《對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)》教學設計、導學案、同步練習

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

《4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)》教學設計

【教材分析】

本節(jié)課是新版教材人教A版普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修1第四章

第4.4.2節(jié)《對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)》是高中數(shù)學在指數(shù)函數(shù)之后的重要初等函

數(shù)之一。對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系密切，無論是研究的思想方法方法還是圖像及

性質(zhì)，都有其共通之處。相較于指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖象亦有其獨特的美感。

在類比推理的過程中，感受圖像的變化，認識變化的規(guī)律，這是提高學生直觀想

象能力的一個重要的過程。為之后學習數(shù)學提供了更多角度的分析方法。培養(yǎng)和

發(fā)展學生邏輯推理、數(shù)學直觀、數(shù)學抽象、和數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

【教學目標與核心素養(yǎng)】

課程目標學科素養(yǎng)

1、掌握對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)；能利用對數(shù)a.數(shù)學抽象：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；

函數(shù)的圖像與性質(zhì)來解決簡單問題；b.邏輯推理：對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的

2、經(jīng)過探究對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，對數(shù)函關系；

數(shù)與指數(shù)函數(shù)圖像之間的聯(lián)系，對數(shù)函數(shù)內(nèi)部C.數(shù)學運算：運用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比

的的聯(lián)系。培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題和歸較大小；

納問題的思維能力以及數(shù)學交流能力；滲透類d.直觀想象：對數(shù)函數(shù)的圖像；

比等基本數(shù)學思想方法。e.數(shù)學建模：運用對數(shù)函數(shù)解決實際

3、在學習對數(shù)函數(shù)過程中，使學生學會認識問題；

事物的特殊性與一般性之間的關系，培養(yǎng)數(shù)學

應用的意識，探索數(shù)學。

【教學重難點】

教學重點：掌握對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系,

不同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)圖象之間的聯(lián)系。

教學難點：對數(shù)函數(shù)的圖像與指數(shù)函數(shù)的關系；不同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)之間的

聯(lián)系。

【教學過程】

教學過程設計意圖

（一）、問題探究

思考：我們該如何去研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)呢？溫故知

問題1.利用“描點法”作函數(shù)尸唾2》和y=1°g「的圖像.新，通過對上

節(jié)指數(shù)函數(shù)問

\_題的回顧，提

X???124???

42

出新的問題，

??????

y=iog2x2:-1012提出研究對數(shù)

函數(shù)圖像與性

???-2???

2210-1

質(zhì)的方法。培

函數(shù)的定義域為（0，-），取才的一些值，列表如下:

養(yǎng)和發(fā)展邏輯

推理和數(shù)學抽

象的核心素

養(yǎng)。

問題2：我們知道，底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象關

于y軸對稱.對于底數(shù)互為倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)，比如丫=1。82工

和‘=”的圖像，它們的圖象是否也有某種對稱關系呢？可

否利用其中一個函數(shù)的圖象畫出另一個函數(shù)的圖象？

發(fā)現(xiàn)：函數(shù)產(chǎn)log,X和八摩！X的圖像都在y軸的右邊,關

2

于X軸對稱

問題3：底數(shù)a（a>0,且aW1）的若干個不同的值，在

同一直角坐標系內(nèi)畫出相應的對數(shù)函數(shù)的圖象.觀察這些圖象

的位置、公共點和變化趨勢，它們有哪些共性

由此你能概括出對數(shù)函數(shù)y=（a>0,且aWl）的

值域和性質(zhì)嗎？

結論1.函數(shù)y=iog2》和y=的圖像都在y軸的右邊；

2通過畫出

2.圖像都經(jīng)過點（1,0）；特殊的對數(shù)函

3.函數(shù)y=k）g2x的圖像自左至右呈上升趨勢；函數(shù)數(shù)的圖形，觀

察歸納出對數(shù)

y=log』x的圖像自左至右呈下降趨勢.

2函數(shù)的性質(zhì)，

觀察兩幅圖象，得到a>l和0〈a〈l時對數(shù)函數(shù)的圖象和性

發(fā)展學生邏輯

質(zhì)。

推理，數(shù)學抽

對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：

a>10<a<1象、數(shù)學運算

y!

圖y?

>，=10gaX：尸臉工等核心素養(yǎng)；

問...y=l...........

象

0件1X0

定義域'：XE（0,+M

性

值歧：yGR

質(zhì)兩點：定點（1,0）.特征點（a,1）;兩線：x=1與y=1

在（0,+oo）上是增函數(shù)在—CO.故［上是減函數(shù)

對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的助記口訣:對數(shù)增減有思路，函數(shù)圖象看

底數(shù);底數(shù)只能大于0,等于1來也不行;底數(shù)若是大于1,圖象從

下往上增;底數(shù)0到1之間，圖象從上往下減;無論函數(shù)增和減，

圖象都過（1,0）點.

（二）、典例解析

例1比較下面兩個值的大小

（l）lo&,log2;⑵log。,，log.3⑶log.，log.（a>o,a#l）

通過典例

解析：（1）：用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考察函數(shù)y=log2xVa=2>l,

.??函數(shù)在區(qū)間（0,+8）上是增函數(shù)；V3.4<8.5,A問題的分析，

讓學生進一步

log23.4<log28.5（2）：考察函數(shù)y=logo.3x,Va=0.3G,...函數(shù)在

區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)；?.-1.8<2.7.-.log0.：)1.8>log0:i2.7熟悉對數(shù)函數(shù)

(3)：考察函數(shù)loga5.1與loga5.9可看作函數(shù)y=logax的的圖像與性

兩個函值，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a是大于1還是小于1,質(zhì)。培養(yǎng)邏輯

因此需要對底數(shù)a進行討論；當a>l時，因為y=logax是增函數(shù)，推理核心素

且5.K5.9,所以log?5.Kloga5.9；當0<a<l時,因為y=logax養(yǎng)。

是減函數(shù)，且5.K5.9,所以loga5.I>loga5.9；

歸納總結：L當?shù)讛?shù)相同時，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大

小.

2.當?shù)讛?shù)不確定時,要對底數(shù)a與1的大小進行分類討論.

跟蹤訓練1.比較下列各題中兩個值的大小：

⑴1ogu)61ogm8；(2)logo.561ogo.54

(3)log0,iO.510go,O6；(4)logi.6l.61ogi.5l.4

答案：v；v；>;>

跟蹤訓練2：已知下列不等式，比較正數(shù)m,n的大?。?/p>

(1)log3m<log3n；(2)log0.3ni>logo.3n

(3)logam<logan(0<a<l)；(4)logam>logan(a>l)

答案：m<n；m<n；m>n；m>n

+

例2.溶液酸堿度的測量.溶液酸堿度是通過pH刻畫的的計算公式為：PH=-lgiw],

其中[“*]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.

(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及上述pH的計算公式，說明溶液酸堿度

與溶液中氫離子的濃度之間的變化關系；

(2)已知純凈水中氫離子的濃度為[/T]=10'摩爾/升，計算純

凈水的/汨值.運用對數(shù)

函數(shù)的性質(zhì)解

解：⑴根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)得pH=-lg|W]=lg|//*]-'=lg-

[i球比較大小問

題，發(fā)展學生

在(0,+?)上,增大，/木減小，lg會也減小，即P”減小.數(shù)學運算、邏

輯推理的核心

所以,[H+]增大,pH減小,

素養(yǎng)；

即溶液中氫離子的濃度越大，其酸堿度就越小.

(2)當[H+]=10-7時，pH=-IglO,=7.即純凈水的pH是7.

已知函數(shù)y=2*(xGR,ye(0,+-))可得到x=log/，對

于任意一個y￡(0,+8),通過式子x=log2‘，x在R中都有唯

一確定的值和它對應。也就是說，可以把y作為自變量，x作為通過對應

y的函數(shù)，這是我們就說x=logz'(yG(0,+8))是函數(shù)y=2*用問題的解

(xGR)的反函數(shù)。決，發(fā)展學生

但習慣上，我們通常用x表示自變量，y表示函數(shù)。為此我數(shù)學建模的核

心素養(yǎng);

們常常對調(diào)函數(shù)x=log「中的字母x,y,把它寫成y=log2x,這樣,

對數(shù)函數(shù)y=log2X(xG(0,+8))是指數(shù)函數(shù)y=2'(xGR)的

反函數(shù)。

因此，函數(shù)y=lognx(a>0,且a#1)與指數(shù)函數(shù)y=a”互為反

函數(shù)「它們的定義域和值域恰好相反。

三、當堂達標通過練習

1.函數(shù)y=log”的圖象如圖所示，則實數(shù)a的可能取值為鞏固本節(jié)所學

知識，鞏固對

數(shù)函數(shù)的概

念，增強學生

的數(shù)學抽象、

數(shù)學運算、邏

111輯推理的核心

-

A.5B.TC.D.~

5e2素養(yǎng)。

【答案】A[由圖可知，a>l,故選A.]

2.當a>l時，在同一坐標系中，函數(shù)產(chǎn)=@一'與y=log.x的

圖象為()

【答案[C[⑴???2>—?尸是減函數(shù),y

=10gaX是增函數(shù)，故選C.]

3.已知f(x)=logjx|,滿足f(—5)=1,試畫出函數(shù)f(x)

的圖象.

解析：f(x)=logj^|,—5)=log?5=l,即a=5,

f(x)=log5|-Y|,

是偶函數(shù)，其圖象如圖所示.

4.函數(shù)f(x)=log,,(2x—5)的圖象恒過定點.

【答案】(3,0)[由2*-5=1得x=3,⑶=log/=

0.即函數(shù)Hx)恒過定點(3,0).]

5.比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。?/p>

(1)log67,log76(2)loglog20.8

解：⑴Iog67>log66=l,log；6<log77=l,/.log67>

log76

(2)Vlog3^>log3l=0,log20.8<log2l=0,.".log3

log20.8

logl(2x+l)>log12

6:解不等式：25

11

J2x+1>0/.--<X<—

解：原不等式可化為：22

???原不等式的解集是1;,;)

四、小結學生根據(jù)

1.對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)課堂學習，自

a的范圍0<a<l3>1主總結知識要

點，及運用的

思想方法。注

意總結自己在

%X=1

1yX=1學習中的易錯

；尸

10goMa>l)

3(1,0)./占、、、，?

圖象

00/：(1，0)工

y=lo&與(0〈必I)

?1

1

1

定義域(0,+°°)

值域R

定

(1,0),即x=L時，y=0

點

性

單

質(zhì)在(0,+8)上是增函

調(diào)在(0,+8)上是減函數(shù)

數(shù)

性

2.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)尸a"(a〉O,且aWl)和對數(shù)函數(shù)y=logx(a>0且

aWl)互為反函數(shù).

3.思想方法類比：類比的思想方法；類比指數(shù)函數(shù)的研究

方法；數(shù)形結合思想方法是研究函數(shù)圖像和性質(zhì)；

五、作業(yè)

1.課時練2.預習下節(jié)課內(nèi)容

《4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)》導學案

【學習目標】

1.掌握對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)；

2.會運用對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決簡單問題.

【重點難點】

重點：探究對數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì).

難點：會求對數(shù)函數(shù)的定義域.

【知識梳理】

【課堂小結】

1.對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)

2.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)v=a'（n>0,且存1）和對數(shù)函數(shù)v=k）gx（a>0￡L存1）互為反函數(shù).

【學習過程】

一、問題探究

思考：我們該如何去研究對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)呢？

問題1.利用“描點法”作函數(shù)y=唾2x和y=1°g/的圖像.

函數(shù)的定義域為（0，-），取x的一些值，列表如下：

X???124

42???

y=log2x???2[-1012???

y=log,x210-1-2

2

問題2：我們知道，底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)的圖象關于y軸對稱.對

于底數(shù)互為倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)，比如y=i°g2x和’2的圖像，它們的

圖象是否也有某種對稱關系呢？可否利用其中一個函數(shù)的圖象畫出另一個函數(shù)

的圖象？

發(fā)現(xiàn)：函數(shù)y=bg2x和大的圖像都在y軸的右邊，它們關于軸對稱

問題3：底數(shù)a（a>0,且存1）的若干個不同的值，在同一直角坐標系

內(nèi)畫出相應的對數(shù)函數(shù)的圖象.觀察這些圖象的位置、公共點和變化趨勢，它們

有哪些共性？

由此你能概括出對數(shù)函數(shù)y=log“x（a>0,且a#l）的值域和性質(zhì)嗎？

結論1.函數(shù)y=bg2x和>=嚏/的圖像都在y軸的右邊；

2.圖像都經(jīng)過點（1,0）；

3.函數(shù)y=log2x的圖像自左至右呈上升趨勢；函數(shù)>=的圖像自,左至

2

右呈下降趨勢.

觀察兩幅圖象，得到a〉l和0<a<l時對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì):

a>1

圖

y=iog&x

象

定義域',x￡~(0,+00)

性

值域：yGR

質(zhì)兩點：定點（1,0）,特征點（a,1）;兩線：x=l與y=l

在（0,+8）上是增函數(shù)|在（o.+8）上是減函數(shù)

對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的助記口訣:

對數(shù)增減有思路，函數(shù)圖象看底數(shù);底數(shù)只能大于0,等于1來也不行；

底數(shù)若是大于1,圖象從下往上增;底數(shù)0到1之間，圖象從上往下減;

無論函數(shù)增和減，圖象都過（1,0）點.

二、典例解析

例1比較下面兩個值的大小

f3.418.511.812.75.1.5.9

t

⑴log?，log2;⑵log03,log03⑶log.，log.（a>0,a封）

歸納總結：1.當?shù)讛?shù)相同時,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

2.當?shù)讛?shù)不確定時，要對底數(shù)a與1的大小進行分類討論.

跟蹤訓練1:比較下列各題中兩個值的大小：

⑴log6log8；(2)log6log4

10100.50.5

⑶log0.5log0.6；(4)log1.6log1.4

0.10.11.51.5

跟蹤訓練2：已知下列不等式，比較正數(shù)m,n的大小：

(1)logm<logn；(2)logm>logn

330.30.3

(3)logm<logn(0<a<l)；(4)logm>logn(a>l)

aaaa

例2.溶液酸堿度的測量溶液酸堿度是通過pH刻畫的.pH的計算公式為：pH=1g田1

其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.

⑴根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及上述pH的計算公式，說明溶液酸堿度

與溶液中氫離子的濃度之間的變化關系；

⑵已知純凈水中氫離子的濃度為[〃+]=10"摩爾/升，計算純

凈水的pH值.

反函數(shù)：已知函數(shù)y=2(xSR,yC(0,+oo))可得到xnog2：對于

y

任意一個y￡(0,+oo),通過式子x=log2,x在R中都有唯一確定的值和它

對應。也就是說，可以把y作為自變量，x作為y的函數(shù)，這是我們就說x=log；

(yG(0,+oo))是函數(shù)y=2X(x￡R)的反函數(shù)。

但習慣上，我們通常用x表示自變量，y表示函數(shù)。為此我們常常對

調(diào)函數(shù)x=log2'中的字母x,y,把它寫成丫=1(瑪*，這樣，對數(shù)函數(shù)yuk^x(x

G(0,+oo))是指數(shù)函數(shù)y=2*(xWR)的反函數(shù)。

X

因此，函數(shù)y=logx(a>0,且a，l)與指數(shù)函數(shù)y=a互為反函數(shù)。它們的定

a

義域和值域恰好相反。

【達標檢測】

1.函數(shù)y=log〃x的圖象如圖所示，則實數(shù)a的可能取值為()

3.已知y(x)=k)g仇|,滿足5)=1,試畫出函數(shù)7U)的圖象.

a

4.函數(shù)=loga(2x—5)的圖象恒過定點.

5.比較下列各組數(shù)中兩個值的大?。?/p>

(1)log67,log76(2)log3^r,log20.8

k)gi(2x+l)>log12

6：解不等式：25

【課堂小結】

2.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=a'（a>Q,且存1）和對數(shù)函數(shù)v=log4a>0且存1）互為反函數(shù).

3.思想方法類比：類比的思想方法；類比指數(shù)函數(shù)的研究方法；數(shù)形結合

思想方法是研究函數(shù)圖像和性質(zhì)；

參考答案：

學習過程

典例1解析：（1）:用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考察函數(shù)y=log,xVa=2>l,

，函數(shù)在區(qū)間（0,+oo）上是增函數(shù)；V3.4<8.5,Z.log3.4<log8.5

(2)：考察函數(shù)y=logx,,.,a=0.3<1,...函數(shù)在區(qū)間(0,+oo)上是減

0.3

函數(shù)；

V1.8<2.7，log1.8>log2.7

0.30.3

(3)：考察函數(shù)log5.1與log5.9可看作函數(shù)y=logx的兩個函值，對

aaa

數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a是大于1還是小于1,因此需要對底數(shù)a進行討論

當a>l時，因為y=logx是增函數(shù)，且5.1<5.9,所以log5.1<log5.9；

aaa

當0<a<l時，因為y=logx是減函數(shù)，且5.1<5.9,所以log5.1>log5.9；

aaa

跟蹤訓練1答案：V；V；>;>

跟蹤訓練2答案：m<n；m<n；m>n；m>n

例2.解：⑴根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)得pH=-lg[W+l=lg[W+r'=lg—

[H]

在(0,+?)上,陽*]增大，宗減小,1g總也減小，即p”減小.

所以增大,pH減小，

即溶液中氫離子的濃度越大，其酸堿度就越小.

(2)當[”+]=10々時，p"=-1gId7=7即純凈水的p"是7.

三、達標檢測

1.【答案】A[由圖可知，a>\,故選A.]

2.解析：C...(Xvl,.?.)，=&*是減函數(shù)，y=logx是增函數(shù)，

a

故選C.]

3.解析:；/(x)=logJx|,/./(—5)=logfl5=b即a=5,.7/(x)=k)g5|x|,

?.../U)是偶函數(shù)，其圖象如圖所示.

4.【答案】(3,0)[由2尤一5=1得x=3,.\/(3)=log“l(fā)=0.即函數(shù)人x)恒過定

點(3,0).]

5解:(1)；10867>1。866=1,10876<10877=1,/.10§67>^76

(2)Vlog37r>log31=0,log20.8<log21=0,.,.log3^>log20.8

2x+1>011

——<x<—

6.解：原不等式可化為:2x+1v2,22

二原不等式的解集是

《4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)》同步練習一

基礎鞏固

1.已知函數(shù)y=f(x+2)的圖象關于直線x=-2對稱，則當xe(0,+-)

時,f(x)=Ilog2x|,若a=f(-3),b=f(；),C=f(2),則a,b,c的大小關系是()

(A)a>b>c(B)b>a>c

(C)c>a>b(D)a>c>b

2.若函數(shù)尸f(x)與函數(shù)y=ln五+1的圖象關于直線尸x對稱，則f(x)等于()

(A)e2x_2(B)e2x

(C)e2x+1(D)e2x+2

3.若logm8.l<logn8.l<0,那么m,n滿足的條件是()

(A)m>n>l(B)n>m>l

(C)0<n<m<l(D)0<m<n<l

4.已知函數(shù)f(x)=log<”D(2x+l)在內(nèi)恒有f(x)>0,則a的取值范圍是

()

(A)(1,+8)⑻(0,1)

(C)(0,2)(D)(1,2)

5.函數(shù)y=log21x|的圖象大致是()

(A)⑻(C)(D)

6.若函數(shù)f(xhlng+ax+l)是偶函數(shù)，則實數(shù)a的值為.

7.函數(shù)f(x)=|log2x|的單調(diào)增區(qū)間為.

2

x

8.已知f(x)=log4(4-l).

(1)求f(x)的定義域；

⑵討論f(x)的單調(diào)性；

(3)求f(x)在區(qū)間92］上的值域.

能力提升

9.已知log2b<log2a<log2c,貝ij()

(A)(學嗎1*>(?，

(B)(5”>(?>(》，

222

(C)(》，>(?>(?

222

⑻(>>(3”>(/

10.已知函數(shù)￡&)=7(：+1)1：：4,則￡(2+]3)等于()

(A)8(B)12(C)16(D)24

11.當0<a<l時,在同一坐標系中，函數(shù)y=a*與y=logax的圖象是()

12.已知函數(shù)f(x)=ln(ax2+2x+l).

⑴若f(x)的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍;

⑵若f(x)的值域為R,求實數(shù)a的取值范圍.

素養(yǎng)達成

13.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(3x+l).

(1)求出使g(x)2f(x)成立的x的取值范圍；

(2)當xG[0,+℃)時,求函數(shù)y=g(x)-f(x)的值域.

4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)答案解析

基礎鞏固

1.已知函數(shù)y=f(x+2)的圖象關于直線x=-2對稱，則當xe(0,+8)

時,f(x)=|logx|,若a=f(-3),b=f(i),c=f(2),則a,b,c的大小關系是()

24

(A)a>b>c(B)b>a>c

(C)c>a>b(D)a>c>b

【答案】B

【解析】因為函數(shù)y=f(x+2)的圖象關于x=-2對稱，

所以函數(shù)y=f(x)的圖象關于y軸對稱，

所以函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù).

所以a=f(-3)=f(3)=|log23|=log23,

又b=f(；)=|log2^|=|-2|=2,

c=f(2)=|log221=1,所以c<a<b.

2.若函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=lnSE+l的圖象關于直線y=x對稱，則f(x)等于()

(A)e2x-2(B)e2x

(C)ezx+1(D)e2x+2

【答案】A

【解析】若兩個函數(shù)的圖象關于直線y=x對稱,那么這兩個函數(shù)互為反函數(shù)，而

y=lnV%+l的反函數(shù)為y=e*2,故選A.

3.若log8I〈log81<0,那么m,n滿足的條件是()

(A)m>n>l(B)n>m>l

(C)0<n<m<l(D)0<m<n<l

【答案】C

【解析】由題意知m,n一定都是大于0且小于1的數(shù),根據(jù)函數(shù)圖象(圖略)知,

當x>l時,底數(shù)越大,函數(shù)值越小,故選C.

4.已知函數(shù)f(x)=log(aT)(2x+l)在(-|，0)內(nèi)恒有f(x)>0,則a的取值范圍是

()

(A)(1,+8)⑻(0,1)

(C)(0,2)(D)(1,2)

【答案】D

【解析】由-gx<0,得0<2x+l〈l.若f(x)>0恒成立，則0<aT<l.所以l〈a<2.故選

D.

5.函數(shù)y=logjx|的圖象大致是()

【答案】A

【解析】因為函數(shù)y=logz|x|是偶函數(shù),且在(0,+8)上為增函數(shù),結合圖象可知A

正確.

6.若函數(shù)f(x)=ln(x%ax+l)是偶函數(shù),則實數(shù)a的值為.

【答案】0

【解析】函數(shù)f(x)=ln(x?+ax+l)是偶函數(shù)，

所以f(x)=f(-x),即In(x-+ax+l)=ln(x'-ax+l),

所以ax=-ax在函數(shù)的定義域中總成立,所以a=0.

7.函數(shù)f(x)=1log：|的單調(diào)增區(qū)間為.

2

【答案】［1,+8)

【解析】由函數(shù)f(x)=|log”|可得函數(shù)的大致圖象如圖所示，

2

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為［1,+8).

8.已知f(x)=log,i(4'T).

(1)求f(x)的定義域；

(2)討論f(x)的單調(diào)性;

⑶求f(x)在區(qū)間92］上的值域.

【答案】(1)(0,+8)(2)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增(3)值域為［0,logJ5］.

【解析】(1)由4'-1>0,解得x>0,

因此f(x)的定義域為(0,+8).

(2)設0<xt<X2,則0<4X1-K4X2-1,

因此log4(4x-l)<log4(4X2-1),即f(Xi)<f(x2),

故f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(3)因為f(x)在區(qū)間號,2］上單調(diào)遞增，

又f(?=0,f(2)=logJ5,

因此f(x)在區(qū)間與2］上的值域為［0,logJ5］.

能力提升

9.已知log2b<log2a<log2c,貝?。?)

(A)?6》》〉?。

222

(B)(|)aX|)bX|)c

(0(|)cx|)bx|)a

(D)(?>(?〉(》

222

【答案】A

【解析】因為log2b〈log2a<log2C,所以c>a>b,所以(，h>(1)a>(|)故選A.

10.已知函數(shù)fD，則f(2+log⑶等于()

(2X,x>4,

(A)8(B)12(C)16(D)24

【答案】D

【解析】因為l〈log23〈2,所以3<2+lo&3〈4,所以f(2+log23)=f(3+log23).

又4<3+log23<5,所以f(3+log23)=2(3+i°g23)=23x21°g23=8X3=24.故選D.

9.當0<a<l時,在同一坐標系中，函數(shù)y=a'與y=logax的圖象是()

【答案】D

【解析】因為函數(shù)y=a"與y=logax互為反函數(shù),所以它們的圖象關于直線y=x對

稱，

且當0<a<l時，函數(shù)y=a"與y=logax都是減函數(shù),觀察圖象知,D正確.故選D.

12.已知函數(shù)f(x)=ln(ax?+2x+l).

⑴若f(x)的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍；

⑵若f(x)的值域為R,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)a的取值范圍為Q,+8)(2)a的取值范圍為［0,1］.

【解析】(1)因為f(x)的定義域為R,

所以ax2+2x+l>0恒成立.

當a=0時,2x+l>0,x>-|,不合題意;

所以aWO.由。：得a>L

故實數(shù)a的取值范圍為(1,+8),

(2)因為f(x)的值域為R,

所以{y|y=ax2+2x+l,xGR}n(0,+°°).

(也可以說y=ax2+2x+l取遍一切正數(shù))

①當a=0時,y=2x+l可以取遍一切正數(shù),符合題意，

②當aWO時,需］:0即O〈aW1.

綜上，實數(shù)a的取值范圍為［0,1］.

素養(yǎng)達成

13.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(3x+l).

(1)求出使g(x)2f(x)成立的x的取值范圍；

⑵當xG[0,+8)時,求函數(shù)y=g(x)-f(x)的值域.

【答案】(1)[0,+8).(2)[0,log23).

【解析】⑴因為f(x)=lo&(x+D,

g(x)=log2(3x+l),g(x)2f(x),

所以3x+12x+l>0,

所以x20.

即使g(x)2f(x)成立的x的取值范圍為［0,+8).

(2)因為y=g(x)-f(x)=log2(3x+l)-log2(x+1)

=log^^(x^0).

2X+1

令h(x)三匚3---,

x+1X+1

則h(x)為［0,+8)上的增函數(shù),所以1Wh(x)<3,

故y=g(x)-f(x)w[0,log23),

即函數(shù)y=g(x)-f(x)的值域為[0,log23).

《4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)》同步練習二

一、選擇題

1.已知f(x)=log3x,

即?通

2.函數(shù)yT°g["xC(0,8]的值域是()

2

A.[-3,+oo)B.[3,+oo)c.(-oo,-3]D.(—8,3]

3.設a=log：3,b=G)°：c=2刎()

A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<b<c

4.在同一直角坐標系中，當如:蟠/口時，函數(shù)解=媼卡與理=1徵產(chǎn)的圖象是

▲

A.B.C.

5.函數(shù)〃x)=logix的單調(diào)遞增區(qū)間是(

2

A.(0,；B.(0,1］C.(0,+oo)D.［1>+OO)

6.已知y=log.(2—x)是x的增函數(shù)，則a的取值范圍是()

A.(0,2)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,+~)

二、填空題

7.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在區(qū)間［0,4］上是減函數(shù)，則比較大小了(-%).

/(log2").

一2

8.地震的震級A與地震釋放的能量￡的關系為A=］(lg￡-11.4).2011年3

月11日，日本東海岸發(fā)生了9.級特大地震，2008年中國汶川的地震級別為8.0

級，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的倍.

9.函數(shù)〃x)=/Qg“(3x-2)+2(a>0,。工1)恒過定點.

log2x,x>0

10.設函數(shù)〃x)=log；(—x),x<0,若/3)>/(-。)，則實數(shù)。的取值范圍是

三、解答題

11.解不等式：loga(x—4)>loga(x—2).

12.已知函數(shù)/(x)=log“(3-3).

(1)當x?0,2］時，函數(shù)/(x)恒有意義，求實數(shù)。的取值范圍；

(2)是否存在這樣的實數(shù)。，使得函數(shù)/(同在區(qū)間口,2］上為減函數(shù)，并且最大

值為1?如果存在，試求出”的值；如果不存在，請說明理由.

4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)答案解析

一、選擇題

1.已知f(x)=log3X,則置色￡&舞繳的大小是

A.，上值W獺B.吟Y.Yg

c.D.舞^演時馳照手

【答案】B

【解析】由函數(shù)y=log3X的圖象可知，圖象呈上升趨勢，即隨著x的增大，函數(shù)

值y也在增大，故,舞手?，：演。卜，獺.

2.函數(shù)y=l°gi"x￡（0,8]的值域是（）

2

A.[-3,+8）B.[3,+8）

C.（―0°,—3]D.（―8,3]

【答案】A

【解析】0<龍<8,；.他32—3,故選九

2

3.設。=1。8產(chǎn)，b=G）°：c=2測（）

K.b<a<cB.c<b<aC,c<a<bD.a<b<c

【答案】D

[解析]由題得a=logF<log?=0*>0，c>0.b=（J）02<（|）°=1,

c=25>2°=1>所以a<b<c.故選：D

4.在同一直角坐標系中，當?IT渤/工時，函數(shù)理=端",與好=艇齦“的圖象是

【答案】C

【解析】當031時，函數(shù)般=短"=於『，-€（1:+X）,所以圖象過點兩，在

湖a1

其定義域R上是增函數(shù)；函數(shù)好=1的圖象過點畫，在其定義域10,+功上

是減函數(shù).故選C.

5.函數(shù)〃力=心尸的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

2

A.(0,；B.(0,1］C.(0,+oo)D.［1>+??)

【答案】D

【解析】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，函數(shù)y=i°gi”是一個減函數(shù)，當%>1時，函數(shù)值

2

小于0,函數(shù)/(x)=log|X的圖象可由函數(shù)>=l°glX的圖象X軸下方的部分翻

22

到X軸上面，X軸上面部分不變而得到，由此知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)

2

間是［1,+8),故選D.

點睛：本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖象的變化，解題的關鍵是理解絕對值

函數(shù)與原來的函數(shù)圖象間的關系，其關系是：與原函數(shù)X軸上方的部分相同，X

軸下方的部分關于X軸對稱，簡稱為“上不動，下翻上”.

6.已知y=log”(2—x)是x的增函數(shù)，則a的取值范圍是()

A.(0,2)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,+<>=)

【答案】B

【解析】令Z=2-x,則Z是8的減函數(shù)，：y=log“(2-x)是x的增函數(shù)，

；<=108“2是減函數(shù)，則0<。<1,