2024年湖南省中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)課件微專題8全等三角形之六大模型

微專題8全等三角形之六大模型湖南2024年數(shù)學(xué)中考第一輪復(fù)習(xí)模型1

平移模型特點有一組邊共線或部分重合,另兩組邊分別平行示例思路常在移動方向上加(減)公共線段,構(gòu)造線段相等,或利用平行線性質(zhì)找到對應(yīng)角相等【針對訓(xùn)練】1.(2021·衡陽中考)如圖,點A,B,D,E在同一條直線上,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF.求證:△ABC≌△DEF.

模型2

對稱模型特點所給圖形可沿某一直線折疊,直線兩旁的部分能完全重合示例思路解題時先要確定全等三角形的對應(yīng)頂點(折疊后重合的頂點);還要注意隱含條件,即公共邊或公共角等【針對訓(xùn)練】3.(2023·長沙望城區(qū)模擬)如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的中線,DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F,且DE=DF.求證:(1)△BDE≌△CDF;(2)AD⊥BC.

模型3

旋轉(zhuǎn)模型特點將三角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)一定角度構(gòu)成示例思路在旋轉(zhuǎn)過程中,兩個三角形無重疊或有重疊,找等角或運用角的和差得到等角.注:遇到共頂點,等線段,考慮用旋轉(zhuǎn)【針對訓(xùn)練】4.(2023·益陽赫山區(qū)一模)如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,D,E在斜邊AC上,且AD=EC,連接BD,BE.若∠DBE=50°,求∠BDE的度數(shù).

5.如圖,在等邊三角形ABC中,點E是邊AC上一定點,點D是直線BC上一動點,以DE為一邊作等邊三角形DEF,連接CF.【問題解決】如圖1,若點D在邊BC上,求證:CE+CF=CD;【類比探究】如圖2,若點D在邊BC的延長線上,請?zhí)骄烤€段CE,CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說明理由.【解析】【問題解決】在CD上截取CH=CE,如圖1所示.∵△ABC是等邊三角形,∴∠ECH=60°,∴△CEH是等邊三角形,∴EH=EC=CH,∠CEH=60°,∵△DEF是等邊三角形,∴DE=FE,∠DEF=60°,∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°,∴∠DEH=∠FEC,

【類比探究】線段CE,CF與CD之間的等量關(guān)系是CF=CD+CE;理由如下:∵△ABC是等邊三角形,∴∠A=∠B=60°,過D作DG∥AB,交AC的延長線于點G,如圖2所示.∵GD∥AB,∴∠GDC=∠B=60°,∠DGC=∠A=60°,∴∠GDC=∠DGC=60°,∴△GCD為等邊三角形,∴DG=CD=CG,∵△EDF為等邊三角形,∴ED=DF,∠EDF=∠GDC=60°,∴∠EDG=∠FDC,

模型4

對角互補模型特點一個四邊形有一對互補的對角示例思路通常從一個角頂點向另一個角的兩條邊作垂線,構(gòu)造出兩個直角三角形,并且利用互余關(guān)系可得到這兩個直角三角形的兩組銳角分別對應(yīng)相等【針對訓(xùn)練】6.已知△ABC是等邊三角形,點D為平面內(nèi)一點,連接DB,DC,∠BDC=120°.如圖①,當(dāng)點D在BC下方時,連接AD,延長DC到點E,使CE=BD,連接AE.(1)求證:△ABD≌△ACE;(2)如圖②,過點A作AF⊥DE于點F,求線段AF,BD,DC間的數(shù)量關(guān)系.

7.我們規(guī)定:一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫作“完美四邊形”.(1)在①平行四邊形,②菱形,③矩形,④正方形中,一定為“完美四邊形”的是

(請?zhí)钚蛱?;

(2)在“完美四邊形”ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,連接AC.①如圖1,求證:CA平分∠BCD;小明通過觀察、試驗,提出以下兩種想法,證明CA平分∠BCD.想法一:通過∠B+∠D=180°,可延長CB到E,使BE=CD,通過證明△AEB≌△ACD,從而可證CA平分∠BCD;想法二:通過AB=AD,可將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn),使AD與AB重合,得到△AEB,可證C,B,E三點在一條直線上,從而可證CA平分∠BCD.請你參考上面的想法,幫助小明證明CA平分∠BCD;②如圖2,當(dāng)∠BAD=90°,用等式表示線段AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.【解析】(1)由“完美四邊形”的定義可得正方形是“完美四邊形”.答案:④(2)①想法一:延長CB至點E,使BE=CD,連接AE,∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ABE+∠ABC=180°,∴∠ADC=∠ABE,∵AD=AB,DC=BE,∴△ADC≌△ABE(SAS),∴∠ACD=∠AEB,AC=AE,∴∠ACB=∠AEB,∴∠ACD=∠ACB.即CA平分∠BCD;想法二:將△ACD繞點A順時針旋轉(zhuǎn),使AD邊與AB邊重合,得到△ABE,∴△ADC≌△ABE.∴∠ADC=∠ABE,∠ACD=∠AEB,AC=AE.∵∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ABE+∠ABC=180°,∴點C,B,E在一條直線上.∵AC=AE,∴∠ACB=∠AEB,∴∠ACD=∠ACB,即CA平分∠BCD;

模型5

一線三等角模型特點三個等角的頂點在同一直線上,稱一線三等角模型示例思路解題關(guān)鍵是利用三等角關(guān)系找全等三角形所需的角相等條件(如∠1=∠2)

9.如圖,在△ABC中,AB=AC,點P,D分別是BC,AC邊上的點,且BP=CD,∠APD=∠B.(1)求證:AB=CP;(2)若∠BAC=120°,則∠ADP=

°.

10.(2023·衡陽珠暉區(qū)一模)綜合與實踐:初步探究:(1)如圖1,直線m同側(cè)有兩定點D,E,點A,B,C是直線m上的三個動點.在運動過程中,當(dāng)∠DAB=∠DBE=∠BCE=60°時,求∠D和∠E的數(shù)量關(guān)系.深入探究:(2)當(dāng)A,B,C三個動點運動到如圖2所示的位置時,有∠DAB=∠DBE=∠BCE=90°,求此時∠D和∠E的數(shù)量關(guān)系;若∠DAB=∠DBE=∠BCE=α,∠D和∠E又有什么樣的數(shù)量關(guān)系?(請直接寫出這兩個問題的答案)拓展應(yīng)用:(3)在圖2中,如果∠DAB=∠DBE=∠BCE=90°仍然存在,再添加條件BD=EB,求證:AC=AD+CE.【解析】(1)∵∠DAB=60°,∴∠ABD+∠D=120°,∵∠DBE=60°,∴∠ABD+∠EBC=120°,∴∠D=∠EBC,∵∠BCE=60°,∴∠EBC+∠E=120°,∴∠D+∠E=120°;(2)∠DAB=∠DBE=∠BCE=90°,此時∠D和∠E的數(shù)量關(guān)系為∠D+∠E=90°,理由如下:∵∠DAB=90°,∴∠ABD+∠D=90°,∵∠DBE=90°,∴∠ABD+∠EBC=90°,∴∠D=∠EBC,∵∠BCE=90°,∴∠EBC+∠E=90°,∴∠D+∠E=90°;若∠DAB=∠DBE=∠BCE=α,∠D和∠E的數(shù)量關(guān)系為∠D+∠E=180°-α,理由如下:∵∠DAB=α,∴∠ABD+∠D=180°-α,∵∠DBE=α,∴∠ABD+∠EBC=180°-α,∴∠D=∠EBC,∵∠BCE=α,∴∠EBC+∠E=180°-α,∴∠D+∠E=180°-α;

模型6

半角模型特點一個角包含著這個角的半角示例思路常將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并形成新的三角形,從而進行等量代換,證明三角形全等【針對訓(xùn)練】11.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D和點E均在邊BC上,且∠DAE=45°,試猜想BD,DE,EC應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系,并寫出推理過程.【解析】BD2+CE2=DE2,理由如下:∵AB=AC,∴把△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ACG,可使AB與AC重合,連接EG,∴AD=AG,BD=CG,∠B=∠ACG,∠BAD=∠CAG,∵在Rt△BAC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠ECG=∠A