第2章對(duì)稱圖形-圓 單元總復(fù)習(xí)（知識(shí)點(diǎn)梳理+鞏固練習(xí)） 2024-2025學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

對(duì)稱圖形-圓單元總復(fù)習(xí)（知識(shí)點(diǎn)梳理+鞏固練習(xí)）知識(shí)模塊知識(shí)模塊1（一）圓：在一個(gè)平面內(nèi)，一條線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA的長(zhǎng)度叫做這個(gè)圓的半徑。圓的表示方法：以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”。【歸納】（1）圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑）；（2）到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上。圓的第二定義：所有到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形叫做圓。弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑?；。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧?；〉谋硎痉椒ǎ阂訟、B為端點(diǎn)的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。等圓：能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，用三個(gè)字母表示，如圖中的。劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧，用兩個(gè)字母表示，如圖中的。圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。弦心距：過(guò)圓心作弦的垂線，圓心與垂足之間的距離叫弦心距。1.下列說(shuō)法中，不正確的是（

）A．直徑是最長(zhǎng)的弦 B．同圓中，所有的半徑都相等C．長(zhǎng)度相等的弧是等弧 D．圓既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱2.下列說(shuō)法中正確的有（填序號(hào)）．（1）直徑是圓中最大的弦；（2）長(zhǎng)度相等的兩條弧一定是等?。唬?）半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；（4）面積相等的兩個(gè)圓是等圓；（5）同一條弦所對(duì)的兩條弧一定是等?。?、如圖，⊙O的半徑為5，點(diǎn)P到圓心O的距離為10，如果過(guò)點(diǎn)P作弦，那么長(zhǎng)度為整數(shù)值的弦的條數(shù)為(

)

A．3 B．4 C．5 D．64.已知AB是直徑為10的圓的一條弦，則AB的長(zhǎng)度不可能是（

）A．2 B．5 C．9 D．115.某同學(xué)用所學(xué)過(guò)的圓與扇形的知識(shí)設(shè)計(jì)了一個(gè)問(wèn)號(hào)，如圖中陰影部分所示，已知圖中的大圓半徑為4，兩個(gè)小圓的半徑均為2，請(qǐng)計(jì)算圖中陰影部分的周長(zhǎng)和面積．6.已知點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為5，最短距離為1，則⊙O的半徑為．7.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=14，點(diǎn)D在邊BC上，CD=6，以點(diǎn)D為圓心作⊙D，其半徑長(zhǎng)為r，要使點(diǎn)A恰在⊙D外，點(diǎn)B在⊙D內(nèi)，則r的取值范圍是（

A．8<r<10 B．6<r<8 C．6<r<10 D．2<r<148.如圖所示，MN為⊙O的弦，∠N=50°，則∠MON的度數(shù)為（

）

A．100° B．40° C．50° D．80°9.如圖，AB是⊙O的直徑，C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)D在⊙O上，且CD=OA，CD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，若∠E=40°，那么∠C=．10.①倍圓問(wèn)題；如圖1，已知⊙O，請(qǐng)你用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作一個(gè)以O(shè)為圓心，面積是原⊙O的兩倍的圓；②均分問(wèn)題：如圖2，已知⊙O，請(qǐng)你用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作一個(gè)以O(shè)為圓心，面積是原⊙O的一半的圓；（不寫(xiě)作法，但需保留作圖痕跡）（2）若⊙O的半徑為5，則上述所作圓的周長(zhǎng)分別是，．知識(shí)模塊知識(shí)模塊2知識(shí)點(diǎn)2弧，弦，圓心角三者之間的關(guān)系在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等。在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角度數(shù)相等，所對(duì)的弦相等。在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角度數(shù)相等，所對(duì)的弧相等?；〉亩葦?shù)等于它所對(duì)圓心角的度數(shù)知識(shí)點(diǎn)3垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。1.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ˋC），點(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，B為AC上一點(diǎn)，OB⊥AC于D．若AC＝3003m，BD＝150m，則AC的長(zhǎng)為（）A．300πm B．200πm C．150πm D．1003πm2.如圖，是的直徑，，，則的大小為．3.下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）三點(diǎn)確定一個(gè)圓；（2）等弧所對(duì)的圓周角相等；（3）相等的圓心角所對(duì)的弧相等；（4）直徑所對(duì)的圓周角是直角．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4.如圖，在⊙O中，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，點(diǎn)D在上，連接OA、OB、BD、CD．若∠AOB=50°，則∠BDC的大小為．

5.化學(xué)實(shí)驗(yàn)中常使用一種球形蒸餾瓶，它的底部可以看成是一個(gè)球體，這個(gè)球體最大縱截面如圖所示，其半徑為，瓶?jī)?nèi)液體最大深度為，則液面寬的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6.⊙的半徑為5cm，AB、CD是⊙的兩條弦，，，．則和之間的距離為．7.若一元二次方程的解為a、b，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)的象限是8.如圖1，舞臺(tái)地面上有一段以點(diǎn)O為圓心的，主持人要站在的中點(diǎn)C的位置上．他想：只要從點(diǎn)O出發(fā)，沿著與弦AB垂直的方向走到上，就能找到的中點(diǎn)．他的想法是正確的．請(qǐng)你先在圖2中畫(huà)出點(diǎn)C（不要求尺規(guī)作圖），再寫(xiě)出確定點(diǎn)C所用方法的依據(jù)（填寫(xiě)定理原文）．9.如圖，是的弦，半徑經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)．若，則的大小為．10.道縣西洲公園是由一座三孔石拱橋?qū)⑽髦夼c瀟水西岸連在一起的．圖為石拱橋的中孔側(cè)面圖，拱是圓弧形，橋的跨徑所在弦，拱高，則拱所在圓的半徑為m．11.如圖所示，是圓O的一條弦，是圓O直徑，垂足為．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求圓O的半徑長(zhǎng)．知識(shí)模塊知識(shí)模塊3知識(shí)點(diǎn)一．確定圓的條件不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．知識(shí)點(diǎn)二．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．1.下列說(shuō)法正確的是（

）A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B．經(jīng)過(guò)圓心的直線是圓的對(duì)稱軸C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧 D．三角形的外心到三角形三個(gè)邊距離相等2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，則外接圓的圓心.3.下列語(yǔ)句中正確的是（

）A．經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)一定可以作一個(gè)圓B．平分弦的直徑垂直于弦C．相等的圓心角所對(duì)的弧相等D．三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等4.如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則的外接圓圓心的坐標(biāo)為．5.如圖所示，一圓弧過(guò)方格的格點(diǎn)，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)的坐標(biāo)為，則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是；

6.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來(lái)大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應(yīng)該是（

）A．① B．② C．③ D．④7.在一個(gè)直角三角形中，兩邊長(zhǎng)分別是5，12，那么這個(gè)三角形的外接圓的半徑是．8.如圖，在中，．

(1)求作：的外接圓（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(2)若，，求的面積．知識(shí)模塊知識(shí)模塊4知識(shí)點(diǎn)1定義頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。知識(shí)點(diǎn)2圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。推論半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。知識(shí)點(diǎn)3如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。1.如圖，在△ABC中，AB為⊙O的直徑，已知AB=4，CD=1，∠B=55°，∠C=65°，則BC=．

2.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE，若∠BCD=2∠BAD，若連接OD，則∠DOE的度數(shù)是（

）A．30° B．35° C．45° D．60°3.如圖，⊙O中，OA⊥BC，∠B=50°，則∠D的度數(shù)為（

）

A．20° B．50° C．40° D．25°4.如圖，在⊙O中，AB為直徑，C為圓上一點(diǎn)，將劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于點(diǎn)D，連接CD，若點(diǎn)D與圓心O不重合，∠BAC=25°，則∠DCA=．5.如圖，是的直徑，C，D是上的兩點(diǎn)，連接，若，平分，則的度數(shù)為．6.如圖，是的直徑，弦與相交于點(diǎn)E，．若，求直徑的長(zhǎng)．

7.如圖，在中，圓心角，P為劣弧上一點(diǎn)，則度數(shù)是（）

A． B．或 C． D．8.如圖，過(guò)原點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)M是第三象限內(nèi)圓上一點(diǎn)，，則的半徑為（

）

A．4 B．5 C．6 D．29.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠C=120°．若AD=2，則AB的長(zhǎng)為（）A． B．2 C．2 D．410.已知四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線是的直徑(1)如圖①，連接若，求證：平分；(2)如圖②，E為內(nèi)一點(diǎn)，滿足，，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由11.如圖1，四邊形ADBC內(nèi)接于⊙O，E為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AD平分∠EDC.

(1)求證：AB=AC；(2)若△ABC為等邊三角形，則∠EDA=度；（直接寫(xiě)答案）(3)如圖2，若CD為直徑，過(guò)A點(diǎn)作AE⊥BD于E，且DB=AE=2，求⊙O的半徑.知識(shí)模塊知識(shí)模塊5知識(shí)點(diǎn)1基本概念1.直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，叫做直線和圓相交，這條直線叫圓的割線，這兩個(gè)公共點(diǎn)叫交點(diǎn)。2.直線和圓有唯一個(gè)公共點(diǎn)，叫做直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫切點(diǎn)。3.直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離。知識(shí)點(diǎn)2直線和圓的位置關(guān)系的判定設(shè)⊙O的半徑為r，直線l到圓心的距離為d，則：直線l和⊙O相交d<r直線l和⊙O相切d=r直線l和⊙O相離d>r知識(shí)點(diǎn)3切線的性質(zhì)切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。1.已知⊙O的半徑為5，直線l與⊙O有2個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)O到直線l的距離可能是（

）A．3 B．5 C．7 D．92.如圖，∠ACB＝30°，點(diǎn)O是CB上的一點(diǎn)，且OC＝6，則以4為半徑的⊙O與直線CA的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無(wú)法確定3.如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝30°，半徑為1cm的⊙P的圓心在直線AB上，開(kāi)始時(shí)，PO＝6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動(dòng)，那么當(dāng)⊙P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）為時(shí)，⊙P與直線CD相切．4.如圖，AC是⊙O的直徑，AB，BC是⊙O的弦，CD是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，OD與⊙O交于點(diǎn)E．若點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)，∠D=32°，則∠ACB的度數(shù)為（

）

A．56° B．58° C．61° D．68°5.如圖：P是⊙O的直徑CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，∠P=40°，則∠ACP=．6.如圖，AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，連接OA，點(diǎn)C在⊙O上，OC⊥OA，連接BC并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接OD，若∠B＝65°，則∠DOC的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．65° D．75°7.如圖，已知⊙O的圓心O在△ABC的邊AC上，與AC相交于A、E兩點(diǎn)，且與邊BC相切于點(diǎn)D，連結(jié)DE．（1）若BA＝BD，求證：AB是⊙O的切線；（2）若CD＝4，CE＝2，求⊙O的半徑．8.如圖，在△ABC中，AB＝4，∠C＝64°，以AB為直徑的⊙O與AC相交于點(diǎn)D，E為ABD上一點(diǎn)，且∠ADE＝40°．（1）求BE的長(zhǎng)；（2）若∠EAD＝76°，求證：CB為⊙O的切線．9.如圖所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)（不與O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于點(diǎn)C，垂足為點(diǎn)E，作直徑CD，過(guò)點(diǎn)C的切線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，AF⊥PC于點(diǎn)F，連接CB.試證明：(1)CB是∠ECP的角平分線；(2)CF=CE．10.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，以CE為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)F，連接DO，且∠DOC＝90°．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若DF＝2，DC＝6，求BE的長(zhǎng)．11.如圖，在?ABCD中，AB=4，BC=8，∠ABC=60°．點(diǎn)P是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，作△PAB的外接圓⊙O．(1)當(dāng)DC與△PAB的外接圓⊙O相切時(shí)，求⊙O的半徑；(2)直接寫(xiě)出⊙O與?ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的BP長(zhǎng)的取值范圍．知識(shí)模塊知識(shí)模塊6知識(shí)點(diǎn)六、正多邊形和圓知識(shí)點(diǎn)1正多邊形和圓的關(guān)系定理1：把圓分成n（n≥3）等份，依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形。定理2：經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正多邊形。知識(shí)點(diǎn)2正多邊形有關(guān)概念正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心。正多邊形的半徑：正多邊形的外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。正多邊形的中心角：正多邊形的每一條邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。知識(shí)點(diǎn)3正多邊形的有關(guān)角正多邊形的中心角都相等，中心角=（n為正多邊形的邊數(shù)）正多邊形的每個(gè)外角=（n為正多邊形的邊數(shù)）1.第29屆自貢國(guó)際恐龍燈會(huì)“輝煌新時(shí)代”主題燈組上有一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中一邊與對(duì)角線的夾角∠ACB＝15°，算出這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．122.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q是DE的中點(diǎn)，則∠CPQ的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．36° D．60°3.如圖，⊙O與正六邊形ABCDEF的邊CD，EF分別相切于點(diǎn)C，F(xiàn)．若AB＝2，則⊙O的半徑長(zhǎng)為．4.蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形．如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個(gè)全等的正六邊形不重疊且無(wú)縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P，Q，M均為正六邊形的頂點(diǎn)．若點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(-23，3)，（0，﹣3A．（33，﹣2） B．（33，2） C．（2，﹣33） D．（﹣2，﹣33）5.如圖，兩個(gè)大小相同的正六邊形的一邊重合在一起，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，連接頂點(diǎn)A，B，則線段的長(zhǎng)為．6.如圖，將一張正六邊形紙片的陰影部分剪下，恰好拼成一個(gè)菱形，若拼成的菱形的面積為2，則原正六邊形紙片的面積為（

）A．4 B．6 C．8 D．107.如圖，正五邊形ABCDE和正三角形APQ都內(nèi)接于⊙O，則PC的度數(shù)為°．8.如圖，正六邊形內(nèi)接于，半徑為．

(1)求的長(zhǎng)度；(2)若G為的中點(diǎn)，連接，求的長(zhǎng)度．9.已知正六邊形ABCDEF，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺，按要求畫(huà)圖：(1)在圖1中，畫(huà)出CD的中點(diǎn)G；(2)在圖2中，點(diǎn)G為CD中點(diǎn)以G為頂點(diǎn)畫(huà)出一個(gè)菱形．知識(shí)模塊知識(shí)模塊6知識(shí)點(diǎn)七、弧長(zhǎng)和扇形面積知識(shí)點(diǎn)1計(jì)算公式1.n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)：l=2.扇形面積：（由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫扇形）方法一：S扇形＝方法二：S扇形＝知識(shí)點(diǎn)2圓錐圓錐的母線：連接圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線。圓錐的高：圓錐的頂點(diǎn)到底面圓的距離，即頂點(diǎn)與底面圓的圓心的連線的長(zhǎng)是圓錐的高。圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的半徑為圓錐的母線，扇形弧長(zhǎng)為底面圓的周長(zhǎng)。圓錐的側(cè)面積：圓錐的側(cè)面積就是弧長(zhǎng)為圓錐底面的周長(zhǎng)、半徑為圓錐的一條母線的長(zhǎng)的扇形面積。設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，扇形的圓心角為n，圓錐的全面積：圓錐的全面積就是它的側(cè)面積與它的底面積的和。1.已知圓錐的底面半徑為3cm，母線長(zhǎng)為5cm，則圓錐的側(cè)面積是（）A．15πcm2 B．15cm2 C．20πcm2 D．20cm22.如圖，有一圓心角為120°，半徑長(zhǎng)為6cm的扇形，若將OA、OB重合后圍成一圓錐側(cè)面，那么圓錐的高是cm．3.如圖，一張直徑為20cm的圓餅被切掉了一塊，則切掉部分的圓弧AC的長(zhǎng)度為（）A．10πcm B．15πcm C．20πcm D．5πcm4.如圖，在扇形紙扇中，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6.工人師傅在檢查排污管道時(shí)發(fā)現(xiàn)淤泥堆積．如圖所示，排污管道的橫截面是直徑為米的圓，為預(yù)估淤泥量，測(cè)得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬為米，請(qǐng)計(jì)算出淤泥橫截面的面積（

）A． B． C． D．7.圖，在扇形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．在扇形內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，則點(diǎn)落在陰影部分的概率是（

）A． B．