安徽省蕪湖市示范高中2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月聯(lián)考試題理含解析

PAGE24-安徽省蕪湖市示范中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月聯(lián)考試題理（含解析）一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，，再利用集合并集的概念即可得解.【詳解】由題意，，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了集合運(yùn)算及一元二次不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)，是非零向量，則“”是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】由題意可得，，依據(jù)充分條件和必要條件的概念分別證明即可得解.【詳解】由題意，，若，則即；若，則即，所以；所以“”是“”的充分必要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量數(shù)量積的應(yīng)用及充分條件、必要條件的推斷，屬于基礎(chǔ)題.3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿意，則最大值為（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】設(shè)，，由題意可得，即點(diǎn)在圓上，找到圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大值即可得解.【詳解】設(shè)，，，即，點(diǎn)在圓上，又該圓的圓心為，半徑為，該圓上全部點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大值為，即，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)模概念的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.4.為了探討某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，依據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回來(lái)直線方程為.已知，，.該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為25，據(jù)此估計(jì)其身高為（）A.170 B.166 C.163 D.160【答案】A【解析】【分析】由題意求出、，進(jìn)而可得，代入即可得解.【詳解】由題意，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回來(lái)方程的確定及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，即可得解.【詳解】由題意，，，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小比較，考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6.若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用查兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再由題意利用三角函數(shù)的奇偶性求得的最小值．【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，可得的圖象．再依據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可得，，則令，可得最小值為，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和的正弦公式，三角函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．7.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿意，則的值為（）A.8 B.16 C.32 D.81【答案】B【解析】【分析】利用與的關(guān)系，結(jié)合題意可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，即，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列與關(guān)系的應(yīng)用，考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8.已知向量，，與的夾角為，且，則實(shí)數(shù)k的值為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合平面對(duì)量數(shù)量積的定義可得，轉(zhuǎn)化條件為，代入即可得解.【詳解】向量，，與的夾角為，，又，，，由，可得解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了平面對(duì)量數(shù)量積的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.9.函數(shù)y=sin2x的圖象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先探討函數(shù)的奇偶性，再探討函數(shù)在上的符號(hào)，即可推斷選擇.詳解：令，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，解除選項(xiàng)A,B;因?yàn)闀r(shí)，，所以解除選項(xiàng)C，選D.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，推斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值域，推斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，推斷圖象的改變趨勢(shì)；（3）由函數(shù)的奇偶性，推斷圖象的對(duì)稱性；（4）由函數(shù)的周期性，推斷圖象的循環(huán)往復(fù)．10.我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的改變，每一卦由六爻組成.其中有一種起卦方法稱為“金錢起卦法”，其做法為：取三枚相同的錢幣合于雙手中，上下?lián)u動(dòng)數(shù)下使錢幣翻滾摩擦，再隨意拋撒錢幣到桌面或平盤等硬物上，如此重復(fù)六次，得到六爻.若三枚錢幣全部正面對(duì)上或全部反面對(duì)上，就稱為變爻.若每一枚錢幣正面對(duì)上的概率為，則一卦中恰有三個(gè)變爻的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意每拋撒錢幣一次得到變爻的概率為，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可得，即可得解.【詳解】由題意每拋撒錢幣一次得到變爻的概率為，則一卦中變爻個(gè)數(shù)，則一卦中恰有三個(gè)變爻的概率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.11.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線MN與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，若，，則C的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)橢圓焦距為，取的中點(diǎn)，連接，轉(zhuǎn)化條件得，進(jìn)而可得、、、，利用余弦定理可得、，即可得解.【詳解】設(shè)橢圓焦距為，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：，即，，，，，在中，，在中，，由可得，化簡(jiǎn)可得，或（舍去），，該雙曲線漸近線方程為即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用及漸近線的求解，考查了余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.12.已知棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為DC中點(diǎn)，F(xiàn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐的外接球的表面積最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點(diǎn)，易知為的外心，取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)可得三棱錐的外接球球心在直線上，連接，取的中點(diǎn)，連接、，易知當(dāng)即點(diǎn)與重合時(shí)，即外接球半徑最小，設(shè)，依據(jù)求得，進(jìn)而可求得外接球半徑，即可得解.【詳解】取的中點(diǎn)，易知為的外心，取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)可得平面，則三棱錐的外接球球心在直線上，連接，取的中點(diǎn)，連接、，由中位線的性質(zhì)可得且，所以，所以平面，，若要使三棱錐的外接球的表面積最小，則要使其半徑即最小，易知當(dāng)即點(diǎn)與重合時(shí)，最小，設(shè)，由題意，，則，，由可得，化簡(jiǎn)可得，此時(shí)，三棱錐的外接球的半徑滿意，所以三棱錐的外接球的表面積最小值.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了正方體幾何特征的應(yīng)用及三棱錐外接球體積的求解，考查了線面垂直的性質(zhì)和判定，屬于中檔題.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.二項(xiàng)式的綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.【答案】【解析】試題分析：二項(xiàng)式的綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為,令，解得，所以該二項(xiàng)式綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，故答案為.考點(diǎn)：二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式.14.設(shè)x，y滿意約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_(kāi)_________.【答案】-2【解析】【分析】由題意畫出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意畫出可行域，如圖陰影部分：轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為，上下平移直線，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取最小值，由可得點(diǎn)，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃，考查了運(yùn)算求解實(shí)力與數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.15.直線與橢圓交于A?B兩點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由題意轉(zhuǎn)化條件為點(diǎn)，代入橢圓方程可得，化簡(jiǎn)后即可得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，橢圓如圖所示：直線，即，又，為中點(diǎn)，，點(diǎn)即，點(diǎn)在橢圓上，，結(jié)合化簡(jiǎn)可得，由可得，解得或（舍去），.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓的綜合應(yīng)用，考查了橢圓離心率的求解，屬于中檔題.16.若不等式對(duì)隨意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由題意轉(zhuǎn)化條件得對(duì)隨意恒成立，令，，求導(dǎo)后，求得的最小值即可得解.【詳解】由題意，不等式對(duì)隨意恒成立，對(duì)隨意恒成立，對(duì)隨意恒成立，令，，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；，，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換的應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題，屬于中檔題.三?解答題：共70分.解等應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答.第22?23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.17.在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，且滿意，記此三角形的面積為S.（1）若，求S的值；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理結(jié)合題意可得，代入即可得，再利用即可得解；（2）轉(zhuǎn)化條件得，進(jìn)而可得，則，化簡(jiǎn)后即可得解.【詳解】（1）由余弦定理和已知條件得：，從而有，①若時(shí)得，則；（2）若②聯(lián)立①②得，整理得：，即，又，故，則，∵，∴，∴.從而可得的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，考查了三角恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題.18.如圖，真四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分別是BC，，的中點(diǎn).（1）證明：面；（2）求平面DMN與平面所成銳角的正切值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理可得，進(jìn)而可得，由正棱柱的幾何特征可得，由線面垂直的判定即可得解；（2）連接ME，由題意可得四邊形DNME為平行四邊形，DE即為平面DMN與平面的交線，由線面垂直的判定可得面，進(jìn)而可得即為平面DMN與平面所成的平面角，即可得解.【詳解】（1）證明：∵在菱形ABCD中，，，且E為BC中點(diǎn)，∴，∴即，又棱柱是直四棱柱，∴平面，∴，又平面，平面，,∴面；（2）連接ME，∵E，M，N分別是BC，，的中點(diǎn)，∴且，∴且，∴四邊形DNME為平行四邊形，從而可知：DE即為面DMN與面的交線，∵，，，∴面，∴且，則即為平面DMN與平面所成的平面角，在中，，故平面DMN與平面所成銳角的正切值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定及二面角的求解，考查了空間思維實(shí)力與運(yùn)算求解實(shí)力，屬于中檔題.19.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑作圓，記為,與拋物線C的準(zhǔn)線始終相切.（1）求拋物線C的方程；（2）過(guò)圓心M作x軸垂線與拋物線相交于點(diǎn)N，求的取值范圍.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）過(guò)A，B，M分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D，E，P，由題意轉(zhuǎn)化條件得，即可得A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，即可得解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程可得、、，利用弦長(zhǎng)公式可得，利用點(diǎn)到直線的距離求得高，表示出三角形面積后即可得解.【詳解】（1）證明：過(guò)A，B，M分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D，E，P，設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F，由題意知圓M的半徑，且，即可得，所以A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，即，所以，所以拋物線C的方程為；（2）由（1）知拋物線，設(shè)直線，點(diǎn)，，聯(lián)立可得：，，所以，，所以，則，，故點(diǎn)N到直線AB距離又，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值為32.故所求三角形面積的取值范圍.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線方程的確定及性質(zhì)的應(yīng)用，考查了直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.20.學(xué)號(hào)為1，2，3的三位小學(xué)生，在課余時(shí)間一起玩“擲骰子爬樓梯”嬉戲，規(guī)則如下：投擲一顆骰子，將每次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)除以3，若學(xué)號(hào)與之同余(同除以3余數(shù)相同)，則該小學(xué)生可以上2階樓梯，另外兩位只能上1階樓梯，假定他們都是從平地(0階樓梯)起先向上爬，且樓梯數(shù)足夠多.（1）經(jīng)過(guò)2次投擲骰子后，學(xué)號(hào)為1的同學(xué)站在第X階樓梯上，試求X的分布列；（2）經(jīng)過(guò)多次投擲后，學(xué)號(hào)為3的小學(xué)生能站在第n階樓梯的概率記為，試求，，的值，并探究數(shù)列可能滿意的一個(gè)遞推關(guān)系和通項(xiàng)公式.【答案】（1）答案見(jiàn)解析.（2），，，【解析】【分析】（1）由題意學(xué)號(hào)為1的同學(xué)可以上2階樓梯的概率為，可以上1階樓梯的概率為，分別求出、、，即可得解；（2）由題意可得、、；由題意且，構(gòu)造新數(shù)列即可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，再利用累加法即可得解.【詳解】（1）由題意，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)1、4時(shí)，學(xué)號(hào)為1的同學(xué)可以上2階樓梯，概率為，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)其他點(diǎn)數(shù)時(shí)，學(xué)號(hào)為1的同學(xué)可以上1階樓梯，概率為，由題意，所以，，，所以X的分布列為：X234P（2）表示學(xué)號(hào)為3的小摯友能站在第1階樓梯的概率，依據(jù)投擲骰子的規(guī)則，若出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為3或6，則他干脆站在第2階樓梯，否則站在第1階樓梯.故，同理可得：，，由于學(xué)號(hào)為3小摯友能夠站在第n階樓梯，有兩種可能：從第階樓梯投擲點(diǎn)數(shù)為3或6干脆登2個(gè)臺(tái)階上來(lái)，或從第階樓梯只登1個(gè)臺(tái)階上來(lái).依據(jù)骰子投擲規(guī)則，登兩階的概率是，登一階的概率是，故且(*)將(*)式可變形為，從而知：數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則有.進(jìn)而可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以.【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量分布列的求解，考查了數(shù)列與概率的綜合問(wèn)題，屬于中檔題.21.已知函數(shù).（1）若存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)，設(shè)是定義在上的函數(shù).（ⅰ）證明：在上為單調(diào)遞增函數(shù)(是的導(dǎo)函數(shù))；（ⅱ）探討的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）.（2）（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得，依據(jù)、分類，求得、的解集即可得解；（2）（?。┝?，對(duì)求導(dǎo)，依據(jù)、分類，證明恒大于0，即可得證；（ⅱ）由的單調(diào)性結(jié)合，依據(jù)、分類，結(jié)合即可得解.【詳解】（1）求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞減，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在處有微小值.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（2）（?。┳C明：由題意，∵令，∴，∵，當(dāng)時(shí)，，，，則；當(dāng)時(shí)，令，則，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，從而有：，而，則，則；綜上，對(duì)都有成立，故在區(qū)間單調(diào)遞增；（ⅱ）由（ⅰ）知，在區(qū)間單調(diào)遞增且，①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，則在單調(diào)遞增，則是的唯一微小值點(diǎn)，且，從而可知：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間有唯一零點(diǎn)0；②當(dāng)時(shí)，有，且，故存在使，此時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，又，由零點(diǎn)存在定理知：則在區(qū)間有唯一零點(diǎn)，記作，從而可知：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)：0和；綜上：①當(dāng)時(shí)，在區(qū)