2023-2024學(xué)年北京市房山區(qū)高二下學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年北京市房山區(qū)高二下學(xué)期學(xué)業(yè)水平調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列{an}滿足an+1=?2anA.14 B.4 C.?3 D.2.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則(

)

A.f′(1)>f′(3) B.f′(1)=f′(3) C.f′1<f′33.如圖①、②、③、④分別為不同樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，其對(duì)應(yīng)的線性相關(guān)系數(shù)分別為r1,r2,r3,A.r1 B.r2 C.r34.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a2=?3，S5=?10，使SA.4 B.5 C.6 D.4或55.要安排5位同學(xué)表演文藝節(jié)目的順序，要求甲同學(xué)既不能第一個(gè)出場(chǎng)，也不能最后一個(gè)出場(chǎng)，則不同的安排方法共有(

)A.72種 B.120種 C.96種 D.60種6.在x+2x6的展開(kāi)式中，x2A.15 B.60 C.6 D.127.某地區(qū)氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，夏季里，每天下雨的概率是415，刮風(fēng)的概率為215，既刮風(fēng)又下雨的概率為110.A.8225 B.110 C.388.為了研究?jī)鹤由砀吲c父親身高的關(guān)系，某機(jī)構(gòu)調(diào)查了某所高校14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高(單位：cm)，得到的數(shù)據(jù)如表所示．編號(hào)1234567891011121314父親身高x174170173169182172180172168166182173164180兒子身高y176176170170185176178174170168178172165182父親身高的平均數(shù)記為x，兒子身高的平均數(shù)記為y，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，得到兒子身高關(guān)于父親身高的回歸直線方程為y=0.839x+28.957.則下列結(jié)論中正確的是(

)A.y與x正相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)為0.839

B.點(diǎn)(x,y)不在回歸直線上

C.x每增大一個(gè)單位，y增大0.839個(gè)單位

D.當(dāng)x=176時(shí)，y9.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是(

)X123456PppppppA.P(X≥4)=1?P(X≤3)

B.隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX可以等于3.5

C.當(dāng)pn=12nn=1,2,3,4,5時(shí)，10.已知數(shù)列A：1,?1,?2,?1,?2,?4,?1,?2,?4,?8,?1,?2,?4,?8,?16,???，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20,?21，再接下來(lái)的三項(xiàng)是20,21,?22，依此類(lèi)推．SA.16 B.95 C.189 D.330二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.若f(x)=x，則f′4=12.若x?14=a0+a1x+a2x13.為了提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，某市定期舉辦中學(xué)生科技知識(shí)競(jìng)賽．某次科技知識(shí)競(jìng)賽中，需回答20個(gè)問(wèn)題，記分規(guī)則是：每答對(duì)一題得5分，答錯(cuò)一題扣3分．從參加這次科技知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中任意抽取1名，設(shè)其答對(duì)的問(wèn)題數(shù)量為X，最后得分為Y分．當(dāng)X=10時(shí)，Y的值為

；若P(Y≥60)=0.7，則P(X<15)=

．14.設(shè)無(wú)窮數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=?n2+λn+3?(λ>2).若15.已知函數(shù)fx=①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)在定義域上單調(diào)遞增；②對(duì)任意a>0，f(x)存在極值；③對(duì)任意a>2，f(x)存在最值；④設(shè)f(x)有n個(gè)零點(diǎn)，則n的取值構(gòu)成的集合是{1,2,3,4}．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

．三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.（12分）已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且a2=3，a3=5(1)求an和b(2)設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列17.（12分）已知函數(shù)f(x)=?x(1)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；(2)若f(x)的極小值為?10，求函數(shù)f(x)在[?2,2]上的最大值．18.（12分）袋子中有5個(gè)大小和質(zhì)地相同的小球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球.從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，觀察顏色后放回，同時(shí)放入一個(gè)與其顏色大小相同的小球，然后再?gòu)拇须S機(jī)摸出一個(gè)小球．(1)求第一次摸到白球的概率；(2)求第二次摸到白球的概率；(3)求兩次摸到的小球顏色不同的概率．19.（13分）人工智能(簡(jiǎn)稱(chēng)AI)的相關(guān)技術(shù)首先在互聯(lián)網(wǎng)開(kāi)始應(yīng)用，然后陸續(xù)普及到其他行業(yè).某公司推出的AI軟件主要有四項(xiàng)功能：“視頻創(chuàng)作”、“圖像修復(fù)”、“語(yǔ)言翻譯”、“智繪設(shè)計(jì)”.為了解某地區(qū)大學(xué)生對(duì)這款A(yù)I軟件的使用情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了120名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們最喜愛(ài)使用的AI軟件功能(每人只能選一項(xiàng))，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：軟件功能視頻創(chuàng)作圖像修復(fù)語(yǔ)言翻譯智繪設(shè)計(jì)大學(xué)生人數(shù)40204020假設(shè)大學(xué)生對(duì)AI軟件的喜愛(ài)傾向互不影響．(1)從該地區(qū)的大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，試估計(jì)此人最喜愛(ài)“視頻創(chuàng)作”的概率；(2)采用分層抽樣的方式先從120名大學(xué)生中隨機(jī)抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人，其中最喜愛(ài)“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)從該地區(qū)的大學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，其中最喜愛(ài)“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為Y，Y的方差記作D(Y)，(2)中X的方差記作D(X)，比較D(X)與D(Y)的大?。?結(jié)論不要求證明)20.（13分）已知函數(shù)fx=(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=fx在x=0(2)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)fx(3)若對(duì)于任意的x∈2,+∞，有fx≥0，求21.（13分）若數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意n∈N?，都有an+1(1)若an=2n?1，bn=2n?1，判斷(2)已知{an}是等差數(shù)列，a1=2，其前n項(xiàng)和記為Sn，若{a(3)已知{an}是各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列，a1=1，記bn=an3,cn=an+1n答案解析1.B

【解析】由an+1=?2a又a1=1，所以{an}∴a故選：B2.C

【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)的切線斜率，在1處的切線斜率小于在3處的切線斜率，所以f′1<f′3，A又因?yàn)閒′1<f′3<0，所以故選：C．3.A

【解析】因③圖形比較分散，則r3≈0；因①②④相較③接近于一條直線附近，則又②為下降趨勢(shì)，則r2<0，①比④更接近一條直線，且呈上升趨勢(shì)，則綜上，r1故選：A4.D

【解析】設(shè)公差為d，由a2=?3，所以a1+d=?35a1令an≥0，解得n≥5，則數(shù)列an所以當(dāng)n=4或n=5時(shí)Sn故選：D5.A

【解析】第一步：先將甲同學(xué)排列除第一個(gè)、最后一個(gè)之外得3個(gè)位置，共有C3第二步：將剩余得4個(gè)節(jié)目全排列，共有A4所以共有C3故選：A6.B

【解析】由已知可得x+2x6令6?2r=2，解得r=2，所以T3=C故選：B．7.D

【解析】設(shè)事件A為當(dāng)天下雨，事件B為當(dāng)天刮風(fēng)，則PB=2則已知刮風(fēng)的條件下，也下雨的概率PA故選：D．8.C

【解析】A選項(xiàng)，因0.839>0，則y與x正相關(guān)，但相關(guān)系數(shù)不是0.839，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，回歸方程過(guò)定點(diǎn)(x,yC選項(xiàng)，由回歸方程可知x每增大一個(gè)單位，y增大0.839個(gè)單位，故C正確；D選項(xiàng)，回歸方程得到的y為預(yù)測(cè)值，不一定滿足實(shí)際情況，故D錯(cuò)誤．故選：C9.D

【解析】A選項(xiàng)：由已知p1+p2+B選項(xiàng)：當(dāng)p1=p2=C選項(xiàng)：由pn=12nD選項(xiàng)：由pn=1n(n+1)=1n故選：D．10.B

【解析】將數(shù)列分組，使每組第一項(xiàng)均為1，即：第一組：2第二組：2第三組：2……第k組：2根據(jù)等比例數(shù)列前n項(xiàng)公式，得每組和分別為：21每組含有的項(xiàng)數(shù)分別為N=1+2+3+?+k+k所以S若Sn=2將選項(xiàng)A代入，若n=16，則k=5，即S16為前5組與第6組的第1此時(shí)S16=2同理若n=95，則k=13，此時(shí)S95=2同理若n=189，則k=18，此時(shí)S189=S同理若n=330，則k=25，此時(shí)S330=2綜上可知，n=95，故選：B11.14【解析】由f(x)=x可得∴f′(4)=1故答案為：112.1；?8

【解析】由題意知，令x=0可得0?14=a由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)可得，C43xC41x即a1故答案為：1,?813.20；0.3/3【解析】由題意知，說(shuō)明答對(duì)10道題，答錯(cuò)10道題，又答對(duì)得5分，答錯(cuò)得?3分，所以最后得分Y=5X?320?X即當(dāng)X=10時(shí)，Y=20;若Y≥60，即8X?60≥60，可得X≥15，∴P(Y≥60)=P(X≥15)=1?P(X<15)=0.7，∴P(X<15)=0.3，故答案為：20；0.314.λ=52(答案不唯一，λ∈(2,3)【解析】由an=?n又{an}即?n+1整理得?2n?1+λ<0恒成立，即λ<2n+1∴λ<3，又因?yàn)棣?gt;2，所以2<λ<3，即λ取值范圍為λ∈(2,3)，故答案為：λ=52(答案不唯一，15.②③④

【解析】對(duì)于①，當(dāng)a=0時(shí)，fx對(duì)于②，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)=?x2?ax?1,x≤0在(?∞,?函數(shù)f(x)在x=?a2處取得極大值，因此對(duì)任意a>0，f(x)存在極值，對(duì)于③，當(dāng)a>2時(shí)，?x∈(?∞,0],?當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)=1x?(a?2)，由f′(x)>0，得0<x<1a?2即函數(shù)f(x)在(0,1a?2)上單調(diào)遞增，在(因此x∈R，f(x)max=對(duì)于④，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(?∞,0]上單調(diào)遞增，f(x)≤f(0)=?1，在?∞,0上無(wú)零點(diǎn)，f(x)=lnx?(a?2)x+1在(0,+∞)上單調(diào)遞增，f(ea?3)=a?3+(2?a)ea?3當(dāng)0<a<2時(shí)，f(?a2)=a24?1<0當(dāng)a=2時(shí)，f(?a2)=a24?1=0，f(x)=當(dāng)2<a<3時(shí)，f(?a2)=a2當(dāng)x>0時(shí)，f(1a?2)=當(dāng)x趨近于正無(wú)窮大時(shí)，f(x)趨近于負(fù)無(wú)窮大，即f(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)，n=4；當(dāng)a=3時(shí)，f(?a2)=a24?1>0，f(x)當(dāng)a>3時(shí)，f(?a2)=a24?1>0，f(x)因此n的取值構(gòu)成的集合是{1,2,3,4}，④正確，所以所有正確結(jié)論的序號(hào)是②③④．故答案為：②③④【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)．16.(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，a2所以a因?yàn)閍1=所以q3=27，即等比數(shù)列bn所以b1=b所以bn(2)由(Ⅰ)知，an=2n?1，因此c從而數(shù)列cn的前nS=n【解析】(1)由an是等差數(shù)列求出an=2n?1(2)找出cn17.(1)f′(x)=?3x2令f′x=0，得x=?1或f′x，f(x)x(?∞,?1)?1(?1,3)3(3,+∞)f′?0+0?f遞減a遞增27+a遞減所以x=?1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)；x=3是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)．(2)因?yàn)閒(x)的極小值為?10，即f(?1)=1+3?9+a=?10解得a=?5，又f(?2)=?3，

f(2)=17．所以當(dāng)x=2時(shí)，f(x)取得最大值17．【解析】(1)先求導(dǎo)函數(shù)再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)得出函數(shù)的極值；(2)先根據(jù)極小值求出a，再根據(jù)極值及邊界值求最大值即可．18.(1)設(shè)第一次摸到白球的事件為A，則P(A)=35，即第一次摸到白球的概率為(2)設(shè)第二次摸到白球的事件為B，則P(B)=P(BA+B=35×(3)設(shè)兩次摸到的小球顏色不同的事件為C，則C=AP(C)=P(A=35×【解析】(1)由古典概型計(jì)算可得結(jié)果；(2)由全概率公式計(jì)算可得；(3)根據(jù)條件概率公式計(jì)算可得．19.(1)設(shè)從該地區(qū)的大學(xué)生隨機(jī)抽取1人，此人選擇“視頻創(chuàng)作”的事件為A，則P(A)=(2)因?yàn)槌槿〉?人中喜歡“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為6×40所以X的所有可能取值為0,1,2，PX=0=C所以X的分布列為：X012P28115EX(或X～B(N,n,M),則E(3)由(2)可得D(X)=0?由頻率估計(jì)概率可得地區(qū)的大學(xué)生中最喜歡“視頻創(chuàng)作”的概率為13，因此Y～B可得D(Y)=2×1因此D(Y)>D(X)．【解析】(1)有古典概型計(jì)算可得結(jié)果；(2)利用抽樣比可確定6人中有2人最喜歡“視頻創(chuàng)作”，求得X的所有可能取值及其對(duì)應(yīng)概率可得分布列和期望值(或利用超幾何分布計(jì)算可得結(jié)果)；(3)由(2)可得D(X)，由頻率估計(jì)概率可得地區(qū)的大學(xué)生中最喜歡“視頻創(chuàng)作”的概率為13，因此Y～B2,120.(1)由fx=x?2所以當(dāng)a=0時(shí)，有f0=0?2故曲線y=fx在x=0處的切線經(jīng)過(guò)0,?2，且斜率為?1，所以其方程為y=?x?2，即x+y+2=0(2)當(dāng)0<a<e時(shí)，對(duì)x∈?∞,lna∪1,+∞有f′x=x?1ex?a>0，對(duì)當(dāng)a=e時(shí)，對(duì)x∈?∞,1∪1,+∞有f′x=當(dāng)a>e時(shí)，對(duì)x∈?∞,1∪lna,+∞有f′x=x?1ex?a>0，對(duì)x∈綜上，當(dāng)0<a<e時(shí)，fx在?∞,lna和1,+∞當(dāng)a=e時(shí)，fx在?∞,+∞當(dāng)a>e時(shí)，fx在?∞,1和lna,+∞上遞減，在(3)我們有fx當(dāng)a≤e2時(shí)，由于lna≤2，1<2，故根據(jù)(2)的結(jié)果知f故對(duì)任意的x∈2,+∞，都有f當(dāng)a>e2時(shí)，由于lna>2所以原結(jié)論對(duì)x=ln綜上，a的取值范圍是?∞,e【解析】(1)直接計(jì)算導(dǎo)數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)的定義即可；(2)對(duì)a分情況判斷f′x的正負(fù)，即可得到f