【沖刺985、211之2023屆新高考題型模擬訓(xùn)練】16 圓錐曲線綜合問(wèn)題 多選題（新高考）解析版-高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

【沖刺985/211名校之2023屆新高考題型模擬訓(xùn)練】

專(zhuān)題16圓錐曲線綜合問(wèn)題多選題（新高考通用）

1.（2023?廣東?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：二-與=1（?>0,h>0）,C的左、右

礦b

焦點(diǎn)分別為6，6，尸為c上一點(diǎn)，則以下結(jié)論中，正確的是（）

A.若尸（衣1）,且桃_Lx軸,則C的方程為J_y2=i

B.若C的一條漸近線方程是&x-y=0,則C的離心率為亞

2

C.若點(diǎn)P在C的右支上，C的離心率為石，則等腰尸[。的面積為於

D.若sinNPEE=e-sinNP^[,則C的離心率e的取值范圍是（L&+1]

【答案】AD

【分析】由雙曲線上一點(diǎn)尸（&』），及尸鳥(niǎo)_Lx軸，可得“也。的值，即可求得雙曲線方程,

從而判斷A；根據(jù)雙曲線漸近線方程與離心率的關(guān)系即可判斷B；根據(jù)雙曲線的離心率與焦

點(diǎn)三角形的幾何性質(zhì)即可求得等腰-P耳。的面積，從而判斷C；山已知結(jié)合正弦定理與雙曲

線的定義、焦半徑的取值范圍即可求得雙曲線離心率的范圍，從而判斷D.

【詳解】對(duì)于A,若網(wǎng)&,1）,且巴"x軸，則網(wǎng)一此0儲(chǔ)（60）,c=6,

所以|P圖一|P用="2夜了+F_Jo2+F=3-1=2=2”，則。=1,所以〃=。2-/=1，則C

的方程為x?-y2=i,故A正確;

=J1+乂=A/3>故

對(duì)于B,若C的一條漸近線方程是缶-y=0,則一=離心率e=￡

aa

B不正確;

對(duì)于c,若c的離心率為6，則。=島，所以匕=7?二7=缶，若點(diǎn)尸在c的右支上,

J耳。為等腰三角形，則歸。=。同，連接PF2,如圖,

s_1?_1b2_b2

則△月耳人是直角三角形，所以,助。一5?"再一5.—一萬(wàn)，故c不正確；

tan—

4

對(duì)于D,若sinN尸耳5=e-sinNP^4，由正弦定理得|%|=e|P?,可知點(diǎn)P在雙曲線的左

支上，故|明|-|尸￡|=2%

則|尸用=言，又|「￡|泊一匹所以芻整理得冷會(huì)-1,解得e?0+l，

所以C的離心率e的取值范圍是(L&+1],故D正確.

故選：AD.

2.(2023?浙江?模擬預(yù)測(cè))已知拋物線<7:丫2=2〃匹(0>0)的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為

M,過(guò)點(diǎn)尸的直線/與拋物線C相交于4,8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，過(guò)4,8點(diǎn)作準(zhǔn)線的

JT

垂線，垂足分別為A，g.設(shè)直線/的傾斜角為。，當(dāng)。=工時(shí)，|AB|=16.則下列說(shuō)法正確

O

的是()

A.NA7WB有可能為直角

B.|M”IA4I=I%IIF即

C.。為拋物線C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，￡(3,1)為定點(diǎn)，IIQEI-IQFII的最小值為石

D.過(guò)F點(diǎn)作傾斜角的角平分線FP交拋物線C于尸點(diǎn)(點(diǎn)P在第一象限)，則存在0,使

11,

--------------1--------------=1

\AF\\PF\

【答案】ABD

【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線方程，再逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.

[詳解】依題意，點(diǎn)F(4,o),準(zhǔn)線方程為X=-與，設(shè)A?,y),B(x2,y2)，直線/：X=等y+￡

22sin62

COS0p

X=----VH---22Pcose-y?2Pcose2

由sin62消去x得:kf=°'…=71Kl…，

y2=2px

71

cos—

當(dāng)。=2時(shí)，----=y/i,+X2=5/3(y,+y2')+p=lp,

6sin-

6

\AB\=\AF\+\BF|=xl+^+x2+^=8p=16,

解得P=2,拋物線C：V=4x,M(TO),

對(duì)于A,當(dāng)ABIx時(shí)，&1,2),8(1,-2),有|MFRAF|=|BF|=2,ZAMB為直角，A正確;

2

對(duì)于B,尸(1,0),A(-l,y)，4(T%),$=(-2,乂),對(duì)=(一2,%)，y,y2=-p=-4,

y

因此RV/^=4+M%=0,即而尸貝|J|MF|IA8"=|FAI|EBJ,B正

確；

對(duì)于C,顯然點(diǎn)E在拋物線C內(nèi)，IIQEI-IQF灼E尸|=有，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Q是直線EF與拋

物線C的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤;

1c±24cos04八、八劣曰2(1+cos0)

對(duì)于D，由廣飛前打4=°，乂>°,得

?人廠?1cos01I2cos6（1+cos。）+2_2cos6+22

同理

“m+F"+i=sin201-cos20l-cos。

11-cos—

1o

\PF\=-2-'

1-cos—2—2cos—1—cos—3—cos—2cos一

111-cos。______22,2_22

-----------1-----------------十

\AF\\PF\22—__一—

令二f+』T[=l，而cosge(0,l),解得cosg=。，則6?=§,D正確.

\AF\\PF\2223

故選：ABD

3.(2023秋?浙江?高三期末)如圖，已知拋物線「：y2=2px(p>0),M為x軸正半軸上一點(diǎn),

ON=WM(A>0,A^1),過(guò)M的直線交「于B,C兩點(diǎn)，直線CN交拋物線另一點(diǎn)于。，直

線8N交拋物線另一點(diǎn)于A,且點(diǎn)4(玉,乂),。(々,名)在第一象限，則()

也=把

c回廠SgcN

【答案】AD

【分析】設(shè)N（〃,0）,得“（力?,0）,由直線48,BC的方程以及根與系數(shù)關(guān)系求得工，工，由

%X2

直線8的方程以及根與系數(shù)關(guān)系求得％=%%,根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得|AD|,|BC|,進(jìn)而求得

\AD\根據(jù)三角形的面積公式求得沁1

\BC\3△BCN

【詳解】設(shè)N（a,0）,則例設(shè)宜線48：x=my+〃，

Ix—^22）；+IT

由，:消去X并化簡(jiǎn)得丁-2。機(jī)），-2??=0,

[y~=2px

同理可得力?%=學(xué),所以叢二%,

A選項(xiàng)：所以％%=-2p〃,故A正確;

A%

B選項(xiàng)：土=毛=儲(chǔ)，故B錯(cuò)誤;

W>2

C選項(xiàng)：同理可得力?如=-2p”，所以巫=1,所以生：=1,所以％=2為，

%%%

2P型-二a,

令％=^AD=~~一，%C

y+%%+%X+%

則1|=JBC|=一%|，

\KV4K

IA。

所以

\BC\

LO2

D選項(xiàng):_ANDN2_2=2故D正確.

S^BCNCN-BNy2yB

故選：AD

22

4.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:三+匕=1,A，&分別為橢圓C的左右頂

43

點(diǎn)，8為橢圓的上頂點(diǎn).設(shè)例是橢圓C上一點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，若直線A8與直線4M交

于點(diǎn)P,直線AM與直線交于點(diǎn)。，則（）

3

A.若直線4M與4M的斜率分別為匕，k2,則始&=-j

B.直線P。與x軸垂直

C.忸”=忸0

D.\MP\^\MQ\

【答案】ABC

【分析】設(shè)M（x,y）,由斜率公式及點(diǎn)在橢圓上可得用“判斷A,聯(lián)立直線的方程求事。、

尸坐標(biāo)，由條件可得與=%即可判斷B,求出PQ中點(diǎn)在y=V3±,即可判斷CD.

【詳解】如圖，

%

「X、

3。引

設(shè)M（x,y）,則，yy丁14）3,故A正確；

用/=?==）=

~x+2x-2x-7-4x2-44

y=《（x+2）

直線AM的方程為y=M（x+2）,直線4B的方程為丫=一日.

0+6,聯(lián)立6廠得

y=---x+V3

__%+2有

a2k心,即吟］,

4鳳（2占+G2k^y/3）

y=~E

+

4玲+26-%+2逝

同理可得尸（黃等，芝朱I因?yàn)槿蔭=一13所以

42&-君一」一百-2k、++'

2kl

所以/二%,則直線PQ與匯軸垂直，故B正確;

3G

4島6

同理所以

2k,~一出_2k、+#＞，

2K

死人=愚++=嚶/=25故PQ的中點(diǎn)在直線廣石上’故C正

確；D錯(cuò)誤,

故選：ABC.

5.（2023春?重慶沙坪壩?高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線C:2=1（a＞。力＞0）

a-b-

的左、右焦點(diǎn)分別為片,K，直線y=丘交雙曲線C于AB兩點(diǎn)，點(diǎn)尸為C上一動(dòng)點(diǎn)記直線

尸A,尸8的斜率分別為心,若kp/kpB=2,且K到C的漸近線的距離為0,則下列說(shuō)

法正確的是（）

A.雙曲線C的離心率為6

B.過(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線C相交”,N兩點(diǎn)，線段MN長(zhǎng)度的最小值為4

C.若/耳尸鳥(niǎo)的角平分線與x軸交點(diǎn)為（3,0）,則以-凡=26

3■

D.若雙曲線C在尸處的切線與兩漸近線交于Q,R兩點(diǎn)，則

【答案】ACD

【分析】首先由已知條件求得雙曲線方程為丁-￡=1,求出離心率判斷A,由雙曲線的性

2

質(zhì)求得|剛最小值判斷B,利用角平分線定理求得|「耳|,|尸閭，計(jì)算三角形面積判斷C,設(shè)

尸（與，兒），由導(dǎo)數(shù)求得切線方程后，求出QR點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算三角形面積判斷D.

【詳解】由題意知6=亞，

設(shè)P（x。,%）,A（x”y）,則B（T1f）,

4+4=114+4=,'相減整理得率再=￡，

/b2x2_y2〃2

b2

2

/一再xQ+x1片一X；a

kpA，kpB=t=2,故a=l,雙曲線的方程為f-1■=1,

對(duì)于A：c=6故e=J=6,選項(xiàng)A正確；

a

對(duì)于B：因?qū)嵼S長(zhǎng)2a=2＜4,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：記J*,。），/-（-73,0）,乙（6,0）,田7|=半，優(yōu)7卜苧，由角平分線定理

得：耨瑞=2,又||「耳|-歸閭|=2?=2,所以閥|=4,閥|=2,于是

仍用2=|尸入「+忻用2=16,所以/以記=90°,5"鉆=；x|片用岡P周=26,故選項(xiàng)C正

確：

22

對(duì)于D：設(shè)P（/,y（））,XQ-=1?X：-1=9~,%=±J2（*-1）,

y>0時(shí)，y=j2(x2-l)，

切線方程為>-%=組匚丸，整理得不X-耳=1,

%2

同理y<°時(shí)，，y=-j2，-l）,/=--^=.k=--=?，

yjx-1-1%

切線方程為y_%=2X"CLX。）,整理得-*=1,

%=0時(shí)，％=1或x°=-l,切線方程為x=l或尸-1,切線方程也可表示為工環(huán)-亨=1,

2

所以過(guò)P（x。,%）的切線方程為x°x-亨=1,與漸近線y=聯(lián)立解得x=2x_啦,，故

J22五、

與漸近線y=-0x聯(lián)立，解得。~——f=一，~——一，

(2x0->/2ya'2xQ-y/2y0>、2%+V2yo2%+5/2%,

于是S\-4為|=1了提'一道第2=~~~=近，故選項(xiàng)D正確,

故選：ACD

6.（2023?重慶沙坪壩?高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）加斯帕爾?蒙日（如圖甲）是18~19世紀(jì)

法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都

在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱(chēng)為“蒙日?qǐng)A”（圖乙）.已知長(zhǎng)方形R的四

邊均與橢圓C:片+片=1相切，則下列說(shuō)法正確的是（）

54

B.橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為V+y2=6

C.橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為Y+y2=9D.長(zhǎng)方形R的面積最大值為18

【答案】CD

【分析】由。=石為=2,c=l結(jié)合離心率公式判斷A；當(dāng)長(zhǎng)方體R的對(duì)稱(chēng)軸恰好就是的對(duì)稱(chēng)

軸橢圓C時(shí)，求出蒙日?qǐng)A的半徑，進(jìn)而判斷BC；設(shè)長(zhǎng)方體/?的長(zhǎng)為機(jī)，寬為〃，由基本不

等式判斷D.

【詳解】由題意可知。=石力=2,。=1,則橢圓C的離心率為e=@,故A錯(cuò)誤；

5

當(dāng)長(zhǎng)方體R的對(duì)稱(chēng)軸恰好就是橢圓C的對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，其長(zhǎng)為2a=2退,寬為乃=4,

所以橢圓C的蒙日?qǐng)A的半徑為姐上烏t=3,即橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為M+y2=9,故

2

C正確，B錯(cuò)誤；

2少

設(shè)長(zhǎng)方體R的長(zhǎng)為加，寬為"，則M+/=36,長(zhǎng)方形R的面積為加14?二空=18,

2

當(dāng)且僅當(dāng)”=加=3&時(shí)，取等號(hào)，即長(zhǎng)方形尺的面積最大值為18,故D正確；

故選：CD

7.(2023?遼寧?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知尸是拋物線卬：9=20匹(°>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)4(1,2)在拋

物線W上，過(guò)點(diǎn)尸的兩條互相垂直的直線4，4分別與拋物線W交于bC和Q,E,過(guò)點(diǎn)

A分別作4，4的垂線，垂足分別為M，N,則()

A.四邊形面積的最大值為2

B.四邊形4WW周長(zhǎng)的最大值為2及

c―-—+—!一為定值L

'\BC\\DE\4

D.四邊形面積的最小值為32

【答案】ACD

【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線卬的方程，確定四邊形形狀，利用勾股定理及

均值不等式計(jì)算判斷A,B；設(shè)出直線《的方程，與拋物線方程聯(lián)立，求出弦BCOE長(zhǎng)即可

計(jì)算推理判斷C,D作答.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)4L2)在拋物線/=2px上，

所以2?=2pxl,故p=2,y2=4x,

拋物線丁=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),

因?yàn)閨AMF+1AN『=|AF『=4,\AM+\AN^>2\AM\-\AN\,

所以|AM|?|A7V|42,當(dāng)且僅當(dāng)lAMRANb點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，

所以四邊形4WW面積的最大值為2,故A正確.

由|AMF+1ANF=(|AM|+1AN|尸-21AM|?|AN|,

得(|AM|+1AN|了48,即|AM|+1AN區(qū)2近，

當(dāng)且僅當(dāng)IAMRAN|=播時(shí)，等號(hào)成立，

所以四邊形AMRV周長(zhǎng)的最大值為4夜，故B不正確.

設(shè)直線BC的方程為xe+1,聯(lián)立:魯消、得…吁4=。,

方程V-4my-4=0的判別式^=16m2+16>0,

設(shè)8（司,兇）,C（x2,y2）,則%+%=4加,％%=-4,

貝|J|BC|=Jl+川I?-%|=Jl+加J（x+%『-4y%=4（l+/n2）,

同理得|?！?41+’），

]11nr_1

|BCj+LDE|-4（M+I）+4（/M2+1）一"0正確,

11

----H-----,所以|BC|-|O￡|N64,

\BC\\DE\

當(dāng)且僅當(dāng)18cl=|DE|=8時(shí)，等號(hào)成立,

此時(shí)品OC￡=；|8CT|FE|+J|8C|“FO|=JBCWO￡|N32，故D正確.

故選：ACD.

8.（2023?遼寧?校聯(lián)考一模）拋物線。:產(chǎn)=22X（，＞。）的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/，經(jīng)過(guò)C上的

點(diǎn)M作C的切線m,m與y軸、/、x軸分別相交于點(diǎn)MP、Q,過(guò)M作/垂線，垂足為,

貝IJ（）

A.附=畫(huà)B.N為必尸中點(diǎn)

C.四邊形是菱形D.若NMP產(chǎn)=60,則|MQ|=2p

【答案】BCD

【分析】設(shè)/與x軸交點(diǎn)為R,則R未必是QF的中點(diǎn)，即可判斷A,利用韋達(dá)定理表示出陷，尸

的坐標(biāo)可判斷B,根據(jù)菱形的判定定理可判斷C,利用三角形的全等關(guān)系可判斷D.

設(shè)M可知加斜率女存在，可設(shè)相：=川x-普

I2P）

將x=1—代入可得孕--y+%-學(xué)?=（）,由△=（）,BP%-孕*]=0可得"=',

2P2p2p2八2pJ為

因此明：＞=旦》+令，令y=0解得x=-三，所以，-5,01，

%22P12Pl

又因?yàn)??（一5,0）,

要使歸耳=怛。，則R必需為。尸中點(diǎn)，則必有-/+與=-0,即%=±Kp，

所以當(dāng)且僅當(dāng)％=±Wp時(shí)，|PF|=|P。才成立，無(wú)法滿足任意性，A錯(cuò)誤；

機(jī)：y=^x+§中令x=0,于是

%2k2J

因?yàn)橄莶范啵ィ?尸（多°），所以N為陷尸中點(diǎn)，選項(xiàng)B正確.

因?yàn)?所以MQ是ME的垂直平分線,

而必"〃x軸，所以四邊形MMQF是菱形，選項(xiàng)C正確；

由NM"=60,可得/必用尸=60,所以同。|=附尸卜/目.

因?yàn)?%MR=60,所以|必耳=2|/?耳=22，選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

22

9.（2023?河北邯鄲?統(tǒng)考一模）已知雙曲線C：々-?=l（a＞0,。＞（））的左、右焦點(diǎn)分別是F1,

ab

F2,過(guò)耳作圓f+y2=/的切線/,切點(diǎn)為“，且直線/與雙曲線c的左、右兩支分別交于

A,8兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若a=3,b=4,貝IJ|B用+忸周=26

B.若8工_1幽，則雙曲線C的漸近線方程為乃±2x

C.若=用，則雙曲線C的離心率是屈

D.若M是8耳的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率是逐

【答案】ABD

【分析】|O￡|=c,\OM\=a,\MFt\=b,根據(jù)選項(xiàng)中的條件，求出忸制和怛周，利用雙曲

線的定義，求出漸近線方程和離心率等結(jié)果.

對(duì)于A：由〃=3,h=4,得c=5,所以|0用=5,|。陷=3,|M用=4.

設(shè)怛閭=%則怛用=加+6.

在△Bf；居中，山余弦定理可得cosNBf；居=（“上?jl°-二〃/,解得機(jī)=1（）,

2xl0（；n+6）5

則忸閭=10,陶=16,從而忸用+忸為=26,故A正確；

對(duì)于B：山不，得OM//BF.因?yàn)?。為大心的中點(diǎn)，所以M為BE的中點(diǎn).

由題意可知|OM|=a,|叫|=6,則忸閭=2”，忸用=?.

由雙曲線的定義可得忸用-忸周=勖-勿=%，即6=2°,

則雙曲線C的漸近線方程為y=±2x，故B正確；

對(duì)于C：由|幽=2網(wǎng),得忸＜=3。,則忸周=3?！?”.

由余弦定理可得cosNB￡居=（39-+（2c）2-（38-21上,

在2XB耳內(nèi)中,

2x3bx2cc

整理得『|

,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：因?yàn)镸,O分別是86，耳鳥(niǎo)的中點(diǎn)，所以O(shè)M//B巳,所以忸周=勿，忸同=?.

由雙曲線的定義可得忸娟-忸聞=?-勿=勿，即b=2?,則e=J2+1=石，故D正確.

故選：ABD

10.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考一模）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙

曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過(guò)雙曲線上任意

一點(diǎn)的切線.平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.已知耳,B分別為雙曲線c：J-），2=i的左，右焦

3

點(diǎn)，過(guò)c右支上一點(diǎn)A（x°,%）k°>G）作直線/交X軸于點(diǎn)〃（:，。），交y軸于點(diǎn)可.則（）

A.C的漸近線方程為）,=±，XB.點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0,；

C.過(guò)點(diǎn)寫(xiě)作耳垂足為H,則|O〃|=6D.四邊形4月性面積的最小值為4

【答案】ACD

【分析】根據(jù)方程，可直接求出漸近線方程，即可判斷A項(xiàng)；由已知可得-X：%+3%=3%,

進(jìn)而結(jié)合雙曲線方程，即可得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，即可判斷B項(xiàng)；根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可推

得，點(diǎn)H為耳E的中點(diǎn).進(jìn)而得出|0丹卜;|心耳，結(jié)合雙曲線的定義，即可判斷C項(xiàng)；由

S*=S'g+Sg,代入利用基本不等式即可求出面積的最小值，判斷D項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得4=b，6=1,所以C的漸近線方程為'=±七》=士等X,

故A項(xiàng)正確；

>o~0°-3?,v

對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)N（0,yJ,則一上一3,整理可得一%以+3%=3%.

人0

X。/

又5所以考=3+3M，所以有—（3+3北）以+3%=3%，解得以=一｝,所以點(diǎn)N

對(duì)于C項(xiàng)，如上圖，顯然AM為雙曲線的切線.

山雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，A用平分延長(zhǎng)6月與A心的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)￡.

則AH垂直平分F、E,即點(diǎn)”為耳E的中點(diǎn).

又。是耳巴的中點(diǎn)，所以，|OH|=g|瑪目=g（|AE|-|A段）=g（|A6|-|A段）=。=6,故C

項(xiàng)正確；

對(duì)于D項(xiàng)，S“產(chǎn)2+SVMM=gx|耳用帆|+6-1x4x2^y°l'[y[=4,

當(dāng)且僅當(dāng)Ml=卡，即%=±i時(shí)，等號(hào)成立.

所以，四邊形Af；NK面積的最小值為4,故D項(xiàng)正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：C項(xiàng)中，結(jié)合已知中，給出的雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，即可推出|。M=夕瑪E|.

11.（2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射

后，沿平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的方向射出.反之，平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的入射光線經(jīng)拋物線反

射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線C：V=2x,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線《從

點(diǎn)P（%2）射入，經(jīng)過(guò)C上的點(diǎn)A（x「yJ反射后，再經(jīng)過(guò)C上另一點(diǎn)8（芻,必）反射后，沿直

線4射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q,則（）

A.儀=；

B.延長(zhǎng)AO交直線x=-g于點(diǎn)。，則。，B,。三點(diǎn)共線

c.

9

D.若PB平分ZABQ,則m='

4

【答案】AB

【分析】根據(jù)題設(shè)和拋物線和性質(zhì)得到點(diǎn)尸（；，。），4（4,2）,將點(diǎn)A（$2）代入拋物線C的

方程得到不，從而求出直線A8的方程，聯(lián)立直線AB和拋物線C得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可判

斷選項(xiàng)A和C,又結(jié)合直線OA和直線x=-g得到點(diǎn)D,即可判斷B選項(xiàng)，若PB平分以BQ,

得到ZABQ=2ZPBQ,轉(zhuǎn)化為直線PB斜率%和直線AB的斜率的關(guān)系式即可求出加.

【詳解】由題意知，點(diǎn)尸6，0]，4（&2）,如圖：

2-0_4

將A（%,2）代入丁=2-得玉=2,所以A（2,2）,則直線AB的斜率口=5,

-2

/=2x.

聯(lián)立｛42>得8X2-17X+2=0,解得占=2,x2=-,

y=-x——8

I33

又寸，%=-（，則8

82

所以玉々=2xJ=。，所以A選項(xiàng)正確;

84

25

又恒川=與+&+1=2+^+1=7，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

OO

又知直線BQ〃x軸，且則直線8Q的方程為y=-g,

又A（2,2）,所以直線A。的方程為丫=%

令x=-g,解得y=-g,即。卜；，一￡|，O在直線BQ上，

所以。，B,。三點(diǎn)共線，所以B選項(xiàng)正確；

設(shè)直線所的傾斜角為。斜率為心，直線A8的傾斜角為a,

若「8平分NAB。，即NABQ=2NPBQ,即a=29,

2t/inf）42ki

所以―=E’則丁匚百，且*。，解得「5,

又，2{2}1.解得：機(jī)=?，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

k=——-——-=-8

Qm-22

故選：AB.

12.（2023秋?湖北武漢?高三統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)尸是曲線C：x2+y2=k|+|y|上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。

是直線），=x+3上的動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）

A.原點(diǎn)在曲線C上

B.曲線C圍成的圖形的面積為乃+1

C.過(guò)Q（o,3）至多可以作出4條直線與曲線相切

D.滿足尸到直線y=x+3的距離為逑的點(diǎn)有3個(gè)

2

【答案】ACD

【分析】分類(lèi)討論后，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出函數(shù)圖像，從而可以進(jìn)一步求解.

【詳解】對(duì)于A：將原點(diǎn)坐標(biāo)。（0,0）代入，。2+（）2=河+搟正確，故A選項(xiàng)正確;

對(duì)于B：當(dāng)x>0,y>0時(shí)，

曲線C：x1+y2=x+y,

即/一x+y?-y=0,

第一象限內(nèi)曲線C與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為+圖:簽

才+2

所以總面積為：丁x4”+2.

由函數(shù)圖像知過(guò)。（0,3）至多可以作出4條直線與曲線相切，故選項(xiàng)C正確；

|—1x0+1x0+3|3A/2

原點(diǎn)到直線y=x+3的距離為：d=+F=虧?滿足1到直線y=X+3的距離為

斗的點(diǎn)有2。共3個(gè)，故選項(xiàng)D正確.

>

X

故選：ACD.

13.（2023春?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過(guò)橢圓C：!+［=l外一點(diǎn)?（x。,九）作橢圓C的

o4

兩條切線，切點(diǎn)分別為AB,若直線PAPB的斜率之積為“為常數(shù)），則點(diǎn)P的軌跡可

能是（）

A.兩條直線B.圓的一部分

C.橢圓的一部分D.雙曲線的一部分

【答案】BCD

【分析】設(shè)出切線方程旦斜率為女，聯(lián)立橢圓化簡(jiǎn)使判別式等于零得到關(guān)于左等式，根據(jù)判

別式及二次方程和韋達(dá)定理可得％的范圍及⑥八Mm,根據(jù)〃的不同取值分別判斷關(guān)于

方程所對(duì)應(yīng)的軌跡即可.

【詳解】解：依題意可知直線以和直線總的斜率存在，

設(shè)過(guò)。仇,/）的橢圓的切線方程為y—%=%（%—七），

y-y0^k（x-x0）

聯(lián)立（d2化簡(jiǎn)可得：

—+—=1

84

2

（］+2左2）%2+伏（）x+2（y0-kx（））-8=0,

取A=16M（%一［）2_4（l+2有｛2（%-5）2-8卜0,

即（8-看*+2心。4+4-乂=0,

且有8-片HO,%H±20,且上式兩根分別為心vM*,

貝U上式的判另U式AI=44y：-4（8-x；）（4-y；）=128（￥+U-］＞0,

47

整理得近+甚＞1,符合題意，所以既k%=宜.=加，

848r

①若〃z=O,貝！］%=±2（玉）^±2&），

即P點(diǎn)的軌跡是直線（兩條）的一部分;

②若m=則為=±立/（々#±2近），即P點(diǎn)的軌跡是直線（兩條）的一部分；

22

1X：I寸

若WHO且機(jī)整理可得赤二不口￡一’，

2-----

m

8My—4

③當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，-----=4-8帆=12,

m

軌跡方程可化為片+y；=12卜。w±2&），即P點(diǎn)的軌跡是圓的一部分；

R/77—4—4

④當(dāng)〃？<一1或一1v〃zv0時(shí)，——>0,4-8/71>0,且-----w4-8〃？，

mm

由于々產(chǎn)及④，且逆心=8-巴>8,所以尸點(diǎn)的軌跡是橢圓的一部分；

mtn

i8,〃一4改；I），_1

⑤當(dāng)0<“<彳時(shí)，-----<0,4-8/n>0,8機(jī)一44-8〃?一表示焦點(diǎn)在一丫軸上的雙曲線，

2m

m

由于甌所以P點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一部分.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：該題考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，屬于難題，關(guān)于求軌跡方程的思

路有：

（1）已知軌跡，建立合適的軌跡方程，用待定系數(shù)求解；

（2）未知軌跡，求哪點(diǎn)軌跡設(shè)哪點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y）,根據(jù)題意建立關(guān)于X。的等式即可；

（3）軌跡不好判斷，等式關(guān)系不好找時(shí)，找要求的軌跡點(diǎn)與題中的定點(diǎn)或定直線之間的定量

關(guān)系，根據(jù)轉(zhuǎn)化找出軌跡特點(diǎn)，建立軌跡方程，用待定系數(shù)求解.

22

14.（2023?湖南?模擬預(yù)測(cè)）己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳，尸2分別是雙曲線及十］=1（"0/>。）

的左、右焦點(diǎn)，尸是雙曲線E的右支上一點(diǎn)，若歸制T尸閭=8,雙曲線E的離心率為。，

則下列結(jié)論正確的是（）

A.雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1

164

B.雙曲線E的漸近線方程為2x±y=0

C.點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為］

D.若直線P片與雙曲線E的另一支交于點(diǎn)M,點(diǎn)N為的中點(diǎn)，則

【答案】ACD

【分析】根據(jù)雙曲線定義及離心率求出得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出漸近線方程判

斷AB,再由點(diǎn)到漸近線的距離判斷C,點(diǎn)差法可判斷D.

【詳解】根據(jù)雙曲線的定義得，儼用一忸用=8=為，故〃=4,由￡=有，得c=2?,

a2

所以/=4,所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為蘭-或=1,漸近線方程為y=±2x,即

1642

x+2y=0,所以A正確，B不正確；

設(shè)2仁,%),則點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為單以.噌以=看等與，所以C正確；

，1+4+455

設(shè)Mj,%),N(%%),因?yàn)镻,M在雙曲線E上，所E_K=i①，名一K=i②，

164164

①一②并整理得，工乜=嶇二20，即爭(zhēng)=4(f2),所以儂/“產(chǎn)"所以D正確.

y+'z玉一W2%不一々4

故選：ACD.

15.(2023?湖南張家界?統(tǒng)考二模)過(guò)拋物線E：*=2外(p>0)的焦點(diǎn)廠的直線/交拋物線E

于48兩點(diǎn)(點(diǎn)力在第一象限)，M為線段A8的中點(diǎn).若|AF|=2|BF|=6,則下列說(shuō)法正

確的是()

A.拋物線E的準(zhǔn)線方程為y=T

B.過(guò)A,B兩點(diǎn)作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)M則點(diǎn)N在以4B為直徑的圓上

C.若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|0陷=孚

D.若過(guò)點(diǎn)F且與直線/垂直的直線機(jī)交拋物線于C,D兩點(diǎn)，則|M-|CD|=144

【答案】BC

【分析】對(duì)于A項(xiàng)，方法一：運(yùn)用韋達(dá)定理及拋物線定義表示斗、為代入解方程

112

即可；方法二：運(yùn)用E兩+而￡7=一求解即可；對(duì)于B項(xiàng)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義分別求得、

卜皿將蘆必的值代入計(jì)算即可；對(duì)于C項(xiàng)，運(yùn)用韋達(dá)定理及拋物線弦長(zhǎng)公式求得

,+%、人及七+%的值，進(jìn)而求出點(diǎn)”坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式求得|。”|即可；對(duì)于

D項(xiàng)，方法一：將|A回=4+4(2/+1)中的斜率《換成可求得|CQ|,進(jìn)而求得IA8HC0

\CD\=---矍~~?=-^4-

的值；方法二：運(yùn)用拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得??sin?。，進(jìn)而求得

cos設(shè)+引

|A8|?|8|的值.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，方法一：由題意可設(shè)過(guò)點(diǎn)尸(0,5)的直線/的方程為丫=依+與，k>0,

設(shè)A（X，yJ,3（毛,%）,

d=2py.22

聯(lián)立方程組1"消去X整理得y2—（242+l）py+§-=0,可得

v=kx-44

lH2

>2+3=3,,、,、2

因?yàn)閨AF|=2|BF|=6,所以貝|」必必=3-引6-引=￡,解得P=4,所以拋

y+/=6,I八7

物線E:V=8y,故拋物線E的準(zhǔn)線方程為y=-2,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

方法二：-：\AF\=2\BF\=6,.-.|AF|=6,|BF|=3,

112112…

又*'八萬(wàn)|+「壽7=一，7+7=—?解得：P=4,

|?AF|\BF\p63p

所以拋物線氏f=8y,故拋物線E的準(zhǔn)線方程為產(chǎn)-2,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

2

對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)a（N，y）,B（x2,y2）,拋物線E:/=8y,y=1x,了=。工，

o4

易得kNA=；X],kNB-^X2,所以左也,左一=-￡5/4〃2yly2=—1,

所以直線NA,NB垂直,所以點(diǎn)N在以45為直徑的圓上，故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C項(xiàng)，由A項(xiàng)知，拋物線E：x2=8y,則直線/的方程為），=履+2,k>0,設(shè)A（x「yJ,

3（孫％），

-Xny?—4（2公+1）y+4=0,

所以％必=4,y+力=4（2