江蘇專版2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列綜合訓(xùn)練新人教A版選擇性必修第二冊

第四章綜合訓(xùn)練一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數(shù)列是等比數(shù)列，是1和3的等差中項，則()A.16 B.8 C.4 D.22.在等差數(shù)列中，已知前21項和，則的值為()A.7 B.9 C.21 D.423.在等差數(shù)列中，，，當(dāng)其前項和取得最大值時，()A.8 B.9 C.16 D.174.已知數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則()A.1033 B.1034 C.2057 D.20585.用數(shù)學(xué)歸納法證明能被31整除時,從到添加的項數(shù)為()A.7 B.6 C.5 D.46.中國的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).如圖1是某古建筑物中的舉架結(jié)構(gòu)，,,,是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中,,,是脊，,,,是相等的步，相鄰桁的舉步的比分別為,,,,若,,是公差為0.1的等差數(shù)列，直線的斜率為，則()圖1圖2A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.97.已知等比數(shù)列的前項和為，公比，，.若數(shù)列的前項和為，，則()A. B. C. D.8.[2024新高考Ⅰ]記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.等差數(shù)列的前項和為，公差.若，則以下結(jié)論肯定正確的是()A. B.的最小值為 C. D.存在最大值10.已知數(shù)列，1，2，3，5，，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，記為數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的是()A.B.C.D.11.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，且,，記的前項積為，則下列選項正確的是()A. B. C. D.12.[2024江蘇鹽城月考]設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,且,則下列說法正確的是()A.數(shù)列為遞增數(shù)列 B.和均為的最小值C.存在正整數(shù),使得 D.存在正整數(shù),使得三、填空題:本題共4小題.13.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，，則.14.若等差數(shù)列的前項和為,且,,數(shù)列滿意，且,則數(shù)列的通項公式為.15.設(shè)數(shù)列的前項和為,若,,,則,.16.已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，第一步的驗證為；若已假設(shè)且為偶數(shù)時等式成立，則還須要用歸納假設(shè)證時等式成立.四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.從條件，，，中任選一個，補(bǔ)充到下面問題中，并給出解答.已知數(shù)列的前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，，成等比數(shù)列，求正整數(shù)的值.18.設(shè)是等差數(shù)列，,且,,成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）記的前項和為,求的最小值.19.已知數(shù)列和滿意,,,（1）證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；（2）求和的通項公式.20.已知等比數(shù)列滿意.（1）求的通項公式;（2）記數(shù)列的前項和為,證明：當(dāng)時,.21.已知等比數(shù)列滿意,.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）設(shè),求數(shù)列的前項和.22.已知數(shù)列的前項和為,且.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）設(shè),求使對隨意恒成立的實數(shù)的取值范圍.第四章綜合訓(xùn)練一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.C[解析]因為是1和3的等差中項，所以，即.由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.2.C[解析]等差數(shù)列的前21項和，.由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則.故選.3.A[解析]依題意，，即，，即，所以，，所以等差數(shù)列為遞減數(shù)列，且前8項為正數(shù)，從第9項以后為負(fù)數(shù)，所以當(dāng)其前項和取得最大值時，．故選.4.A[解析]由已知可得,,于是，因此.5.C[解析]設(shè),假設(shè)當(dāng)時,能被31整除,當(dāng)時,,則,則從到共添加了5項.故選.6.D[解析]不妨設(shè),則,，，.由題意得,即.,,.解得.故選.7.C[解析],，，或.，，..，，，即...故選.8.C[解析]甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項為，公差為，則,,，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有,，兩式相減,得，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，正確.故選.二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.AC[解析]等差數(shù)列的前項和為，公差,，，解得.，故正確；,,,均小于零，,,，均大于零，,,為的最小值，無最大值，故錯誤，錯誤；，，，故正確.故選.10.BCD[解析]由于，，，故不正確，正確；由，，，，，可得，故正確；由于該數(shù)列總有，，則，，，，，故，故正確.故選.11.ABC[解析]由于等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，且,，所以，所以且或且.當(dāng)且時，,又,所以是遞增數(shù)列，所以,沖突；當(dāng)且時，,即.因為，所以，，.故選.12.ACD[解析]設(shè)等差數(shù)列的公差為,因為時,,即,故,因為,所以,又,所以,即.因為恒成立,所以,故等差數(shù)列為遞增數(shù)列,正確;因為,所以,即,故,由選項知,故,,所以,故為的最小值,錯誤;.因為,故當(dāng)時,,所以存在正整數(shù),使得,正確;,,令,因為,解得,所以存在正整數(shù),使得,正確.故選.三、填空題:本題共4小題.13.0[解析]設(shè)的公比為，則，，所以，.14.[解析]設(shè)的公差為,則解得于是.因此.于是,,故數(shù)列的通項公式為.15.1;121[解析]由題意,可得,,所以,.再由,,得,即.又因為,所以數(shù)列是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列.所以.16.當(dāng)時，左邊，右邊，等號成立;[解析]因為為正偶數(shù)，則歸納基礎(chǔ)為當(dāng)時，左邊，右邊,等式成立；歸納假設(shè)為當(dāng)且為偶數(shù)時，成立，由于是正偶數(shù)，則下一個數(shù)應(yīng)為.四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）解若選①.，則，兩式作差得，即，，所以是等差數(shù)列，首項是，公差是0，故，所以.若選②.，，故.因為，所以，即，，故{}是等差數(shù)列，首項是，公差是1，故，故.當(dāng)時，，且也適合該式，故數(shù)列的通項公式.若選③.，，則，兩式作差得，化簡得.由知，，得，即，數(shù)列是等差數(shù)列，首項是1，公差為1，故.（2）若選①.由的通項公式知，故.又，，結(jié)合題意知，即，解得或，因為是正整數(shù)，所以.若選②.，，，結(jié)合題意知，即，解得或，因為是正整數(shù)，所以.若選③.由的通項公式知，，故.又，，結(jié)合題意知，，即，解得或，因為是正整數(shù)，所以.18.（1）解設(shè)的公差為.因為,所以,,.因為,,成等比數(shù)列，所以.所以.解得.所以.（2）由（1）知,.所以,當(dāng)時，;當(dāng)時,.所以,的最小值為.19.（1）證明由題設(shè)得,即.又因為,所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列.由題設(shè)得,即.又因為,所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列.（2）解由（1）知，,.所以,.20.（1）解設(shè)等比數(shù)列的公比為.因為,所以.又在等比數(shù)列中和均不為0,