山西省太原市2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末理試題含解析

山西省太原市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末（理）試題第I卷（選擇題共60分）一?選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將其字母標(biāo)號填入下表相應(yīng)位置）1.復(fù)數(shù)（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算算出答案即可.【詳解】故選：B2.已知函數(shù)的定義域為，集合，則集合中整數(shù)的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】依據(jù)根式的性質(zhì)及解一元二次不等式求定義域A，再應(yīng)用集合交運(yùn)算求，即可知整數(shù)的個數(shù).【詳解】由題設(shè)，，可得定義域或，所以或，故其中整數(shù)元素有共3個.故選：C3.設(shè)為兩個不同的平面，則的充要條件是（）A.內(nèi)有多數(shù)條直線與平行B.垂直于同一平面C.平行于同一條直線D.內(nèi)的任何直線都與平行【答案】D【解析】【分析】依據(jù)面面平行、相交的學(xué)問確定正確選項.【詳解】A選項，內(nèi)有多數(shù)條直線與平行，與可能相交，A選項錯誤.B選項，垂直于同一平面，與可能相交，B選項錯誤C選項，平行于同一條直線，與可能相交，C選項錯誤.D選項，內(nèi)的任何直線都與平行，則，D選項正確.故選：D4.等比數(shù)列中，，則的通項公式為（）A. B.C或 D.或【答案】C【解析】【分析】由已知，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可得求公比，進(jìn)而寫出的通項公式.【詳解】令公比，由題設(shè)有，所以，解得或，經(jīng)檢驗符合題設(shè)所以，可得或.故選：C5.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：因為函數(shù)為增函數(shù)，則，所以，又因為，所以，所以.故選：A.6.從1到10這十個數(shù)中任取三個，這三個數(shù)的和為奇數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)“從1到10這十個數(shù)中任取三個，這三個數(shù)的和為奇數(shù)”為事務(wù)，利用組合學(xué)問可得從1到10這十個數(shù)中任取三個數(shù)全部的取法，這三個數(shù)的和為奇數(shù)的取法，由古典概型概率計算公式可得答案.【詳解】設(shè)“從1到10這十個數(shù)中任取三個，這三個數(shù)的和為奇數(shù)”為事務(wù)，從1到10這十個數(shù)中任取三個數(shù)有種取法，要使這三個數(shù)的和為奇數(shù)，須取的三個數(shù)中有2個偶數(shù)一個奇數(shù)，或者三個數(shù)都為奇數(shù)兩種狀況；1到10這十個數(shù)分成偶數(shù)一組，奇數(shù)一組各有5個，所以三個數(shù)中有2個偶數(shù)一個奇數(shù)有種，三個數(shù)都為奇數(shù)的取法有種，即從1到10這十個數(shù)中任取三個，這三個數(shù)的和為奇數(shù)的狀況有60種，所以從1到10這十個數(shù)中任取三個，這三個數(shù)的和為奇數(shù)的概率為.故選：D.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的表達(dá)式是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)圖像和選項求出A，依據(jù)周期求出ω，依據(jù)f(0)＝1求出φ.【詳解】結(jié)合圖像和選項可知，，或..故選：A.8.已知向量滿意，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】首先變形，利用數(shù)量積公式，變形得，利用的取值范圍，即可得到的最大值.【詳解】，得，，因為，所以，即，解得：，所以的最大值為3.故選：C9.某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是上底為2，下底為4，底角為的等腰梯形，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】該幾何體是一個正四棱臺，作出四棱臺的直觀圖，求出四棱臺的高，代入棱臺的體積公式即可求其體積.【詳解】依據(jù)三視圖可知該幾何體是一個正四棱臺，棱臺的體積公式為，其中h為棱臺的高，為上底和下底面積.＝4，，h，∴V＝＝.故選：B.10.已知為正實數(shù)，，則的最小值為（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】由條件可得，然后利用基本不等式可得答案.【詳解】因為所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立故選：A11.已知函數(shù)的定義域為，且是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則下列命題正確的個數(shù)是（）①；②；③；④.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】由是偶函數(shù)，可得，令，從而可得，則有函數(shù)關(guān)于直線對稱，再依據(jù)是奇函數(shù)，可得，且關(guān)于對稱，從而可得，即可得出函數(shù)的周期性，再依據(jù)函數(shù)的周期性和對稱性逐一分析，即可得出答案.【詳解】解：因為是偶函數(shù)，所以，令，則，故，所以，即，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，因為是奇函數(shù)，所以，且函數(shù)關(guān)于對稱，又因函數(shù)是由函數(shù)向右平移1個單位得到，所以關(guān)于對稱，所以，所以，所以，則，即，所以函數(shù)的一個周期為，故有，故①正確；由函數(shù)關(guān)于直線對稱，，所以，所以，故②正確；因為，因為關(guān)于對稱，所以，所以，故③正確；又，故④正確，所以正確的個數(shù)為4個.故選：D.12.下列四個命題中，正確的是（）A.B.的最小正周期為C.D.點(diǎn)和點(diǎn)分別在函數(shù)和的圖象上，則兩點(diǎn)距離的最小值為【答案】D【解析】【分析】對A，構(gòu)造函數(shù)通過導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性可證明；對B，變形后可求最小正周期；對C，將不等式分割探討可推斷；對D，依據(jù)對稱性求距離后可推斷.【詳解】對A，令，則，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，所以，故，故A不正確；對B，，所以其最小正周期，故B不正確；對C，令，，可知（當(dāng)時等號成立），（當(dāng)時等號成立）.所以恒成立，即恒成立，即恒成立，故C不正確；對D，函數(shù)與互為反函數(shù)，依據(jù)對稱性，只須要求上的點(diǎn)到直線的最小距離，設(shè)上隨意一點(diǎn)，則到直線的距離，令，則，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，所以到直線的最小距離為，因此兩點(diǎn)距離的最小值為，故D正確.故選：D二?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.綻開式中的系數(shù)為__________.【答案】【解析】【分析】首先綻開原式，，再分別求綻開后兩項中含的系數(shù).【詳解】，其中中含的系數(shù)是，中含的系數(shù)，即中含的系數(shù)，即,所以中含的系數(shù)是.故答案為：14.已知為銳角，，則__________.【答案】##【解析】【分析】求出，則.【詳解】,，，.故答案為：.15.已知四面體中，，其余各棱長均為6，則四面體外接球的表面積為__________.【答案】【解析】【分析】作圖，由余弦定理計算，再得，利用正弦定理可求得底面外接圓的半徑，再計算得的值，列方程，代入求解出，從而可求解出，代入表面積公式計算.【詳解】如圖，設(shè)外接球的球心為，半徑為，底面的外心為，底面外接圓的半徑為，因為，其余各棱長均為，所以可得，所以，由正弦定理得，即，所以，因為，可得，求解得，所以，所以外接球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要仔細(xì)分析圖形，明準(zhǔn)確點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖.16.函數(shù)恰好有三個不同的零點(diǎn)，則的值為__________.【答案】6【解析】【分析】利用對稱性證明出關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故.【詳解】，不妨設(shè)，令，則所以關(guān)于點(diǎn)中心對稱，又，，即關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以，故答案為：6三?解答題（本大題共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）（一）必考題：共60分.17.已知分別是內(nèi)角的對邊，，且.（1）求角；（2）若，求邊.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)結(jié)合余弦定理即可求解；(2)求出角B，依據(jù)正弦定理即可求出b.【小問1詳解】由余弦定理得，又，，又∴；【小問2詳解】，由正弦定理得，，解得.18.已知數(shù)列中，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）對條件進(jìn)行變形，證明出等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項公式；（2）分組求和及錯位相減法求和.【小問1詳解】由條件可得，又，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列..【小問2詳解】，設(shè)，則，兩式相減，整理得，所以.19.2024年2月4日，第24屆冬奧會將在中國北京和張家口實行.為了宣揚(yáng)北京冬奧會，某高校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了110名學(xué)生，對是否喜愛冬季體育運(yùn)動狀況進(jìn)行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：喜愛不喜愛男生5010女生3020（1）依據(jù)上表說明，能否有的把握認(rèn)為，是否喜愛冬季體育運(yùn)動與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從這110名喜愛冬季體育運(yùn)動的學(xué)生中，采納按性別分層抽樣的方法，選取8人參與2024年北京冬奧會志愿者服務(wù)前期集訓(xùn)，且這8人經(jīng)過集訓(xùn)全部成為合格的冬奧會志愿者.若從這8人中隨機(jī)選取3人到場館參與志愿者服務(wù)，設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為，寫出的分布列，并求.附：，其中.【答案】（1）有的把握認(rèn)為，是否喜愛冬季體育運(yùn)動與性別有關(guān)；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）依據(jù)統(tǒng)計表，應(yīng)用卡方計算公式求卡方值，與比照表作比較，依據(jù)獨(dú)立檢驗的基本思想推斷相關(guān)性.（2）由分層抽樣的性質(zhì)確定男女生人數(shù)，可知的可能取值有，進(jìn)而求出對應(yīng)可能值的概率并寫出分布列，再由分布列求期望.【小問1詳解】因為，所以有的把握認(rèn)為，是否喜愛冬季體育運(yùn)動與性別有關(guān).【小問2詳解】依據(jù)分層抽樣方法得，選取的8人中，男生有5人，女生有3人.由題意知，的可能取值有.的分布列是：0123所以.20.如圖，已知四棱錐中，平面為等邊三角形，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取PD的中點(diǎn)，連接，，通過證明四邊形是平行四邊形得到，再證明平面即可得答案；（2）取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出面與面的法向量，利用空間向量進(jìn)行求解.【小問1詳解】取PD的中點(diǎn)，連接，，則，且，又因為，所以且，所以四邊形是平行四邊形，，因為為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，又CD平面PAD，所以，又所以平面，由得平面.【小問2詳解】取中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.可得所以，設(shè)是平面的一個法向量，由得所以可取，設(shè)是平面的一個法向量，由得可取，則，故平面PAB與平面BDM所成銳二面角的余弦值為.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）【解析】【分析】（1）導(dǎo)數(shù)后解不等式即可求解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，再分別探討與的最值,再比較即可.【小問1詳解】，令，則；令，則.是的單調(diào)遞增區(qū)間；是的單調(diào)遞減區(qū)間.【小問2詳解】在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，令，在上單調(diào)遞增且，時，，時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得最小值，即，令，令，在單調(diào)遞減，因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，.在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，要使在恒成立，則，只需考慮，因為，則，當(dāng)時，，，所以，，故.（二）選考題：共10分，請考生在第22?23兩題中任選一題做答，假如多做，則按所做的第一題計分.【選修4-4】坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的一般方程；（2）已知直線與曲線交于兩點(diǎn)，，求證：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）方程兩邊同乘，干脆利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系即可求解；（2）將直線的參數(shù)方程代入拋物線的直角坐標(biāo)方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系并結(jié)合參數(shù)的幾何意義即可求解.【小問1詳解】由已知兩邊同乘得，由得曲線的一般方程為；