2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課后限時集訓(xùn)43空間圖形的基本關(guān)系與公理理

PAGE課后限時集訓(xùn)43空間圖形的基本關(guān)系與公理建議用時：45分鐘一、選擇題1．a(chǎn)，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是()A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，則a∥cC[若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確．故選C.]2．給出下列說法：①梯形的四個頂點(diǎn)共面；②三條平行直線共面；③有三個公共點(diǎn)的兩個平面重合；④三條直線兩兩相交，可以確定1個或3個平面．其中正確的序號是()A．① B．①④C．②③ D．③④B[①顯然正確；②錯誤，三條平行直線可能確定1個或3個平面；③若三個點(diǎn)共線，則兩個平面相交，故③錯誤；④顯然正確．故選B.]3．如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個點(diǎn)不共面的一個圖是()ABCDD[A，B，C圖中四點(diǎn)一定共面，D中四點(diǎn)不共面．]4.如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線ACB．直線ABC．直線CDD．直線BCC[由題意知，D∈l，lβ，所以D∈β，又因?yàn)镈∈AB，所以D∈平面ABC，所以點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線上．又因?yàn)镃∈平面ABC，C∈β，所以點(diǎn)C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.]5．(2019·陜西省第三次聯(lián)考)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(5),4) D.eq\f(5,4)B[如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接A1D、AD、A1B，易知∠A1AB即為異面直線AB與CC1所成的角(或其補(bǔ)角)．設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1則AD＝eq\f(\r(3),2)，A1D＝eq\f(1,2)，A1B＝eq\f(\r(2),2)，由余弦定理，得cos∠A1AB＝eq\f(A1A2＋AB2－A1B2,2A1A·AB)＝eq\f(1＋1－\f(1,2),2×1×1)＝eq\f(3,4).故選B.]二、填空題6．四條線段順次首尾相連，它們最多可確定________個平面．4[首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以確定4個平面．]7．在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)．若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝1，則EF的長為________．eq\f(1,2)或eq\f(\r(3),2)[如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OE，OF.因?yàn)镺E∥AC，OF∥BD，所以O(shè)E與OF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成角為60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.當(dāng)∠EOF＝60°時，EF＝OE＝OF＝eq\f(1,2).當(dāng)∠EOF＝120°時，取EF的中點(diǎn)M，則OM⊥EF，EF＝2EM＝2×eq\f(\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2).]8．(2019·長白山模擬)下列命題中不正確的是________．(填序號)①沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線；②分別和兩條異面直線都相交的兩直線異面；③一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線不可能平行；④一條直線和兩條異面直線都相交，則它們可以確定兩個平面．①②[沒有公共點(diǎn)的兩直線平行或異面，故①錯；命題②錯，此時兩直線有可能相交；命題③正確，因?yàn)槿糁本€a和b異面，c∥a，則c與b不可能平行，用反證法證明如下：若c∥b，又c∥a，則a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不平行；命題④正確，若c與兩異面直線a，b都相交，可知，a，c可確定一個平面，b，c也可確定一個平面，這樣，a，b，c共確定兩個平面．]三、解答題9．在正方體ABCD-A1B1C1D1(1)求AC與A1D所成角的大小；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF[解](1)如圖，連接B1C，AB1，由ABCD-A1B1C1D1是正方體，易知A1D∥B1C，從而B1C與AC所成的角就是AC與A因?yàn)锳B1＝AC＝B1C所以∠B1CA＝60°.即A1D與AC所成的角為60°.(2)連接BD，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD，所以EF⊥AC.所以EF⊥A1C1.即A1C1與10.如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊eq\f(1,2)AD，BE綊eq\f(1,2)FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)．(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？[解](1)證明：由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，可得GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(1,2)AD，∴GH綊BC.∴四邊形BCHG為平行四邊形．(2)∵BE綊eq\f(1,2)AF，G為FA的中點(diǎn)，∴BE綊FG，∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF與CH共面．又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．1．已知A，B，C，D是空間四點(diǎn)，命題甲：A，B，C，D四點(diǎn)不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A[若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，當(dāng)直線AC和BD平行時，A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件．]2．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝eq\r(2)BB1，則AB1與BC1所成角的大小為()A．30° B．60°C．75° D．90°D[將正三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)為四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接C1D，BD，則C1D∥B1A，∠BC1D為所求角或其補(bǔ)角．設(shè)BB1＝eq\r(2)，則BC＝CD＝2，∠BCD＝120°，BD＝2eq\r(3)，又因?yàn)锽C1＝C1D＝eq\r(6)，所以∠BC1D＝90°.]3．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.以上四個命題中，正確命題的序號是________．①③[如圖，①AB⊥EF，正確；②顯然AB∥CM，所以不正確；③EF與MN是異面直線，所以正確；④MN與CD異面，并且垂直，所以不正確，則正確的是①③.]4．(2019·上海高考改編)如圖，在正三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB＝BC＝AC＝eq\r(3).(1)若PB的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N，求AC與MN夾角的余弦值；(2)求P-ABC的體積．[解](1)∵M(jìn)，N分別為PB，BC的中點(diǎn)，∴MN∥PC，則∠PCA為AC與MN所成角，在△PAC中，由PA＝PC＝2，AC＝eq\r(3)，可得cos∠PCA＝eq\f(PC2＋AC2－PA2,2PC·AC)＝eq\f(3,2×2×\r(3))＝eq\f(\r(3),4)，∴AC與MN夾角的余弦值為eq\f(\r(3),4).(2)過P作底面垂線，垂足為O，則O為底面三角形的中心，連接AO并延長，交BC于N，則AN＝eq\f(3,2)，AO＝eq\f(2,3)AN＝1.∴PO＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).∴VP-ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(3,2)×eq\r(3)＝eq\f(3,4).1.在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，則異面直線AC與BD所成的角的余弦值為()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)A[如圖所示，分別取AB，AD，BC，BD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，O，連接EF，F(xiàn)O，OG，GE，GF，則EF∥BD，EG∥AC，F(xiàn)O⊥OG，∴∠FEG或其補(bǔ)角為異面直線AC與BD所成的角．設(shè)AB＝2a，則EG＝EF＝eq\r(2)a，F(xiàn)G＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a，∴△EFG是等邊三角形，∴∠FEG＝60°，∴異面直線AC與BD所成角的余弦值為eq\f(1,2)，故選A.]2.如圖所示，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，將此正方形沿EF折成直二面角后，異面直線AF與BE所成角的余弦值為________．eq\f(1,2)[如圖，取BC的中點(diǎn)H，連接FH，AH，所以BE∥FH，所以∠AFH即為異面直線AF與BE所成的角．過A作AG⊥EF于G，則G為EF的中點(diǎn)．連接HG，HE，則△HGE是直角三角形．設(shè)正方形邊長為2，則EF＝eq