高考數(shù)學(xué)劃重點-概率分布

概率分布【考綱解讀】1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性；2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進行簡單應(yīng)用.【知識整合】1.離散型隨機變量隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量.2.離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機變量X的概率分布列.(2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)：①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.3.常見離散型隨機變量的分布列(1)兩點分布：若隨機變量X服從兩點分布，其分布列為，X01P1－pp其中p＝P(X＝1)稱為成功概率.(2)超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱隨機變量X服從超幾何分布.X01…mP…【名師點睛】掌握離散型隨機變量的分布列，須注意：(1)分布列的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機變量X所有可能取得的值；第二行是對應(yīng)于隨機變量X的值的事件發(fā)生的概率.看每一列，實際上是上為“事件”，下為“事件發(fā)生的概率”，只不過“事件”是用一個反映其結(jié)果的實數(shù)表示的.每完成一列，就相當(dāng)于求一個隨機事件發(fā)生的概率.(2)要會根據(jù)分布列的兩個性質(zhì)來檢驗求得的分布列的正誤.(3)超幾何分布是一種常見的離散型隨機變量的概率分布模型，要會根據(jù)問題特征去判斷隨機變量是否服從超幾何分布，然后利用相關(guān)公式進行計算.【名師劃重點】1.對于隨機變量X的研究，需要了解隨機變量取哪些值以及取這些值或取某一個集合內(nèi)的值的概率，對于離散型隨機變量，它的分布正是指出了隨機變量X的取值范圍以及取這些值的概率.2.求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識求出X取各個值的概率.【高考真題再現(xiàn)】【例題】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點集，令.從集合Mn中任取兩個不同的點，用隨機變量X表示它們之間的距離.（1）當(dāng)n=1時，求X的概率分布；（2）對給定的正整數(shù)n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）當(dāng)時，的所有可能取值是．的概率分布為，．（2）設(shè)和是從中取出的兩個點．因為，所以僅需考慮的情況．①若，則，不存在的取法；②若，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時或，有2種取法；③若，則，因為當(dāng)時，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時或，有2種取法；④若，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時或，有2種取法．綜上，當(dāng)時，的所有可能取值是和，且．因此，．【舉一反三】1．（2019·江蘇省高考模擬）某商場進行抽獎活動.已知一抽獎箱中放有8只除顏色外，其它完全相同的彩球，其中僅有5只彩球是紅色.現(xiàn)從抽獎箱中一個一個地拿出彩球，共取三次，拿到紅色球的個數(shù)記為.（1）若取球過程是無放回的，求事件“”的概率；（2）若取球過程是有放回的，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】（1）根據(jù)超幾何分布可知：；（2）隨機變量的可能取值為：；且，分布列如下：本題考查超幾何分布的概率問題求解、二項分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解，關(guān)鍵是能夠明確有放回與無放回所符合的分布類型.2．（2019·四川省高考模擬（理））在某公司舉行的一次真假游戲的有獎競猜中，設(shè)置了“科技”和“生活”這兩類試題，規(guī)定每位職工最多競猜3次，每次競猜的結(jié)果相互獨立．猜中一道“科技”類試題得4分，猜中一道“生活”類試題得2分，兩類試題猜不中的都得0分．將職工得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于4分就認為通過游戲的競猜，立即停止競猜，否則繼續(xù)競猜，直到競猜完3次為止．競猜的方案有以下兩種：方案1：先猜一道“科技”類試題，然后再連猜兩道“生活”類試題；方案2：連猜三道“生活”類試題．設(shè)職工甲猜中一道“科技”類試題的概率為0.5，猜中一道“生活”類試題的概率為0.6．(1)你認為職工甲選擇哪種方案通過競猜的可能性大?并說明理由．(2)職工甲選擇哪一種方案所得平均分高?并說明理由．【答案】（1）職工甲選擇方案1通過競猜的可能性大；（2）職工甲選擇方案1通過競猜的平均分高【解析】猜中一道“科技”類試題記作事件A，猜錯一道“科技”試題記作事件；猜中一道“生活”類試題記作事件B，猜錯一道“生活”試題記作事件；則，，（1）若職工甲選擇方案1，通過競猜的概率為：.若職工甲選擇方案2，通過競猜的概率為：∵∴職工甲選擇方案1通過競猜的可能性大.(2)職工甲選擇方案1所得平均分高，理由如下：若職工甲選擇方案1，X的可能取值為：0,2,4，則，，，數(shù)學(xué)期望若職工甲選擇方案2，X的可能取值為：0,2,4，，數(shù)學(xué)期望因為，所以職工甲選擇方案1所得平均分高.3．（2019·湖南省長郡中學(xué)高考模擬（理））為了迎接2019年全國文明城市評比，某市文明辦對市民進行了一次文明創(chuàng)建知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查.每一位市民有且僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：組別30,4040,5050,6060,7070,8080,9090,100頻數(shù)2515020025022510050（1）由頻數(shù)分布表可以認為，此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布Nμ,210，μ近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表），請利用正態(tài)分布的知識求P（2）在（1）的條件下，文明辦為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：（i）得分不低于μ的可以獲贈2次隨機話費，得分低于μ的可以獲贈1次隨機話費；（ii）每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為：獲贈的隨機話費（單位：元）2040概率31現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調(diào)查，記X（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：①210≈14.5②若Z～Nμ,σ2，則Pμ?σ<Z<μ+σ=0.6826【答案】（Ⅰ）P（36＜Z≤79．5）＝0．8186；（Ⅱ）X的分布列為X20406080P31331X的數(shù)學(xué)期望為75【解析】（Ⅰ）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表,結(jié)合題中所給的條件,可以求得μ=35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75=65,又36≈65?2210,79.5≈65+所以P（36＜Z≤79．5）=1（Ⅱ）根據(jù)題意,可以得出所得話費的可能值有20,40,60,80元,得20元的情況為低于平均值,概率p=1得40分的情況有一次機會獲40元,2次機會2個20元,概率P=1得60分的情況為兩次機會,一次40元一次20元,概率P=1得80分的其概況為兩次機會,都是40元,概率為P=1所以變量X的分布列為:X20406080P31331所以其期望為E(X)=20×3【押題預(yù)測】1．（2019·安徽省高考模擬（理））田忌賽馬是《史記》中記載的一個故事,說的是齊國大將軍田忌經(jīng)常與齊國眾公子賽馬,孫臏發(fā)現(xiàn)田忌的馬和其他人的馬相差并不遠,都分為上、中、下三等.于是孫臏給田忌將軍獻策:比賽即將開始時,他讓田忌用下等馬對戰(zhàn)公子們的上等馬,用上等馬對戰(zhàn)公子們的中等馬,用中等馬對戰(zhàn)公子們的下等馬,從而使田忌贏得了許多賭注.假設(shè)田忌的各等級馬與某公子的各等級馬進行一場比賽，田忌獲勝的概率如下表所示:比賽規(guī)則規(guī)定:一次比賽由三場賽馬組成,每場由公子和田忌各出一匹馬參賽,結(jié)果只有勝和負兩種,并且毎一方三場賽馬的馬的等級各不相同,三場比賽中至少獲勝兩場的一方為最終勝利者.（1）如果按孫臏的策略比賽一次，求田忌獲勝的概率；（2）如果比賽約定,只能同等級馬對戰(zhàn),每次比賽賭注1000金,即勝利者贏得對方1000金,每月比賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）0.72；（2）金.【解析】（1）記事件：按孫臏的策略比賽一次，田忌獲勝，對于事件，三場比賽中，由于有一場比賽田忌必輸，另兩場都勝，故.（2）設(shè)田忌在每次比賽中所得的獎金為隨機變量（金），則的取值為和,若在某月的比賽中田忌獲勝，則三場比賽中，田忌輸贏的分布為：勝勝勝，負勝勝，勝負勝，勝勝負.設(shè)在該月的比賽中田忌獲勝的概率為，則,,因此田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望為（金）.2．（2019·天津高考模擬（理））在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：（Ⅰ）取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)的分布列及期望；（Ⅱ）取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率．【答案】（1分布列見解析，的數(shù)學(xué)期望（2）【解析】（1）由于從件產(chǎn)品中任取件的結(jié)果為，從件產(chǎn)品中任取件，其中恰有件一等品的結(jié)果為，那么從件產(chǎn)品中任取件，其中恰有件一等品的概率為，所以隨機變量的分布列是0123的數(shù)學(xué)期望（2）設(shè)“取出的件產(chǎn)品中一等品的件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件，“恰好取出件一等品和件三等品”為事件,“恰好取出件一等品”為事件,“恰好取出件一等品”為事件,由于事件彼此互斥，且,而,,所以取出的件產(chǎn)品中一等品的件數(shù)多于二等品件的數(shù)的概率為3．（2019·安徽省高考模擬（理））某種大型醫(yī)療檢查機器生產(chǎn)商，對一次性購買2臺機器的客戶，推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修2次，超過2次每次收取維修費2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修4次，超過4次每次收取維修費1000元.某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購買2臺這種機器．現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺這種機器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：維修次數(shù)0123臺數(shù)5102015以這50臺機器維修次數(shù)的頻率代替1臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這2臺機器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及維修費用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）選擇延保方案二較合算【解析】（Ⅰ）X所有可能的取值為0，1，2，3，4，5，6，P(X=0)=110×110P(X=3)=110×P(X=5)=25×∴X的分布列為X0123456P1131176（Ⅱ）選擇延保一，所需費用Y1Y70009000110001300015000P1711769EY1=選擇延保二，所需費用Y2Y100001100012000P6769EY∵EY4．（2019·四川省石室中學(xué)高考模擬（理））某商場舉行促銷活動，有兩個摸獎箱，箱內(nèi)有一個“”號球，兩個“”號球，三個“”號球、四個無號球，箱內(nèi)有五個“”號球，五個“”號球，每次摸獎后放回，每位顧客消費額滿元有一次箱內(nèi)摸獎機會，消費額滿元有一次箱內(nèi)摸獎機會，摸得有數(shù)字的球則中獎，“”號球獎元，“”號球獎元，“”號球獎元，摸得無號球則沒有獎金．（1）經(jīng)統(tǒng)計，顧客消費額服從正態(tài)分布，某天有位顧客，請估計消費額（單位：元）在區(qū)間內(nèi)并中獎的人數(shù).（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）附：若，則，.（2）某三位顧客各有一次箱內(nèi)摸獎機會，求其中中獎人數(shù)的分布列.（3）某顧客消費額為元，有兩種摸獎方法，方法一：三次箱內(nèi)摸獎機會；方法二：一次箱內(nèi)摸獎機會.請問：這位顧客選哪一種方法所得獎金的期望值較大.【答案】(1)中獎的人數(shù)約為人.(2)分布列見解析.(3)這位顧客選方法二所得獎金的期望值較大.【解析】（1）依題意得，，得，消費額在區(qū)間內(nèi)的顧客有一次箱內(nèi)摸獎機會，中獎率為人數(shù)約人其中中獎的人數(shù)約為人（2）三位顧客每人一次箱內(nèi)摸獎中獎率都為，三人中中獎人數(shù)服從二項分布，，故的分布列為（或）（或）（或）（或）（3）箱摸一次所得獎金的期望為箱摸一次所得獎金的期望為方法一所得獎金的期望值為，方法二所得獎金的期望值為，所以這位顧客選方法二所得獎金的期望值較大點睛：求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟：①“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值以及取每個值所表示的意義；②“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率加法公式、獨立事件的概率公式以及對立事件的概率公式等），求出隨機變量取每個值時的概率；③“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；④“求期望”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望．對于某些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布（如二項分布），則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得．因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度．5．（2019·云南省高考模擬（理））某市移動公司為了提高服務(wù)質(zhì)量，決定對使用A，B兩種套餐的集團用戶進行調(diào)查，準(zhǔn)備從本市個人數(shù)超過1000人的大集團和8個人數(shù)低于200人的小集團中隨機抽取若干個集團進行調(diào)查，若一次抽取2個