新教材適用2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章圓錐曲線3拋物線3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課后訓(xùn)練北師大版選擇性必修第一冊(cè)

§3拋物線3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程A組1.已知拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M(1,m)到其焦點(diǎn)的距離為3,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為().A.x=4 B.x=2C.x=-1 D.x=-22.當(dāng)a為隨意實(shí)數(shù)時(shí),直線(a-1)x-y+2a+1=0恒過(guò)定點(diǎn)P,則過(guò)點(diǎn)P的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是().A.y2=-92x或x2=4B.y2=92x或x2=4C.y2=92x或x2=-4D.y2=-92x或x2=-43.在同一平面直角坐標(biāo)系中,方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0(a>b>0)所表示的曲線大致是().4.已知M是拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn),若M到此拋物線的準(zhǔn)線和對(duì)稱軸的距離分別為5和4,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為().A.1 B.1或4C.1或5 D.4或55.過(guò)點(diǎn)F(0,3)且和直線y+3=0相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.

6.已知拋物線y2=4x的弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則|AB|的最大值為.

7.過(guò)拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為30°的直線,與拋物線分別交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在y軸左側(cè)),則|AF||8.已知圓C的方程x2+y2-10x=0,求與y軸相切且與圓C外切的動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.9.(1)設(shè)斜率為2的直線l過(guò)拋物線y2=ax(a≠0)的焦點(diǎn)F,且和y軸交于點(diǎn)A.若△OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,求該拋物線的方程;(2)若點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線y+4=0的距離小2,求點(diǎn)P的軌跡方程.B組1.已知雙曲線C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2.若拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2,A.x2=833y B.x2=C.x2=8y D.x2=16y2.從拋物線y2=4x上的一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為M,且|PM|=5,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,則△MPF的內(nèi)切圓的面積為().A.15-35C.17-353.(多選題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為K,P為拋物線C上異于O的隨意一點(diǎn),點(diǎn)P在l上的射影為點(diǎn)E,∠EPF的鄰補(bǔ)角的平分線交x軸于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥PF交PF于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥EP交線段EP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,則().A.|PE|=|PF| B.|PF|=|QF|C.|PN|=|MF| D.|PN|=|KF|4.拋物線y=-14x2上的動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F(0,-1),E(1,-3)的距離之和的最小值為5.設(shè)P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn).若點(diǎn)P到直線x=-1的距離為d,A(-1,1),求|PA|+d的最小值.6.已知點(diǎn)A(12,6),F(0,1),點(diǎn)M到F的距離比它到x軸的距離大1.(1)求點(diǎn)M的軌跡方程G.(2)在G上是否存在一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到x軸的距離之和取得最小值?若存在,求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案§3拋物線3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程A組1.D2.A直線方程可化為a(x+2)-x-y+1=0,由x+2=0,-x-y+1=0,得3.Da2x2+b2y2=1化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x21a2+y21b2=1,因?yàn)閍>b>0,所以1a2<1b2,所以方程a2x2+b2y2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓;ax+by2=0化為標(biāo)準(zhǔn)形式為4.B因?yàn)辄c(diǎn)M到對(duì)稱軸的距離為4,所以點(diǎn)M的坐標(biāo)可設(shè)為(x,4)或(x,-4).又因?yàn)辄c(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為5,所以42=2所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1或4.5.x2=12y由題意,知?jiǎng)訄A圓心到點(diǎn)F(0,3)的距離等于到定直線y=-3的距離,故動(dòng)圓圓心的軌跡是以F為焦點(diǎn),直線y=-3為準(zhǔn)線的拋物線,所以所求的拋物線方程為x2=12y.6.6設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,A(x1,y1),B(x2,y2),利用拋物線的定義可知,x1+x2=4,那么|AF|+|BF|=x1+x2+2=6,故|AF|+|BF|≥|AB|,即|AB|≤6,當(dāng)AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)取最大值,為6.7.13如圖,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l,分別過(guò)點(diǎn)A,B,作AA1⊥l,BB1⊥l,交l于點(diǎn)A1,B1,由拋物線的定義知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1(第7題)又已知AB的傾斜角為30°,則|BB1|-|AA1|=12|AB|=12(∴|BF|-|AF|=12(|AF|+|BF|整理得|BF|=3|AF|,故|AF8.解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),動(dòng)圓的半徑為r,∵動(dòng)圓P與y軸相切,∴r=|x|.∵動(dòng)圓P與定圓C:(x-5)2+y2=25外切,∴|PC|=r+5,即|PC|=|x|+5.當(dāng)x≥0時(shí),|PC|=x+5,故點(diǎn)P的軌跡是以(5,0)為焦點(diǎn)的拋物線.則圓心P的軌跡方程為y2=20x(x≥0);當(dāng)x<0時(shí),|PC|=-x+5,此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是x軸的負(fù)半軸,則軌跡方程為y=0(x<0).故點(diǎn)P的軌跡方程為y2=20x(x≥0)或y=0(x<0).9.解(1)拋物線的焦點(diǎn)為Fa4,0,故直線l的方程為y=令x=0,得y=-a2,故△OAF的面積為12×a4×故拋物線的方程為y2=±8x.(2)由題意知,點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,2)的距離比它到直線y+4=0的距離小2,則點(diǎn)P到點(diǎn)F(0,2)的距離與到直線y+2=0的距離相等.因而點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F(0,2)為焦點(diǎn),直線y=-2為準(zhǔn)線的拋物線.故點(diǎn)P的軌跡方程為x2=8y.B組1.D由e2=1+b2a2=4,得ba=3,則雙曲線C1的漸近線方程為y=±3x,拋物線C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,則有p22=2,解得p=故拋物線C2的方程為x2=16y.2.B如圖,不妨令點(diǎn)P在第一象限,∵|PM|=5,(第2題)∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4).∴S△PMF=12×5×4=10.設(shè)△PMF的內(nèi)切圓圓心為O',半徑為r,則S△PMF=S△O'PM+S△O'PF+S△O'MF,即12×(5+5+25)r=10,解得r=故△PMF內(nèi)切圓的面積為πr2=15-53.ABD如圖,由拋物線的定義可知|PE|=|PF|,故A正確.(第3題)因?yàn)镻Q是∠EPF的鄰補(bǔ)角的平分線,所以∠FPQ=∠NPQ.又EN∥KQ,所以∠NPQ=∠PQF,所以∠FPQ=∠PQF,所以|PF|=|QF|,故B正確.若|PN|=|MF|,則有△FMQ≌△PNQ,從而有|FQ|=|PQ|,所以∠PFQ=π3,此時(shí)P為定點(diǎn),與P為拋物線C上異于O的隨意一點(diǎn)沖突,故C不正確因?yàn)樗倪呅蜬QNE是矩形,所以|EN|=|KQ|.又|PE|=|PF|=|QF|,所以|PN|=|KF|,故D正確.故選ABD.4.4將拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-4y,可知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1),因?yàn)?3<-14,所以點(diǎn)E(1,-3)在拋物線的內(nèi)部.如圖,設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l,過(guò)點(diǎn)M作MP⊥l,垂足為點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥l,垂足為點(diǎn)Q.由拋物線的定義可知,|MF|+|ME|=|MP|+|ME|≥|EQ|,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M在EQ上時(shí)取等號(hào),又|EQ|=1-(-3)=4,故所求距離之和的最小值為4(第4題)5.解(第5題)依題意,拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.由拋物線的定義,知|PF|=d,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PF|的最小值.如圖,連接AF.當(dāng)點(diǎn)P在AF上時(shí),|PA|+|PF|最小,則所求最小值為|AF|=226.解(1)因?yàn)辄c(diǎn)M到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到x軸的距離大1,即“點(diǎn)M到點(diǎn)F(0,1)的距離等于它到直線y=-1的距離”,所以點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn),直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線,此時(shí),p=2,故所求軌跡方程G為x2=4y.(2)存在點(diǎn)P3,94,使得點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到x軸的距離之和取得最小值如圖,易推斷出點(diǎn)A在拋物線外側(cè),設(shè)P(x,y),則點(diǎn)P到x軸的距離為y.設(shè)點(diǎn)P到