高中數(shù)學集合考試題型大全,共17種題型(數(shù)學浪子制作)

集合重點考試題型大全 目錄集合基本知識點 2題型一：元素的互異性 4題型二：含參方程的解集 5題型三：二次方程解集個數(shù)問題 6題型四：根據(jù)要求確定集合元素 8題型五：已知包含關(guān)系求參數(shù)值 9題型六：一次不等式解集間的關(guān)系 11題型七：二次方程解集相等的條件 12題型八：二次方程解集間的包含關(guān)系 13題型九：二次方程解集間的包含關(guān)系 14題型十：集合相等 16題型十一：二次不等式的交集 17題型十二：已知交并補集結(jié)果求參數(shù)值 18題型十三：已知交、并補集結(jié)果求參數(shù)范圍 20題型十四：集合的混合運算 22題型十五：集合之間的關(guān)系 24題型十六：點集運算問題 25題型十七：用Venn圖計算集合 27 集合基本知識點一、集合的含義與表示1．集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．2．元素與集合的關(guān)系3．常用數(shù)集及其表示符號：4．集合常用的表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法．二、集合間的基本關(guān)系1．集合間的基本關(guān)系2．空集的定義及性質(zhì)（1）我們把不含有任何元素的集合叫做空集，記做（2）空集是任何集合的子集，（3）空集是任何非空集合的真子集，3．子集的個數(shù)A為有限集合，，則：（1）A的子集個數(shù)是（2）A的真子集個數(shù)是（3）A的非空子集個數(shù)是（4）A的非空真子集個數(shù)是三、集合的運算題型一：元素的互異性例，求m的值．解析：，分兩種情況討論：①，解得，此時，違反了集合元素的互異性，舍去；②，解得（舍去）或，時，，符合條件；綜上．變式,求m的值．解析：，需分三種情況討論：①，解得，此時，違反了集合元素的互異性，舍去；②，解得，此時，符合條件，即成立；③，解得，此時，符合條件，即成立；綜上．總結(jié)：按要求算出字母的值，一定要帶回原集合驗證是否滿足互異性．練習1已知集合，則a的值為_______．解析：，∴；當時，，此時，違反了的互異性，不合題意；當時，，不合題意舍去，時，，符合題意．綜上．答案：練習2已知集合，則實數(shù)a的值為________．解析：，則，分三種情況討論：①當時，，，違反互異性，舍去；②當時,時，，符合條件；時，，不符合條件，舍去；③當時，，根據(jù)之前計算，舍去；綜上答案：0題型二：含參方程的解集例分別求，，的解集．解析：第一個方程解集為；第二個方程有兩個相等的實根3，根據(jù)互異性，它的解集為；第三個方程，由于m的值不確定，考慮到互異性的特殊情況，需分情況討論：時，有重根，解集為；時，沒有重根，解集為．變式方程的解集，元素總和恰好為3，求m．解析：①時，有重根，解集為，符號條件，∴時成立；②時，沒有重根，解集為，令，解得，成立；綜上．總結(jié)：對于含有參數(shù)的方程，因為集合互異性的存在，需對方程中的參數(shù)做討論，通常為有重根和沒有重根兩種情況。練習1方程的解集，元素總和恰好為3，求m．解析：需討論有重根和無重根的情況：①時，有重根，解集為，符合條件，∴成立；②時，有重根，解集為，符合條件，∴成立；③時，無重根，解集為，令，解得符合條件；綜上或．練習2若集合中所有元素的和為1，則實數(shù)a的值是（）A．0B．1C．0或1D．解析：A集合中元素可能是a和1；根據(jù)元素和為1，當A中沒有重根時，，集合為，符合要求；當A中有重根時，，集合為，符合要求；綜上，a為0或1．答案：C題型三：二次方程解集個數(shù)問題例集合中有兩個元素，求a的范圍．解析：集合中有兩個元素，說明方程有兩個不相等的實數(shù)根，需同時滿足兩個條件：①保證方程式二次方程，即；②二次方程有兩個不相等的根，即，解得；綜上且．變式1集合中有一個元素，求a的范圍．解析：集合中只有一個元素，說明方程的解只有一個，a為二次項的系數(shù)，所以首先要對a進行討論，確定函數(shù)的性質(zhì)，分為兩種情況：①時，方程變?yōu)橐淮畏匠?，有且只有一個解，∴符合題意；②時，方程變?yōu)槎畏匠?，只有一解，則需滿足，解得符合題意；綜上或．變式2集合中有沒有元素，求a的范圍．解析：集合中沒有元素，即為空集，方程無根，a為二次項的系數(shù)，所以首先要對a進行討論，確定函數(shù)的性質(zhì)，分為兩種情況：①時，方程變?yōu)橐淮畏匠?，有且只有一個解，不符合題意，舍去；②時，方程變?yōu)槎畏匠?，無解，則需滿足，解得符合題意；綜上．總結(jié)：解決二次方程集合解集個數(shù)問題兩個元素兩根同時成立一個元素一根兩種情況分開討論沒有元素無解兩種情況分開討論練習1若集合其中只有一個元素，則a=（）A．4B．2C．0D．0或4解析：①當時，方程為無解，此時A為空集，不符合題意；②當時，，解得（舍去）和；綜上符合題意．答案：A練習2若集合中有且只有一個元素，則a的取值集合是（）A．B． C． D．解析：①當時，方程只有一個解，符合題意；②當時，，解得，符合題意；綜上．答案：D練習3若集合有且僅有兩個子集，則a=________．解析：因為A的子集只有兩個，所以A中只有一個元素．①當時，方程只有一個解，符合題意；②當時，，解得，符合題意；綜上．答案：題型四：根據(jù)要求確定集合元素例集合，，那么M的元素有幾個？解析：把所有可能的情況列舉出來：共6個結(jié)果，根據(jù)集合元素的互異性，重復(fù)結(jié)果只保留一個，∴，共4個元素．變式設(shè)集合，，則C中元素的個數(shù)為（）A．3B．4C．5D．6解析：根據(jù)題意，的值所有情況為：，，，，，．根據(jù)互異性，集合中的元素只有：1，2，3，4，共4個．答案：B總結(jié)：計算完成后一定要記得檢驗互異性，相同的結(jié)果只能記入一次．練習1已知集合，，則B中所含元素的個數(shù)為（）A．3B．6C．8D．10解析：根據(jù)題意，的值所有情況為：當時，y分別取1，2，3，4，成立；當時，y分別取1，2，3，成立；當時，y分別取1，2，成立；當時，y取1，成立；綜上可知，B中元素個數(shù)為10個．答案：D練習2已知集合，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．解析：，則帶入不等式不成立，有兩種情況：①時，分式無意義，即分母，，則；②時，，即，解得；綜上．答案：A練習3已知集合，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．解析：由題意可知帶入不等式成立，帶入不等式不成立，則：解得：答案：D題型五：已知包含關(guān)系求參數(shù)值例1，求m的值．解析：由包含關(guān)系，中所有的元素都在中，對比兩個集合中的元素，可知．變式1，求m的值．解析：由包含關(guān)系，中元素都在中，對比兩個集合中的元素，需分情況討論：①時，解得，此時變?yōu)榛?，前者違反了集合元素的互異性，舍去，∴符合題意；②時，解得或，此時變?yōu)榛?，變?yōu)榛?，均符合題意；綜上或．總結(jié)：按要求算出字母的值，一定要帶回原集合驗證是否滿足互異性．互異性！互異性！！互異性?。?！三遍！??！例2，求m的值．解析：，，，則：①，得；②，得；綜上或．變式2，求m的值．解析：，，，則：①時，成立；②時，成立；③時，成立；綜上或．總結(jié)：當一次項或者二次項系數(shù)不確定時，應(yīng)首先討論系數(shù)為0時是否符合題意．練習1已知集合，，若,則x=（）A．0B．C．D．解析：，所以或，解得；時，，違反了集合的互異性，舍去．時符合題意．答案：C練習2已知集合，，若，則實數(shù)a的所有可能取值的集合為（）A．B．C．D．解析：，B是A的子集，B可能的情況為；當時，；當時，分別等于和1，．綜上a所有可能取值集合為．答案：D題型六：一次不等式解集間的關(guān)系例已知集合，集合，且，求m的取值范圍．解析：畫出數(shù)軸，根據(jù)條件可得．變式1已知集合，集合，且，求m的取值范圍．解析：根據(jù)題意畫出數(shù)軸，可知，解得．變式2已知集合，集合，且，求m的取值范圍．解析：由題意，可知B是A的子集，分兩種情況討論：①，令，解得，成立；·②，即時，由數(shù)軸可知，與無交集，所以無解；綜上：．總結(jié)：畫數(shù)軸分析是解決問題的好辦法，不等式中x居于中間未必能取到數(shù)，忽略空集是常見的錯誤。練習1設(shè)集合，，若，則a的取值范圍為_______．解析：畫出數(shù)軸，根據(jù)包含關(guān)系，可知．答案：練習2已知集合，，若，實數(shù)m的取值范圍是（）A．B．C．D．解析：分兩種情況討論：①時，成立，此時，解得；②時，即時，要使成立，畫出數(shù)軸可知應(yīng)滿足，解得，又，∴綜合①②，．答案：題型七：二次方程解集相等的條件例集合，，若，求a．解析：兩集合相等，說明兩二次方程解相等，方程的根一樣，可以用系數(shù)相等來求解：令解得．變式1集合，，若，求a．解析：兩集合相等，說明兩二次方程解相等，方程的根一樣，可以用系數(shù)相等來求解：首先B中的兩邊同除以2得到，保證兩個方程二次項系數(shù)相等，再令保證一次項和常數(shù)項相等，解得．變式2集合，，若，求a．解析：A中方程，即，若，則，即B中方程，解得．總結(jié)：二次方程解集相等時，先看方程是否有解，有解時，令對應(yīng)系數(shù)相等求解；無解時，令．練習已知集合，，若，則______．解析：，則兩個方程對應(yīng)系數(shù)相等，即，解得，所以34．答案：34題型八：二次方程解集間的包含關(guān)系例集合，，若，求a．解析：，，則B的可能集合為，，；①時，，解得；②B中只有一個元素時，方程，解得，分別代入B中方程，，可得時滿足題意．綜上：變式1設(shè)，，若，則實數(shù)a的取值范圍是_______．解析：，即B是A的子集，共有四種可能的情況；①當時，方程無根，即，解得；②當時，方程有兩個相等的實根0，由韋達定理；③當時，方程有兩個相等的實根，由韋達定理；④當時，方程有兩個不相等的實根0和,；綜上．答案：變式2設(shè)集合，，若，則實數(shù)a=_______．解析：，，，則，∴．答案：2或3總結(jié)：處理二次方程解集包含關(guān)系，容易遺漏空集情況，要形成條件反射，把空集放在第一位來討論，至于求子集對應(yīng)的字母或系數(shù)，上面一共列出了三種方法，分別是帶入法、韋達定理法、以及因式分解法，根據(jù)不同的題目選擇合適的方法可提高解題速度，這里面的奧妙就是多加練習．練習設(shè)集合，集合，其中，如果，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．解析：，，則B可能的情況為；①當時，方程無根，即，解得；②當時，方程有兩個相等的實根0，由韋達定理；③當時，方程有兩個相等的實根，由韋達定理；④當時，方程有兩個不相等的實根0和,；綜上．答案：C題型九：二次方程解集間的包含關(guān)系例集合，，若，求k范圍．解析：,，分兩種情況討論：①，即，得符合條件；②，即時，B的解集在之間，令，對稱軸在之內(nèi)，只需滿足解得，又前提，∴；綜上．總結(jié)：披著羊皮的狼！名為考察不等式集合，實質(zhì)是對二次函數(shù)性質(zhì)的深入挖掘，屬于集合中的較高難度題型，結(jié)合圖像掌握二次方程根的分布策略是解題的關(guān)鍵．練習1已知集合，集合，若，則集合A與實數(shù)k的取值范圍分別是（）A．B． C．D．解析：；①當時，成立，此時滿足，解得；②當時，B中方程的兩根應(yīng)均在內(nèi)，設(shè)，則，解得；綜上．答案：D練習2已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．解析：①當時，成立，此時滿足，解得；②當時，B中方程的兩根應(yīng)均在內(nèi)，設(shè)，它的圖像是一條開口向上的拋物線，結(jié)合二次函數(shù)圖像，得，解得；綜上．答案：A題型十：集合相等例集合，，求a和b的值．解析：兩集合相等，說明集合中對應(yīng)元素相同，經(jīng)分析，若，則無意義，∴只能，則，集合變?yōu)?，令，得，時違反集合元素的互異性，舍去，∴，綜上，．總結(jié)：解決此類問題時，首先要有敏銳的觀察力找到集合中可能相等元素，其次注意分式情況，分母不為0可以省去一支的討論，縮短判斷和解題的時間，最后就是一定要驗證集合的互異性．練習1設(shè)，集合，則（）A．1B．C．2D．解析：由條件，且，可知，即，∴，自然，，則．答案：C練習2已知集合，，若，則a,b的值分為別（）A．B．C．D．解析，由題意可知①或②；由①解得或（不滿足集合元素的互異性，舍去）；由②解得；綜上．答案：D練習3已知集合，且下列三個關(guān)系：；；有且只有一個正確，則等于_______．解析：當時，都不滿足條件；當時，都不滿足條件；當時，不滿足條件，滿足條件；綜上知帶入．答案：201題型十一：二次不等式的交集例集合，，求．解析：，由題意畫出數(shù)軸，．總結(jié)：主要考察二次不等式解集的求法，結(jié)合集合的知識點出題，比較基礎(chǔ)．練習1集合，，求．解析：，由題意畫出數(shù)軸，．練習2已知集合，集合B為整數(shù)集，則=（）A．B．C．D．解析：，B為整數(shù)集，則．答案：D題型十二：已知交并補集結(jié)果求參數(shù)值例1已知，，，求實數(shù)a．解析：由題意可知是3個9當中的兩個，很明顯．變式已知，，，求的值．解析：差1，,差3，比對并集中的數(shù)字，可知，符合題意，解得．例2，，，求a的取值．解析：由條件可知B中含有元素3，則．變式，，，求a的取值．解析：由條件知5是兩個集合的公共元素，所以，解得；時，符合題意；時，，違反了集合元素的互異性，舍去；綜上．例3設(shè)，，若，那p=________．解析：由題意可知，設(shè)兩根為，令，則．變式不等式解集為Q，，若，那a=________．解析：，時恒成立，此時，不符合條件舍去，時，，根據(jù)題意畫出數(shù)軸，可得，解得．總結(jié)：由交并補集的結(jié)果以及相應(yīng)的運算性質(zhì)去推導(dǎo)原來兩個集合中的元素值，比較簡單的題目可以直接觀察出來，比較麻煩的題目需要多做幾次嘗試，但一定要注意元素的互異性．練習1已知集合，，且，求m，n的值．解析：，則兩個方程的根只能從這三個數(shù)中取，設(shè)A中方程兩根為，設(shè)B中方程兩根為，根據(jù)韋達定理，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系，可知，即，分別代入一個根到原方程，解得．練習2設(shè)集合，，，則實數(shù)a=_______．解析：由知，在B中，則：①時，，此時，不滿足元素的互異性，舍去；②時，，此時，，符合條件；綜上．答案：練習3設(shè)，，若，則實數(shù)m=_______．解析：由題意可知，即0，3是方程的兩個根，∴，解得．答案：題型十三：已知交、并補集結(jié)果求參數(shù)范圍例1已知集合，，且，求m的取值范圍．解析：根據(jù)條件畫出數(shù)軸，可知m需在2的右側(cè)，即．變式1已知集合，，，求a的取值范圍．解析：由題目條件，畫出數(shù)軸，可知a應(yīng)在2和6中間，研究端點處的取值，如果，則A與B集合均取不到2，不符合題意，∴，如果，則符合題意，綜上．變式2已知集合，，若，求a的取值范圍．解析：，根據(jù)題意畫出數(shù)軸，欲使，則A集合需把B集合取不到的中間區(qū)域覆蓋，則在左側(cè)，在3右側(cè)；再討論端點處，時，兩集合都取不到，∴，即，時，A集合可取到3，符合條件，∴，即；綜上．例2已知集合，，若，求a的取值范圍．解析：由條件，畫出數(shù)軸，可知a在7的右側(cè)，則．變式1已知集合，，若，求a的取值范圍．解析：由題意，畫出數(shù)軸，可知要滿足，即可．變式2已知集合，，若，求a的取值范圍．解析由題意知，兩個集合沒有交集，可分兩種情況討論：①，令，解得，滿足條件；②，此時，要使，畫出數(shù)軸，可知B整體在A的左側(cè)或者右側(cè)；在左側(cè)時，，解得，又，得；在右側(cè)時，，又，得；綜上或．總結(jié)：根據(jù)不同的情況靈活處理，核心思想是畫數(shù)軸，通過嘗試來滿足題目的要求．關(guān)鍵點有兩個：第一是端點處的討論，能不能取到一定要仔細看好；第二是交集為空集的情況，有可能其中一個集合本身可知制造為空集．練習1設(shè)常數(shù)，集合，，若，則a的取值范圍為（）A．B．C．D．解析：A中不等式的解集不確定，需要對a進行討論；①時，恒成立，此時，，∴成立，；②時，，要滿足，則，即，結(jié)合前提可得；③時，,要滿足，則應(yīng)滿足，是恒成立的，所以可得符合條件．綜上．答案：B練習2已知，，若，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．解析：分兩種情況討論：①，即時，，此時符合題意；②，此時，要，通過數(shù)軸可知需滿足，解得，綜上或．答案：D題型十四：集合的混合運算例1，，，求．解析：，則變式，，，求．解法一：，，則．解法二：，．例2已知集合，集合，其中，求a的值．解析：，A集合有解，所以令兩集合中方程系數(shù)相等，得．變式1已知集合，集合，其中且，求a的值．解析：，，且滿足，∴令B中方程，解得．變式2已知集合，集合，其中，求a的值．解析：，，根據(jù)題意畫出數(shù)軸，可得，解得．總結(jié)：關(guān)于集合的混合運算，只需要按部就班的求交并補集即可，對于能用快速公式簡化計算的，可以用一下和這兩個公式．由混合運算的結(jié)果分析，可以得到原始兩個集合的關(guān)系，例如：練習1已知集合A、B，全集，且，，則（）A．B．C．D．解析：由，可知，，則或或或，，則．答案：A練習2已知，，若，且，則m的取值范圍是（）A．B．C．D．解析：，，又，B在A中但它們的交集為空集，只有這一種情況；所以當時，此時應(yīng)滿足且，解得．答案：A練習3已知集合，，若，且，則m的取值范圍是（）A．B．C．D．解析：，又，B在A中但它們的交集為空集，只有這一種情況；當時，應(yīng)滿足，即．答案：A題型十五：集合之間的關(guān)系例1已知集合，，，求x．解析：，分兩種情況討論：①時，，此時違反集合中元素的互異性，舍去；②時，，時，，符合題意；綜上：．例2，，則M和N的關(guān)系是（）A．B．C．D．解析：N中元素都在M中，則滿足，C選項符合條件．答案：C例3，，A．B．C．D．解析：，畫出數(shù)軸看一下關(guān)系，可知D正確．答案：D例4，，A、B的關(guān)系？解析：B中，A中，，都是平方加2的形式，則比a多取到一個0，由此可知B集合比A多一個元素，其余的都相同，則．總結(jié)：通過集合的相關(guān)性質(zhì)，把題目中的條件轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，屬于簡單題型．判斷集合之間的關(guān)系，從列舉、不等式以及表達式三個方面來看，列舉主要通過觀察元素來確定關(guān)系，不等式可以借助數(shù)軸來觀察，表達式需要一定的化簡基礎(chǔ)，盡量兩個式子變成同樣的構(gòu)造．練習1若集合，，滿足，則實數(shù)a組成的集合為_______．解析：由可知，，B中方程至多有1解，∴；當時，；當時，；當時，；故a的取值為．答案：練習2若，，且，則實數(shù)m=_______．解析：可知，，B中方程至多有1解，∴且；當時，解得；當時，解得；綜上．答案：練習3已知集合，，則（）A．B．C．D．解析：，由集合關(guān)系可判斷出，故B正確．答案：B題型十六：點集運算問題例1，，求．解析：兩個集合中的元素均為對應(yīng)函數(shù)上的點，所以兩個集合的交集變?yōu)閮蓚€函數(shù)的交點問題，解方程組可得例2，，求．解析：A集合是函數(shù)上所有點的集合，B集合是上所有點的集合，B集合可變形為，即B中取不到點，其余與A一樣，則．總結(jié)：點集的交集即為函數(shù)的交點，注意數(shù)集和點集的區(qū)分，如．在處理點集問題時，一定要小心函數(shù)解析式相同但定義域不同的情況，尤其是分式存在的情況，分母不為0這個小學生都明白的道理現(xiàn)在可不能翻車．練習1設(shè)集合，，則=______．解析：．答案：練習2設(shè)，，則A、B兩個集合的關(guān)系是（）A．B．C．D．以上都不對解析：滿足的條件為，解得，∴，A是點集，B是數(shù)集，它們之間不存在相互包含關(guān)系，所以選D．答案：D練習3，，求．解析：A集合是函數(shù)