浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬試題含解析

Page22浙江省杭州市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬試題一?單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一項(xiàng)符合題意，多選?錯(cuò)選?不選均不得分.1.若集合滿意：，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意畫出圖，由圖即可得到.【詳解】集合滿意：，如圖，.故選：B.2.設(shè)，則“”是“函數(shù)在為減函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】依據(jù)為單調(diào)減函數(shù)解出的范圍，即可推斷得結(jié)果.【詳解】由題意可得為減函數(shù)，則，解得.因推不出，，所以“”是“函數(shù)在為減函數(shù)”的必要不充分條件，故選：B3.把4本不同的書分給3名同學(xué)，每個(gè)同學(xué)至少一本，則不同的分發(fā)數(shù)為（）A.12種 B.18種 C.24種 D.36種【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題意可知一名同學(xué)分得兩本書，其余兩名同學(xué)各分得一本書，利用排列組合數(shù)進(jìn)行計(jì)算.【詳解】依據(jù)題意可知一名同學(xué)分得兩本書，其余兩名同學(xué)各分得一本書，不同的分發(fā)數(shù)為種.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查簡潔的排列組合問題，屬于基礎(chǔ)題.4.在平面直角坐標(biāo)系中，分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過作漸近線的垂線，垂足為，與雙曲線的右支交于點(diǎn)，且，，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用雙曲線的定義建立的關(guān)系即可解得答案.【詳解】設(shè)，其中，則焦點(diǎn)到漸近線的距離又因?yàn)?，所以，又，?則在中，有，，.則由余弦定理得則漸近線方程.故選：C5.在中，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】先利用兩角差的正弦公式將原式變形，再利用正弦定理化角為邊，代入后即可得答案.【解答】解：因?yàn)?，，，則故選：B.6.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，且滿意，則的值為（）A.4093 B.4094 C.4095 D.4096【答案】A【解析】【詳解】由遞推公式確定通項(xiàng)公式，再求即可.【解答】，故，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，則故選：A7.的最小值是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出的最小值為，再將時(shí)轉(zhuǎn)化為恒成立問題即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，令，得，則在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，即函數(shù)在處取得最小值，所以問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，則在上恒成立當(dāng)時(shí)，不符合.當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，則或解得或，所以故選：A.8.已知，函數(shù)滿意：恒成立，其中是的導(dǎo)函數(shù)，則下列不等式中成立的是A. B.C D.【答案】A【解析】【詳解】分析：利用已知條件，構(gòu)造函數(shù)g（x）=cosxf（x）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，推斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解即可．詳解：因x∈（0，），故tanxf（x）＞f′（x）?sinxf（x）＞f′（x）cosx?sinxf（x）﹣cosxf′（x）＞0，令g（x）=cosxf（x），則g′（x）=cosxf′（x）﹣sinxf（x）＜0，所以函數(shù)g（x）在（0，）為減函數(shù)，∴cosf（）＞cosf（），∴f（）＞f（）．故答案為：A．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)該學(xué)問的駕馭水平和分析推理實(shí)力.(2)解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是轉(zhuǎn)化得到sinxf（x）﹣cosxf′（x）＞0，其二是構(gòu)造函數(shù)g（x）=cosxf（x）.二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題意，選全得5分，漏選得2分，錯(cuò)選?不選均不得分.9.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【詳解】等式兩邊取對(duì)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)函數(shù)，結(jié)合圖象得到與的范圍.【解答】解：兩邊取對(duì)數(shù)，得，構(gòu)造函數(shù)，則.，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，得的圖象如下所示，又，所以.故選：AD.10.已知非零復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.若，則存在實(shí)數(shù)，使得D.若，則【答案】AC【解析】【詳解】結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)幾何意義化簡計(jì)算即可.【解答】對(duì)A，即，兩邊平方可得，A對(duì)；對(duì)，取，則，當(dāng)，B錯(cuò)；對(duì)，即，兩邊平方可得，故，故，因此存在實(shí)數(shù)，使得，C對(duì)；對(duì)，取，但，D錯(cuò).故選：AC11.定義平面斜坐標(biāo)系，記分別為軸?軸正方向上的單位向量-若平面上隨意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿意：，則記向量的坐標(biāo)為，給出下列四個(gè)命題，正確的選項(xiàng)是（）A.若，則B.若，以為圓心?半徑為1的圓的斜坐標(biāo)方程為C.若，則D.若，記斜平面內(nèi)直線的方程為，則在平面直角坐標(biāo)系下點(diǎn)到直線的距離為【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題目的新定義對(duì)選項(xiàng)逐一計(jì)算推斷即可.【詳解】對(duì)于A：若，則；因?yàn)?，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)以為圓心?半徑為1的圓上隨意一點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，得，即，正確；對(duì)于C：，則，即，，錯(cuò)誤；對(duì)于D：由于，斜平面內(nèi)直線的方程為，在l上取兩點(diǎn)，，過原點(diǎn)O作l的垂線，垂足為，，則有，，，其中：，解得，，，錯(cuò)誤；故選：B.12.已知橢圓的右頂點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，設(shè)，的斜率分別記為，以下各式為定值的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【詳解】易得，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理逐項(xiàng)推斷.【分析】解：如圖所示：由已知得，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，消去得：，設(shè)，所以，，，則（與有關(guān)，不是定值），故選項(xiàng)錯(cuò)誤.是定值，故選項(xiàng)B正確.

，（與有關(guān)，不是定值）故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

，（定值）故選項(xiàng)D正確.故選：BD三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知隨機(jī)變量聽從，且，則__________.【答案】3【解析】分析】由題知正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，可得，進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)?，所以正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，且，所以，所以.故答案為：314.已知公差為且各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為__________.【答案】9【解析】【分析】先依據(jù)得到，再借助基本不等式求的最小值.【詳解】因?yàn)?，則，化簡得，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，則，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為9.故答案為：9.15.已知圓，圓,定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)，分別在圓和圓上，滿意,則線段的取值范圍_______.【答案】【解析】【分析】因?yàn)?，可得，依?jù)向量和可得，即，由，分別在圓和圓上點(diǎn)設(shè)，，求得，由，可得，即可得到，設(shè)中點(diǎn)為，求得的取值范圍，即可求得答案.【詳解】，，，分別在圓和圓上點(diǎn)設(shè)，，則，由，可，即，整理可得：，，設(shè)中點(diǎn)為，則，，即，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑等于的圓，的取值范圍是，的范圍為，故：的范圍為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求同心圓上兩點(diǎn)間距離的范圍問題，解題關(guān)鍵是駕馭向量加法原理和將兩點(diǎn)間距離問題轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)軌跡問題，考查了分析實(shí)力和計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.16.已知實(shí)數(shù)，，，滿意，，且，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】由實(shí)數(shù)，，，滿意，且，得出，從而得出的范圍，用表示，構(gòu)建函數(shù)，求解取值范圍.【詳解】解：實(shí)數(shù)，，，滿意，且，所以，若則，若則，所以，，因?yàn)殛P(guān)于的方程為，所以解得：，設(shè)，由得，，則，因?yàn)橐闪ⅲ?，設(shè)函數(shù)，因?yàn)樵谏虾愠闪?，故函?shù)單調(diào)遞減，所以，，所以此時(shí)在的值域?yàn)?，即?dāng)時(shí)，；設(shè)函數(shù)，因?yàn)樵谏虾愠闪?，故函?shù)單調(diào)遞增，所以，，所以此時(shí)在的值域?yàn)?，即?dāng)時(shí)，，綜上：.【點(diǎn)睛】本題本質(zhì)上考查了函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是要能構(gòu)建出關(guān)于的函數(shù)，通過函數(shù)思想求解取值范圍，還考查了學(xué)生整體換元的思想.四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知,（1）若為邊上一點(diǎn),,且,求;（2）若為平面上一點(diǎn),,其中,求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先依據(jù)正弦定理求出角的值,再利用求出的值,由正弦定理可得即可求解;(2)依據(jù)已知條件可以求出的值,,再把用表示,從而表示為關(guān)于的二次函數(shù)求解最小值即可.【小問1詳解】由可得,即,,,,.,即,則,,,在中,由正弦定理可得,即,解得【小問2詳解】,即,則,,(*),依據(jù)已知條件,,代入(*)式得:,當(dāng)時(shí),取得最小值為.18.已知數(shù)列滿意，記，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入3個(gè)數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的正項(xiàng)等比數(shù)列，若數(shù)列中的第項(xiàng)是數(shù)列中的第項(xiàng).（1）求數(shù)列及的通項(xiàng)公式.（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）中的結(jié)論表示出，再結(jié)合錯(cuò)位相減法計(jì)算即可得到結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以是首?xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以.所以.由題意知.所以，即，又，則.所以.又，則，則.【小問2詳解】，①，②①-②得，.所以.19.如圖，矩形是某生態(tài)農(nóng)莊的一塊植物栽培基地的平面圖，現(xiàn)欲修一條筆直的小路（寬度不計(jì)）經(jīng)過該矩形區(qū)域，其中都在矩形的邊界上.已知，（單位：百米），小路將矩形分成面積分別為，（單位：平方百米）的兩部分，其中，且點(diǎn)在面積為的區(qū)域內(nèi)，記小路的長為百米.（1）若，求的最大值；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1），故得到答案.（2）如圖所示：折痕有三種狀況，依次計(jì)算每種狀況的取值范圍，綜合得到答案.【詳解】（1）如圖所示：折痕有如下三種狀況，易知圖2圖3不滿意，如圖1：，故，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，即的最大值為；（2），，故.如圖1：，故，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故；如圖2：，故，，，故；如圖3：，故，，，故.綜上所述：.【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.20.從年底起先，非洲東部的肯尼亞等國家爆發(fā)出了一場嚴(yán)峻的蝗蟲災(zāi)情.目前，蝗蟲已抵達(dá)烏干達(dá)和坦桑尼亞，并向西亞和南亞等地區(qū)擴(kuò)散.蝗蟲危害大，主要危害禾本科植物，能對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)峻損害，每只蝗蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.平均溫度平均產(chǎn)卵數(shù)個(gè)表中，.（1）依據(jù)散點(diǎn)圖推斷，與（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）哪一個(gè)更相宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回來方程類型？（給出推斷即可，不必說明理由）并由推斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回來方程.（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位）（2）依據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，該地每年平均溫度達(dá)到以上時(shí)蝗蟲會(huì)造成嚴(yán)峻損害，須要人工防治，其他狀況均不須要人工防治，記該地每年平均溫度達(dá)到以上的概率為.①記該地今后年中，恰好須要次人工防治的概率為，求取得最大值時(shí)相應(yīng)的概率；②依據(jù)①中的結(jié)論，當(dāng)取最大值時(shí)，記該地今后年中，須要人工防治的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)、、、，其回來直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為：，.【答案】（1）更相宜；；（2）①；②，.【解析】【分析】（1）利用圖象可得出更相宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回來類型，對(duì)，兩邊取自然對(duì)數(shù)，求出關(guān)于的回來方程，進(jìn)而可得出關(guān)于的回來方程；（2）①對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推斷該函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值；②由取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值，得出，由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差公式可得出、的值.【詳解】（1）由散點(diǎn)圖可以推斷，更相宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回來類型，對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)得，令，，，則.因?yàn)椋?，所以，關(guān)于的回來方程為，所以，關(guān)于的回來方程為；（2）①由，，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，；②由①可知，當(dāng)時(shí)，取最大值，又，則，由題意可知，，.【點(diǎn)睛】本題考查非線性回來方程的求解，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，同時(shí)也考查了利用二項(xiàng)分布求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.21.已知拋物線C：=2px經(jīng)過點(diǎn)（1，2）．過點(diǎn)Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．（Ⅰ）求直線l的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，，，求證：為定值．【答案】(1)取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）(2)證明過程見解析【解析】【詳解】分析：（1）先確定p,再設(shè)直線方程，與拋物線聯(lián)立，依據(jù)判別式大于零解得直線l的斜率的取值范圍，最終依據(jù)PA，PB與y軸相交，舍去k=3，（2）先設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與拋物線聯(lián)立，依據(jù)韋達(dá)定理可得，．再由，得，．利用直線PA，PB的方程分別得點(diǎn)M，N的縱坐標(biāo)，代入化簡可得結(jié)論.詳解：解：（Ⅰ）因?yàn)閽佄锞€y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以拋物線的方程為y2=4x．由題意可知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx+1（k≠0）．由得．依題意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點(diǎn)（1，-2）．從而k≠-3．所以直線l斜率的取值范圍是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知，．直線PA的方程為．令x=0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為．同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為．由，得，．所以．所以為定值．點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特別值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點(diǎn)、定值問題同證明問題