2020年初升高【數(shù)學(xué)】無憂銜接：05 集合的概念與表示、集合間的關(guān)系（解析版）滬教版

『初中升高中-無憂銜接」

「內(nèi)容遞進(jìn)?循序漸進(jìn)」

專題05集合的概念與表示、集合間的關(guān)系

短塊一：集合的概念

集合的概念

我們把能夠確切指定的一些對象組成的整體叫做集合，簡稱集.集合中的各個(gè)對象叫做這個(gè)集合的元

素.對于一個(gè)給定的集合，集合中的元素具有確定性、互異性、無序性.確定性是指一個(gè)對象要么是給定

集合的元素，要么不是這個(gè)集合的元素，二者必居其一.比如“著名的數(shù)學(xué)家”、“較大的數(shù)”、“高一一班

成績好的同學(xué)”等都不能構(gòu)成集合，因?yàn)榻M成集合的元素不確定.互異性是指對于一個(gè)給定的集合，集合

中的元素是各不相同的，也就是說，一個(gè)給定的集合中的任何兩個(gè)元素都是不同的對象，集合中的元素不

重復(fù)出現(xiàn).例如由元素1,2,1組成的集合中含有兩個(gè)元素：1,2.無序性是指組成集合的元素沒有次序，

只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是相等的.

［典例制新

【例11下列所給對象不能構(gòu)成集合的是.

(1)高一數(shù)學(xué)課本中所有的難題；

(2)某一班級16歲以下的學(xué)生；

(3)某中學(xué)的大個(gè)子；

(4)某學(xué)校身高超過1.80米的學(xué)生；

(5)1,2,3,1.

【難度】★

【答案】⑴⑶(5)

集合與元素的字母表示、元素與集合的關(guān)系

集合常用大寫字母A、B、C...來表示，集合中的元素用。、b、c...表示，如果。是集合A的元素，

就記作aeA,讀作“a屬于A”；如果。不是集合A的元素，就記作讀作“a不屬于A”

【例2］已知無、y、z為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式已+方+段+唱的值所組成的集合是M,則下列判斷正確的是()

囚\y\臼xyz

A.B.2GMC.D.4eM

【難度】★

【答案】D

常用的數(shù)集及記法

數(shù)的集合簡稱數(shù)集，我們把常用的數(shù)集用特定的字母表示：

全體自然數(shù)組成的集合，即自然數(shù)集，記作N,不包含零的自然數(shù)組成的集合，記作N*

全體整數(shù)組成的集合，即整數(shù)集，記作Z

全體有理數(shù)組成的集合，即有理數(shù)集，記作Q

全體實(shí)數(shù)組成的集合，即實(shí)數(shù)集，記作R

常用的集合的特殊表示法：實(shí)數(shù)集R(正實(shí)數(shù)集R+)、有理數(shù)集Q(負(fù)有理數(shù)集Q-)、整數(shù)集Z(正

整數(shù)集Z+)、自然數(shù)集N(包含零)、不包含零的自然數(shù)集N*；

【例3】用“e”或“三”填空

(1)-3N；(2)3.14Q；(3)1Z；

1*

(4)一1R；(5)1N；(6)0N.

【難度】★

【答案】⑴仁(2)e(3)仁(4)e(5)e(6)e

集合的分類

我們把含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集

我們引進(jìn)一個(gè)特殊的集合——空集，規(guī)定空集不含元素，記作0,例如，方程必+1=0的實(shí)數(shù)解所

組成的集合是空集，又如，兩個(gè)外離的圓，它們的公共點(diǎn)所組成的集合也是空集.

【例4】已知集合4={乂加+2x+l=0,xeR},且A中只有一個(gè)元素，求x的值.

【難度】★★

【答案】。=1或。=0

［例5］已知犬e{1,0,x},求實(shí)數(shù)x的值.

【難度】★

【答案】-1

【例6】已知集合S的三個(gè)元素a.、b、c是△ABC的三邊長，那么△ABC一定不是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

【難度】★

【答案】D

【例7】設(shè)A為實(shí)數(shù)集，且滿足條件：若a.eA,則,GA(a.#1).

1—a

求證：(1)若2￡A,則A中必還有另外兩個(gè)元素;

(2)集合A不可能是單元素集.

證明.

【難度】★★

【答案】(1)若a.GA,則」一GA,又...1]=一1GA.

1-a1

?；-1GA,二]])=；GA,/.-，=2GA,中另外兩個(gè)元素為一1,

——1-2

(2)若A為單元素集，則。=工，即a.2—+1=0,方程無解.

1—Q

二?a.W----,，A不可能為單元素集

1—a

【例8】設(shè)尸、。為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，尸中含有0,2,5三個(gè)元素，Q中含有1,2,6三個(gè)元素，定義集

合尸+。中的元素是a+6,其中aGP,be。，則尸+。中元素的個(gè)數(shù)是多少？

【難度】★★

【答案】8

■點(diǎn)幡稱

1.下列幾組對象可以構(gòu)成集合的是()

A.充分接近兀的實(shí)數(shù)的全體

B.善良的人

C.某校高一所有聰明的同學(xué)

D.某單位所有身高在1.7m以上的人

【難度】★★

【答案】D

2.用符號e或e填空：

(1)0{0}(2)0(b

(3)0N(4)0Z

(5)41Q(6)-2Z

【難度】★

【答案】(l)e(2)仁(3)e(4)e(5)e(6)e

3.下列四個(gè)說法中正確的個(gè)數(shù)是()

①集合N中最小數(shù)為1；

②若qGN,則一aeN；

③若“GN,bGN,則a+b的最小值為2；

④所有小的正數(shù)組成一個(gè)集合.

A.0B.1C.2D.3

【難度】★★

【答案】A

4.由力、2—以4組成一個(gè)集合A,A中含有3個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a.的取值可以是()

A.1B.-2C.6D.2

【難度】★★

【答案】C

5.由下列對象組成的集體屬于集合的是(填序號).

①不超過萬的正整數(shù)；

②高一數(shù)學(xué)課本中所有的難題；

③中國的大城市；

④平方后等于自身的數(shù)；

⑤某校高一(2)班中考成績在500分以上的學(xué)生.

【難度】★★

【答案】①④⑤

6.已知集合知={—2,3/+3x—4,/+尤一4},若2G",求》.

【難度】★★

【答案】x=-3或x=2.

7.設(shè)集合A={JV|X=2左，左eZ},5={，x=2左+1,左eZ}.若試判斷a+b與A、B的關(guān)系.

【難度】★★

【答案】Q+Z?￡JB,〃+

8.已知集合人={]￡q〃a2-2%+3=0,m￡7?},且A中只有一個(gè)元素，求加的值.

【難度】★★

【答案】0,-

3

模塊二；集合的表示方法

集合的表示方法常用列舉法和描述法

將集合中的元素一一列舉出來（不考慮元素的順序），并且寫在大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列

舉法，例如，方程5x+6=O的解的集合，可表示為{2,3},也可表示為{3,2}

在大括號內(nèi)先寫出這個(gè)集合的元素的一般形式，再劃一條豎線，在豎線后面寫上集合中元素所共同具

有的特性，即：A=M方前足。生質(zhì)p}（集合A中的元素都具有性質(zhì)p,而且凡具有性質(zhì)"的元素都在集

合A中），這種表示集合的方法叫做描述法.例如，方程5%+6=0的解的集合可表示為

{x|x2-5x+6=0}.

集合可以用封閉的圖形或數(shù)軸表示，有限集一般用文氏圖表示，無限集一般用數(shù)軸表示.

除例周折

【例9】寫出下列集合中的元素（并用列舉法表示）：

（1）既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)的整數(shù)組成的集合

（2）大于10而小于20的合數(shù)組成的集合

【難度】★

【答案】⑴{2}；（2）{12,14,15,16,18）

【例10】用描述法表示下列集合：

（1）被5除余1的正整數(shù)所構(gòu)成的集合

(2)平面直角坐標(biāo)系中第一、第三象限的點(diǎn)構(gòu)成的集合

(3)函數(shù)y=2/—x+1的圖像上所有的點(diǎn)

【難度】★★

【答案】(1){Rx—5k+1,左eN1；(2){(羽y)|xy>0,xeR,yeR}；

(3){(%y)b=2尤2-x+l,尤eR,yeR}；(4){xx-—^—^,neN*,n<5}

【例11】用列舉法表示下列集合：(1){(x,y)k+y=5,xeN,yeN}

(2){巾2-2x-3=0,xwR}

(3){耳龍？-2無+3=0,尤eR}

(4){xeN,xeZ}

5-x

【難度】★

【答案】⑴{(0,5),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(5,0)}；(2){3,-1}；(3)0;(4){-7,-1,1,3,4}

【例12】用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?/p>

(1)大于0且不超過6的全體偶數(shù)組成的集合A

(2)被3除余2的自然數(shù)全體組成的集合B

(3)直角坐標(biāo)平面上第二象限的點(diǎn)組成的集合C

【難度】★★

【答案】(1){2,4,6}；(2){X%=3〃+2,〃eN}；(3){(x,y)|x<0,y>0,xe7?,ye7?)

【例13］下列表示同一個(gè)集合的是()

A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={2,3}

C.Af={3,2},N={(2,3)}D.M={O},N=</>

【難度】★

【答案】B

【例14】已知集合4={%料＜2,無€2},3={,}=尤2一1,%€4},用列舉法分別表示集合A、B

【難度】★★

【答案】A={—2,—1,0,1,2},3={—1,0,3}

【例15】設(shè)V是尺上的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集，若對任意有aVbeA,則稱A對運(yùn)算V

封閉，下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法(除法不等于零)四則運(yùn)算都封閉的是()

A.自然數(shù)集B.整數(shù)集

C.有理數(shù)集D.無理數(shù)集

【難度】★★

【答案】C

【例16］設(shè)a,dc為實(shí)數(shù)，/(x)=(x+a)(x2+bx+c),g(x)-(ax+1)(ex2+bx+l),記集合

S={^/(x)=O,XG7?},T={^g(x)=O,xe7?},若間,|刀分別為集合S,T的元素個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論不可

能的是()

A.網(wǎng)=1,用刀=0B,網(wǎng)=1,同刀=1

C.同=2,目刀=2D.網(wǎng)=2,目刀=3

【難度】★★★

【答案】D

【解析】

當(dāng)a=b=c=0時(shí)/s|=1且|T|=0;當(dāng)aw0且&?-4ac〈0時(shí)，卜|=回用=1;當(dāng)aw0,i2-4ac〉COb=a+c(停機(jī)

a=1c=3,b=4)時(shí)，|s|=2B|T|=2.

【例17】設(shè)集合"={,x="GZ},求證：

(1)奇數(shù)屬于"

(2)偶數(shù)4左—2(左eZ)不屬于M

(3)屬于M的兩個(gè)整數(shù)，其積屬于M

【難度】★★★

【答案】(1)2左+1=(左+1)2—F(左￡Z),，2左+1￡〃；

(2)假設(shè)4左一2，則可設(shè)4左一2=a2-b2(a,beZ),即4左一2=(a+b)(a-b)丁a—b與a+b的奇偶

性相同，.?.3+力(〃-?是奇數(shù)或者是4的倍數(shù)，這與4人-2是偶數(shù)且不是4的倍數(shù)矛盾，故假設(shè)不成立，

即4k-2iM

e122

(3)設(shè)%I，/",且尤1=a-b,x2=c一屋,則

再元2=(a?—b?)(c?—d?)=a2c2—Q2d2—b2c?+b2d2=(ac+bd)?—(ad+be)?,￡M

看盧楷稱］

1.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?

(1)由所有小于20的既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的正整數(shù)組成的集合；

(2)由所有非負(fù)偶數(shù)組成的集合；

(3)直角坐標(biāo)系內(nèi)第三象限的點(diǎn)組成的集合.

【難度】★★

【答案】(1){3,5,7,11,13,17,19};⑵{尤|尤=2",n￡N};(3){(x,y)|x<0且y<0}

2.下面三個(gè)集合：①{無僅=記+1}；②{第=七+1};③{(x,y)|y=f+l}.

(1)它們是不是相同的集合？

(2)它們各自的含義是什么？

【難度】★★

【答案】(1)不是；(2)①表示的是函數(shù)的定義域，x的取值范圍；②表示的是函數(shù)的值域y的取值范圍；③

表示的是點(diǎn)集，是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn){x,y}構(gòu)成的集合，且這些點(diǎn)的坐標(biāo)滿足y=f+l

3.用列舉法表示下列集合：

⑴{(x,y)|x+y=3,xeN,y&N}

(2){(x,y),/-1,W<2,xeZ}

(3){y|x+y=3,xeN,yeN}

【難度】★★

【答案】(1){(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}；(2){(0,-1),(1,0),(-1,0),(2,3),(-2,3)}；(3){0,1,2,3)

4.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?，并判斷它是有限集還是無限集.

（1）第三象限內(nèi)所有點(diǎn)組成的集合；

（2）由大于一3而小于9的偶數(shù)組成的集合；

（3）所有被5除余2的奇數(shù)組成的集合.

【難度】★★

【答案】（1）｛（x,y）|x<0,y<0｝,它是無限集；（2）｛-2,2,4,6,8｝,共有5個(gè)元素，是有限集；（3）

｛x\x=10k+r7,k&Z｝,它是無限集.

5.集合A=｛4,m2+3/n）中實(shí)數(shù)m的取值集合M=

【難度】★★

【答案】｛m17〃w-4且〃zw1｝

6.給出下列四種說法

①任意一個(gè)集合的表示方法都是唯一的；

②集合｛—1,0,1,2｝與集合｛2,1,0,—1｝是同一個(gè)集合

③集合｛x|x=2左一1,左eZ｝與集合｛y|y=2s+l,seZ｝表示的是同一個(gè)集合;

④集合｛%|0<%<1｝是一個(gè)無限集.

其中正確說法的序號是.（填上所有正確說法的序號）

【難度】★★

【答案】②③④

7.設(shè)y=d+ax+b,A=^x\y=x}={a},Af=

【難度】★★

【答案】M=\14

8.用列舉法表示集合：M={m^-eZ,meZ)=___________

m+1

【難度】★★

【答案】{-11-6-3-2,0,1,4,9)

9.已知集合4={無}=尤2-2%,16氏},3={y,=尤2-2%,%￡/?},描述集合A與5之間的區(qū)別

【難度】★★

【答案】集合A表示的是函數(shù)的定義域，集合3表示函數(shù)值的取值范圍

，塊三；集合之間的關(guān)系

\\'、一一，‘

子集：對于兩個(gè)集合A和3,如果集合A中任何一個(gè)元素都屬于集合3,那么集合A叫做集合3的子集,

記作：Ac6或6衛(wèi)A,讀作“A包含于3或3包含A”.

，例周折

【例17】已知A={0,1},2={x|xUA},則A與B的關(guān)系正確的是()

A.AUBB.A=BC.B^AD.A^B

【難度】★

【答案】D

相等的集合：對于兩個(gè)集合A和3,若Ac5且57A則稱集合A與集合3相等，記作A=3.也就

是說，集合A和集合5含有完全相同的元素.

【例18】已知集合4={4,4+7?,°+25},集合3={a,。。,。。?},若4=5,求實(shí)數(shù)c的值

【難度】★★

【答案】c=~-

2

真子集：對于兩個(gè)集合A和5,如果集合Ac8,并且8中至少有一個(gè)元素不屬于A,那么集合A叫做

集合3的真子集，記作AuB或BnA,讀作“A真包含于8或8真包含A”.

W豐

【例19】已知集合4={耳尤2+%一6=0},3={才℃+1=0}且31慶，求。的值.

【難度】★★

【答案】0,—,—

32

子集的個(gè)數(shù)：若集合A中有幾個(gè)元素，則有2"個(gè)子集，2'-1個(gè)非空子集，2”-1個(gè)真子集.

【例20】定義A*B={無仇eA,且依2},若4={1,3,4,6),8={2,4,5,6),則A*B的子集個(gè)數(shù)為

【難度】★★

【答案】4

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

圖示法(文氏圖)：用平面區(qū)域來表示集合之間關(guān)系的方法叫做集合的圖示法，所用圖叫做文氏圖.

(1)6有兩種可能：①A中所有元素是B中的一部分元素；②A與B是中的所有元素都相同;

(2)空集0是任何集合的子集；任何一個(gè)集合是它本身的子集；

(3)判定A是B的子集，即判定“任意％e

(4)判定A=5,即判定“任意％￡A%,且任意%￡5=>%￡A”；

(5)判定Au3,即判定"任意％￡%￡6,且存在￡5=X。eA”；

(6)易混符號：①“G”與“1”②{0}與0；

(7)NuZuQuH.

WWW

【例21］已知集合A={xx=左+g,左eZ},B={xx=g左，左eZ},則AB.

【難度】★★

【答案】AcB

【解析】方法一（列舉法）

1357

對于集合A,?。?…，0,1,2,3,…，薦A={r…一,一,一,一

2222

135

對于集合8,取左=…，0,1,2,3,4,5,得8=—,2,—故Au3.

222—

方法二（通分法）

9Z-+1

集合A：x――2一（%ez）,分子為奇數(shù).

k

集合8：（左ez）,分子為整數(shù)，A=

【例22】設(shè)人={1,2,3,4},B={1,2},試求集合C,使CuA且BqC

【難度】★★

【答案】。={1,2}或。={1,2,3}或。={1,2,4}

【例23】設(shè)集合A={尤M+4X=0,XGR},B={X|X2+2（G+1）X+a2-1=0},若BGA,求實(shí)數(shù)。的取值范

圍.

【難度】★★

【答案】1,或。=1

【例24】已知集合人={況-2WxW5},8={x|m+lWxw2機(jī)一1},若8UA,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【難度】★★

【答案】{m|mW3}

【例25]若集合M={x|『+x-6=0},N={x|(x-2)(x—a)=0},且NUM,求實(shí)數(shù)。的值.

【難度】★★

【答案】2,-3

【例26】已知A={(x,y)|在萬+|〉+1|=0},3={(乂丁)|%=1或y=—1},則A與B之間的包含關(guān)系

為________________

【難度】★★

【答案】AuB

【例27]已知/(x)=%2+px+q,集合A={X|/(X)=X,XG7?},B=|x|/[/(%)]=x|,

(1)求證：AcB；

(2)如果A={3,—1},用列舉法表示集合B.

【難度】★★★

【答案】(1)略；(2)B=(3,V3,-l,-73}

【例28】已知集合A={JC|X>3},集合3={Rx+l>加},若BuA,實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是,若

A^B實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

【難度】★★

【答案】m>4;m<4

「對點(diǎn)幡稱

1.下列五個(gè)關(guān)系式：⑴{o}=0；(2)0=0；(3)Oe0;(4){O}o0；(5)0H{o}；其中正確

的個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

【難度】★

【答案】A

2.已知集合4={尤，xy,x—y],B={0,\x\,y],且A=B,求尤與y的值

【難度】★★

【答案】x=y=-1

3.若2={0,1,2,3,4,7,8},C={0,3,4,7,9},則滿足AUB,AUC的集合A有個(gè).

【難度】★★

【答案】16

4.若{x|2x—a=0,aeN}e{x|-l<x<3},則a的所有取值組成的集合為

【難度】★★

【答案】{0,1,2,3,4,5)

5.設(shè)集合4={尤*—5尤+6=0},B={xlx2—(2a+l)x+a2+a=0},若BUA,求a的值.

【難度】★★

【答案】2

6.已知M={x|-2<x<5},W={x|a+l<x<2a-l]

(1)若MUN,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若M2N,求實(shí)數(shù)a的取值范圍

【難度】★★

【答案】(1)空集；(2)a<3

7.已知集合4={1,。1},3=伍,4,。5},若4=5,則實(shí)數(shù)。力分別是

【難度】★★

【答案】-1,0

8.設(shè)集合M={xx=g+；/eZ},N={Xx=g+：,AeZ},則(A與B的包含關(guān)系)

【難度】★★

【答案】MuN

9.設(shè)集合P={x-_y,x+y,刈},。={12+/,一—丫2,0},若「=。，求的值及集合P,Q

【難度】★★

【答案】{L-1,0}

10.已知4={^1<%<2},6={可％-。<0},若AuB,求實(shí)數(shù)a的取值范圍

【難度】★★

【答案】{?|a>2)

秦合的概念和集合間的關(guān)系的能力拓展

科>

典例周折

【例29］集合S={(羽y,z)|%y,無齒,且x<y<z、y<z<x>z<x<y恰有一個(gè)成立},若

(尤,y,z)eS且(z,w,x)eS,則下列選項(xiàng)正確的是()

A.(y,z,w)GS,(x,y,w)^SB.(y,z,w)eS,(x,y,w)eS

C.(y,z,w)^S,(x,y,w)eSD.(y,z,w)eS,(x,y,w)S

【難度】★★★

【答案】B

【解析】

特殊值^除法，

取±=1,"=2fZ=4fU=3,顯然滿足(H,n,Z)和(Z,TC,N)都在S中，

此時(shí)(n,z,,)=(2,4,3)es,(H,n,w)=(1,2,3)es,故A、(7、。均錯(cuò)誤；

只有。成立，

瞬3.

【例30］若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4),且下列四個(gè)關(guān)系：①a=l；②6W1；③c=2；④dW4有且

只有一個(gè)是正確的，則符合條件的有序數(shù)組3,b,c,①的個(gè)數(shù)是.

【難度】★★

【答案】6

【解析】

由,a=2時(shí),t=lrc=4rd=3;b=3,c=l,（1=4;

a=3時(shí),b=l,c=4r（1=2'b=l,c=2,d=4;b='2,c=lrd=4;

a=4時(shí),6=1,c=3,<1=2;

,符合條件的有序數(shù)組[a,b,c,d）的個(gè)數(shù)是6個(gè).

【例31]設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含兩個(gè)數(shù)，若對任意a/eP,都有a+da—da"?ePSwO）,則

b

稱P是一個(gè)數(shù)域.例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集/=｛。+8行l(wèi)a^eQ｝也是數(shù)域.給出下列命題：①整

數(shù)集是數(shù)域；②若有理數(shù)集?？?，則數(shù)集M必為數(shù)域；③數(shù)域必為無限集；④存在無窮多個(gè)數(shù)域.其

中正確的命題是.（填序號）

【難度】★★★

【答案】③④

【例32】已知4=｛耳兀=14加+36〃,”,〃62｝,5=｛乂1=2左,左62｝,求證4=5

【難度】★★★

【答案】（1）先證設(shè)aeA,則存在"小件eZ,滿足a=14%+36?4=2（7叫+18%）,

?/7m,+18”]eZ,/.aeB,即AcB

（2）再證B^A,設(shè)b&B,則存在kYeZ,滿足a=2占=14（—5匕）+36（24J,

,：-5k[,2k[eZ,/.beA,即3cA

【例33]已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)/（x）的全體，對任意xeH,存在非零的常數(shù)/使

f（x+t）>t-f（x）成立，其中非零常數(shù)/叫做函數(shù)/（X）的一個(gè)特征參數(shù)

（1）函數(shù)/（x）=x是否屬于集合M?說明理由

(2)試證明：函數(shù)/(x)=x2是集合M中的一個(gè)元素，并求出/的所有特征參數(shù)組成的集合

【難度】★★★

【答案】(1)/=1即可；(2)(x+/)2?沅2,即(1-)/+2比+/20,可求得/<0

1.已知M={無k=a?+2,awN*},P={_x|尤="-4Z?+6QeN*},確定M與P的關(guān)系

【難度】★★★

【答案】MuP

2.已知集合74={1*=2〃+1,〃€2},5={乂兀=4m±1,m€2},求證74=5

【難度】★★★

【答案】略

3.集合M={x|x="+m、〃eZ},X]、々eM,下列元素中哪些一定屬于M?

(1)X]+/；(2)%?馬；(3)—-(x,W0)

_一馬

【難度】★★

【答案】(1)，(2)

4.設(shè)集合A={1,2,3,...」。},求集合A的所有非空子集元素和的和

【難度】★★★

【答案】含有1的子集有29個(gè)；含有2的子集有29個(gè)；含有3的子集有29個(gè)；…,

含有10的子集有29個(gè)，.?.(1+2+3+...+10)x29=28160

fl思總轄;

集合元素具有三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性；確定性用來判斷符合什么條件的研究對象可組成

集合；互異性是相同元素只寫一次，在解決集合的關(guān)系或運(yùn)算時(shí)，要注意驗(yàn)證互異性；無序性，即只要元

素完全相同的兩個(gè)集合是相等集合，，與元素的順序無關(guān)；集合中的元素的確定性和互異性，一是可以作為

解題的依據(jù);二可以檢驗(yàn)所求結(jié)果是否正確.

用描述法表示集合時(shí)，一定要明確研究的代表元素是什么，如；卜|丁=12—4｝表示的是由二次函數(shù)

y=爐—4的自變量組成的集合，即y=必-4的定義域；卜|y=必—4｝表示的是由二次函數(shù)>=/—4的

函數(shù)值組成的集合，即y=-4的值域；｛(x,y)|y=必一4｝表示的是由二次函數(shù)y=必-4的圖像上的

點(diǎn)組成的集合，即>=好一4的圖像.

要注意空集的特殊性，空集不含任何元素，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

子集與真子集的區(qū)別與聯(lián)系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真，子集；若

集合A有n個(gè)元素，則其子集個(gè)數(shù)為2",真子集個(gè)數(shù)為2"-1,非空真子集有.2"-2.

判斷兩集合的關(guān)系常有兩種方法：一是化簡集合，從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系；二是用列舉法表

示各集合，從元素中尋找關(guān)系.在進(jìn)行集合運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助韋恩(Venn)圖和數(shù)軸使抽象問題直觀

化.一般地，集合元素離散時(shí)用韋恩(Venn)圖表示；集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示.

---...,

薛后棟司

1.選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?

(l)Welcome中的所有字母組成的集合；

(2)所有正偶數(shù)組成的集合；

(3)二元二次方程組〈2的解集；

y=x

(4)所有正三角形組成的集合.

【知識點(diǎn)】集合的表示

【難度】★★

【題型】填空題

【答案】⑴列舉法：

⑵描述法：｛市=2匕左eN*｝.

⑶列舉法：｛(0,0),(1,1)｝

⑷描述法：｛,%是正三角形｝

2.由實(shí)數(shù)％、-x、k|所組成的集合，其元素最多有幾個(gè)？

【知識點(diǎn)】集合的概念

【難度】★

【題型】填空題

【答案】2

3.若集合4={市%+1=0}是空集，則實(shí)數(shù)。的值為

【知識點(diǎn)】集合的概念

【難度】★

【題型】填空題

【答案】0

r2-4

4.已知集合4=伍^——=1有唯一解},用列舉法表示集合A

x+a

【知識點(diǎn)】集合的表示

【難度】★★

【題型】解答題

17

【答案】A={--,2-2)

4

5.集合A={h辦2一3%+2=0,aeR}

(1)若A是空集，求a的取值范圍

(2)若A中只有一個(gè)元素，求。的值并把這個(gè)元素寫出來

(3)若A中至多一個(gè)元素，求。的范圍

【知識點(diǎn)】集合的概念

【難度】★★

【題型】解答題

999

【答案】(1)a〉—；(2)4=0或。=—；(3)a=O^a>-

888

6.已知集合〃=同爐—4%+4。<0},且2e4，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【知識點(diǎn)】集合的概念

【難度】★★

【題型】填空題

【答案】{4。之1}

7.用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?/p>

(1)0{.ri%2-1=0}；(2){1,2,3}N；

(3){1}{x|x2=x}；(4)0{x|x2=2x}.

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★

【題型】填空題

【答案】9，豆，e

8.定義集合運(yùn)算：AQB={z\z=xy(x+y),xEA,yGB}.設(shè)集合A={0,1},B={2,3}

則集合A?B的所有元素之和為

【知識點(diǎn)】集合的概念

【難度】★★

【題型】填空題

【答案】18

9.已知A={x|-2WxW5},B={x\m+l<x<2m-l},B^A,求掰的取值范圍

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★★

【題型】解答題

【答案】當(dāng)根+1>2加一1,即機(jī)<2時(shí)，6=。,滿足5口入，即機(jī)<2；

當(dāng)加+1=2加一1,即加=2時(shí)，5={3},滿足31A,即m=2；

m+l>-2

當(dāng)加+1<2加一1,即加>2時(shí)，由3口A,得v即2VMM3；

2m-l<5

m<3

10.設(shè)集合A={a,/?},3={x|x￡A},C={xIxoA},則5=,C=,A

C（填集合A與。的關(guān)系）

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★★

【題型】

【答案】{0,{〃},{%{〃,）}}.￡

11.如果集合A=(x|x=wZ卜B=x\x-n±-,n€Z>,C=(x|x=〃±g,〃￡z1,那么下列

3

結(jié)論中正確的是（）

A.BwCB.A0BC.C=B^AD.AcC

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★★

【題型】選擇題

【答案】C

12.已知A={尤|f-2x-3=。},3={尤1ax-1=0},若30A,求a的值_________

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★★

【題型】填空題

【答案】a=-l^a=-

3

13.已知集合4=卜|2。＜工＜4},非空集合8=卜|24工《3。+1},且B=A,求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★★

【題型】解答題

【答案】ae

14.滿足條件{a,b}uM口{a,Z?,c,d,e}的集合M的個(gè)數(shù)是

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★★

【題型】填空題

【答案】7

]h11

15.己知集合A={xx=a+—,aeZ},3={xx=---力eZ},C={xx=—c+—,ceZ},則A、B、C之

62326

間的關(guān)系是

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★★

【題型】填空題

【答案】AuB=C

16.已知集合4={如竺二＜0},且2eA,3gA,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

x-a

【知識點(diǎn)】集合的概念

【難度】★★

【題型】填空題

【答案】[-,-)U(2,3]

32

17.下列命題正確的有()

⑴很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合；⑵集合卜|丁=必-1｝與集合｛（x,y）|y=x2-1｝是同一個(gè)集合；⑶

1,3,±」，0.5這些數(shù)組成的集合有5個(gè)元素；⑷集合｛（3）|孫WO,x,yeR｝是指第二和第四象限內(nèi)的點(diǎn)集.

242

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【知識點(diǎn)】集合的概念

【難度】★★

【題型】選擇題

【答案】A

18.方程組［芯+'=1的解集是（）

x2-y2=9

A.（5,4）B.（5,-4）C.｛（-5,4）｝D.｛（5,-4）｝

【知識點(diǎn)】集合的表示

【難度】★

【題型】選擇題

【答案】D

19.下列式子中，正確的是（）

A.R+eRB.77^｛X\X<O,XEZ｝C.。三AD.°e｛。｝

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★★

【題型】選擇題

【答案】D

20.設(shè)74=｛%|-24％45｝,5=｛%|〃?+14%42〃7-1卜若5￡74,求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★★

【題型】解答題

【答案】m<3

21.已知集合Af={耳%2+%-6=0},集合N=Ma/+r+l=O},NuA/,求。的一切取值____________

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★★

【題型】填空題

34

【答案】—1,----,----

23

22.已知{耳1?-?nx+2=0}口{尤|爐一3尤+2=0},且{尤k2-znx+2=0}A。，求實(shí)數(shù)加構(gòu)成的集合M

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★★

【題型】解答題

【答案】M={3}

23.已知

M={%,孫，7^^},N={0，W，y},若M且則(工+!)+(3+二)+...+

1111

(22122012)+(20132013)---------------------------------

xyxy

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★★

【題型】填空題

【答案】-2

24.已知非空集合P滿足①P口{1,2,3,4,5},般aeP,則6—aeP,符合上述條件的集合P有多少個(gè)？

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★★

【題型】解答題

【答案】8

25.已知eR,A={2,4,/-5x+9},B=^>,x2+ax+a},C={x2+(a+l)x-3,1).求:

⑴.使2e3,8￡A的a,x的值；（2）.使5=C的a,光的值.

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★★

【題型】解答題

【答案】{①,{1},{2},{1,2}}

26.集合A={z|z=",其中p+q=5,且p、4GN*}的所有真子集的個(gè)數(shù)

q

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

［難度】★★

【題型】填空題

【答案】15

27.若集合A={（m,n）|---=1,m,nER},B={（m，n）\n=1+m,m,neR},則A

m+1

與B的關(guān)系是.

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★★

【題型】填空題

【答案】AcB

28.已知集合人={xlWx<4},B={xIx2—4a%+3?2=0}.若B（^A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★★

【題型】解答題

【答案】Vx2—4ax+3a2=0,.，.x=a或x=3a.

當(dāng)a=0時(shí)，B={0}；當(dāng)aWO時(shí)，B={a,3a}.

aH0

-14

若BuA時(shí),4/—0或<—l4a<4,??一ci<—.

豐33

-1<3t?<4

29.若集合M={,x=3〃7+l,nzeZ}P={y[y=3"+2,〃wZ},xo￡M,yoGP,求與乂)與集合M、P的

關(guān)系

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★★

【題型】解答題

【答案】xoyoeP,xoyo^M,

30.已知集合4={x|-2WxWa},B=[y\y=2x+3,xeA^,C=[z|z=VxeA},且C[B,求a的取值范圍

【知識點(diǎn)】集合間的關(guān)系

【難度】★★

【題型】解答題

【答案】B={x|-l<x<2a+3},當(dāng)—2WaW0時(shí)，C={x|?2<x<4),

而。口8則2