高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)7 3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)7.3離散型隨機(jī)變量的

數(shù)字特征

一、單選題

L設(shè)隨機(jī)變量的分布

則當(dāng)〃在（（），；）內(nèi)增大時(shí)，（）A.EC）增大，增大B.EC）增大，

減小

C.OE&）減小，增大D.EC）減小，。信）減小

2.某船隊(duì)若出海后天氣好，可獲得5000元；若出海后天氣壞，將損失2000元.根

據(jù)預(yù)測(cè)知天氣好的概率為0.6,則出海的期望效益是（）

A.2000元B.2200元

C.2400元D.2600元

3.已知甲、乙兩人進(jìn)行五局球賽，甲每局獲勝的概率是|,且各局的勝負(fù)相互獨(dú)立，

已知甲勝一局的獎(jiǎng)金為10元，設(shè)甲所獲得的資金總額為X元，則甲所獲得獎(jiǎng)金總額

的方差。（X）=（）

A.120B.240C.360D.480

4.已知隨機(jī)變量X的分布列為:

X-101

\_\_

Pa

~26

119

設(shè)y=2x+i,則y的數(shù)學(xué)期望E（y）的值是（）A.B.：c.f

o3J

5.設(shè)p,qe（O,l）,隨機(jī)變量量^的的分布列是:

g012

1-p上P_

p

222

隨機(jī)變量〃的分布列是:

7012

P_l-p

P

222

則＜）A.（力⑷）皿＞（。（喇3B-（。⑷）2＜（"⑺L

U（。?）2=（。⑺）aD,（。（/）2與大小關(guān)系不定

6.某射手射擊所得環(huán)數(shù)4的分布列如下:已知J的數(shù)學(xué)期望E（4）=8.9,則）的值為

（）

自78910

pX0.10.3y

A.0.8B.0.6

C.0.4D.0.2

7.設(shè)隨機(jī)變量x,y滿足y=2x+b"為非零常數(shù))，若玫y)=4+o,r>(y)=32,則

E(x)和。(X)分別等于()

A.4,8B.2,8

C.2,16D.2+"16

8.已知隨機(jī)變量g?5,|),則。(3~1)=()

A1°R105

A-TB.5C.§D.10

9.已知隨機(jī)變量J的取值為由=0,L2).若P(J=0)=g,E?=1,則3(2舁3)=

()

10.袋中有5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從袋中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，取后

放回，取3次，在這3次取球中，設(shè)取到黑球的次數(shù)為X,則E(X)=()

69

A.1B.2C.-D.-

11.已知隨機(jī)變量X,y滿足Y=QX+8,且。力為正數(shù)，若Q(X)=2,Q(Y)=8,則

()

A.b=2B.6/=4C.a—2D.b=4

12.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若出現(xiàn)正面朝上則停止拋擲，至多拋擲m?次，設(shè)拋擲

次數(shù)為隨機(jī)變量箏，i=l,2.若〃/=3,m=5,則()

A.E(。)<E(⑵，D(&)<D(⑵

B.E(。)<E(①)，D(4)>D(9)

C.E?1)>E?2),D(0)<D(a)

D.E（0）＞E（a）,D（&）＞D（&）

二、填空題

13.若西,七,…,x”的方差為2,貝1]2芭+3,2X2+3,2x,+3的方差為

14.已知隨機(jī)變量4則。（24+1）=.

15.若隨機(jī)變量X的分布列為

X01

2

Pm

3

則。（X）=.

16.體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成

功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止.設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p（pHO）,發(fā)

球次數(shù)為X,若X的數(shù)學(xué)期望E（X）＞1.75,則。的取值范圍是.

17.設(shè)隨機(jī)變量X的方差O（X）=1,則。（2X+1）的值為.

三、解答題

18.為迎接2020年國慶節(jié)的到來，某電視臺(tái)舉辦愛國知識(shí)問答競(jìng)賽，每個(gè)人隨機(jī)抽取

五個(gè)問題依次回答，回答每個(gè)問題相互獨(dú)立.若答對(duì)一題可以上升兩個(gè)等級(jí)，回答錯(cuò)誤

可以上升一個(gè)等級(jí)，最后看哪位選手的等級(jí)高即可獲勝.甲答對(duì)每個(gè)問題的概率為:，

答錯(cuò)的概率為1.

（1）若甲回答完5個(gè)問題后，甲上的臺(tái)階等級(jí)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）若甲在回答過程中出現(xiàn)在第i（迂2）個(gè)等級(jí)的概率為證明：為等比

數(shù)列.

19.為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng).該滑雪場(chǎng)

的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元

（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)

甲、乙不超過1小時(shí)離開的概率分別為,、1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率

分別為3、兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí).

（1）求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；

（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量g（單位：元），求g的分布列與數(shù)

學(xué)期望E（J）,方差仇

20.隨著國家對(duì)體育、美育的高度重視，不少省份已經(jīng)宣布將體育、美育納入中考范

疇.某學(xué)校為了提升學(xué)生的體育水平，決定本學(xué)期開設(shè)足球課，某次體育課上，體育

器材室的袋子里有大小、形狀相同的2個(gè)黃色足球和3個(gè)白色足球，現(xiàn)從袋子里依次

隨機(jī)取球.

（1）若連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球，求取出1個(gè)黃色足球、2個(gè)白色足球的概率；

（2）若無放回地取3次，每次取1個(gè)球，取出黃色足球得1分，取出白色足球不得

分，求總得分X的分布列.

21.京西某地到北京西站有阜石和蓮石兩條路，且到達(dá)西站所用時(shí)間互不影響.下表是

該地區(qū)經(jīng)這兩條路抵達(dá)西站所用時(shí)長的頻率分布表：

時(shí)間（分鐘）10?2020?3030?4040?5050?60

蓮石路（0）的頻率0.10.20.30.20.2

阜石路（右）的頻率00.10.40.40.1

若甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘的時(shí)間趕往西站（將頻率視為概率）

（1）甲、乙兩人應(yīng)如何選擇各自的路徑?

（2）按照（1）的方案，用X表示甲、乙兩人按時(shí)抵達(dá)西站的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)

學(xué)期望.

參考答案:

1.D

求得出。之間的關(guān)系，再求出后化),。(4)討論其單調(diào)性即可判斷

【詳解】

解：由因?yàn)榉植剂兄懈怕手蜑?,可得4+6=；,

.?.E(/=_；+6=_g+(g_a)=_“，.?.當(dāng)a增大時(shí)，￡傳)減小,

又由D(^)=(-l+a)2x-^+(O+a)2xa+(l+a)2x/>=-^z+^j+；

可知當(dāng)。在(0,；］內(nèi)增大時(shí)，0(4減小.

故選：D.

2.B

根據(jù)期望的計(jì)算方法，即可求解.

【詳解】

由題意，出海的期望效益E(X)=5000x0.6+(-2000)x(l-0.6)=3000-800=2200(元).

故選：B.

3.A

設(shè)甲獲勝的局?jǐn)?shù)為y,則y8(5,|),x=ioy,然后由方差的性質(zhì)和二項(xiàng)分布的知識(shí)可得

答案.

【詳解】

設(shè)甲獲勝的局?jǐn)?shù)為乙則yB(5,|j,x=ioy

所以O(shè)(X)=1(X)力(丫)=100乂5><1乂1=120

故選：A

4.C

根據(jù)分布列的性質(zhì)可求出〃，再根據(jù)期望公式即可求出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，最后根據(jù)

E(y)=2E(x)+i,即可求出隨機(jī)變量y的數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

根據(jù)分布列的性質(zhì)，得;+，+。=1,解得a=g,

所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=-lxt+Ox」+Ix：=-，.又y=2X+l,

2636

所以隨機(jī)變量y的數(shù)學(xué)期望為E(y)=2E(X)+l=2x(T)+l=g.

故選：C.

5.C

根據(jù)隨機(jī)變量?！ǖ姆植剂?，利用期望和方差的公式，分別求得4和昌7，?7,結(jié)合二

次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】

由題意，可得EJ=Ox千+lxg+2x勺;+p,切=|_q,

則^=(^+P)2^^+(^-P)2x^+(-|-P)2xy

=_p2+p+：=_(p_；y+g,

當(dāng)p=;時(shí)，。&取得最大值，最大值為

又由Z>7=(|-q)W+(g”xg+(；+q)2x詈

=-q-2+q+-1=-{/q--^L)-+1-,

當(dāng)q=g時(shí)，力〃取得最大值，最大值為

所以①⑷)3=(。⑺)行

故選：C.

6.C

根據(jù)分布列的概率之和為1得蒼丁的一個(gè)關(guān)系式，由變量的期望值得x,y的另一個(gè)關(guān)系

式，聯(lián)立方程，求解y的值.

【詳解】

解：由表格可知：

Jx+0.1+0.3+y=l

[7x+8x0.1+9x0.3+10xy=8.9

解得y=o-4.

故選：c.

本題考查根據(jù)分布列和期望值求參數(shù)，熟記概念即可，屬于?？碱}型.

7.B

利用滿足線性關(guān)系的兩隨機(jī)變量的均值、方差關(guān)系的計(jì)算公式即可求得.

【詳解】

因?yàn)殡S機(jī)變量x,y滿足y=2X+b,

所以E(y)=2E(X)+8=4+b,

E(x)=2；

D(y)=4D(X)=32,

.-.Z)(X)=8.

故選：B.

若隨機(jī)變量x,y滿足丫=次+。，他們的期望和方差分別滿足：

E(y)=kE(X)+b,O(y)=公￡>(X)

8.D

求出0（3=~,即可求出Z）（3^-1）=32D?）的值.

【詳解】

解：由題意知，￡>（^）=5x|xfl-|k^,所以。（3<-1）=32。⑷=9xt=1。,

故選:D.

本題考查了二項(xiàng)分布方差的求解，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

設(shè)尸（J=l）=p,可得p《=2）=l_1_p,結(jié)合￡管）=1,可求出P,進(jìn)而可求出方差

。⑷,再結(jié)合0（2〃3）=4。⑷,可求出答案.

【詳解】

14

由題意，設(shè)尸(4=1)=乙則尸(g=2)=l_：_p=1_p,

又E(/=0x*+lxp+2(*-p)=l,解得p=|,

31

所以P傍=1)=0P^=2)=~,

則。?=]1-。)2力+/-2)24,

Q

所以0(24-3)=40代)=于

故選：C.

本題考查隨機(jī)變量的期望與方差，注意方差的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)

題.

10.C

2

根據(jù)題意可知取到黑球的次數(shù)X的取值可能是0,1,2,3,由于每次取到黑球的概率均為1,

3次取球可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則X3(3,|),進(jìn)一步求出答案.

【詳解】

有放回的抽取時(shí)，取到黑球的次數(shù)X的取值可能是0,1,2,3,

由于每次取到黑球的概率均為,，3次取球可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則X8(3,|)

p（X=0）=C；

尸（X=D=C；

尸（X=2）=C；

8

p（X=3）=C；

125

…、八27,54-36、86

E（X）=0X------F1X--------F2X-------F3X-----=

1251251251255

故選：C.

11.C

根據(jù)題中條件，由方差的性質(zhì)列出方程求解，即可得出結(jié)果.

【詳解】

由方差的性質(zhì)可得，D(Y)=D(aX+b)=a2D(X),

因?yàn)椤?X)=2,￡>(y)=8,所以8=2/,

又。為正數(shù)，所以a=2.

故選：C.

本題主要考查由方差的性質(zhì)求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.

12.A

由〃/=3,求出4的分布列，從而求出E(。)，。(4)；由“2=5,求出&的分布列，從

而求出E(①)，D(0)；進(jìn)而得到E(4)<E皤2),D(。)<D(9).

【詳解】

解：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上則停止拋擲，至多拋擲〃i次，

設(shè)拋擲次數(shù)為隨機(jī)變量廓，i=l,2,

?.?川=3,...O的分布列為：

自123

J_

P_1_

544

1117

EQI=lx—+2x—+3x—=—,

71717111

DM=(1一一)2x2+(2一一)2x-+(3一一)2x-=—.

■42444416

???〃2=5,???3的分布列為：

@12345

￡]_11

P_1_

24816

￡<52=lx—+2x—+3x-+4x—+5x—=—

248161616

311(2-)2x311312131

D<2=(1-----)2x—+^r(3)2XM(4-—)x—4-(5-—)2

162168161616

1367

x—=-----,

16256

：.E(4)<E(&),D(4i)<D(3).

故選：A.

求離散型隨機(jī)變量的分布列，應(yīng)按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：

（1）明確離散型隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個(gè)值所表示的意義;

（2）利用概率的有關(guān)知識(shí)求出隨機(jī)變量每個(gè)取值的概率；

（3）按規(guī)范形式寫出分布列并用分布列的性質(zhì)進(jìn)行檢驗(yàn).

13.8

根據(jù)方差的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】

因?yàn)槲?々,…，%的方差為2,

所以2占+3,2X2+3,2x.+3的方差為2x2?=8,

故答案為：8

14.3

根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式求出。傳)，再根據(jù)方差的性質(zhì)計(jì)算可得;

【詳解】

解：因?yàn)殡S機(jī)變量48(4,小，所以O(shè)(g)=4x；x(l

所以O(shè)(2J+l)=22￡)(&)=4xj=3

故答案為：3

根據(jù)分布列的性質(zhì)，求機(jī)，再根據(jù)分布列求方差.

【詳解】

21

由分布列的性質(zhì)可得弓+機(jī)=1,

JD

由兩點(diǎn)分布的方差可得O（X）=；x]2

I9

故答案為：B

6。,；

分別求出X=1,2,3所對(duì)應(yīng)的概率，由數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.

【詳解】

由題意得：P（X=l）=p,P（X=2）=（l-p）p,尸（X=3）=（l-p）2,

/.￡（X）=p+2p（l-p）+3（l-p）2-p1-3p+3,

由E（X）＞1.75得：p2-3p+3＞1.75,解得：或（舍）,

故答案為：[oil

17.4

利用方差的運(yùn)算性質(zhì)Q（aX+，）=/Q（x）即可求解

【詳解】

￡＞（2X+1）=4O（X）=4.

故答案為：4

18.(1)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：y;(2)證明見解析.

(1)首先確定X的所有可能取值X=5,6,7,8,9,10,根據(jù)概率公式分別求出對(duì)應(yīng)發(fā)生的概

率，列出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望；

(2)根據(jù)已知的關(guān)系，求出匕I與2」的關(guān)系式匕再通過化簡(jiǎn)和等比

數(shù)列的定義求解即可.

【詳解】

解：⑴依題意可得,X=5,6,7,8,9,10,

P(X=5)Y?嗚j噎,P-6)=需詞=5同飛嗡,

)=嗚Cl福

p(X=7)=C；

尸。=9)=嗚卜。嘿，尸(X=K))y*《,

則X的分布列如表所示.

X5678910

32808040101

r

243243243243243243

…、u32,80r8040八10120

E(X)=5x---F6x----F7x---+8ox---h9x----F10x---=

243243243243243243T

(2)處于第i+1個(gè)等級(jí)有兩種情況:

2

由第i等級(jí)到第i+1等級(jí)，其概率為耳￡；

由第"1等級(jí)到第i+1等級(jí)，其概率為g?T；

2I1

所以匕|=§匕+§匕1，所以匕1-1=一§(4-匕1)，

即i3-

所以數(shù)歹ME-匕j為等比數(shù)歹u.

本題考查概率公式、隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考

查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng).其中第二問解題的關(guān)鍵在于尋找PM與E,6T的關(guān)系式，

71

即：+GS2),進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的定義證明.

19.(1)卷；⑵分布列見解析,E⑷=8(),哈=竽.

(1)甲、乙兩人所付費(fèi)用相同即為0、40、80,求出相應(yīng)的概率，利用互斥事件的概率

公式，可求出甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率；

(2)確定隨機(jī)變量4的可能取值，求出相應(yīng)的概率，即可得出隨機(jī)變量4的分布列，然后

利用數(shù)學(xué)期望公式和方差公式求出Eq)和0(4.

【詳解】

(1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0、40、80元，

兩人都付0元的概率為e=X=A，兩人都付40元的概率為鳥=gx|=g,

兩人都付80元的概率為=

則兩人所付費(fèi)用相同的概率為P=4+A+B=L+2+L=[；

2432412

(2)設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為J,J可能取值為0、40、80、120、160,

則P(^=0)=-xl=—,P(^=40)=-x-+lxl=l,

v74624v743264

1112115……、11121

尸(j=80)=—x—I—x—I—x—=—,尸(5=]20)=-x—I—x—=一,

'746234612'726434

P(^=160)=-xl=—.

v74624

所以，隨機(jī)變量4的分布列為

g0408()120160

151

P

24412424

.,^)=0x±+40xl+80xA+120xl+160x±=80.

22

。⑷=(0-80)28(+(40-80)2X；+(80-80)2XA+02O-8O)X^-+(160-80)X^-

4000

3

本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望以及方差的計(jì)算，考查運(yùn)算

求解能力，屬于中等題.

20.(1)I3；(2)分布列見解析.

(1)利用古典概型概率公式即求;

（2）由題知X的取值范圍為{0,