函數(shù)概念的綜合應(yīng)用（教學(xué)設(shè)計(jì)） (人教A版2019 必修第一冊(cè))

《3.1.1函數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)

第2課時(shí)

■教材繾

本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》人教A版(2019)第三章《函數(shù)的概

念與性質(zhì)》的第一節(jié)《函數(shù)的概念及其表示》(第二課時(shí))。

教材通過(guò)具體的例子介紹了區(qū)間的概念，通過(guò)同一函數(shù)的概念加深學(xué)生對(duì)函數(shù)的理

解，會(huì)求函數(shù)的定義域、值域.

借助第一課時(shí)的理論依據(jù)得到同一函數(shù)的概念，通過(guò)例子讓學(xué)生掌握函數(shù)定義域，

函數(shù)值的求法，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

情

學(xué)生在第一課時(shí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)函數(shù)的概念，并對(duì)函數(shù)的概念有了深刻的理解。在此基

礎(chǔ)上讓學(xué)生理解函數(shù)的三要素、判斷兩個(gè)函數(shù)相等，求函數(shù)的定義域及值域相對(duì)好理解，但

是抽象函數(shù)的定義域?qū)W(xué)生是一個(gè)考驗(yàn)。

習(xí)目

1.理解區(qū)間的概念，并會(huì)用區(qū)間表示集合。

2.函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則及值域。

3.掌握判定函數(shù)和函數(shù)相等的方法。

4.學(xué)會(huì)求函數(shù)的定義域與函數(shù)值。

,四、教學(xué)重又/

重點(diǎn)：理解函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則及值域，會(huì)求函數(shù)的定義域與函數(shù)值，在

此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。

難點(diǎn)：進(jìn)一步理解函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系/體會(huì)函數(shù)相等的概念。

五、教學(xué)過(guò)程

（一）新知導(dǎo)入

1.創(chuàng)設(shè)情境，生成問(wèn)題

設(shè)計(jì)運(yùn)行時(shí)速高達(dá)350公里的京津城際列車呈現(xiàn)出超越世界的

“中國(guó)速度”，使得新時(shí)速旅客列車的運(yùn)行速度值界定在200公里/時(shí)與350

公里/時(shí)之間.

【想一想】1.如何表示列車的運(yùn)行速度的范圍？

【提示】我們已學(xué)習(xí)不等式、集合知識(shí)，所以用不等式可表示為200＜。＜350,

用集合可表示為{研200＜。＜350}.

2.還可以用其他形式表示列車的運(yùn)行速度的范圍嗎？

【提示】還可以用區(qū)間表示為（200,350）,這是表示范圍的另一種方法.

2.探索交流，解決問(wèn)題

【問(wèn)題1】燃放煙火市元宵佳節(jié)的傳統(tǒng)風(fēng)俗，此起彼伏的煙花在天空中綻

放，絢麗多姿，爭(zhēng)奇斗艷，蔚為壯觀.你聽，煙火嗖嗖向空中竄去,

在空中砰砰炸開；你看，五顏六色的煙花綻放了，美極了.已知

①煙花炸開的時(shí)間是10到26秒;

②煙花炸開的高度是30到40米之間。

③

【思考1】（1）煙花炸開的時(shí)間和炸開的高度都是一個(gè)大致范圍，我們能否有其他的表示

方法呢？

(2)區(qū)間能表示單獨(dú)的實(shí)數(shù)嗎？

(3)區(qū)間表示實(shí)數(shù)有什么要求嗎?

【提示】(1)可以用區(qū)間來(lái)表示。

(2)不能。

(3)實(shí)數(shù)必須連續(xù)。

【設(shè)計(jì)意圖】

通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生理解區(qū)間的概念。讓學(xué)生自己總結(jié)用區(qū)間表示范圍的條件，使學(xué)生在看

到符號(hào)時(shí)就能夠聯(lián)想起符號(hào)所代表的本質(zhì)特征，從而可以提高學(xué)生的抽象能力、概括能力。

(二)區(qū)間的概念

L區(qū)間：設(shè)。，匕是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a<b,我們規(guī)定

定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示

閉區(qū)間[a,b]abx

{x\a<x<b}開區(qū)間(a,b)aix

{x|aWxVb}半開半閉區(qū)間[a,b)aix

{xlaVxW)}半開半閉區(qū)間(a,b]abx

2.對(duì)概念的深度剖析:

(1)區(qū)間只能表示連續(xù)的實(shí)數(shù).如{3}不能用區(qū)間表示.

(2)其他區(qū)間的表示方法。

定R{x\x^a}{x|xWa}

義

符

(―0°,+0°))(—8,a)

號(hào)[af+8(a,+0°)(-°°,a]

(3)注意端點(diǎn)的取舍，端點(diǎn)能取到是閉區(qū)間，端點(diǎn)取不到是開區(qū)間：-8和+8處一定是開

區(qū)間。

【做一做】用區(qū)間表示下列范圍。

已知集合人=依|5-*20},集合B={x||x|-3N0},則用區(qū)間表示集合A、B、API

B.

【解析】?.,A={x|5-x>0},.，.A={x|xW5}..，.A=(-8,5]；

?；B={x||x|-3#0},；.B={x|x#±3}.，B=(-8,-3)U(-3,3)u(3,+°°)

.,.AAB=(-co,5]n(-00,-3)U(-3,3)U(3,+00)=(-00,-3)u(-3,3)U(3,5].

【設(shè)計(jì)意圖】

根據(jù)具體實(shí)例結(jié)合數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生加深對(duì)區(qū)間的理解,使實(shí)例成為理解概念的一種

思維載體。

【探究1】用區(qū)間表示范圍的時(shí)候應(yīng)該注意什么？

【提示】注意端點(diǎn)的取舍，端點(diǎn)能取到是閉區(qū)間，端點(diǎn)取不到是開區(qū)間；-8和+8處一定

是開區(qū)間。

【探究2】當(dāng)范圍中有獨(dú)立的實(shí)數(shù)時(shí)該怎么表示呢？

【提示】獨(dú)立的實(shí)數(shù)只能用集合來(lái)表示，也就是說(shuō)區(qū)間的左端點(diǎn)一定小于右端點(diǎn)。

【做一做】若集合A=[2aT,a+2],則實(shí)數(shù)a的取值范圍用區(qū)間表示為.

[解析]由區(qū)間的定義知，區(qū)間(。力)(或[a,6])成立的條件是

,”=[2小/,。+2],，24-1<“+2.；.水3,，實(shí)數(shù)4的取值范圍是(-8,3).

【答案】(-8,3)

(三)函數(shù)的相等

【思考2】1.根據(jù)函數(shù)的定義，決定一個(gè)函數(shù)需要幾個(gè)要素？函數(shù)的三要素是哪些？

【提示】由函數(shù)的概念可知是2個(gè)，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系；

函數(shù)的三要素是：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域。

2.函數(shù)的值域由哪些因素確定？

【提示】根據(jù)函數(shù)的定義，函數(shù)值由自變量和對(duì)應(yīng)關(guān)系唯一確定，

所以函數(shù)的值域由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系唯一確定。

【設(shè)計(jì)意圖】

通過(guò)函數(shù)的定義，學(xué)生自主歸納出兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的概念，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽

象的核心素養(yǎng)。

1.函數(shù)的相等：一般地，函數(shù)有三個(gè)要素：定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系與值域.如果兩個(gè)函數(shù)的定義

域相同，并且對(duì)

應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).

2.對(duì)概念的深度剖析：

①兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同就決定了這兩個(gè)函數(shù)的值域也相同.

②定義域和值域分別相同的兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)嗎？

【提示】不一定，如果對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，這兩個(gè)函數(shù)一定不是同一個(gè)函數(shù).

【做一做】判斷下列函數(shù)是否為相同的函數(shù)？

(1)f(x)=(Vx),g(x)=Vx2；

(2)y=x"與y=l(xWO)；

(3)y=2x+l(xGZ)與y=2xT(xGZ).

【提示】⑴因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(?)2的定義域?yàn)閧x|x》o},而g(x)=/的定義域?yàn)閧x|x

WR},它們的定義域不同,所以它們不表示同一函數(shù).

000

(2)因?yàn)閥=x要求xWO,且當(dāng)x#0時(shí),y=x=1,故y=x與y=l(xWO)的定義域和

對(duì)應(yīng)關(guān)系都相

同，所以它們表示同一函數(shù).

y=2x+l(xGZ)與y=2x-l(xGZ)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,但對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同,

故它們不裳樂(lè)

同一函數(shù).

【設(shè)計(jì)意圖】

通過(guò)具體的例子，使學(xué)生掌握函數(shù)相等的判斷方法.

(四)函數(shù)的定義域

【思考3】1.函數(shù)的定義域是函數(shù)定義中的哪個(gè)集合？

【提示】A

2.已知函數(shù)的解析式，函數(shù)的定義域是指使解析式各部分都有意義的未知數(shù)的取

值集合.如果函數(shù)的解析式未知呢？

【提示】

函數(shù)的定義域是指解析式中x的取值范圍，所以地位相同，范圍相同。

抽象函數(shù)的定義域：函數(shù)的解析式未知，求函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)該遵循“地位相同，范圍相同”

的原則求自變量的取值范圍。

【做一做】如已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,5],求f(2x-l)的定義域。

【提示】已知f(x)的定義域是[-1,5],即TWxW4.

故對(duì)于f(2xT)應(yīng)有T〈2xTW5,

，0W2xW6,

.?.0WxW3.

■函數(shù)f(2x+l)的定義域是[0,3]

【設(shè)計(jì)意圖】

通過(guò)具體的例子，使學(xué)生掌握求抽象函數(shù)定義域的求法，提過(guò)學(xué)生整理數(shù)據(jù)、數(shù)學(xué)運(yùn)

算的核心素養(yǎng)。

(五)函數(shù)的函數(shù)值、值域

2008年北京夏季奧運(yùn)會(huì)中中國(guó)隊(duì)獲得51枚金牌，列金牌榜首位.讓每個(gè)中國(guó)人都為之自

豪!比賽進(jìn)行天數(shù)與金牌總數(shù)如下表所示：

天數(shù)12345678

金牌總數(shù)2691317222627

天數(shù)910111213141516

金牌總數(shù)3539434546474951

【思考4】(1)設(shè)金牌總數(shù)是y,比賽天數(shù)為x,則該對(duì)應(yīng)關(guān)系可用y=f(x)來(lái)表示，則x取哪些

值,y取哪些值？

(2)f(2)等于多少?f(10)呢?f(a)呢？

(3)f(x)與f(a)是否相同?為什么？

(4)定義域與值域是多少？

【提示】(1)x的取值為l,2,3,-,15,16;y的取值為

2,6,9,13,17,22,26,27,35,39,43,45,46,47,49,51.

(2)f(2)=6,f(10)=39.若lWaW16,則f(a)對(duì)應(yīng)y的一個(gè)值，否則無(wú)法表示.

(3)不同.f(x)表示y是x的函數(shù)，其中f為對(duì)應(yīng)關(guān)系;而f(a)表示函數(shù)f(x)當(dāng)自變量

x取a時(shí)的一個(gè)

函數(shù)值f(a).

(4)定義域：｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16｝,

值域：｛2,6,9,13,17,22,26,27,35,39,43,45,46,47,49,51).

函數(shù)的值域：

函數(shù)的定義中，與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/(幻］尤e4｝叫

做函數(shù)的值域；值域是集合8的子集。并且函數(shù)值由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系唯一確定。

【做一做】已知f(x)=W(xeR,且xW—1),g(x)=X2+2(X￡R),則f(2)=,

f(g(2))=.

【提示】|I

【設(shè)計(jì)意圖】

通過(guò)具體的例子，使學(xué)生充分理解函數(shù)的函數(shù)值，掌握由自變量的值求對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,

提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，為求函數(shù)的值域打好基礎(chǔ)。

(六)函數(shù)的綜合應(yīng)用

1.區(qū)間

例1用區(qū)間的方法表示下列集合：

A=｛x|0<x<5｝表示為;A=卜|xV-1或xN3｝為

【答案】[0,5)y,-l]53，+8)

[解析]4=30"<5｝表示為區(qū)間：[0,5)

A=｛x|x4-1或XW3｝表示為區(qū)間：(YO,-1]53,+8)

【延伸拓展】若集合A=[2a+1,a-2],則實(shí)數(shù)a的取值范圍用區(qū)間表示為.

【提示】由區(qū)間的定義知，區(qū)間(a力)(或[“力])成立的條件是a<b.

?徵=[2。+1,小2],二2。+1〈。-2.，水-3,，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-8,-3).

【答案】(y,-3)

【類題通法】如何用區(qū)間表示集合

1.正確利用區(qū)間表示集合，要特別注意區(qū)間的端點(diǎn)值能否取到，即“小括

號(hào)"和''中括號(hào)"的區(qū)別.

2.用區(qū)間表示兩集合的交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先求出相應(yīng)集合，再用區(qū)

間表示.

特別提醒：1.-8和+8處一定是開區(qū)間；

2.獨(dú)立的實(shí)數(shù)只能用集合來(lái)表示，也就是說(shuō)區(qū)間的左端點(diǎn)一定小于右端點(diǎn)。

3.區(qū)間和區(qū)間之間的連接和幾何相同，也用“U”和“D”來(lái)連接。

【鞏固練習(xí)1】集合｛x|0<x〈l或2WxWll｝用區(qū)間表示為.

[答案](0,1)U[2,11].

2.函數(shù)相等

例2.(多選題)(2020?安徽淮北市樹人高級(jí)中學(xué)高一期中)下列函數(shù)中與函數(shù)y=x

不相同的是()

A.y=x2B.y=療'C.y=顯D.y=—

X

【答案】ACD

【解析】函數(shù)y=x的定義域?yàn)镽.

對(duì)于A,函數(shù)y=x和y=x?對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故不是相同函數(shù)；

對(duì)于B,函數(shù)y=^=r，定義域?yàn)镽,故與函數(shù)y=x是相同函數(shù)；

對(duì)于C,函數(shù)丫=>/7=兇，和函數(shù)y=x的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故不是相同函數(shù)；

?2

對(duì)于I),y=?的定義域?yàn)楹秃瘮?shù)y=x的定義域不同，故不是相同函數(shù).

【類題通法】判斷函數(shù)相等的方法

定義域優(yōu)先原則

L先看定義域，若定義域不同，則函數(shù)不相等.

2.若定義域相同，則化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，看對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相等.

【鞏固練習(xí)2】試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)：①f(x)專,g(x)=x-l；

②f(x)1,g(x)炭；③f(x)=J(X+3)；g(X)=x+3;④f(x)=x+l,g(x)=x+x";

⑤汽車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系f(t)=80t(0WtW5)與一次函數(shù)g(x)=80x(0

WxW5).

其中表示相等函數(shù)的是(填上所有正確的序號(hào)).

【答案】⑤

【解析】①f(x)與g(x)的定義域不同，不是同一函數(shù)；

②f(x)與晨X)的解析式不同，不是同一函數(shù)；

③f(x)=|x+3],與g(x)的解析式不同，不是同一函數(shù)；

④f(x)與g(x)的定義域不同，不是同一函數(shù)；

⑤f(x)與g(x)的定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系皆相同,是同一函數(shù).

3.求函數(shù)的定義域

例3.求下列函數(shù)的定義域：⑴y卷9(2)f(x)看一際.

【解析】⑴要使函數(shù)有意義,自變量X的取值必須滿足心+；言即｛*：解得x〈。,

且x*2.

故原函數(shù)的定義域?yàn)?-8,-2)U(-2,0).

(2)要使函數(shù)有意義，自變量x的取值必須滿足廣濘，即『追，

(x-10,1xH1.

故原函數(shù)的定義域?yàn)?-8,1)u(1,4].

【答案】⑴(-8,-2)U(-2,0)(2)(-oo,l)U(l,4]

例4.已知函數(shù)f(x)的定義域是[T,4],求函數(shù)f(2x+l)的定義域.

【解析】已知f(x)的定義域是[-1,4],即TWxW4.故對(duì)于f(2x+l)應(yīng)有TW2x的W4,

，2W2xW3,.?.TWxW|..,.函數(shù)f(2x+l)的定義域是卜1,|].

【答案】[-1,|]

【類題通法】1.常見函數(shù)的定義域：

函數(shù)類型整式函數(shù)分式函數(shù)根式函數(shù)0次函數(shù)

定義域R分母W0奇次根式：R底數(shù)W0

偶次根式：被開方數(shù)20

2.抽象函數(shù)的定義域：

“地位相同，范圍相同”

【鞏固練習(xí)3】求下列函數(shù)的定義域.

(l)y=^'?-A/1-X；(2)y=A/2?-3X-2+J——.

工+1v、4-x

Jx+1WO,卜#一1,

[解析]⑴由11—x20,得

1.

所以定義域?yàn)椋鹸|xWl且xW-1｝.

(2^-3元一220,

(2)由44—x^O,得nW—3或2<x<4,

1.4—

所以定義域?yàn)?一8,—|U[2,4).

4.求函數(shù)的值域

例5.(2021?江蘇高一專題練習(xí))已知〃X)=X2-6X+5.

(1)求/(-揚(yáng),/(“)+/(3)的值；(2)若xe[2,6],求/(x)的值域.

I解析I(1)因?yàn)?(x)=/-6x+5.

所以/(-揚(yáng)=(-夜)2-6、(-夜)+5=2+6夜+5=7+6及.

/(a)+/(3)=(a2-6a+5)+(32-6x3+5)=a2-6?+l.

(2)因?yàn)?1(X)=X2-6X+5=(X-3)2-4,又因?yàn)閤e[2,6],所以-啜上-33,所以

0g(x-3)29,

得T如-3）、45.所以當(dāng)32,6]時(shí),/（*）的值域是T,5].

例5.求下列函數(shù)的值域:

①y=x+l；(2)y=x,—2x+3,xG[0,3)；③y=^^；④y=2x—\/x—1.

I解析I①（觀察法）因?yàn)閤GR,所以x+lWR,即函數(shù)值域是R.

②（配方法）y=x2-2x+3=（x-11+2,

由x￡[0,3），再結(jié)合函數(shù)的圖象（如圖），

可得函數(shù)的值域?yàn)棰?）.

3x-13x+3-4

③(分離常數(shù)法心77rFT=3-

43x-1

，”3,十二產(chǎn)值域?yàn)閧y|@且后3}.

④(換元法)設(shè)t=yjx-1,則t20且x=/+1,

所以y=2(t、l)-t=2(t+半，

由teO,再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域?yàn)槌剩?8)

【類題通法】1.求函數(shù)值的方法

(1)已知f(x)的解析式時(shí)，只需用a替換解析式中的x即得f(a)的值.

(2)已知f(x)與g(x),求f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則.

2.求函數(shù)值域常用的4種方法

(1)觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察得到；

(2)配方法：當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)處理的函數(shù)時(shí)，可利用配方

法或二次函數(shù)圖像求其值域；

(3)分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為

“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域；

(4)換元法：即運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù),從而求得原函

數(shù)的值域.對(duì)于f(X)=ax+b+Vcx+d(其中a,b,c,d為常數(shù)，且

a=0)型的函數(shù)常用換元法.

【鞏固練習(xí)4】求下列函數(shù)的值域：⑴丫=底釘+1;(2)y=窸.

【解析】(1)因?yàn)榘?所以百1+1^1,即所求函數(shù)的值域?yàn)閇1,+8).

1-x22