2025版新教材高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)特訓(xùn)卷考點(diǎn)練48三角函數(shù)的最值

考點(diǎn)練48三角函數(shù)的最值1．[2024·江西萍鄉(xiāng)模擬]設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,4))在區(qū)間[a，a＋eq\f(π,3)]上的最大值為M，最小值為m，則M－m的最小值為()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(1,2)C．1－eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(2)－1,2)2．設(shè)函數(shù)f(x)＝|sinx|＋cos2x，x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，則函數(shù)f(x)的最小值是()A．－1B．0C．eq\f(1,2)D．eq\f(9,8)3．[2024·福建泉州模擬]已知函數(shù)f(x)＝coseq\f(x,2)(4sineq\f(x,2)＋coseq\f(x,2))，當(dāng)x＝β時(shí)，f(x)取得最大值，則cosβ＝()A．eq\f(\r(17),17)B．eq\f(4\r(17),17)C．eq\f(4,7)D．eq\f(1,7)4．(多選)將函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋eq\f(2π,3))－1向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y＝g(x)，若函數(shù)y＝g(x)在[－eq\f(π,4)，m]上的值域?yàn)閇－2，1]，則實(shí)數(shù)m的取值可以是()A．eq\f(π,24)B．eq\f(π,12)C．eq\f(π,6)D．eq\f(π,3)5.[2024·山西太原模擬]已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx－eq\f(π,6))＋k(ω>0)的最小正周期為T，若π<T<2π，且當(dāng)x＝eq\f(5π,4)時(shí)，f(x)取得最小值1，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝________．6．已知函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2，則f(x)的最大值為________．考點(diǎn)練48三角函數(shù)的最值1．答案：B解析：x∈[a，a＋eq\f(π,3)]時(shí)，2x＋eq\f(π,4)∈[2a＋eq\f(π,4)，2a＋eq\f(π,4)＋eq\f(2π,3)]，令2x＋eq\f(π,4)＝t，2a＋eq\f(π,4)＝h，則問題轉(zhuǎn)化為g（t）＝sint在[h，h＋eq\f(2π,3)]上的最大值是M，最小值是m，由正弦函數(shù)性質(zhì)，g（t）＝sint的周期是2π，要使得M－m最小，則g（t）的最大值或最小值點(diǎn)是區(qū)間[h，h＋eq\f(2π,3)]的中點(diǎn)，由周期性，不妨取h＋h＋eq\f(2π,3)＝π或h＋h＋eq\f(2π,3)＝3π，h＝eq\f(π,6)，或h＝eq\f(7π,6)，h＝eq\f(π,6)時(shí)，M＝1，m＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，M－m＝eq\f(1,2)，h＝eq\f(7π,6)時(shí)，m＝－1，M＝sineq\f(7π,6)＝－eq\f(1,2)，M－m＝eq\f(1,2).故選B.2．答案：B解析：依題意函數(shù)f（x）＝|sinx|＋cos2x，x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，f（－x）＝|sin（－x）|＋cos（－2x）＝|sinx|＋cos2x＝f（x），所以f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．當(dāng)0≤x≤eq\f(π,2)時(shí)，f（x）＝sinx＋cos2x＝－2sin2x＋sinx＋1，令t＝sinx∈[0，1]，y＝－2t2＋t＋1，開口向下，對(duì)稱軸為t＝eq\f(1,4)，所以當(dāng)t＝1時(shí)，y＝－2t2＋t＋1取得最小值為0，即sinx＝1，x＝eq\f(π,2)時(shí)，f（x）取得最小值為0，依據(jù)對(duì)稱性可知，在區(qū)間[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上，f（x）的最小值為0.故選B.3．答案：A解析：f（x）＝coseq\f(x,2)（4sineq\f(x,2)＋coseq\f(x,2)）＝4sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝2sinx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(1,2)，故f（x）＝eq\f(\r(17),2)（eq\f(4,\r(17))sinx＋eq\f(1,\r(17))cosx）＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(17),2)sin（x＋φ）＋eq\f(1,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中cosφ＝\f(4,\r(17))，sinφ＝\f(1,\r(17))))，當(dāng)x＝β時(shí)，f（x）取得最大值，此時(shí)β＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ（k∈Z），得到β＝eq\f(π,2)－φ＋2kπ（k∈Z），cosβ＝sinφ＝eq\f(\r(17),17).故選A.4．答案：BCD解析：由題意得：g（x）＝f（x－eq\f(π,6)）＝2sin（2x＋eq\f(π,3)）－1；當(dāng)x∈[－eq\f(π,4)，m]時(shí)，2x＋eq\f(π,3)∈[－eq\f(π,6)，2m＋eq\f(π,3)]，∵g（x）∈[－2，1]，∴sin（2x＋eq\f(π,3)）∈[－eq\f(1,2)，1]，∴eq\f(π,2)≤2m＋eq\f(π,3)≤eq\f(7π,6)，解得：eq\f(π,12)≤m≤eq\f(5π,12)，∴實(shí)數(shù)m的取值可以是eq\f(π,12)，eq\f(π,6)，eq\f(π,3).故選BCD.5．答案：eq\f(5,2)解析：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝sin（ωx－eq\f(π,6)）＋k（ω>0）的最小正周期為T，若π<T<2π，所以π<eq\f(2π,ω)<2π，解得1<ω<2，因?yàn)閤＝eq\f(5π,4)時(shí)，f（x）取得最小值1，所以eq\f(5π,4)ω－eq\f(π,6)＝－eq\f(π,2)＋2nπ，n∈Z，k－1＝1，所以ω＝－eq\f(4,15)＋eq\f(8,5)n，n∈Z，k＝2，因?yàn)?<ω<2，所以n＝1，ω＝eq\f(4,3)，即f（x）＝sin（eq\f(4,3)x－eq\f(π,6)）＋2，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝sin（eq\f(4,3)×eq\f(π,4)－eq\f(π,6)）＋2＝eq\f(5,2).6．答案：3＋eq\r(2)解析：設(shè)t＝sinx＋cosx，則sinxcosx＝eq\f(（sinx＋cosx）2－1,2)＝eq\f(t2－1,2)，t＝sinx＋cosx＝eq\r(2)（eq\f(\r(2),2)sinx＋eq\f(\r(2),2)cosx）＝eq\r(2)sin