十年（2015-2024）高考真題數(shù)學分項匯編（全國）專題16 導數(shù)及其應用小題綜合（教師卷）

專題16導數(shù)及其應用小題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1導數(shù)的基本計算及其應用（10年4考）2020·全國卷、2018·天津卷2016·天津卷、2015·天津卷1.掌握基本函數(shù)的導數(shù)求解，會導數(shù)的基本計算，會求切線方程，會公切線的拓展，切線內(nèi)容是新高考的命題熱點，要熟練掌握2.會利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及會求極值最值，會根據(jù)極值點拓展求參數(shù)及其他內(nèi)容，極值點也是新高考的命題熱點，要熟練掌握3.會用導數(shù)研究函數(shù)的零點和方程的根，會拓展函數(shù)零點的應用，會導數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合，該內(nèi)容也是新高考的命題熱點，要熟練掌握會構(gòu)建函數(shù)利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小關(guān)系，該內(nèi)容也是新高考的命題熱點，要熟練掌握要會導數(shù)及其性質(zhì)的綜合應用，加強復習考點2求切線方程及其應用（10年10考）2024·全國甲卷、2023·全國甲卷、2022·全國新Ⅱ卷2022·全國新Ⅰ卷、2021·全國甲卷、2021·全國新Ⅱ卷2021·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2020·全國卷2020·全國卷、2019·江蘇卷、2019·全國卷2019·天津卷、2019·全國卷、2019·全國卷2018·全國卷、2018·全國卷、2018·全國卷2018·全國卷、2017·全國卷、2016·全國卷2016·全國卷、2015·全國卷、2015·陜西卷2015·陜西卷考點3公切線問題（10年3考）2024·全國新Ⅰ卷、2016·全國卷、2015·全國卷考點4利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及其應用（10年6考）2024·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅱ卷、2023·全國乙卷2019·北京卷、2017·山東卷、2016·全國卷2015·陜西卷、2015·福建卷、2015·全國卷考點5求極值與最值及其應用（10年5考）2024·上海卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷2022·全國甲卷、2021·全國新Ⅰ卷、2018·全國卷2018·江蘇卷考點6利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點及其應用（10年5考）2022·全國新Ⅰ卷、2022·全國乙卷、2021·全國乙卷、2017·全國卷、2016·四川卷考點7導數(shù)與函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合問題（10年6考）2024·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅰ卷、2022·全國新Ⅰ卷2021·全國新Ⅱ卷、2017·山東卷、2015·四川卷考點8利用導數(shù)研究函數(shù)的零點及其應用（10年6考）2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國乙卷、2021·北京卷、2018·江蘇卷、2017·全國卷、2015·陜西卷考點9利用導數(shù)研究方程的根及其應用（10年3考）2024·全國甲卷、2021·北京卷、2015·安徽卷2015·全國卷、2015·安徽卷考點10構(gòu)建函數(shù)利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小關(guān)系（10年3考）2022·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷、2021·全國乙卷考點01導數(shù)的基本計算及其應用1．（2020·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)．若，則a=．【答案】1【分析】由題意首先求得導函數(shù)的解析式，然后得到關(guān)于實數(shù)a的方程，解方程即可確定實數(shù)a的值【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則：，據(jù)此可得：，整理可得：，解得：.故答案為：.【點睛】本題主要考查導數(shù)的運算法則，導數(shù)的計算，方程的數(shù)學思想等知識，屬于中等題.2．（2018·天津·高考真題）已知函數(shù)f(x)=exlnx，為f(x)的導函數(shù)，則的值為．【答案】e【分析】首先求導函數(shù)，然后結(jié)合導函數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則，即的值為e，故答案為.點睛：本題主要考查導數(shù)的運算法則，基本初等函數(shù)的導數(shù)公式等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.3．（2016·天津·高考真題）已知函數(shù)為的導函數(shù)，則的值為.【答案】3【詳解】試題分析：【考點】導數(shù)【名師點睛】求函數(shù)的導數(shù)的方法：（1）連乘積的形式：先展開化為多項式的形式，再求導；（2）根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)冪，再求導；（3）復雜公式：通過分子上湊分母，化為簡單分式的和、差，再求導；（4）復合函數(shù)：確定復合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導；（5）不能直接求導：適當恒等變形，轉(zhuǎn)化為能求導的形式再求導．4．（2015·天津·高考真題）已知函數(shù)，其中為實數(shù)，為的導函數(shù)，若，則的值為．【答案】3【詳解】試題分析：，所以．考點：導數(shù)的運算．【名師點睛】(1)在解答過程中常見的錯誤有：①商的求導中，符號判定錯誤．②不能正確運用求導公式和求導法則．(2)求函數(shù)的導數(shù)應注意：①求導之前利用代數(shù)或三角變換先進行化簡，減少運算量．②根式形式，先化為分數(shù)指數(shù)冪，再求導．③復合函數(shù)求導先確定復合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導，必要時可換元處理．考點02求切線方程及其應用1．（2024·全國甲卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，則曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助導數(shù)的幾何意義計算可得其在點處的切線方程，即可得其與坐標軸的交點坐標，即可得其面積.【詳解】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積.故選：A.2．（2023·全國甲卷·高考真題）曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由切點設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導數(shù)，把切點的橫坐標代入導數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方程即可求解.【詳解】設(shè)曲線在點處的切線方程為，因為，所以，所以所以所以曲線在點處的切線方程為.故選：C3．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為，．【答案】【分析】分和兩種情況，當時設(shè)切點為，求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；【詳解】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求分和兩種情況，當時設(shè)切點為，求出函數(shù)導函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；解：因為，當時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合當時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；因為是偶函數(shù)，圖象為：所以當時的切線，只需找到關(guān)于y軸的對稱直線即可.[方法三]：因為，當時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；當時，設(shè)切點為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；.4．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是．【答案】【分析】設(shè)出切點橫坐標，利用導數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應有兩個不同的實數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：5．（2021·全國甲卷·高考真題）曲線在點處的切線方程為．【答案】【分析】先驗證點在曲線上，再求導，代入切線方程公式即可．【詳解】由題，當時，，故點在曲線上．求導得：，所以．故切線方程為．故答案為：．6．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點，則取值范圍是．【答案】【分析】結(jié)合導數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點間距離公式可得，，化簡即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點和點，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個變量后，運算即可得解.7．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根據(jù)導數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導得，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知，點在直線上，可得，令，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，當時，，當時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認識的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.8．（2020·全國·高考真題）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義設(shè)出直線的方程，再由直線與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點為，則，函數(shù)的導數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的應用以及直線與圓的位置的應用，屬于中檔題.9．（2020·全國·高考真題）函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得函數(shù)的導數(shù)，計算出和的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.【詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題10．（2020·全國·高考真題）曲線的一條切線的斜率為2，則該切線的方程為.【答案】【分析】設(shè)切線的切點坐標為，對函數(shù)求導，利用，求出，代入曲線方程求出，得到切線的點斜式方程，化簡即可.【詳解】設(shè)切線的切點坐標為，，所以切點坐標為，所求的切線方程為，即.故答案為：.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.11．（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標是.【答案】.【分析】設(shè)出切點坐標，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標的值可得切點坐標.【詳解】設(shè)點，則.又，當時，，點A在曲線上的切線為，即，代入點，得，即，考查函數(shù)，當時，，當時，，且，當時，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實數(shù)根，此時，故點的坐標為.【點睛】導數(shù)運算及切線的理解應注意的問題：一是利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點．12．（2019·全國·高考真題）已知曲線在點處的切線方程為，則A． B． C． D．【答案】D【解析】通過求導數(shù)，確定得到切線斜率的表達式，求得，將點的坐標代入直線方程，求得．【詳解】詳解：，將代入得，故選D．【點睛】本題關(guān)鍵得到含有a，b的等式，利用導數(shù)幾何意義和點在曲線上得到方程關(guān)系．13．（2019·天津·高考真題）曲線在點處的切線方程為.【答案】【分析】利用導數(shù)值確定切線斜率，再用點斜式寫出切線方程．【詳解】，當時其值為，故所求的切線方程為，即．【點睛】曲線切線方程的求法：(1)以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：①求出函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x)；②求切線的斜率f′(x0)；③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．(2)如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進而確定切線方程．14．（2019·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為．【答案】.【分析】本題根據(jù)導數(shù)的幾何意義，通過求導數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點斜式求得切線方程【詳解】詳解：所以，所以，曲線在點處的切線方程為，即．【點睛】準確求導數(shù)是進一步計算的基礎(chǔ)，本題易因為導數(shù)的運算法則掌握不熟，二導致計算錯誤．求導要“慢”，計算要準，是解答此類問題的基本要求．15．（2019·全國·高考真題）曲線y=2sinx+cosx在點(π，–1)處的切線方程為A． B．C． D．【答案】C【分析】先判定點是否為切點，再利用導數(shù)的幾何意義求解.【詳解】當時，，即點在曲線上．則在點處的切線方程為，即．故選C．【點睛】本題考查利用導數(shù)工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取導數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題．學生易在非切點處直接求導數(shù)而出錯，首先證明已知點是否為切點，若是切點，可以直接利用導數(shù)求解；若不是切點，設(shè)出切點，再求導，然后列出切線方程．16．（2018·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)．若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為()A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：利用奇函數(shù)偶次項系數(shù)為零求得，進而得到的解析式，再對求導得出切線的斜率，進而求得切線方程.詳解：因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，解得，所以，，所以，所以曲線在點處的切線方程為，化簡可得，故選D.點睛：該題考查的是有關(guān)曲線在某個點處的切線方程的問題，在求解的過程中，首先需要確定函數(shù)解析式，此時利用到結(jié)論多項式函數(shù)中，奇函數(shù)不存在偶次項，偶函數(shù)不存在奇次項，從而求得相應的參數(shù)值，之后利用求導公式求得，借助于導數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線方程的點斜式求得結(jié)果.17．（2018·全國·高考真題）曲線在點處的切線的斜率為，則．【答案】【分析】求導，利用導數(shù)的幾何意義計算即可．【詳解】解：則所以故答案為-3.【點睛】本題主要考查導數(shù)的計算和導數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．18．（2018·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為．【答案】【分析】求導，可得斜率，進而得出切線的點斜式方程.【詳解】由，得，則曲線在點處的切線的斜率為，則所求切線方程為，即.【點睛】求曲線在某點處的切線方程的步驟：①求出函數(shù)在該點處的導數(shù)值即為切線斜率；②寫出切線的點斜式方程；③化簡整理.19．（2018·全國·高考真題）曲線在點處的切線方程為．【答案】【分析】先求導數(shù)，再根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點斜式求切線方程.【詳解】【點睛】求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點.20．（2017·全國·高考真題）曲線在點（1，2）處的切線方程為．【答案】【詳解】設(shè)，則，所以，所以曲線在點處的切線方程為，即．點睛:求曲線的切線方程是導數(shù)的重要應用之一，用導數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點，則以為切點的切線方程是．若曲線在點處的切線平行于軸（即導數(shù)不存在）時，由切線定義知，切線方程為．21．（2016·全國·高考真題）已知為偶函數(shù)，當時，，則曲線在點處的切線方程是.【答案】【詳解】試題分析：當時，，則．又因為為偶函數(shù)，所以，所以，則，所以切線方程為，即．【考點】函數(shù)的奇偶性、解析式及導數(shù)的幾何意義【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當時，函數(shù)，則當時，求函數(shù)的解析式”．有如下結(jié)論：若函數(shù)為偶函數(shù)，則當時，函數(shù)的解析式為；若為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為．22．（2016·全國·高考真題）已知為偶函數(shù)，當時，，則曲線在點處的切線方程是．【答案】【詳解】試題分析：當時，，則．又因為為偶函數(shù)，所以，所以，則切線斜率為，所以切線方程為，即．【考點】函數(shù)的奇偶性與解析式，導數(shù)的幾何意義．【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當時，函數(shù)，則當時，求函數(shù)的解析式”．有如下結(jié)論：若函數(shù)為偶函數(shù)，則當時，函數(shù)的解析式為；若為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為．23．（2015·全國·高考真題）已知函數(shù)的圖像在點的處的切線過點，則.【答案】1【詳解】試題分析：.考點：1、導數(shù)的幾何意義；2、直線方程.【方法點晴】本題考查導數(shù)的幾何意義、直線方程，涉及分特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型.首先求導可得.24．（2015·陜西·高考真題）設(shè)曲線在點（0,1）處的切線與曲線上點處的切線垂直，則的坐標為．【答案】【詳解】設(shè).對y＝ex求導得y′＝ex，令x＝0，得曲線y＝ex在點(0，1)處的切線斜率為1，故曲線上點P處的切線斜率為－1，由，得，則，所以P的坐標為(1，1)．考點：導數(shù)的幾何意義．25．（2015·陜西·高考真題）函數(shù)在其極值點處的切線方程為.【答案】【詳解】，令，此時函數(shù)在其極值點處的切線方程為考點：：導數(shù)的幾何意義.考點03公切線問題1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則.【答案】【分析】先求出曲線在的切線方程，再設(shè)曲線的切點為，求出，利用公切線斜率相等求出，表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.【詳解】由得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設(shè)切線與曲線相切的切點為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點為，切線方程為，根據(jù)兩切線重合,所以，解得.故答案為：2．（2016·全國·高考真題）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．【答案】【詳解】試題分析：對函數(shù)求導得，對求導得，設(shè)直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，則，由點在切線上得，由點在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.【考點】導數(shù)的幾何意義【名師點睛】函數(shù)f（x）在點x0處的導數(shù)f′（x0）的幾何意義是曲線y＝f（x）在點P（x0，y0）處的切線的斜率．相應地，切線方程為y?y0＝f′（x0）（x?x0）．注意：求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的不同．3．（2015·全國·高考真題）已知曲線在點處的切線與曲線相切,則a=．【答案】8【詳解】試題分析：函數(shù)在處的導數(shù)為，所以切線方程為；曲線的導函數(shù)的為，因與該曲線相切，可令，當時，曲線為直線，與直線平行，不符合題意；當時，代入曲線方程可求得切點，代入切線方程即可求得.考點：導函數(shù)的運用.【方法點睛】求曲線在某一點的切線，可先求得曲線在該點的導函數(shù)值，也即該點切線的斜率值，再由點斜式得到切線的方程，當已知切線方程而求函數(shù)中的參數(shù)時，可先求得函數(shù)的導函數(shù)，令導函數(shù)的值等于切線的斜率，這樣便能確定切點的橫坐標，再將橫坐標代入曲線（切線）得到縱坐標得到切點坐標，并代入切線（曲線）方程便可求得參數(shù)．考點04利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及其應用1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點 B．當時，C．當時， D．當時，【答案】ACD【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，得到極值點，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.【詳解】對A，因為函數(shù)的定義域為R，而，易知當時，，當或時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點，正確；對B，當時，，所以，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯誤；對C，當時，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，正確；對D，當時，，所以，正確；故選：ACD.2．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．3．（2023·全國乙卷·高考真題）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是.【答案】【分析】原問題等價于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.4．（2019·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)f（x）=ex+ae?x（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是．【答案】-1;.【分析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用導函數(shù)的解析式可得a的取值范圍.【詳解】若函數(shù)為奇函數(shù),則，對任意的恒成立.若函數(shù)是上的增函數(shù),則恒成立,.即實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性?單調(diào)性?利用單調(diào)性確定參數(shù)的范圍.解答過程中,需利用轉(zhuǎn)化與化歸思想,轉(zhuǎn)化成恒成立問題.注重重點知識?基礎(chǔ)知識?基本運算能力的考查.5．（2017·山東·高考真題）若函數(shù)(e=2.71828,是自然對數(shù)的底數(shù))在的定義域上單調(diào)遞增,則稱函數(shù)具有M性質(zhì),下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是A． B． C． D．【答案】A【詳解】對于A,令,,則在R上單調(diào)遞增,故具有M性質(zhì),故選A.【名師點睛】(1)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：①確定函數(shù)f(x)的定義域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；④解不等式f′(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)范圍的方法：①利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a,b)上單調(diào),則區(qū)間(a,b)是相應單調(diào)區(qū)間的子集．②轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題,即轉(zhuǎn)化為“若函數(shù)單調(diào)遞增,則f′(x)≥0；若函數(shù)單調(diào)遞減,則f′(x)≤0”來求解．6．（2016·全國·高考真題）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：對恒成立，故，即恒成立，即對恒成立，構(gòu)造，開口向下的二次函數(shù)的最小值的可能值為端點值，故只需保證，解得．故選C．【考點】三角變換及導數(shù)的應用【名師點睛】本題把導數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合在一起進行考查,有所創(chuàng)新,求解的關(guān)鍵是把函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,再進一步轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,注意與三角函數(shù)值域或最值有關(guān)的問題,即注意正、余弦函數(shù)的有界性.7．（2015·陜西·高考真題）設(shè)，則A．既是奇函數(shù)又是減函數(shù) B．既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C．是有零點的減函數(shù) D．是沒有零點的奇函數(shù)【答案】B【詳解】試題分析：函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，，因此函數(shù)是奇函數(shù)，不恒等于0，函數(shù)是增函數(shù)，故答案為B．考點：函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性．8．（2015·福建·高考真題）若定義在上的函數(shù)滿足，其導函數(shù)滿足，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】試題分析：令，則，因此，所以選C.考點：利用導數(shù)研究不等式【方法點睛】利用導數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導數(shù)研究對應函數(shù)單調(diào)性，而對應函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導數(shù)法則進行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等9．（2015·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是A． B．C． D．【答案】A【詳解】構(gòu)造新函數(shù),，當時.所以在上單減，又，即.所以可得,此時，又為奇函數(shù)，所以在上的解集為：.故選A.點睛：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要構(gòu)造函數(shù)，例如，想到構(gòu)造.一般：（1）條件含有，就構(gòu)造,（2）若，就構(gòu)造，（3），就構(gòu)造，（4）就構(gòu)造，等便于給出導數(shù)時聯(lián)想構(gòu)造函數(shù).考點05求極值與最值及其應用1．（2024·上海·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函數(shù) B．存在在處取最大值C．存在是嚴格增函數(shù) D．存在在處取到極小值【答案】B【分析】對于ACD利用反證法并結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及極小值的概念即可判斷，對于B，構(gòu)造函數(shù)即可判斷.【詳解】對于A，若存在是偶函數(shù),取,則對于任意,而,矛盾,故A錯誤；對于B，可構(gòu)造函數(shù)滿足集合，當時，則，當時，，當時，，則該函數(shù)的最大值是，則B正確；對C，假設(shè)存在，使得嚴格遞增，則，與已知矛盾，則C錯誤；對D，假設(shè)存在，使得在處取極小值，則在的左側(cè)附近存在，使得，這與已知集合的定義矛盾，故D錯誤；故選：B.2．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，由已知可得在上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，因為函數(shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點，而，因此方程有兩個不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.故選：BCD3．（2022·全國乙卷·高考真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D4．（2022·全國甲卷·高考真題）當時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.5．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）函數(shù)的最小值為.【答案】1【分析】由解析式知定義域為，討論、、，并結(jié)合導數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.【詳解】由題設(shè)知：定義域為，∴當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，有，此時單調(diào)遞減；當時，，有，此時單調(diào)遞增；又在各分段的界點處連續(xù)，∴綜上有：時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.6．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)，則的最小值是．【答案】【分析】方法一：由，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，減區(qū)間，從而確定出函數(shù)的最小值點，代入求得函數(shù)的最小值.【詳解】［方法一］：【通性通法】導數(shù)法．令，得，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；令，得，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．則．故答案為：.［方法二］：三元基本不等式的應用因為，所以．當且僅當，即時，取等號．根據(jù)可知，是奇函數(shù)，于是，此時．故答案為：.［方法三］：升冪公式＋多元基本不等式，，當且僅當，即時，．根據(jù)可知，是奇函數(shù)，于是．故答案為：.［方法四］：化同角＋多元基本不等式+放縮，當且僅當時等號成立．故答案為：.［方法五］：萬能公式＋換元+導數(shù)求最值設(shè)，則可化為，當時，；當時，，對分母求導后易知，當時，有最小值．故答案為：.［方法六］：配方法，當且僅當即時，取最小值．故答案為：.［方法七］：【最優(yōu)解】周期性應用＋導數(shù)法因為，所以，即函數(shù)的一個周期為，因此時，的最小值即為函數(shù)的最小值．當時，，當時，因為，令，解得或，由，，，所以的最小值為．故答案為：.【整體點評】方法一：直接利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得出極值點，從而求出最小值，是求最值的通性通法；方法二：通過對函數(shù)平方，創(chuàng)造三元基本不等式的使用條件，從而解出；方法三：基本原理同方法三，通過化同角利用多元基本不等式求解，難度較高；方法四：通過化同角以及化同名函數(shù)，放縮，再結(jié)合多元基本不等式求解，難度較高；方法五：通過萬能公式化簡換元，再利用導數(shù)求出最值，該法也較為常規(guī)；方法六：通過配方，將函數(shù)轉(zhuǎn)化成平方和的形式，構(gòu)思巧妙；方法七：利用函數(shù)的周期性，縮小函數(shù)的研究范圍，再利用閉區(qū)間上的最值求法解出，解法常規(guī)，是該題的最優(yōu)解．7．（2018·江蘇·高考真題）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為．【答案】【分析】方法一：利用導數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，確定零點位置，求出參數(shù),再根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性確定函數(shù)最值，即可解出.【詳解】［方法一］：【通性通法】單調(diào)性法求導得，當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在內(nèi)無零點；當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．當時，；當時，．要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點，只需，解得．于是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以最大值與最小值之和為．故答案為：．［方法二］：等價轉(zhuǎn)化由條件知有唯一的正實根，于是．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，當時，；當時，．只需直線與的圖像有一個交點，故，下同方法一．［方法三］：【最優(yōu)解】三元基本不等式同方法二得，，當且僅當時取等號，要滿足條件只需，下同方法一．［方法四］：等價轉(zhuǎn)化由條件知有唯一的正實根，即方程有唯一的正實根，整理得，即函數(shù)與直線在第一象限內(nèi)有唯一的交點．于是平移直線與曲線相切時，滿足題意，如圖．設(shè)切點，因為，于是，解得，下同方法一．【整體點評】方法一：利用導數(shù)得出函數(shù)在上的單調(diào)性，確定零點位置，求出參數(shù)，進而問題轉(zhuǎn)化為閉區(qū)間上的最值問題，從而解出，是該類型題的通性通法；方法二：利用等價轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)在上有唯一零點轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有唯一交點，從而求出參數(shù)，使問題得解；方法三：通過三元基本不等式確定取最值條件，從而求出參數(shù)，使問題得解，是該題的最優(yōu)解；方法四：將函數(shù)在上有唯一零點轉(zhuǎn)化為直線與曲線相切，從而求出參數(shù)，使問題得解．考點06利用導數(shù)研究函數(shù)的極值點及其應用1．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AC【分析】利用極值點的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點，當時，，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC.2．（2022·全國乙卷·高考真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是．【答案】【分析】法一：依題可知，方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導數(shù)的幾何意義求得過原點的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點因為，所以方程的兩個根為，即方程的兩個根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當時，，即圖象在上方當時，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導=0的兩個根為因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.【整體點評】法一：利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．3．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先考慮函數(shù)的零點情況，注意零點左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點的性質(zhì)，對進行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項.【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，a為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法可以快速解答.4．（2017·全國·高考真題）若是函數(shù)的極值點，則的極小值為．A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題可得，因為，所以，，故，令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為，故選A．【名師點睛】（1）可導函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同；（2）若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)增或減的函數(shù)沒有極值．5．（2016·四川·高考真題）已知a為函數(shù)f（x）=x3–12x的極小值點，則a=A．–4 B．–2 C．4 D．2【答案】D【詳解】試題分析：，令得或，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值點為2，即，故選D.【考點】函數(shù)的導數(shù)與極值點【名師點睛】本題考查函數(shù)的極值點．在可導函數(shù)中，函數(shù)的極值點是方程的解，但是極大值點還是極小值點，需要通過這個點兩邊的導數(shù)的正負性來判斷，在附近，如果時，，時，則是極小值點，如果時，，時，，則是極大值點.考點07導數(shù)與函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合問題1．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點 B．當時，C．當時， D．當時，【答案】ACD【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，得到極值點，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.【詳解】對A，因為函數(shù)的定義域為R，而，易知當時，，當或時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點，正確；對B，當時，，所以，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯誤；對C，當時，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，正確；對D，當時，，所以，正確；故選：ACD.2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知函數(shù)的定義域為，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點【答案】ABC【分析】方法一：利用賦值法，結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構(gòu)造特殊函數(shù)進行判斷即可.【詳解】方法一：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，不妨令，顯然符合題設(shè)條件，此時無極值，故錯誤.方法二：因為，對于A，令，，故正確.對于B，令，，則，故B正確.對于C，令，，則，令，又函數(shù)的定義域為，所以為偶函數(shù)，故正確，對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，故可以設(shè)，則，當肘，，則，令，得；令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

顯然，此時是的極大值，故D錯誤.故選：.3．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關(guān)系研究對于，因為為偶函數(shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對稱，則，故C正確；對于，因為為偶函數(shù)，，，所以關(guān)于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關(guān)于對稱，因為其定義域為R，所以，結(jié)合關(guān)于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關(guān)于對稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯誤，選BC.故選：BC.[方法三]：因為，均為偶函數(shù)，所以即，，所以，，則，故C正確；函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對稱，又，且函數(shù)可導，所以，所以，所以，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.【點評】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．4．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)．①；②當時，；③是奇函數(shù)．【答案】（答案不唯一，均滿足）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.【詳解】取，則，滿足①，，時有，滿足②，的定義域為，又，故是奇函數(shù)，滿足③.故答案為：（答案不唯一，均滿足）5．（2017·山東·高考真題）若函數(shù)是自然對數(shù)的底數(shù)在的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)具有M性質(zhì)，下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為①

②

③

④【答案】①④【詳解】①在上單調(diào)遞增，故具有性質(zhì)；②在上單調(diào)遞減，故不具有性質(zhì)；③，令，則，當時，，當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故不具有性質(zhì)；④，令，則，在上單調(diào)遞增，故具有性質(zhì)．【名師點睛】1.本題考查新定義問題，屬于創(chuàng)新題，符合新高考的走向．它考查學生的閱讀理解能力，接受新思維的能力，考查學生分析問題與解決問題的能力，新定義的概念實質(zhì)上只是一個載體，解決新問題時，只要通過這個載體把問題轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟悉的知識即可．2.求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域(定義域優(yōu)先)；(2)求導函數(shù)f′(x)；(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集確定函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間．若遇不等式中帶有參數(shù)時，可分類討論求得單調(diào)區(qū)間．3.由函數(shù)f(x)在(a，b)上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，要注意“＝”是否可以取到．6．（2015·四川·高考真題）已知函數(shù)f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.對于不相等的實數(shù)x1，x2，設(shè)m＝，n＝，現(xiàn)有如下命題：①對于任意不相等的實數(shù)x1，x2，都有m＞0；②對于任意的a及任意不相等的實數(shù)x1，x2，都有n＞0；③對于任意的a，存在不相等的實數(shù)x1，x2，使得m＝n；④對于任意的a，存在不相等的實數(shù)x1，x2，使得m＝－n.其中真命題有（寫出所有真命題的序號）.【答案】①④【詳解】對于①，因為f'（x）＝2xln2＞0恒成立，故①正確對于②，取a＝－8，即g'（x）＝2x－8，當x1，x2＜4時n＜0，②錯誤對于③，令f'（x）＝g'（x），即2xln2＝2x＋a記h（x）＝2xln2－2x，則h'（x）＝2x（ln2）2－2存在x0∈（0，1），使得h（x0）＝0，可知函數(shù)h（x）先減后增，有最小值.因此，對任意的a，m＝n不一定成立.③錯誤對于④，由f'（x）＝－g'（x），即2xln2＝－2x－a令h（x）＝2xln2＋2x，則h'（x）＝2x（ln2）2＋2＞0恒成立，即h（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，當x→＋∞時，h（x）→＋∞當x→－∞時，h（x）→－∞因此對任意的a，存在y＝a與函數(shù)h（x）有交點.④正確考點：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的運算等基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)與方程的思想和數(shù)形結(jié)合的思想，考查分析問題和解決能提的能力.考點08利用導數(shù)研究函數(shù)的零點及其應用1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當時，有三個零點B．當時，是的極大值點C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心【答案】AD【分析】A選項，先分析出函數(shù)的極值點為，根據(jù)零點存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點；B選項，根據(jù)極值和導函數(shù)符號的關(guān)系進行分析；C選項，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據(jù)此計算判斷；D選項，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據(jù)此進行計算判斷，亦可利用拐點結(jié)論直接求解.【詳解】A選項，，由于，故時，故在上單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；B選項，，時，，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，此時在處取到極小值，B選項錯誤；C選項，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；D選項，方法一：利用對稱中心的表達式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.方法二：直接利用拐點結(jié)論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數(shù)的零點，，，，由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.故選：AD【點睛】結(jié)論點睛：（1）的對稱軸為；（2）關(guān)于對稱；（3）任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心是三次函數(shù)的拐點，對稱中心的橫坐標是的解，即是三次函數(shù)的對稱中心2．（2023·全國乙卷·高考真題）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出，并求出極值點，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當時，，當，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個零點，則，即，解得，故選：B.3．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，恰有2個零點；②存在負數(shù)，使得恰有1個零點；③存在負數(shù)，使得恰有3個零點；④存在正數(shù)，使得恰有3個零點．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項的正誤.【詳解】對于①，當時，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點，②正確；對于③，當直線過點時，，解得，所以，當時，直線與曲線有兩個交點，若函數(shù)有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，直線與曲線有一個交點，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點，③錯誤；對于④，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導得，由題意可得，解得，所以，當時，函數(shù)有三個零點，④正確.故答案為：①②④.【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．4．（2018·江蘇·高考真題）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則在上的最大值與最小值的和為．【答案】【分析】方法一：利用導數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，確定零點位置，求出參數(shù),再根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性確定函數(shù)最值，即可解出.【詳解】［方法一］：【通性通法】單調(diào)性法求導得，當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在內(nèi)無零點；當時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．當時，；當時，．要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點，只需，解得．于是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以最大值與最小值之和為．故答案為：．［方法二］：等價轉(zhuǎn)化由條件知有唯一的正實根，于是．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，當時，；當時，．只需直線與的圖像有一個交點，故，下同方法一．［方法三］：【最優(yōu)解】三元基本不等式同方法二得，，當且僅當時取等號，要滿足條件只需，下同方法一．［方法四］：等價轉(zhuǎn)化由條件知有唯一的正實根，即方程有唯一的正實根，整理得，即函數(shù)與直線在第一象限內(nèi)有唯一的交點．于是平移直線與曲線相切時，滿足題意，如圖．設(shè)切點，因為，于是，解得，下同方法一．【整體點評】方法一：利用導數(shù)得出函數(shù)在上的單調(diào)性，確定零點位置，求出參數(shù)，進而問題轉(zhuǎn)化為閉區(qū)間上的最值問題，從而解出，是該類型題的通性通法；方法二：利用等價轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)在上有唯一零點轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有唯一交點，從而求出參數(shù)，使問題得解；方法三：通過三元基本不等式確定取最值條件，從而求出參數(shù)，使問題得解，是該題的最優(yōu)解；方法四：將函數(shù)在上有唯一零點轉(zhuǎn)化為直線與曲線相切，從而求出參數(shù)，使問題得解．5．（2017·全國·高考真題）已知函數(shù)有唯一零點，則A． B． C． D．1【答案】C【詳解】因為，設(shè)，則，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)有唯一零點，則函數(shù)有唯一零點，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，只有當時，才滿足題意，即是函數(shù)的唯一零點，所以，解得.故選：C.【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：（1）利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解.（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.（3）轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.6．（2015·陜西·高考真題）對二次函數(shù)（為非零整數(shù)），四位同學分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是A．是的零點 B．1是的極值點C．3是的極值 D．點在曲線上【答案】A【詳解】若選項A錯誤時，選項B、C、D正確，，因為是的極值點，是的極值，所以，即，解得：，因為點在曲線上，所以，即，解得：，所以，，所以，因為，所以不是的零點，所以選項A錯誤，選項B、C、D正確，故選A．【考點定位】1、函數(shù)的零點；2、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．考點09利用導數(shù)研究方程的根及其應用1．（2024·全國甲卷·高考真題）曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為．【答案】【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，令，分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)結(jié)合導數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，畫出大致圖形數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】令，即，令則，令得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，，因為曲線與在上有兩個不同的交點，所以等價于與有兩個交點，所以.故答案為：2．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，恰有2個零點；②存在負數(shù)，使得恰有1個零點；③存在負數(shù)，使得恰有3個零點；④存在正數(shù)，使得恰有3個零點．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項的正誤.【詳解】對于