【沖刺985、211之2023屆新高考題型模擬訓(xùn)練】36 高考新題型劣構(gòu)性試題綜合問題（新高考）解析版-高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點資料歸納

【沖刺985、211名校之2023屆新高考題型模擬訓(xùn)練】

專題36高考新題型劣構(gòu)性試題綜合問題（新高考通用）

1.（2023?云南紅河?統(tǒng)考一模）在①一空C—+—^―=1,②ccosCsinA=（?-c）sinCcosA

sinA+sinBa+c

這兩個條件中任選一個，補充到下面橫線上，并解答.

記AABC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,h,c,且.

⑴求NA：

（2）若|C8-CA|=4,cosB+cosC=1,求ZkABC的面積.

（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.）

【答案】（1）4=1

（2）473

【分析】（1）選①，由正弦定理得到尸+/-/=bc,再由余弦定理得到cosA=；,求出44；

選②，由正弦定理變形得到sinC（sinAcosC+cosAsinC）=2sin8sinCeosA,結(jié)合正弦和角

公式，誘導(dǎo)公式求出cosA=；,得到4=^；

⑵由|C8-CA|=4求出c=4,由8SB+COSC=1,結(jié)合第?問結(jié)論得到sinjc+g]=l,

求出c=W,利用三角形面積公式求出答案.

【詳解】（1）選①，由正弦定理17=上=三；，得/7+上=1.

sinAsinBsinea+ba+c

所以c(a+c)+/?(a+b)=(a+/?)(a+c).

化簡為。2+/一々2=兒.

,22

由余弦定理口"=與干]_

2

由于Aw（（）,兀）

所以A=].

選②.由正弦定理.')=工=心，

smAsmBsinC

得sinCcosCsinA=(2sinB-sinC)sinCeosA.

化簡得sinC(sinAcosC+cosAsinC)=2sinBsinCcosA，

由兩角和的正弦公式得sinCsin(A+C)=2sinBsinCcosA.

由誘導(dǎo)公式化簡得sinCsin3=2sinBsinCeosA.

因為Ce(O,7t),Be(O,7r),

所以sinCw0,sin8#0,所以cosA=—.

2

由于Ae(0,7t)

所以4=全

(2)\CB-C^=\AB\=4,即C=4.

jr

由(1)知：人二記

所以853+85。=85(事一0+(：05(7=^^5m0+1050=5"0+煮)=1,

因為0<C<”，-<c+-<—,

3666

所以C+臺.eg

即AA8c為邊長是4的等邊三角形.

=-acsinfi=-x4x4x—=473.

222

2.（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考一模）在①耳,$2,54成等比數(shù)歹IJ,②的=2生+2,③S8=S4+S7-2

這三個條件中任選兩個，補充在下面問題中，并完成解答.

已知數(shù)列｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前〃項和為S,,,且滿足

（1）求｛%｝的通項公式；

I]

⑵求R

4A+i

注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案計分.

【答案】⑴選①②，①③或②③均可得見=4"-2

n

(2)4(2/2+1)

【分析】（1）選出兩個條件，根據(jù)等差數(shù)列通項公式和求和公式基本量計算出首項和公差,

得到通項公式;

⑵在第一問的基礎(chǔ)上，得到利用裂項相消法求利

【詳解】（1）若選①②，設(shè)公差為d,

則卜i（4q+6d）=（2《+d）2

4+34=2（4+d）+2

解得：《=2/=4,

/.an=2+4（〃-1）=4〃-2；

選①③，設(shè)｛4｝公差為d,

4（4《+6d）=（2q+d）2

8q+28d=4q+6d+7q+2Id—2

解得：4=2,d=4,

an=2+4（〃-1）二4〃-2；

選②③，設(shè)｛%｝公差為d,

q+3d=2（q+d）+2

<84+28d=44+6d+74+2Id-2'

解得：q=2,d=4,

:.an=2+4（7?-1）=4H-2；

1二1J11______

（2）ana?+l（4n-2）（4?+2）4（2n-l）（2n+l）8（2〃-12n+lJ）

111If,11I11）

aa

ata2a2a3?n+\813352n—\2n+\）

=lfj__1Vn

到2n+\）4（2n+l）,

3.（2022秋?山東聊城?高三山東聊城一中校考期末）記的內(nèi)角A8,C的對邊分別為

a,b,c.已知（c-2切cosA+"cosC=0.

⑴求A；

（2）從下面的三組條件中選擇一組作為已知條件，使得一A3C存在且唯一確定，求一A8C的面

積.

①。=2,。=3；②。=2,8=三；③A8邊上的高人=百,。=3.

6

【答案】（嗚

（2）答案見解析

【分析】（1）先利用正弦定理進行邊化角，再根據(jù)三角恒等變換運算求解；（2）若選①：根

據(jù)題意結(jié)合正弦定理可得sin3=±>l,不成立；若選②：根據(jù)題意可判斷.ABC存在且

4

唯一確定，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)運算求解；若選③：根據(jù)題意結(jié)合面枳公式可得〃=2,

再利用余弦定理求c=l+6，結(jié)合面積公式運算求解.

【詳解】(1)己知(。-的cosA+acosC=0,

由正弦定理得(sinC-2sinB)cosA+sinAcosC=0,

化簡得2sinBcosA=sin(A+C)=sinB.

因為sin8>0,所以cosA='，因為OvAv兀，所以4=g.

23

(2)若選①：。=2力=3.由正弦定理三=上,可得而8=期4=述>1,無解；

smAsinBa4

若選②：a=2,B屋.已知4=三，則C=5，此時..43C存在且唯一確定，

則6=，-=遞，

tanA3

.ABC的面積5—屋=3"=^^；

若選③：AB邊上的高〃=6,。=3,可得與csinA=：/rc,解得6=11=2,

22sinA

又.「a=3,由余弦定理可得20c8sA=》2+c?-a?,則c?—2c-5=0,解得c=l+?或c=1—#

(舍去),

此時JIBC存在且唯一確定，

，一ABC的面積S^ABC=-hcsinA=-x2x(l+V6)x—="+30

2222

4.(2023,山東濰坊?統(tǒng)考一模)在①taManC-石tanA=1+6tan。；②

[2c-\/3ajcosB=\[3bcosA；③(〃-6。?耐+底皿仁;如的這三個條件中任選-一個，補充在

下面問題中并作答.

問題：在一他。中，角4民。所對的邊分別為。也。，且__________.

⑴求角3的大??；

⑵已知。二人+1,且角A有兩解，求力的范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)/?>1

【分析】(1)若選①，由兩角和的正切公式化簡即可求出求角6的大??；若選②，利用正弦

定理統(tǒng)一為角的三角函數(shù)，再由兩角和的正弦公式即可求解；若選③，由余弦定理代入化簡

即可得出答案.

（2）將c=6+l代入正弦定理可得sinC="L要使角A有兩解，即1<sinC<l,解不等

2b2

式即可得出答案.

【詳解】（1）若選①：整理得1一1@必1@11。二一6?004+1@11。），因為4+8+。=萬，

所以tanB=-tan（A+C）=-taM+tanC=3,因為8?0㈤，所以8=1；

若選②：因為（2C'-G〃）COS8=-JibcosA,

由正弦定理得（2sinC-6sin/4）cosB=GsinBcosA,

所以2sinCcos8=gsin（A+8）=6sinC,sinC>0,所以cos8=3,因為5w（0,4）,所以

B=g

若選③：由正弦定理整理得/+02-62=怎。，所以'+1一”=3,

2ac2

即cosB=#,因為3?0,萬），所以8屋：

（2）將c=Hl代入正弦定理上=三，得二="，所以sinC="L

sinnsinesinnsinC2b

jr1

因為8=?，角A的解有兩個，所以角C的解也有兩個，所以彳<sinC<l,

62

即_1<四<1,又b>0,所以力解得萬>1.

22b

5.（2023?遼寧沈陽?統(tǒng)考一模）在一ABC中，角A、B、C的對邊分別為〃、b、J已知

sinA+也cos4=0.

（1）求角A的大?。?/p>

（2）給出以下三個條件：①q=4后，b=4；@b2-a2+c2+10b=0；③5布=15百.

若這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題：

（i）求sin2的值；

（ii）N84C的角平分線交BC于點O,求AO的長.

QTT

【答案】（l）A=y

⑵（i）sinB=—；（ii）AD=—.

144

【分析】（1）由已知條件可得出tanA的值，結(jié)合角A的取值范圍可求得角A的值；

（2）由4=與以及①或②或③解三角形，可得出正確的條件.

(i)求出。的值，利用正弦定理可求得sinA的值；(ii)由SASC=SA如+SACD結(jié)合三角形

的面積公式可求得的長.

［詳解】(1)解:因為sinA+y/icosA=0，若cosA=0,則sinA=0,不滿足siMA+cos2A=\,

27c

所以，tanA=—^3?0<A<7t,.0.A=.

2

⑵解：由A吟及①，由余弦定理可得。2=〃+c2-26ccos與，B|JC+4C-32=0，

QoO,解得c=4：

由A=T及②，由余弦定理可得。2+c2-a2=2/?ccosA=-be，

由廿一儲+。2+］。力=0可得lOb-bc=0,可得c=10；

由A專及③，由三角形的面積公式可得Sfc=；6csinA=1A=155可得歷=60.

經(jīng)分析可知①②不能同時成立，①③不能同時成立，正確條件為②③，故。=6,c=10.

(i)將b=6,c=10代入②可得36-/+100+60=0可得a=14.

在_ABC中，由正弦定理人=口=竿'故sin8=上叵.

sinAsin814

I2冗17rljr

(ii)因為SABC=SABO+SACO，即5〃csin彳=50A￡)sin§+5/rA￡>sin§,

所以，AD=-^=^=^-.

b+c164

6.(2023?浙江嘉興?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖在三棱柱4BC-A8C中，。為AC的中點，

AB=BC=2,R4=NB/C.

(1)證明：1AC；

(2)若BBJBC,且滿足：,(待她條件).

從下面給出的①②③中選擇申個填入待謂條中求二面角B-B.D-C,的正弦值.

①三棱柱ABC-AB￡的體積為3百；

②直線與平面8CC內(nèi)所成的角的正弦值為叵；

13

③二面角-C的大小為60°；

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

【答案】（1）證明見解析

（2）答案見解析

【分析】（1）通過證明ACJ_平面來證得

（2）先選擇條件，然后根據(jù)所選條件，利用幾何法或向量法求得二面角8-與。-￡的正弦

值.

【詳解】（1）在三棱柱ABC-中，由題意可得Mi=耳8,A81=BC,

A

/.△A4,42AB、BCnABt=CB、,又：AD=DC,：.￡0AC,

同時在中，*.*AB=BC,AD=DC,：.BD1AC,

?：B]DcBD=D,B、D,BDu平面BDBt,

ACJ"平面BDB、,

又?；BAu平面/.ACIBB,.

（2）-：BBtlAC,BB^LBCW_ACBC=C,_L平面ABC,

方案一：選擇①③

；Bq_L平面ABC,/.BB,±AB,BB,±BC,

ZABC為二面角A-Bq-C的平面角，即ZABC=60。=AC=2nAO=g,

?'-5AABC=^x2x2xsin60°=^,又：三棱柱ABC-4用G的體積為，；?Bq=3.

法一：取AG的中點為E，連接EB—ED,過E作于點/，連接C7,

VAC1平面BDB],EC,，平面BDEB、,

又；EF1B0,由三垂線定理可得GFLBQ.

:.NEFG為二面角E-B.D-C,的平面角，

其中GE=1,EFqQF=號,則sinNEFG=*3，

由于:面角B-4O-G的平面角與二面角E-BQ-G的平面角互補，

故二面角8-BQ-&的正弦值為名叵.

13

法二：過8作過G作GFLBQ,過產(chǎn)作FG〃BE交B用于點G,連接GG,

.?.NCEG為二面角B一4D-￡的平面角，其中￡F=孚，尸G=gBE=gx|=；,CQ=6,

，cosZC,FG=一4?，故二面角B-BQ-￡的正弦值為嚕.

法三：如圖所示，建立空間直角坐標系,

設(shè)平面8叫的一個法向量為a=(x,y,z),且期=(3,0,0),8D=jo,-|,孝

'3x=0

mBB,=0

則《=><3x/3..令y=i則x=0,Z=G，故相=(0,1,6b

m-BD=0——yd------z=0

22

4

設(shè)平面小的一個法向量為〃=(x,y,z),且G4=(O,2,O),CQ=-3.

2y=0

n-CB=0

則《}]

a1Gz

加CQ=0-3x+—y+——z=0

22

令x=-l,貝I」y=o,z=-26，故〃=(一1,0,—26),

/\mn3>/13,、於

8s〃六UU="-，故二面角B-BXD-CX的正弦值為詈.

方案二：選擇①②;

解析：過點A作AOI5c尸點。?平面43cl平面8CG4，AOLBC,

/.AO，平面BCC內(nèi)，故宜線AB「與平面BCC國所成角為ZABQ,且sinNABQ=叵,

13

Ktsc-Afi.c,=xy=3>j3

.-x=6

設(shè)AO=x,BB、=y，xi!|JAO=\[3，BB、=3.

sinNAB。=—y=3

JV+4

余下解法參考方案一.

方案三：選擇②③：

?.?8月，平面A8C,/.BBJBC,

/./ABC為二面角A-8片一C的平面角，即NABC=60。=AC=2=>AO=石，

過點A作AOI8C于點。，

?..平面A8C1平面8CG與旦交線為BC,A01BC,AOu平面ABC,

AOL平面BCGq,故直線A及與平面BCG用所成角為ZAB0,且sin乙嵋。=叵.

13

設(shè)Bg=y,貝iJsinNA8Q=當(dāng)=-^==^=>y=3,即BB1=3.

A"I,y~+4iJ

余下解法參考方案

7.（2023春?遼寧?高三朝陽市第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛q｝,也,｝,點

《（〃，《,）分布在一條方向向量為0,2）的直線上，且4=1,4=1.請在①數(shù)列｛%。｝的前"

項和為（2〃—3>2"+3；②數(shù)列1部的前〃項和為6-若=；③數(shù)歹的前〃項和為

〃2+1-2"三個條件中選擇一個，解答下列問題.

⑴求數(shù)列｛4｝,也｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛%。,｝的前〃項和S“.

【答案】（1）%=2〃-1,b?=2n-'

4"1

---+一

321

【分析】（1）根據(jù)直線方向向量及所過的點得見=2〃-1,結(jié)合所選的條件及a”'關(guān)系求｛〃｝

通項公式即可；

（2）由題意、也,,=4“力=23"-2-22"-2,應(yīng)用分組求和及等比數(shù)列前〃項和公式求S”.

【詳解】（1）由題設(shè)直線斜率為2,且過（1,1）,則?！?1=2（〃-1）,故4=2"-1,

選①：｛4也｝前“項和=（2〃-3）?2"+3,

當(dāng)〃22,anb?=M,-Mn_｛=(2〃一3)?2”—(2〃-5)?=(2〃-1)-2^,

當(dāng)〃=1,4々=峪=(2-3)-2+3=1滿足上式，

所以"=2"T：

的前“項和N“=6-與二

選②:

4〃+24〃+62n—\

當(dāng)讓2,3=------------=-----

b.2n2〃11

當(dāng)鹿=1,2=M=6-->=1滿足上式，

b、2

所以以=2"\

選③：｛%-"｝的前?項和K“=/+1_2",

當(dāng)“N2,an-hn=K?-K“T="+1-2"一[(”一1尸+1—2'-']=(2n-l)-2"-',

當(dāng)〃=1,4_4=(=1+]-2=0滿足上式,

所以或=2"3

(2)由(1)知：%1T=(2x2"T—I)""-?=23-2—22-2,

2x(l-8")1-4"23n+,4"1

所以S,="7--T+21

1-81-4

8.（2023?云南昆明?統(tǒng)考一模）如圖，直四棱柱A6CQ-A4GA中，一ABC是等邊三角形,

AB.LAD

A

4

A

B

（1）從三個條件：①AC_Z8。；②ZA￡>C=120。；③80=24）中任選一個作為已知條件,

證明：BCLDC}.

（2）在（1）的前提下，若=g例，P是棱8片的中點，求平面POG與平面尸￡>。所成角

的余弦值.

【答案】（1）證明見詳解

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析證明;

（2）建系，利用空間向量求面面夾角.

【詳解】（1）對①：設(shè)AC與8。的交點為E，

：JU5c是等邊三角形，且AC/3D,則E為AC的中點，

可得ZM=￡）C,且AB=BC,BD=BD,則=BCD,

故ZBCD=Zfi4￡）=90°,即BCLCD,

又CC,±平面ABCD,BCu平面ABCD,

/.BCICC,,且C￡>ICC,=C,CD,CC\u平面CDD￡,

故3cl平面CORG，

注意到DC,u平面CDD,C,,故BC，；

B

對②：VZADC+ZABC=\80°,則N8CD+NR4Z)=180。,

又：AB_LAO,即/BAD=90°,

可得238=90。，即3C_LCD,

又,.?CC|_L平面ABC。，BCu平面ABC。，

/.BC±CC,,且C￡>ICG=C,CD,CGu平面CDD￡,

故BC/平面CD￡?C，

注意到DC,c平面CDDS,故BC，QG；

對③：VABLAD,即NBA。=90。，

Ani

在RtBM)中，則sinNA8D=——=一，可得NAB￡)=30。，

BD2

故ZABD=Z.CBD=30°,AB-BC,BD-BD,則BAD=.BCD.

故NBCD=44￡>=90°,即3C_LCO,

又CC}1平面ABCD,BCu平面ABCD,

/.BClCCt,且COICC,=C,CD,CC,u平面CDD￡,

故8c上平面CDRG,

注意到￡>Gu平面CDD￡,故8C，CC1.

(2)如圖，建立空間直角坐標系A(chǔ)-孫z,設(shè)44,=2,

則0(0,2,0)田(0,2,2),網(wǎng)2百,0,1),G(2后,-2,1),

可得=(0,0,2),DC,=(V3,l,2),r)P=(2A-2,l),

n-DCf=+y+2Z1=0

設(shè)平面尸DC,的法向量為“=（玉,乂,zJ,則■

n-DP=2Gxi-2yl+z1=0

令占=5,貝Ijy=36,Z]=,即”=(5,3>/5,-4A/5),

m?DD、=2Z2=0

設(shè)平面PDD、的法向量為〃?=(x,y,z),則，

222m-DP=2百/一2y2+z2=0

令々=1,則為=6*2=0,即機=（1,6,。），

5+9_7

2xl0-10,

故平面PDQ與平面PDD,所成角的余弦值為木7.

9.（2023?吉林?統(tǒng)考二模）己知,ABC的三個角A,B,C的對邊分別為。，b,c,且

Z?cosC+ccosB=6.

⑴求邊

（2）若...ABC是銳角三角形，且___________,求一抽。的面積S的取值范圍.

要求：從①A=J,②b+c=10從這兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并給出解

4

答.如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【答案】（1）。=6

（2）答案見解析

【分析】(1)解法一，利用余弦定理將角化邊；解法二，利用正弦定理將邊化角;

(2)若選擇①，利用lE弦定理得到。=6及sin3，c=6\/2sinC，WJ5ABC=^bcs\nA,將

其轉(zhuǎn)化為關(guān)于5的三角函數(shù)，結(jié)合一ABC是銳角三角形，求出3范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性

質(zhì)求出金ABC的面積的取值范圍；

若選擇②，依題意可得。=10-力，由三角形一ABC為銳角三角形利用余弦定理求出b的取值

范圍,利用余弦定理表示出cosC,即可得到sinC,將S^c轉(zhuǎn)化為關(guān)于b的函數(shù)，結(jié)合二次

函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【詳解】(1)解法一：因為Z?cosC+ccos5=6,

由余弦定理，得〃?、+”一一.+c.+廠一?=〃=6；

lablac

解法二：因為bcosC+ccos8=6,

由正弦定理，得2A(sinBcosC+sinCcosB)=6,

2/?sin(B+C)=6,

2/?sinA=6,即a=6.

(2)選擇①：因為sinAsinBsinC-

sin—

所以8=6及sin8,c=6>/2sinC?

所以S&ABC

二18夜sinBcos8+——sinB

2

=18sinBcosB+18sin2B

=9sin2B+9-9cos2B

=9^sin2B--

因為一ABC是銳角三角形，

0<B<-0<B<-

所以2,又C=^-B,所以I22,所以:

八「兀437T7142

0<C<-0A<------BD<—

242

所以一v28—<—,所以<sin(28—?1,

44421

所以9<90sin(28-3W90,

所以18Vs<90+9.

選擇②：因為6+c=10,則c=10-6,

b2+c2-a2

cosA=>0

2bc

a2^c2-b2

因為ABC是銳角三角形，所以?cos8=>0,

2ac

a2+b2-c2

cosC=>0

2ab

從+。2-/=從+(10-4-36>0

即<〃2+。2_〃=36+(10-切2-〃>0,

/+/-。2=36+^2-(10-6)2>0

w16,34

所以—<b<,

因為Cose="'"”5力一16

2ah3b

所以g…受巨

所以工…飆-4依嚴

=4V-/?2+io/?-i6><z?<yJ

由二次函數(shù)g(x)=-x2+10x-16=-(x-5)2+9]?<X<弓)的性質(zhì)可一得,

當(dāng)X=5時，函數(shù)取最大值g(x)nKK=9,當(dāng)x=?時，g")=黑，又￡-5<￡-5

所以g(x)e(S，9,即-從+106-16e(嚷,9,所以+10匕-16《￡,3,

所以T48<S△麗412.

10.(2023?山西?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛為｝是正項等比數(shù)列，且%-4=7,々4=8.

(1)求｛為｝的通項公式；

(2)從下面兩個條件中選擇一個作為已知條件，求數(shù)列也,｝的前〃項和S“.

①々=(2〃T)%；②，=(2〃+1)；.*

【答案】⑴",,=2"T

⑵選①，5“=(2〃-3)2+3：選②，S.=肅.

【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得出關(guān)于4、%的方程組，解出這兩個量的值，可求

得數(shù)列｛??）的公比，進而可求得數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）選①，利用錯位相減法可求得S“；選②，利用裂項相消法求得S,,.

【詳解】（1）解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得4%=%%=8,

%-4=7

：二；，所以，等比數(shù)列｛%｝的公比為4=聘=2,

由題意可得=8，解得

q>0,%>°i

所以,"=2。

（2）解：若選①，〃=（2〃—1）q=（2〃—1）21

所以，S?=1-2O+3-2'+5-22++（2/?-1）-2,'-1,①

則2s,=12+3?22++（2”—3）-2"T+（2〃-l）-2",②

=l+2"+i-4-（2〃-1卜2"=（3-2〃）-2"-3,

因此,S?=（2n-3）-2"+3;

若選②b=__?__=__1__=￥」______L.

右地，“（2/7+l）log2a2?（2?+1）（2?-1）2（2〃一12/7+1

11.（2023?安徽?統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系。不，中，銳角d戶的頂點與坐標原點O重合,

始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓O的交點分別為P,Q.已知點P的縱坐標為士叵,

7

13

點。的橫坐標為

14

⑴求cos（a一#）的值;

（2）記的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為“,"c.

請從下面兩個問題中任選一個作答，如果多選，則按第一個解答計分.

①若C=a-￡,且c=2,求,45。周長的最大值.

②若A=a,B=力，且c=ll,求々ABC的面積.

【答案】⑴，

（2）答案見解析

【分析】（1）先利用三角函數(shù)的定義與同角的平方關(guān)系求得sina,cos￡,cosa,sin￡,再利用

余弦的和差公式即可得解;

(2)選①；先結(jié)合(1)中條件得到C=g,再利用余弦定理與基本不等式推得a+644,

從而得解；

選②：先結(jié)合(1)中條件求得sinC,再利用正弦定理求得a,力，從而利用三角形面積公式

即可得解.

【詳解】(1)因為夕是銳角，所以RQ在第一象限，

又因為P,。在單位圓上，點尸的縱坐標為逑，點。的橫坐標為與，

714

所以sina=^^,cosP=U,

714

所以cosa=Jl-sin%=；,sin〃=-^1-cos2p=~~，

珈/A,??A113jG3A/31

iucos[a-p]=cosacosp+sinasinp=—x—F---x----=—.

v77147142

(2)選①：

由(1)中結(jié)論可得cosC=g,又C?0,兀),.?.C=方，

由余弦定理可得c2=a2+b2-2aAosC,BP4=+b2-ab={a+b)2-3ab.

??,ab<,:.4>(a+b)2-^(tz+Z?)2=^(a+b)2?

:.a+b<4,當(dāng)a=h=2時，等號成立，

:.a+b+c<6,

即當(dāng)ABC為等邊三角形時，周長最大，最大值為6.

選②：

由(1)可知sirL4=^^,cosA=L,sin3=^^,cos3=U,

771414

則sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsin8=,

1798

，二b二98

由正弦定理三二二二.「,可得—法，故。=乎/=3,

sinAsinnsine55

714

1562155G66石

則S=-absinC=—X——X—X------------

ABC2255985

12.(2023嘿龍江?黑龍江實驗中學(xué)?？家荒?在—A8C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,

b,c,已知2csinB=(2a-c)tanC,角C的內(nèi)角平分線與邊AB交于點E,

(D求角8的大小；

⑵記aBCE,AACE的面積分別為RM，在①C=2,8=G，②=『*="，A>C這

兩個條件中任選一個作為已知，求興的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解

答計分.

【答案】(嗚

(2)選①：且；選②：-

37

【分析】(1)由2csin3=(2。-c)tanC,結(jié)合正弦定理及sinA=sin(B+Q化簡得到cos8=：,

即可求解；

(2)選①：由余弦定理列出方程求得。=1,令NACE=NBCE=6,結(jié)合三角形的面積公式，

求得則d=[xlxCEsin〃，S2=-x^xC￡sin^,即可求得今的值；

選②：由S&BC=￥，求得改=3,利用余弦定理列出方程求得〃+,2=10,聯(lián)立方程組

求得a=3,c=l,結(jié)合面積公式求得E，S2,即可求得率的值.

【詳解】(1)因為2csinB=(2a-c)tanC,

由正弦定理可得2sinCsinB=(2sinA-sin,

cosC

艮|J2sinBcosC=2sinA—sinC

又由sinA=sin[n-[B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

可得2cosBsinC=sinC,

因為Ce(0,7t),可得sinC>0,所以cos8=L,

2

又因為Be(0,it),可得B=].

(2)選①：因為c=2,b=6,

2

由余弦定理可得cosB="2+c、，=Y+4-3=,，

2ac4a2

整理得/_2a+l=0,解得"1，

因為CE為ZACB的平分線，令ZACE=NBCE=0,

貝IJS=』8C.CEsinO=LxlxCEsin。，S,=-AC-CEsin0=-xy/3xCEsm0,

12222

所以興=;=坐，故今的值為包

S,V33S23

選②：5~時=乎，b=幣,A>C,

由S“ar='acsin8=」acsin&=,解得ac=3,

杵2234

又由b=幣,由余弦定理可得從=〃+°2_2?ccosB,

即7=/+c2-2x3xg,可得/+,2=10，

22

乂因為A>C,可得所以（〃+c）2=a+c+2ac=l0+2x3=l6,即a+c=4,

a+c=4

聯(lián)立方程組訛=3,解得。=3,c=l,

a>c

由CE為/ACS的平分線，令"CE=ABCE=e,

所以S|=-BCCEsin6i=-x3xCEsin6>,S,=-AC-C￡sin6?--xV7xC￡sin61,

2222

所以率=；=乎，故冬的值為邁.

S2V77S27

13.（2023?吉林通化?梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）在一45c中，角A,B,C所對的邊

分別為a,b,c.從①②③中選取兩個作為條件，補充在下面的問題中，并解答.①cosA=-l|；

②_AfiC的面積是5亙；③c=3.

5

問題：已知角A為鈍角，6=5,.

⑴求..ABC外接圓的面積；

（2）4。為角A的平分線，D在BC上,求AO的長.

【答案】（I）條件選擇見解析，&爭

84

3

⑵35

【分析】（1）選①②：由cosA=-￡求得sinA=再，再結(jié)合三角形面積公式可求得c=3,

2525

利用余弦定理求得。，再利用正弦定理求得外接圓的半徑，從而可解；

選①③：利用余弦定理求得。，再利用正弦定理求得外接圓的半徑，從而可解；

選②③：利用三角形面積公式可求得sinA=生且，再求得COS4=-M，利用余弦定理求得

,再利用正弦定理求得外接圓的半徑，從而可解.

（2）設(shè)A=2a,則有sir?。=上等4,求得sina=筌，再利用等面積法可求.

【詳解】（1）選①②，

.17一r-----r-4而

cosA——~~,sinA=—cosA=-----,

2525

又QSAABc='%csinA，即拽I=_Lx生&lx5xc，得c=3,

25225

由余弦定理，^a2=h2+c2-2bccosA=25+9+2x5x3x—=—,

255

由正弦定理，得(2/?y=—=名"，&2=鬻，

''sin2A2184

所以，ABC外接圓的面枳為冬守.

84

17

選①③，因為8$/4=-石"，c=3.

17272

所以由余弓玄定理，得/=/+C2_2〃CCOSA=25+9+2X5X3X—=—,

255

由正弦定理，得(2R『=—￡一=型，代=鬻，

''sin2A2184

所以，ABC外接圓的面積為當(dāng)盧.

84

選②③，

由=I_x5x3xsinA,sinA=&^LA為鈍角，得cosA=一

522525

由余弦定珅，得/=6+<?-2bccosA=25+9+2x5x3x'=K，

255

由正弦定理，得（2R）2=’J_="，n=鬻，

‘'sin"2184

2125K

所以，一45C外接圓的面積為

84

設(shè)A=1a,口￡（耳卜

(2)由A。為角A的平分線,

則有sin%=l^=|1,sinV2i

a=---

5

由ABC=—xbxADxs\na+—xex.ADxsina,

A522

即^I=J_x5xAZ）x叵+』x3xAQx叵，解得A￡）=」.

525252

3

故AO的長為

14.（2023?云南昭通?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，45C中，角A,5,C所對的邊分別為。，h,c,

且滿足sinA=GsinB.從①2〃=GC,②^^sinAsinC-cosJBCOSC=；,③C=',這三個

條件中任選一個作為已知條件.

⑴求角A的大??；

（2）點。在線段84的延長線上，且乙4。。=￡,若AB=2,求一AC。的面積.

4

【答案】（嗚

3+有

-4

【分析】（1）運用正弦定理或余弦定理求解；

（2）根據(jù)條件和（1）的結(jié)果，運用余弦定理求出,c,再用正弦定理求出ZM,運用面積公

式求解.

【詳解】（1）由sinA=石sin8得：a=&）：

_c=2b

若選①24=6C，則有”_折，由余弦定理得

62+《2_42fe2+4Z>2-3fe21▲兀

cosA=—0<A<n,:.A=—；

2bc4b223

若選②且sinAsinC-cos8cosc='，由sinA=esin8代入上式，得: