高中數(shù)學《古典概型的特征和概率計算公式 建立概率模型》導學案

—iB.鉆口道腳亥

DISANM§3.2古典概型

）■3.2.1古典概型的特征和概率計算公式

!■3.2.2建立概率模型

課前新知預習

［航向標?學習目標］

1.理解古典概型的兩個基本特征.

2.掌握古典概型的概念及概率的計算公式.

［讀教材?自主學習］

1.基本事件：一次試驗中可能出現(xiàn)的回每一個結果稱為一個基本事件.

2.基本事件的特點：（1）任何兩個基本事件是不可能同時發(fā)生的.一次試驗

中，只可能出現(xiàn)一種結果，即出現(xiàn)一個基本事件.（2）任何事件都可以表示成基本

事件的和.

3.古典概型：（1）試驗的所有可能結果只有回有限個,每次試驗只出現(xiàn)其

中的一個結果.（2）每一個試驗結果出現(xiàn)的可能性畫相同.我們把具有這樣兩個

特征的隨機試驗的數(shù)學模型稱為古典概型.

4.古典概型的計算公式：對于古典概型，通常試驗中的某一事件A是由幾

個基本事件組成，如果試驗的所有可能結果（基本事件）數(shù)為n,隨機事件A包含

的基本事件數(shù)為加，那么事件A的概率規(guī)定為叵IP（A）=^.

［看名師?疑難剖析］

1.古典概型試驗有兩個共同的特征

（1）有限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結果是有限個，即只有有限個不同的

基本事件.

（2）等可能性：每個基本事件發(fā)生的可能性是均等的.

2.古典概型的概率公式（等可能性事件的概率）

(1)若試驗的結果是由〃個基本事件組成，并且每個基本事件的發(fā)生是等可能

的，而隨機事件A包含的基本事件數(shù)為相，則由互斥事件的概率加法公式可得：

m

P(A)=—+—+--?+—=

n7?nn

'Y'

)71個

A包括的基本事件個數(shù)

所以古典概型中，P(A)=

總的基本事件個數(shù)

這就是概率的古典定義.

(2)用集合觀點來理解事件A與基本事件的關系(如下圖):在一次試驗中，等

可能出現(xiàn)〃個結果組成一個集合/,這〃個結果就是集合/的〃個元素，各基本事

件均對應于集合/的含有1個元素的子集，包含每個結果的事件A對應于/的含

有加個元素的子集4因此從集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素個數(shù)(記

作card(A))與集合/的元素個數(shù)(記作card(7))的比值，即外4)=管喘=々

I課堂師生共研

考點一基本事件的計數(shù)問題

例1一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一

次摸出兩只球.

(1)共有多少個基本事件？

(2)兩只都是白球包含幾個基本事件？

［分析］由題目可獲取以下主要信息：

①本次摸球事件中共有5只球，其中3只白球，2只黑球.

②題目中摸球的方式為一次摸出兩只球，每只球被摸取是等可能的.

解答本題可先列出摸出兩球的所有基本事件，再數(shù)出均為白球的基本事件數(shù).

［解］(1)解法一：采用列舉法分別記白球為1、2、3號，黑球為4、5號，有

以下基本事件：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)

共10個（其中（1,2）表示摸到1號，2號時）.

解法二：采用列表法

設5只球的編號為：a、b、c、d、e,其中a,b,c為白球，d,e為黑球.列

表如下：

abcde

a(a,b)(a,c)(a,d)(a,e)

b(b,a)(b,c)(b,d)(b,e)

c(c,a)(c,b)(c,d)(c,e)

d(d,a)(d,b)(d,c)(d,e)

e(e,a)(e,b)(e,c)(e,d)

由于每次取兩個球，每次所取兩個球不相同，而摸（6a）與（a,與是相同的事

件，故共有10個基本事件.

（2）解法一中“兩只都是白球”包括（1,2）（1,3）（2,3）三種.解法二中，包括（a,

b）,（b,c）,（c,a）三種.

類題通關

求基本事件個數(shù)常用列舉法、列表法、樹狀圖法來解決，并且注意以下幾個

方面：①用列舉法時要注意不重不漏；②用列表法時注意順序問題；③樹狀圖法

若是有順序問題時，只做一個樹狀圖然后乘以元素個數(shù).

［變式訓練1］連續(xù)擲3枚均勻硬幣，觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反

面.

（1）請寫出這個試驗的所有基本事件；

（2）“恰有兩枚正面向上”這個事件包含哪幾個基本事件？

解（1）這個試驗的所有基本事件為：（正，正，正），（正，正，反），（正，反,

正），（反，正，正），（正,反,反），（反,正，反），（反，反，正），（反，反，反）.（2）“恰

有兩枚正面向上”包含以下3個基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，

正，正）.

考點二古典概型的判斷

例2下列概率模型中，是古典概型的個數(shù)為（）

（1）從區(qū)間［1,10］內任取一個數(shù)，求取到1的概率；

（2）從1?10中任意取一個整數(shù)，求取到1的概率；

(3)在一個正方形ABC。內畫一點P,求P剛好與點A重合的概率；

(4)拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率.

A.1B.2C.3D.4

［解析］第1個概率模型不是古典概型，因為從區(qū)間［1,10］內任意取出一個數(shù),

有無數(shù)個對象可取，所以不滿足“有限性第2個概率模型是古典概型，因為

試驗結果只有10個，而且每個數(shù)被抽到的可能性相等，即滿足有限性和等可能性；

第3個概率模型不是古典概型.第4個概率模型也不是古典概型，因為硬幣不均

勻，因此兩面出現(xiàn)的可能性不相等.

［答案］A

類題通關

一個試驗是否為古典概型，關鍵是看這個試驗是否具有古典概型的兩個特征

—有限性和等可能性，即判斷試驗是否同時滿足這兩個特征(或條件).

［變式訓練2］判斷下列試驗是否是古典概型，并說明理由.

(1)同時拋擲兩枚質地均勻的骰子，求點數(shù)和為7的概率；

(2)求近三天中有一天降雨的概率；

(3)10個人(包括甲和乙)站成一排，求其中甲、乙相鄰的概率.

解(1)、(3)為古典概型.因為都適合古典概型的兩個特征：有限性和等可能

性，而(2)不適合等可能性，故不為古典概型.

考點三古典概型的概率計

例3袋中裝有6個小球，其中4個白球，2個紅球，從袋中任意取出兩球,

求下列事件的概率：

(1)/1：取出的兩球都是白球；

(2)5：取出的兩球一個是白球，另一個是紅球.

［分析］求古典概型的概率應按下面四個步驟進行：

(1)仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；

(2)判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A;

(3)分別求出基本事件的總數(shù)〃與所求事件4中所包含的基本事件個數(shù)加；

(4)利用公式P(A)=々求出事件A的概率.

［解］設4個白球的編號為1、2、3、4,2個紅球的編號為5、6.從袋中的6

個小球中任取兩個的方法為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),

(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15個.

(1)從袋中的6個球中任取兩個，所取的兩球全是白球的方法總數(shù)，即是從4

個白球中任取兩個的方法總數(shù)，共有6個.即為(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),

(3,4).

，取出的兩個小球全是白球的概率為P(A)=-^=|.

(2)從袋中的6個球中任取兩個，其中一個是紅球，而另一個是白球，其取

法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8種.

Q

...取出的兩個球一個是白球，另一個是紅球的概率為尚.

［變式訓練3］先后拋擲兩顆骰子，求：

(1)點數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率；

(2)點數(shù)之和大于5小于10的概率.

解從圖中容易看出基本事件與所描點一一對應共36種.

第

二

次’789--.J01112

6

拋

5.678112

擲

K6789XJ0

后4

向345,--,6789、\

上

2

的3478

點12347/

數(shù)-1~2~3~4~5~6~

第一次拋擲后向上的點數(shù)

(1)記“點數(shù)之和是4的倍數(shù)”的事件為A,從圖中可以看出，事件A包含的

基本事件共有9個：(1,3),(2,2),(2,6),(3,1),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6).所

以P(A)=".

(2)記“點數(shù)之和大于5小于10”的事件為8,從圖中可以看出，事件8包含

的基本事件共有20個.即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(1,6),(2,5),(3,4),

(4,3),(5,2),(6,1),(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3).所

以P(B)=|.

規(guī)范答題思維

古典概型的應用

［例］(12分)甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1

男2女.

(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結果，并求選

出的2名教師性別相同的概率；

(2)若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結果，并求選出的2名

教師來自同一學校的概率.

(一)精妙思路點撥

(二)分層規(guī)范細解

(1)甲校兩名男教師分別用A,B表示，女教師用C表示；乙校男教師用。表

示，兩名女教師分別用E,E表示.

從甲校和乙校報名的教師中各任選1名①的所有可能的結果為：

(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),

(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9種.②2分

從中選出兩名教師性別相同的結果有：(A,D),(B,D),(C,E),(C,嚴共

4種.4分

選出的兩名教師性別相同的概率為

4、

產(chǎn)=亨6分

(2)從甲校和乙校報名的教師中任選2名①的所有可能的結果為：

(A(Ar\(An\(Am<AG

(B,Q,(B,￡>),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),,

(C,F),(D,E),(D,F),(￡,F),共15種.

8分

從中選出兩名教師來自同一學校的結果有：(A,B),(A,C),(B,C),(D,

E),(D,F),(E,F)共6種，10分

選出的兩名教師來自同一學校的概率為P=^=|.12分

(三)來自一線的報告

通過閱卷后分析，對解答本題的失分警示和解題啟示總結如下：(注：此處的

①②見分層規(guī)范細解過程)

在解答過程中，若在①處沒有仔細審題，沒

①

有弄清楚所選的兩名教師來自何處，則易造

失

分成所列舉的基本事件并不是題目所要求的.

警

示在解答過程中，在②處列舉基本事件時，由

②

于沒有按照規(guī)律來列舉，容易出現(xiàn)遺漏和重

復，使得所求的基本事件數(shù)出現(xiàn)差錯.

(1)解答此類概率統(tǒng)計的問題時，最重要的是仔細

解審題，領會題目的實質，把握題目的關鍵知識點.

題

啟(2)解答古典概型問題列舉基本事件時，要根據(jù)具

示

體的問題，選擇適當?shù)牧信e方法，按照一定的規(guī)律

和順序，做到既不重復，也不遺漏.

(四)類題練筆掌握

用紅、黃、藍三種不同顏色給下圖中3個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種

顏色，求：

(1)3個矩形顏色都相同的概率；

(2)3個矩形顏色都不同的概率.

解所有可能的基本事件共有27個，如圖所示:

紅

黃

一紅

藍

紅

黃

紅-----黃

藍

紅

黃

——藍

藍

紅

黃

藍

紅

黃

黃

藍

紅

黃

藍

紅

黃

藍

紅

黃

藍

藍

紅

黃

藍

(1)記”3個矩形都涂同一種顏色”為事件A,由圖知，事件A的基本事件有

31

3個，故尸(4)=近=§.

(2)記”3個矩形顏色都不同”為事件&由圖可知，事件3的基本事件有6

個，故P(B)=,=/.

(五)解題設問

(1)本題是古典概型嗎？.

(2)用哪種方法列舉所有可能的基本事件最方便、最合適？.

答案⑴是

(2)樹狀圖法

檢測學業(yè)達標

1.袋中有2個紅球，2個白球，2個黑球，從里面任意摸2個小球，

不是基本事件.()

A.{正好2個紅球}B.{正好2個黑球}

C.{正好2個白球}D.{至少1個紅球}

答案D

解析至少1個紅球包含：一紅一白或一紅一黑或2個紅球，所以{至少1

個紅球}不是基本事件，其他事件都是基本事件.

2.下列對古典概型的說法中正確的是()

①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個

②每個事件出現(xiàn)的可能性相等

③每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等

④基本事件總數(shù)為〃，隨機事件A若包含攵個基本事件，則P(A)=彳

A.②④B.①③④

C.①④D.③④

答案B

解析②中所說的事件不一定是基本事件，所以②不正確；根據(jù)古典概型的

特點及計算公式可知①③④正確.

3.從1,2,3,4這四個數(shù)中一次隨機地取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個數(shù)的兩

倍的概率是.

左安—

口水3

解析本題主要考查古典概型.采用枚舉法：從1,2,3,