寧夏回族自治區(qū)銀川市2025屆高考數(shù)學(xué)三模理試題含解析

Page24寧夏回族自治區(qū)銀川市2024屆高考數(shù)學(xué)三模（理）試題一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下面五個(gè)式子中：①；②；③{a}{a，b}；④；⑤a{b，c，a}；正確的有（）A.②④⑤ B.②③④⑤ C.②④ D.①⑤【答案】A【解析】【分析】依據(jù)元素與集合，集合與集合之間的關(guān)系逐個(gè)分析即可得出答案.【詳解】中，是集合{a}中的一個(gè)元素，，所以錯(cuò)誤；空集是任一集合的子集，所以正確；是的子集，所以錯(cuò)誤；任何集合是其本身的子集，所以正確；a是的元素，所以正確.故選：A.2.在下列命題中，①若為復(fù)數(shù)，則為非負(fù)數(shù)；②互為共軛的兩個(gè)復(fù)數(shù)的差為純虛數(shù)；③若（，），則（是虛數(shù)單位），肯定正確的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】①舉出反例即可推斷；②結(jié)合復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的類型即可推斷；③依據(jù)虛數(shù)不能比較大小即可干脆推斷.【詳解】①若,則，故①錯(cuò)誤；②設(shè)，則，所以，若，則差為0，若，則差為純虛數(shù)，故②錯(cuò)誤；③虛數(shù)不能比較大小，故③錯(cuò)誤；故選：A.3.已知，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)求解【詳解】，故，，得故選：C4.已知水平放置的平面四邊形，用斜二測畫法得到的直觀圖是邊長為1的正方形，如圖所示，則的周長為（）A.2 B.6 C. D.8【答案】D【解析】【分析】依據(jù)斜二測畫法可換元原圖形，依據(jù)原圖形計(jì)算周長即可.【詳解】由直觀圖可得原圖形如圖，依據(jù)斜二測畫法可知，,在中,,又,所以四邊形的周長為,故選：D5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，依次計(jì)算，即得解.【詳解】初始值：滿意：滿意：滿意：……滿意：輸出：故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查了學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知函數(shù)，則圖象為下圖的函數(shù)可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)圖象得到函數(shù)為奇函數(shù)，依據(jù)選項(xiàng)中的函數(shù)奇偶性，可得解除A、B；求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可解除C項(xiàng)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖象可得函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，對于A中，函數(shù)不是奇函數(shù)，所以A不符合題意；對于B中，函數(shù)不是奇函數(shù)，所以B不符合題意；對于C中，函數(shù)此時(shí)函數(shù)為奇函數(shù)，又由，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)區(qū)間單調(diào)遞增，而圖象中先增后減，所以C不符合題意.故選：D.7.將6名學(xué)生分成2個(gè)小組，參與數(shù)學(xué)建模競賽活動(dòng)，每個(gè)小組由3名學(xué)生組成，則學(xué)生甲?乙在同一組的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由于6名學(xué)生平均分2組的全部分法有，而甲?乙在同一組的分法有，然后利用古典概型的概率公式求解即可【詳解】解：由題意得6名學(xué)生平均分2組的全部分法有，而甲?乙在同一組的分法有，所以所求概率為，故選：C.8.四葉回旋鏢可看作是由四個(gè)相同的直角梯形圍成的圖形，如圖所示，，，，M為線段HG上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A.8 B.16 C. D.32【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出向量的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示，結(jié)合變量的范圍，即得解【詳解】如圖所示以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由題意，其中因此：因此當(dāng)時(shí)，的最大值為16.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)法求解向量的數(shù)量積，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題9.從裝有若干個(gè)大小相同的紅球、白球和黃球的袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸到紅球、白球和黃球的概率分別為，，，從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，登記顏色后放回，連續(xù)摸3次，則登記的顏色中有紅有白但沒有黃的概率為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】解：滿意題意時(shí)，取到2紅1白或者2白1紅，據(jù)此可得，登記的顏色中有紅有白但沒有黃的概率為：.本題選擇C選項(xiàng).10.已知過拋物線焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，交圓于，兩點(diǎn)，其中，位于第一象限，則的值不行能為（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】本題考查了拋物線的性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．

設(shè)PQ的方程為可得，可得，利用基本不等式求得最小值，從而作出判定．【詳解】易得拋物線的焦點(diǎn),設(shè)，，PQ的方程為，

．

，，則．

，

則．

故選：D．【點(diǎn)睛】PQ的方程為的形式，包括了斜率不存在的狀況，可以避開分類探討.11.已知實(shí)數(shù)滿意，，則的最小值為（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】理解原代數(shù)式的含義，轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式，再分析其幾何意義，構(gòu)造函數(shù)即可求解.【詳解】，令，則，其幾何意義為點(diǎn)A與點(diǎn)之間距離的平方，設(shè)，則點(diǎn)A和B分別在和的圖像上，如下圖，明顯和互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于y=x對稱，則A與B的最短距離必定在直線y=x的垂線上，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y=x對稱，不妨設(shè)，則，，設(shè)，，當(dāng)，，在x=1處取得最小值，即，∴當(dāng)取最小值時(shí)，即是取得最小值，的最小值為；故選：D.12.2024年7月24日，中共中心辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步減輕義務(wù)教化階段學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的看法》，這個(gè)政策就是我們所說的“雙減”政策，“雙減”政策極大緩解了教化的“內(nèi)卷”現(xiàn)象，而“內(nèi)卷”作為高強(qiáng)度的競爭使人精疲力竭．?dāng)?shù)學(xué)中的螺旋線可以形象的展示“內(nèi)卷”這個(gè)詞，螺旋線這個(gè)名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定點(diǎn)起先向外逐圈旋繞而形成的曲線，如圖（1）所示．如圖（2）所示陰影部分也是一個(gè)漂亮的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形的邊長為4，取正方形各邊的四等分點(diǎn)，，，，作第2個(gè)正方形，然后再取正方形各邊的四等分點(diǎn)，，，，作第3個(gè)正方形，依此方法一干脆著下去，就可以得到陰影部分的圖案．設(shè)正方形邊長為，后續(xù)各正方形邊長依次為，，…，，…；如圖（2）陰影部分，設(shè)直角三角形面積為，后續(xù)各直角三角形面積依次為，，…，，…．下列說法錯(cuò)誤的是（）A.從正方形起先，連續(xù)3個(gè)正方形的面積之和為B.C.使得不等式成立的的最大值為4D.數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】C【解析】【分析】找到規(guī)律，得到，推導(dǎo)出等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，推斷B選項(xiàng)，進(jìn)而得到從正方形ABCD起先，連續(xù)3個(gè)正方形的面積之和，推斷A選項(xiàng)，得到的通項(xiàng)公式，解不等式，推斷C選項(xiàng)，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行推斷D選項(xiàng).【詳解】由題可得，，，……，，則，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，明顯B正確；由題意可得：，即，，……，，于是，為等比數(shù)列，對A：連續(xù)三個(gè)正方形面積之和，A正確；對C：令，則，而，C錯(cuò)誤；對D：，D正確．故選：C二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則_____.【答案】【解析】【分析】利用求得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，也符合上式，所以.故答案為：14.過橢圓（）的左焦點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓于P，為右焦點(diǎn)，若,則橢圓的離心率為________【答案】【解析】【詳解】分析：把代入橢圓方程得P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而依據(jù)推斷出，整理得出，進(jìn)而求得橢圓的離心率e的大小.詳解：由題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為或，因?yàn)椋?，即，所以，所以或（舍去），故答案?點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)橢圓的離心率的問題，在解題的過程中，須要應(yīng)用點(diǎn)在橢圓上的條件為點(diǎn)的坐標(biāo)滿意橢圓的方程，代入求得P點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)角的大小，得到邊之間的關(guān)系，從而建立關(guān)于a,c的等量關(guān)系式，從而將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程，求解即可留意其取值范圍，做相應(yīng)的取舍.15.如圖，在長方體中，，，為線段的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__．【答案】2【解析】【分析】連接，得出點(diǎn)、、在平面中，問題轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)直線上取一點(diǎn)，求點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的和的最小值問題，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求．【詳解】連接，則，點(diǎn)、、在平面中，且，，，如圖1所示；在△中，以為軸，為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示，則，，；設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，的方程為，①，直線的方程為，②由①②組成方程組，解得，，直線與的交點(diǎn)，．對稱點(diǎn)，．則的最小值為2．故答案為：2．16.銳角中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，有，且，則的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】先利用三角函數(shù)恒等變形求出，利用正弦定理表示出，用三角函數(shù)求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?所以，所以.所以.因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以,所以.所以，即.因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得：由正弦定理得：，.所以.因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所以，所?即在中，由兩邊之和大于第三邊，所以.綜上所述：.故答案為：【點(diǎn)睛】解三角形的最值問題包括兩類：（1）利用正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值；（2）利用余弦定理轉(zhuǎn)化為基本不等式求最值．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：（共60分）17.在創(chuàng)建“全國文明城市”過程中，某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解狀況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城學(xué)問問卷調(diào)查（一位市民只能參與一次）通過隨機(jī)抽樣，得到參與問卷調(diào)查的人的得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：組別頻數(shù)（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分，近似為這人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點(diǎn)值作代表）.①求的值；②利用該正態(tài)分布，求或；（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參與問卷調(diào)查的市民制定如下嘉獎(jiǎng)方案：①得分不低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈(zèng)次隨機(jī)話費(fèi)；②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為：贈(zèng)送話費(fèi)的金額（單位：元）概率現(xiàn)有市民甲參與此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參與問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)與公式：若，則，，.【答案】（1）①；②；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】【分析】（1）①將每組左端點(diǎn)值乘以對應(yīng)的頻率，相加即可得出的值；②計(jì)算得出，，利用原則可求得或的值；（2）分析可知隨機(jī)變量的可能取值有、、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)一步可求得的值.【詳解】（1）①；②，所以，，，所以，或；（2），由題意可知隨機(jī)變量的可能取值有、、、、，，，，，，.18.在四邊形中，，.（1）若，求四邊形的面積；（2）記和的面積分別為和，求的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【解析】【分析】（1）連接，利用余弦定理求得，利用余弦定理求得，進(jìn)而求得，然后利用三角形的面積公式求得和的面積，相加即可得出四邊形的面積；（2）設(shè)，可得出，，利用余弦定理求出，進(jìn)而可得而出關(guān)于的表達(dá)式，再將轉(zhuǎn)化為的三角函數(shù)，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出的最大值.【詳解】（1）連接，由余弦定理得，，在中，，，由余弦定理得，，可得，，故四邊形面積為；（2）設(shè)，在中，有，由余弦定理得，中，有，，故有，即當(dāng)時(shí)，有最大值.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的幾何計(jì)算，考查四邊形面積及其最值的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是將面積表示為某角為自變量三角函數(shù)，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.19.如圖，在四棱錐中，平面，，，，．（1）求證：平面平面；（2）長為何值時(shí)，直線與平面所成角最大？并求此時(shí)該角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2），直線與平面所成角最大，此時(shí)該角的正弦值為.【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件，得到，再利用正切函數(shù)的性質(zhì)，求得，得到，進(jìn)而可證得平面平面；（2）建立空間坐標(biāo)系，得到，，，進(jìn)而得到平面的一個(gè)法向量為，進(jìn)而可利用向量的公式求解【詳解】（1）∵平面平面，∴，又，∴，∴，即（為與交點(diǎn)）．又，∴平面，又因平面，所以，平面平面（2）如圖，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，則，則，，，設(shè)平面法向量為，則，即，取，得平面的一個(gè)法向量為，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，記直線與平面所成角為，則，故，即時(shí)，直線與平面所成角最大，此時(shí)該角的正弦值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于利用定義和正切函數(shù)的性質(zhì)，得到平面，進(jìn)而證明平面平面；以及建立空間直角坐標(biāo)系，求出法向量，進(jìn)行求解直線與平面所成角的最大值，難度屬于中檔題20.已知函數(shù)，其中（1）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，記為①求的取值范圍；②求證：；（2）求證：對隨意恒有【答案】（1）①；②證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）①由題得有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，設(shè)求出函數(shù)的單調(diào)性即得解；②利用極值點(diǎn)偏移的方法證明；（2）證明，再利用裂項(xiàng)相消求和即得證.【小問1詳解】解：（1）由題得有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，所以有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以.(2)設(shè)，所以，所以在單調(diào)遞增，又，所以又，所以所以因?yàn)?，所?【小問2詳解】證明：由（1）知，所以所以對隨意恒有，所以所以.21.如圖，已知和拋物線是圓上一點(diǎn)，M是拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)．（1）當(dāng)直線與圓相切，且時(shí)，求的值；（2）過P作拋物線的兩條切線分別為切點(diǎn)，求證：存在兩個(gè)，使得面積等于．【答案】（1）或；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，設(shè)，利用圓的切線長公式、拋物線的定義建立方程求解即得；（2）設(shè)，設(shè)直線、斜率,由與拋物線相切求得，，知是方程的兩根，得到，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，，得到直線方程并化簡整理為，利用已知面積得到，與聯(lián)立得，然后利用零點(diǎn)存在定理判定解的個(gè)數(shù)即可.【詳解】（1）焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，設(shè)，則，由拋物線定義，M到焦點(diǎn)距離等于到拋物線準(zhǔn)線的距離，所以，由，得，所以或，所以或，此時(shí)與準(zhǔn)線垂直，所以或；（2）設(shè)，則，設(shè)直線方程為，代入，得，整理得①，同理，直線方程為，有②，由①②知，是方程的兩根，所以，由切線意義知，在中，，則所以，同理直線方程為即即到直線的距離所以，與聯(lián)立得所以或，設(shè)，明顯，又在上遞增，所以在上有唯一零點(diǎn)所以存在兩個(gè)，使得面積等于.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓，直線與拋物線的位置關(guān)系，面積問題，零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，難度較大，其中利用圓的切線長和拋物線的定