出方程組：，化簡得，解得，，訂閱的學(xué)生人數(shù)．故答案為57．【點評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，考查了方程組的求解，本題中根據(jù)等量關(guān)系式列出關(guān)于、的方程組并求解是解題的關(guān)鍵．15．（4分）如圖所示，是直線上一點，，于，平分，則圖中彼此互補的角共有6對．【考點】：角平分線的定義；：余角和補角【專題】121：幾何圖形問題【分析】根據(jù)互補的定義進行解答，找到兩個角之和為角的對數(shù)．【解答】解：，于，平分，，這三個角都與互補．，這兩個角與互補．另外，和都是直角，二者互補．因此，共有6對互補角，故答案為6．【點評】本題主要考查余角和補角、角平分線的知識點，兩角之和為90，兩角互余，兩角之和為180，兩角互補，解答此題的關(guān)鍵是找全互補的角．16．（4分）（2018秋?江北區(qū)校級期中）設(shè)，則1998．【考點】33：代數(shù)式求值；59：因式分解的應(yīng)用【專題】11：計算題【分析】利用添項和去項的方法對代數(shù)式進行變形，能夠得到已知中的式子，從而對要求的代數(shù)式逐步降次，直至求得答案．【解答】解：原式由于，原式．【點評】此題要滲透整體代入的思想，善于運用添項和去項的方法進行代數(shù)式的降次．17．（4分）如圖所示，中，點在邊上，，點在邊上，，點在邊上，，已知陰影的面積是19平方厘米，那么的面積是45.6平方厘米．【考點】：三角形的面積【專題】11：計算題【分析】利用三角形的面積與邊長之間的關(guān)系，求出陰影部分面積與三角形的關(guān)系，代入陰影部分的面積即可求出的面積．【解答】解：如圖所示，連接，則有．，，又，．連接，，，又，．連接，，，又，．即：，，（平方厘米）．故答案為45.6．【點評】本題主要考查了三角形面積公式的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵在于找出陰影部分的面積與的面積之間的關(guān)系．18．（4分）容器中盛有濃度為的農(nóng)藥溶液升，容器中盛有濃度為的同類農(nóng)藥溶液升，現(xiàn)將中藥液的倒入中，混合均勻后再由倒溶液回，使中的藥液恢復(fù)為升，則互摻后、兩容器中的藥量差比互摻前、兩容器中的藥量差減少了升．【考點】列代數(shù)式【專題】溶液問題【分析】先分別計算出互摻后、兩容器的藥液濃度，再計算出摻前、藥量差，然后計算摻后、藥量差，用摻前、藥量差減去摻后、藥量差即為所求．【解答】解：互摻后、兩容器的藥液濃度：容器藥液的濃度，容器的藥液濃度，，摻前、藥量差，摻后、藥量差，，所以，摻前、藥量差摻后、藥量差．故答案為：．【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列代數(shù)式，列代數(shù)式首先要弄清語句中各種數(shù)量的意義及其相互關(guān)系，然后把各種數(shù)量用適當(dāng)?shù)淖帜竵肀硎?，最后再把?shù)及字母用適當(dāng)?shù)倪\算符號連接起來，從而列出代數(shù)式．19．（4分）（2016秋?碑林區(qū)校級期末）計算：．【考點】：有理數(shù)的混合運算【專題】：規(guī)律型【分析】將式子的值用定值表示，則原式，現(xiàn)在不管的值是多少化簡求值即可．【解答】解：令則原式故答案為．【點評】看題目數(shù)據(jù)多，該如何著手呢，從式子中可看出共性，都含有的式子，無論它的值是多少，我們不管，把它令為一固定值即可．在解題過程中關(guān)注其變化，是不是能合并去掉．這往往是我們數(shù)學(xué)中的一種解題思路．20．（4分）有一滿池水，池底有泉總能均勻地向外涌流，已知用24部型抽水機6天可抽干池水，若用21部型抽水機8天也可抽干池水，設(shè)每部抽水機單位時間的抽水量相同，要使這一池水永抽不干，則至多只能用12部型抽水機抽水．【考點】二元一次方程組的應(yīng)用【專題】應(yīng)用題【分析】可以設(shè)水池有水為升，泉每天流水升，型抽水機每臺每天抽水升，根據(jù)24部型抽水機6天可抽干池水，若用21部型抽水機8天也可抽干池水可列出兩個關(guān)于未知數(shù)的方程，求方程組的解可得到之間的關(guān)系，即可得解．【解答】解：假設(shè)水池有水為升，泉每天流水升，型抽水機每臺每天抽水升．則：，解得．即泉水每天的流量相當(dāng)于12臺抽水機的流量，用12臺抽水機抽水那么水池永遠(yuǎn)抽不干的．故答案為：12．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．三、解答題（共2小題，滿分30分）21．（15分）已知一個七位自然數(shù)是99的倍數(shù)（其中、是阿拉伯?dāng)?shù)字），試求之值，簡寫出求解過程．【考點】數(shù)的整除性【分析】由題意可知七位自然數(shù)能被9，11整除，根據(jù)整數(shù)能被9，11整除的性質(zhì)求出，的值．【解答】解：因為，所以且．由及可被9整除的數(shù)的判別方法知道是9的倍數(shù)．是自然數(shù)），，可以導(dǎo)出，從而或①由及可被11整除的數(shù)的判別方法知道是整數(shù)）又，即，或②與奇偶性相同，或或（不符合題意，舍去），．【點評】（1）能被9整除的數(shù)的特點：各位數(shù)字之和能被9整除，則該數(shù)能被9整除；（2）能被11整除的數(shù)的特點：奇數(shù)位的數(shù)字和與偶數(shù)位的數(shù)字和的差能被11整除，則該數(shù)能被11整除．22．（15分）用24個面積為1的單位正三角形拼成如圖所示的正六邊形，我們把面積為4的正三角形稱為“希望形”．（1）請你回答，圖中共可數(shù)出多少個不同的“希望形”？（2）將這24個自然數(shù)填入24個單位正三角形中（每個里只填1個數(shù)）．我們依次對所有“希望形”中的4個單位正三角形中填的數(shù)同時加上一個相同的自然數(shù)稱為一次操作，問能否經(jīng)過有限次操作后，使圖中24個單位正三角形中都變?yōu)橄嗤淖匀粩?shù)？如果能，請給出一種填法，如果不能，請簡述理由．【考點】三角形邊角關(guān)系【專題】推理能力；規(guī)律型【分析】（1）因為原正三角形的面積為1，而希望形的面積為4，則希望形是由四個小三角形組成，先在圖中確定一個這樣的正三角形，再平移旋轉(zhuǎn)，數(shù)出圖中的希望形的個數(shù)即可；（2）不可能，假設(shè)經(jīng)過次操作后，24個單位正三角形的數(shù)均變?yōu)?，則總和為，可得次操作后24個單位正三角形中填數(shù)的總和為，于是有，進而推出，即，但這是不成立的．【解答】解：（1）希望形是由四個小三角形組成，先在圖中確定一個這樣的正三角形，再平移旋轉(zhuǎn)，則圖中可數(shù)出12個不同的“希望形”．（2）不可能，理由如下：假設(shè)經(jīng)過次操作后，24個單位正三角形的數(shù)均變?yōu)?，則總和為．另一方面，設(shè)第次操作中每個“希望形”的4個單位正三角形中的數(shù)都增加自然數(shù)，則第次操作共增加：，次操作后共增加：，這24個單位正三角形最初填入的24個數(shù)之和為，所以次操作后24個單位正三角形中填數(shù)的總和為，于是有，進而推出，即，但這是不成立的．【點評】考查了三角形邊角關(guān)系，注意在數(shù)三角形的數(shù)量時，要按一定的順序，做到不重不漏．

考點卡片1．正數(shù)和負(fù)數(shù)1、在以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號“﹣”，叫做負(fù)數(shù)，一個數(shù)前面的“+”“﹣”號叫做它的符號．2、0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．0是正負(fù)數(shù)的分界點，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)．3、用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量．具有相反意義的量都是互相依存的兩個量，它包含兩個要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量．2．?dāng)?shù)軸（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．?dāng)?shù)軸的三要素：原點，單位長度，正方向．（2）數(shù)軸上的點：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)．（一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應(yīng)任意實數(shù)，包括無理數(shù)．）（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．3．絕對值（1）概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值．①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負(fù)數(shù)的數(shù)．③有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)．（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當(dāng)a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)﹣a；③當(dāng)a是零時，a的絕對值是零．即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）4．倒數(shù)（1）倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．一般地，a?＝1（a≠0），就說a（a≠0）的倒數(shù)是．（2）方法指引：①倒數(shù)是除法運算與乘法運算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”．正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反數(shù)一樣，非常重要．倒數(shù)是伴隨著除法運算而產(chǎn)生的．②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，而0沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同．【規(guī)律方法】求相反數(shù)、倒數(shù)的方法求一個數(shù)的相反數(shù)求一個數(shù)的相反數(shù)時，只需在這個數(shù)前面加上“﹣”即可求一個數(shù)的倒數(shù)求一個整數(shù)的倒數(shù)，就是寫成這個整數(shù)分之一求一個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，就是調(diào)換分子和分母的位置注意：0沒有倒數(shù)．5．有理數(shù)大小比較（1）有理數(shù)的大小比較比較有理數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，他們從右到左的順序，即從大到小的順序（在數(shù)軸上表示的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大）；也可以利用數(shù)的性質(zhì)比較異號兩數(shù)及0的大小，利用絕對值比較兩個負(fù)數(shù)的大小．（2）有理數(shù)大小比較的法則：①正數(shù)都大于0；②負(fù)數(shù)都小于0；③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；④兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而小．【規(guī)律方法】有理數(shù)大小比較的三種方法1．法則比較：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)．兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小．2．?dāng)?shù)軸比較：在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù)．3．作差比較：若a﹣b＞0，則a＞b；若a﹣b＜0，則a＜b；若a﹣b＝0，則a＝b．6．有理數(shù)的加法（1）有理數(shù)加法法則：①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加．②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．（在進行有理數(shù)加法運算時，首先判斷兩個加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0．從而確定用那一條法則．在應(yīng)用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”．）（2）相關(guān)運算律交換律：a+b＝b+a；結(jié)合律（a+b）+c＝a+（b+c）．7．有理數(shù)的混合運算（1）有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．（2）進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運算的四種運算技巧1．轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運算中，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)進行約分計算．2．湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數(shù)，分母相同的兩個數(shù)，和為整數(shù)的兩個數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個數(shù)分別結(jié)合為一組求解．3．分拆法：先將帶分?jǐn)?shù)分拆成一個整數(shù)與一個真分?jǐn)?shù)的和的形式，然后進行計算．4．巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便．8．列代數(shù)式（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細(xì)辨別詞義．列代數(shù)式時，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細(xì)辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運算順序．列代數(shù)式時，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分括起來．④規(guī)范書寫格式．列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數(shù)式括號的適當(dāng)運用．⑤正確進行代換．列代數(shù)式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個問題1．在同一個式子或具體問題中，每一個字母只能代表一個量．2．要注意書寫的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡寫作“?”或者省略不寫．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號），而是寫成分?jǐn)?shù)的形式．9．代數(shù)式求值（1）代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果叫做代數(shù)式的值．（2）代數(shù)式的求值：求代數(shù)式的值可以直接代入、計算．如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值．題型簡單總結(jié)以下三種：①已知條件不化簡，所給代數(shù)式化簡；②已知條件化簡，所給代數(shù)式不化簡；③已知條件和所給代數(shù)式都要化簡．10．整式的加減（1）幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加減號連接；然后去括號、合并同類項．（2）整式的加減實質(zhì)上就是合并同類項．（3）整式加減的應(yīng)用：①認(rèn)真審題，弄清已知和未知的關(guān)系；②根據(jù)題意列出算式；③計算結(jié)果，根據(jù)結(jié)果解答實際問題．【規(guī)律方法】整式的加減步驟及注意問題1．整式的加減的實質(zhì)就是去括號、合并同類項．一般步驟是：先去括號，然后合并同類項．2．去括號時，要注意兩個方面：一是括號外的數(shù)字因數(shù)要乘括號內(nèi)的每一項；二是當(dāng)括號外是“﹣”時，去括號后括號內(nèi)的各項都要改變符號．11．因式分解的應(yīng)用1、利用因式分解解決求值問題．2、利用因式分解解決證明問題．3、利用因式分解簡化計算問題．【規(guī)律方法】因式分解在求代數(shù)式值中的應(yīng)用1．因式分解是研究代數(shù)式的基礎(chǔ)，通過因式分解將多項式合理變形，是求代數(shù)式值的常用解題方法，具體做法是：根據(jù)題目的特點，先通過因式分解將式子變形，然后再進行整體代入．2．用因式分解的方法將式子變形時，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個代數(shù)式，也可以是其中的一部分．12．列代數(shù)式（分式）（1）定義：把問題中與數(shù)量有關(guān)的詞語，用含有數(shù)字、字母和運算符號的式子表示出來，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點注意：①仔細(xì)辨別詞義．②分清數(shù)量關(guān)系．③注意運算順序．④規(guī)范書寫格式．⑤正確進行代換．注意代數(shù)式的正確書寫：出現(xiàn)除號的時候，用分?jǐn)?shù)線代替．13．同解方程定義：如果兩個方程的解相同，那么這兩個方程叫做同解方程．（或者說，如果第一個方程的解都是第二個方程的解，并且第二個方程的解也都是第一個方程的解，那么這兩個方程叫做同解方程．）14．二元一次方程的定義（1）二元一次方程的定義含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．（2）二元一次方程需滿足三個條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個未知數(shù)．③所有未知項的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個條件的都不叫二元一次方程．15．二元一次方程組的應(yīng)用（一）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．（二）設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元．當(dāng)問題較復(fù)雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方程．16．專題：正方體相對兩個面上的文字（1）對于此類問題一般方法是用紙按圖的樣子折疊后可以解決，或是