2024天津中考數(shù)學(xué)二輪重難題型專題訓(xùn)練 題型三 第18題網(wǎng)格作圖題 (含答案)

2024天津中考數(shù)學(xué)二輪重難題型專題訓(xùn)練題型三第18題網(wǎng)格作圖題類型一面積問題典例精講例1如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上．例1題圖(Ⅰ)AB的長(zhǎng)等于________；(Ⅱ)在△ABC的內(nèi)部有一點(diǎn)P，滿足S△PAB∶S△PBC∶S△PCA＝1∶2∶3，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出點(diǎn)P，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的(不要求證明)________________________________________________________________________.【思維教練】(Ⅱ)∵S△PAB∶S△PBC∶S△PCA＝1∶2∶3，∴S△PAB＝eq\f(1,6)S△ABC，S△PBC＝eq\f(1,3)S△ABC，S△PCA＝eq\f(1,2)S△ABC，利用平行線間的距離相等，構(gòu)造同底等高的三角形，利用面積的倍數(shù)關(guān)系，分別取AC的一個(gè)六等分點(diǎn)、AC的一個(gè)三等分點(diǎn)，構(gòu)造AB、BC的平行線即可．針對(duì)演練1.如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上．第1題圖(Ⅰ)△ABC的面積等于________；(Ⅱ)若四邊形DEFG是△ABC中所能包含的面積最大的正方形，請(qǐng)你在如圖所示的網(wǎng)格中，用直尺和三角尺畫出該正方形，并簡(jiǎn)要說明畫圖方法(不要求證明)______________________.2.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，A，B，C均為格點(diǎn)．第2題圖(Ⅰ)sin∠ABC的值為________；(Ⅱ)點(diǎn)D，F(xiàn)分別為AB，AC上的點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于DF的對(duì)稱點(diǎn)為E，且DE∥AC，連接DE，EF分別交BC于點(diǎn)H，G，當(dāng)S△ADF＝15S△EHG時(shí)，請(qǐng)利用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)D，F(xiàn)，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)D，F(xiàn)的位置是如何找到的(不要求證明)________________.3.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)P也在格點(diǎn)上，點(diǎn)C是兩個(gè)同心圓的圓心．第3題圖(Ⅰ)線段AB的長(zhǎng)等于________；(Ⅱ)以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，當(dāng)△PDE的面積取得最小值時(shí)，請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)D，E，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)D，E的位置是如何找到的(不要求證明)_____________________________________.4.如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C均落在格點(diǎn)上．第4題圖(Ⅰ)計(jì)算AC2＋BC2的值等于____________；(Ⅱ)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出一個(gè)以AB為一邊的矩形，使該矩形的面積等于AC2＋BC2，并簡(jiǎn)要說明畫圖方法(不要求證明)____________________________.5.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B都在格點(diǎn)上．第5題圖(Ⅰ)線段AB的長(zhǎng)等于________；(Ⅱ)在如圖所示的網(wǎng)格中，以AB為底邊作一個(gè)面積為5的等腰三角形ABQ，并簡(jiǎn)要說明你是怎么畫出點(diǎn)Q的(不要求證明)_________________________________________.類型二線段問題典例精講例2如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，C均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)B在網(wǎng)格線上．例2題圖(Ⅰ)線段AC的長(zhǎng)等于________；(Ⅱ)以AB為直徑的半圓的圓心為O，在線段AB上有一點(diǎn)P，滿足AP＝AC.請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)P，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的(不要求證明)________________________________________________________________________.【思維教練】(Ⅱ)要滿足AP＝AC，利用線段垂直平分線的性質(zhì)，先構(gòu)造AC的平行線，再利用平行線的性質(zhì)和直徑所對(duì)圓心角為90°構(gòu)造三角形及三角形底邊的垂直平分線即可．針對(duì)演練1.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)P，A，O均在格點(diǎn)上，半圓O的半徑為3，PT與半圓O相切于點(diǎn)T.第1題圖(Ⅰ)∠PTO的大?。絖_______(度)；(Ⅱ)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出線段PT，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)T的位置是如何找到的(不要求證明)__________________________________________________________.2.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上．第2題圖(Ⅰ)∠ACB的大小為________(度)；(Ⅱ)在如圖所示的網(wǎng)格中，P是BC邊上任意一點(diǎn)．以A為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠BAC，把點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′.當(dāng)CP′最短時(shí)，請(qǐng)用無刻度的直尺，畫出點(diǎn)P′，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P′的位置是如何找到的(不要求證明)______________________________________.3.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，C均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)B在網(wǎng)格線上，且AB＝eq\f(5,3).第3題圖(Ⅰ)線段AC的長(zhǎng)等于________；(Ⅱ)以BC為直徑的半圓與邊AC相交于點(diǎn)D，若P，Q分別為邊AC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BP＋PQ取得最小值時(shí)，請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)P，Q，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P，Q的位置是如何找到的(不要求證明)_________________________________________.4.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，A、E為格點(diǎn)，B，F(xiàn)為小正方形邊的中點(diǎn)，C為AE，BF的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)．第4題圖(Ⅰ)AE的長(zhǎng)等于________；(Ⅱ)若點(diǎn)P在線段AC上，點(diǎn)Q在線段BC上，且滿足AP＝PQ＝QB，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出線段PQ，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P、Q的位置是如何找到的(不要求證明)________________________________________________________________________.5.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，AB為以點(diǎn)C為圓心的半圓的直徑，點(diǎn)A，B，C，P都在格點(diǎn)上，PC交半圓于點(diǎn)D.第5題圖(Ⅰ)PD的長(zhǎng)等于________；(Ⅱ)點(diǎn)F是半圓上一點(diǎn)(點(diǎn)F不與點(diǎn)A，B重合)，PF與半圓相切于點(diǎn)F，點(diǎn)Q為半圓外一點(diǎn)，QD與半圓相切于點(diǎn)D，且QD＝eq\f(16,5)，請(qǐng)用無刻度的直尺在網(wǎng)格中畫出符合條件的點(diǎn)F，Q.并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)F，Q的位置是如何找到的(不要求證明)__________________________.6.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，B在格點(diǎn)上，C是小正方形邊的中點(diǎn)．第6題圖(Ⅰ)AB的長(zhǎng)等于________；(Ⅱ)M是線段BC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，P是△ABC外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在線段PB上，且滿足PN＝2BN.當(dāng)MN取得最大值時(shí)，請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出點(diǎn)P，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的(不要求證明)________________________________.7.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△OAB的頂點(diǎn)A，B，O均落在格點(diǎn)上，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓交OB于點(diǎn)C.第7題圖(Ⅰ)線段BC的長(zhǎng)等于________；(Ⅱ)若BD切⊙O于點(diǎn)D，P為OA上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)BP＋DP取得最小值時(shí)，請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)D，P，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)D，P的位置是如何找到的(不要求證明)________________________________________________________________________.8.如圖①，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上．(Ⅰ)線段AB的長(zhǎng)為________；(Ⅱ)點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)AP＋eq\r(5)PB最短時(shí)，請(qǐng)你在圖②所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫出點(diǎn)P的位置(保留畫圖痕跡)，并簡(jiǎn)要說明畫圖的方法(不要求證明)________________________________________________________________________.第8題圖類型三角度問題典例精講例3如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，B是小正方形邊的中點(diǎn)，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，經(jīng)過點(diǎn)A，B的圓的圓心在邊AC上．例3題圖(Ⅰ)線段AB的長(zhǎng)等于________；(Ⅱ)請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出一個(gè)點(diǎn)P，使其滿足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的(不要求證明)____________________________.【思維教練】(Ⅱ)要確定點(diǎn)P的位置，根據(jù)已知∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，且點(diǎn)A，B在⊙O上，從而根據(jù)圓的對(duì)稱性，只需在⊙O上確定點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q與點(diǎn)A關(guān)于BO對(duì)稱，點(diǎn)Q與點(diǎn)B關(guān)于AO對(duì)稱，再根據(jù)∠ABC及∠A的度數(shù)確定∠PBC的度數(shù)，從而得到點(diǎn)P的位置．針對(duì)演練1.如圖，是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的7×6的網(wǎng)格，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)僅用無刻度的直尺作圖．第1題圖(Ⅰ)線段AB的長(zhǎng)等于________；(Ⅱ)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出一個(gè)格點(diǎn)P，使∠ABP＝45°并簡(jiǎn)要說明畫圖方法(不要求證明)_________________________________________________________.2.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，P分別為正方形邊的中點(diǎn)，B在格點(diǎn)上．第2題圖(Ⅰ)線段AB的長(zhǎng)等于________；(Ⅱ)請(qǐng)用無刻度的直尺，在線段AB上畫出一個(gè)點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q滿足∠PQA＝3∠PQB，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)Q的位置是如何找到的(不要求證明)_______________________________________.3.“三等分任意角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問題．已知一個(gè)角∠MAN，設(shè)∠α＝eq\f(1,3)∠MAN.第3題圖(Ⅰ)當(dāng)∠MAN＝69°時(shí)，∠α的大小為________(度)；(Ⅱ)如圖，將∠MAN放置在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1cm的網(wǎng)格中，角的一邊AM與水平方向的網(wǎng)格線平行，另一邊AN經(jīng)過格點(diǎn)B，且AB＝2.5cm.現(xiàn)要求只能使用帶刻度的直尺，請(qǐng)你在圖中作出∠α，并簡(jiǎn)要說明作法(不要求證明)_________________________________.4.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)B，C均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)A在網(wǎng)格線上，且AC＝eq\f(5,2).(Ⅰ)線段AB的長(zhǎng)等于________；(Ⅱ)以AB為直徑的半圓與邊BC相交于點(diǎn)D，在圓上有一點(diǎn)P，使得BP平分∠ABC，請(qǐng)用無刻度的直尺在如圖所示的網(wǎng)格中畫出點(diǎn)P，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的(不要求證明)_______________________________________________________.第4題圖拓展類型其他問題針對(duì)演練1.如圖所示，在每個(gè)邊長(zhǎng)都為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均為格點(diǎn)．第1題圖(Ⅰ)線段AB的長(zhǎng)度等于________；(Ⅱ)點(diǎn)P是△ABC內(nèi)切圓與AB的切點(diǎn)，請(qǐng)你借助給定的網(wǎng)格，用無刻度的直尺畫出點(diǎn)P，并簡(jiǎn)要說明你是怎么找到點(diǎn)P的(不要求證明)________________________________.2.(2021河?xùn)|區(qū)一模)如圖，在由邊長(zhǎng)都為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B均為格點(diǎn)，C為網(wǎng)格線的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)B，C的⊙O與線段AB交于點(diǎn)D.第2題圖(Ⅰ)線段AC的長(zhǎng)等于________；(Ⅱ)請(qǐng)借助無刻度直尺在給定的網(wǎng)格中畫出圓心O，并簡(jiǎn)要說明你是怎么畫出點(diǎn)O的(不要求證明)______________________________________________________________________.3.如圖，在由邊長(zhǎng)都為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均落在格點(diǎn)上.第3題圖(Ⅰ)線段AB的長(zhǎng)為________；(Ⅱ)在AB上找E點(diǎn)使CE⊥AB，請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)E，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)E的位置是如何找到的(不要求證明)____________________________________.4.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上．第4題圖(Ⅰ)△ABC的面積為________；(Ⅱ)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺在AC上作一點(diǎn)M，使以M為圓心，MC為半徑的⊙M與AB相切，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)M的位置是如何找到的(不要求證明)___________________.參考答案類型一面積問題典例精講例1(Ⅰ)eq\r(17)；【解析】由勾股定理得AB＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17).(Ⅱ)如解圖，AC與網(wǎng)格線相交，得點(diǎn)D，E；取格點(diǎn)F，連接FB并延長(zhǎng)，與網(wǎng)格線相交，得點(diǎn)M，N，連接DN，EM交于點(diǎn)P，連接PA，PB，PC，則點(diǎn)P即為所求．例1題解圖【解析】∵S△PAB∶S△PBC∶S△PCA＝1∶2∶3，∴S△PAB＝eq\f(1,6)S△ABC，S△PBC＝eq\f(1,3)S△ABC，S△PCA＝eq\f(1,2)S△ABC，作NF∥AC，DN∥BC,EM∥AB，且AE＝eq\f(1,6)AC，CD＝eq\f(1,3)AC，∴S△EAB＝S△PAB＝eq\f(1,6)S△ABC，S△DBC＝S△PBC＝eq\f(1,3)S△ABC，∴S△PCA＝S△ABC－eq\f(1,3)S△ABC－eq\f(1,6)S△ABC＝eq\f(1,2)S△ABC.針對(duì)演練1.(Ⅰ)6；【解析】S△ABC＝eq\f(1,2)×4×3＝6.(Ⅱ)如解圖，將點(diǎn)B繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P，連接PC，過點(diǎn)A作PC的平行線，與BC交于點(diǎn)Q，連接PQ與AC相交于點(diǎn)D；過點(diǎn)D作CB的平行線，與AB相交于點(diǎn)E，分別過點(diǎn)D、E作PC的平行線，與CB相交于點(diǎn)G、F.則四邊形DEFG即為所求．第1題解圖【解析】找到格點(diǎn)P的位置，點(diǎn)P可以看成點(diǎn)B繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得，且PC＝BC；連接PC，過點(diǎn)A作PC的平行線交BC于點(diǎn)Q，連接PQ交AC于點(diǎn)D，此時(shí)以D為頂點(diǎn)很容易作出一個(gè)矩形DEFG，∵∠DQG＝∠PQC，∠DGQ＝∠PCQ＝90°，∴△DGQ∽△PCQ，∴DG∶PC＝DQ∶PQ，∵四邊形DEFG為矩形，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴DE∶BC＝AD∶AC，而AD∶AC＝DQ∶PQ，∴DG∶PC＝DE∶BC，∵PC＝BC，則DG＝DE，可得矩形DEFG即為所求的面積最大的正方形．2.解：(Ⅰ)eq\f(3,5)；【解析】∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝5，∴sin∠ABC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5).(Ⅱ)如解圖①，取格點(diǎn)M，N，連接MN交網(wǎng)格線于點(diǎn)O，取格點(diǎn)L，連接OL交AC于點(diǎn)F，取格點(diǎn)K，連接KC交AB于點(diǎn)D，則點(diǎn)D，F(xiàn)即為所求．圖①圖②第2題解圖【解析】畫草圖如解圖②，∵點(diǎn)A，E關(guān)于DF對(duì)稱，∴DA＝DE，∠ADF＝∠EDF，∵DE∥AC，∴∠EDF＝∠AFD，∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF，設(shè)AD＝AF＝x，則DE＝x，BD＝5－x，DH＝BD·sin∠CBD＝eq\f(3,5)(5－x)，∴HE＝DE－DH＝eq\f(8,5)x－3，∵∠E＝∠A，∴HG＝HE·tanE＝eq\f(4,3)×(eq\f(8,5)x－3)，∴S△HEG＝eq\f(1,2)HE·GH＝eq\f(2,3)×(eq\f(8,5)x－3)2，∵S△ADF＝eq\f(1,2)AF·AD·sinA＝eq\f(1,2)x·eq\f(4,5)x＝eq\f(2,5)x2，∴eq\f(2,5)x2＝15×eq\f(2,3)(eq\f(8,5)x－3)2，解得x＝eq\f(15,7)或eq\f(5,3)，∵HE＝eq\f(8,5)x－3＞0，∴x＝eq\f(15,7)，即AD＝eq\f(15,7)，BD＝eq\f(20,7).∴BD∶AD＝4∶3，在如解圖①中，∵eq\f(BK,AC)＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(4,3)，∴點(diǎn)D的位置即為所求．∵eq\f(OF,LF)＝eq\f(\f(1,2),3)＝eq\f(1,6)，∴AF＝2＋eq\f(1,7)＝eq\f(15,7)，∴點(diǎn)F的位置即為所求．3.(Ⅰ)5；【解析】AB＝eq\r(42＋32)＝5.(Ⅱ)如解圖①，取格點(diǎn)F，G，H，I，分別連接FG，HI，與網(wǎng)格線分別交于點(diǎn)J，K，作直線JK分別與小圓、大圓交于點(diǎn)D，E，則點(diǎn)D，E即為所求．第3題解圖①【解析】如解圖②，連接CD、CE、PE、PD，∵△ABC旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D、E，∴AB＝DE＝5，設(shè)點(diǎn)P到直線DE的距離為h，則S△PDE＝eq\f(1,2)h·DE＝eq\f(5,2)h，∴當(dāng)h取最小值時(shí)△PDE的面積最小，當(dāng)DE⊥CP時(shí)h最小，即S△PDE的值最小，則點(diǎn)D，E即為所求．第3題解圖②4.(Ⅰ)11；【解析】AC＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，BC＝3，∴AC2＋BC2＝(eq\r(2))2＋32＝11.(Ⅱ)如解圖，取格點(diǎn)D，E，連接AD，DE，BE，取格點(diǎn)H，I，連接HI，交網(wǎng)格線于點(diǎn)J，取格點(diǎn)K，連接JK，交AD于點(diǎn)M，取格點(diǎn)O，P，連接OP，交網(wǎng)格線于點(diǎn)Q，取格點(diǎn)R，連接QR，交BE于點(diǎn)N，連接MN，則四邊形AMNB即為所求．第4題解圖【解析】如解圖，取格點(diǎn)D，E，連接AD，DE，BE，構(gòu)造正方形ADEB，∵AB＝eq\r(12＋42)＝eq\r(17)，∴正方形ADEB的面積為17，且AD＝BE＝eq\r(17)，要使以AB為一邊的矩形的面積為11，則矩形的另一邊長(zhǎng)為eq\f(11\r(17),17)，則在AD，BE上分別截取AM＝BN＝eq\f(11\r(17),17)，則eq\f(AM,DM)＝eq\f(BN,NE)＝eq\f(11,6)＝eq\f(5.5,3)，取格點(diǎn)H，I，連接HI，交網(wǎng)格線于點(diǎn)J，取格點(diǎn)K，連接JK，交AD于點(diǎn)M，則eq\f(AM,DM)＝eq\f(AJ,KD)＝eq\f(5.5,3)，取格點(diǎn)O，P，連接OP，交網(wǎng)格線于點(diǎn)Q，取格點(diǎn)R，連接QR，交BE于點(diǎn)N，則eq\f(BN,NE)＝eq\f(BQ,RE)＝eq\f(5.5,3)，連接MN，則四邊形AMNB即為所求．5.(Ⅰ)eq\r(26)；【解析】AB＝eq\r(12＋52)＝eq\r(26).(Ⅱ)如解圖，取格點(diǎn)C，E，F(xiàn)，連接AC，EF，AC與EF相交于點(diǎn)M，取格點(diǎn)D，S，T，連接BD，ST，BD與ST相交于點(diǎn)N，連接MN，取格點(diǎn)L，P，連接LP交MN于點(diǎn)Q，連接AQ，BQ，則△ABQ即為所求．第5題解圖【解析】如解圖，AC＝BD＝eq\r(26)，可證CA⊥AB，DB⊥AB，∴AC∥BD.∵EC∥AF，∴△EMC∽△FMA，∴eq\f(CM,AM)＝eq\f(EC,FA)＝eq\f(8,5)，∴AM＝eq\f(5,13)AC＝eq\f(5\r(26),13).∵SD∥BT，∴△SND∽△TNB，∴eq\f(ND,NB)＝eq\f(SD,TB)＝eq\f(8,5)，∴BN＝eq\f(5,13)BD＝eq\f(5\r(26),13).∴AM＝BN，∴四邊形AMNB為矩形，易得LP與AB互相垂直平分，∴點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn)，且QA＝QB，∴S△ABQ＝eq\f(1,2)S矩形AMNB＝eq\f(1,2)AB·AM＝5.∴△ABQ即為所求．類型二線段問題典例精講例2(Ⅰ)eq\r(5)；【解析】AC＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)；(Ⅱ)如解圖，設(shè)BC與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)D，連接OD并延長(zhǎng)交半圓O于點(diǎn)E，連接AE交BC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)BE，AC交于點(diǎn)F，連接FG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．例2題解圖【解析】如解圖，由BC與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)D，得CD＝BD.∵AO＝BO，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥AC，∴∠AEO＝∠CAE.∵AO＝EO，∴∠OAE＝∠AEO.∴∠CAE＝∠OAE，∴AE平分∠FAB.∵AB為半圓O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BF.∵AE平分∠FAB，∴直線AE垂直平分BF，∴∠FGE＝∠BGE，∴∠PGA＝∠CGA，∵AE平分∠FAB，AG＝AG，∴△APG≌△ACG，∴AP＝AC.針對(duì)演練1.(Ⅰ)90；【解析】∵PT是⊙O的切線，∴∠PTO＝90°.(Ⅱ)如解圖①，取格點(diǎn)C，連接PC即為切線，切點(diǎn)是T，線段PT即為所求作．第1題解圖①【解析】如解圖②，取格點(diǎn)H，連接OC，OT，可知PC＝PO＝5，∴△PCO是等腰三角形，∵等腰三角形兩個(gè)腰上的高相等，∴OT＝CH＝OA＝3，∴PT⊥TO，∴PC是⊙O的切線．第1題解圖②2.(Ⅰ)90；【解析】∵AC2＝32＋32＝18，BC2＝42＋42＝32，AB2＝72＋12＝50，∴AB2＝AC2＋BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°.(Ⅱ)如解圖，取格點(diǎn)D，E，連接DE交AB于點(diǎn)T；取格點(diǎn)M，N，連接MN交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；取格點(diǎn)F，連接FG交TC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P′，則點(diǎn)P′即為所求．第2題解圖【解析】∵FC＝2eq\r(2)，AC＝3eq\r(2)，∴AF＝AC＋CF＝5eq\r(2)，∴AF＝AB，∴以點(diǎn)A為中心，∠BAC為旋轉(zhuǎn)角，將△ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)F即為點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．∵點(diǎn)G為MN的中點(diǎn)，∴CG＝eq\f(3\r(2),2)，又∵BC＝4eq\r(2)，AC＝3eq\r(2)，∴eq\f(FC,BC)＝eq\f(CG,AC)＝eq\f(1,2)，又∵∠ACB＝∠GCF＝90°，∴△FCG∽△BCA，∴∠F＝∠B，∠CGP′＝∠A，∴線段FG即為邊BC旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)邊的一部分，∴點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′在直線FG上，∵點(diǎn)T為AB的中點(diǎn)，AB為Rt△ACB的斜邊，∴TC＝TB，∴∠TCB＝∠B，又∵∠GCP′＝∠TCB，∴∠B＝∠GCP′，∴∠GCP′＋∠CGP′＝∠A＋∠B＝90°，∴∠GP′C＝90°，即CP′⊥GF.根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)，CP′即為所求．3.(Ⅰ)eq\r(13)；【解析】AC＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13).(Ⅱ)如解圖①，取格點(diǎn)M，N，連接MN，連接BD并延長(zhǎng)，與MN相交于點(diǎn)B′，連接B′C，與半圓相交于點(diǎn)E，連接BE，與AC相交于點(diǎn)P，連接B′P并延長(zhǎng)，與BC相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)P，Q即為所求．第3題解圖①【解析】如解圖②，延長(zhǎng)NM交網(wǎng)格線于點(diǎn)G，取格點(diǎn)I，設(shè)MN與直線CI交于點(diǎn)K，易知KI＝eq\f(2,3)，∴CK＝1＋eq\f(2,3)＝eq\f(5,3)，∵AC∥MN，AG∥CK，∴四邊形CKGA為平行四邊形，∴AG＝CK＝eq\f(5,3)，∵AB＝eq\f(5,3)，∴AB＝AG，∴BD＝B′D，∵BC為直徑，∴∠BDC＝90°，∠BEC＝90°，∴CD垂直平分BB′，BE⊥CE，∴BP＝B′P，點(diǎn)P為△BB′C的垂心，∴BP＋PQ＝B′P＋PQ，B′Q⊥BC，∴BP＋PQ的最小值為B′Q的長(zhǎng)，即點(diǎn)P，Q即為所要求的點(diǎn)．第3題解圖②4.(Ⅰ)eq\r(5)；【解析】AE＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).(Ⅱ)如解圖，AC與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)P；取格點(diǎn)M，連接AM并延長(zhǎng)與BC相交于點(diǎn)Q.連接PQ，則線段PQ即為所求．第4題解圖【解析】若以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(6，eq\f(3,2))，E(1，2)，F(xiàn)(5，eq\f(7,2))，∴直線AE的解析式為yAE＝2x，直線BF的解析式為yBF＝－2x＋eq\f(27,2)，設(shè)P(m，2m)，Q(n，－2n＋eq\f(27,2))(0＜m＜n＜6)，∴AP2＝m2＋(2m)2＝5m2，PQ2＝(m－n)2＋(2m＋2n－eq\f(27,2))2，BQ2＝(n－6)2＋(－2n＋12)2＝5(n－6)2，∵AP＝PQ＝BQ，∴5m2＝5(n－6)2，5m2＝(m－n)2＋(2m＋2n－eq\f(27,2))2，由5m2＝5(n－6)2得m＝6－n，m＝n－6(舍去)，把m＝6－n代入5m2＝(m－n)2＋(2m＋2n－eq\f(27,2))2，得n＝eq\f(9,2)或n＝eq\f(63,2)(舍去)，∴P(eq\f(3,2)，3)，Q(eq\f(9,2)，eq\f(9,2))．5.(Ⅰ)2；【解析】PC＝eq\r(32＋42)＝5，又∵CD＝3，∴PD＝PC－CD＝2.(Ⅱ)如解圖，取格點(diǎn)E，S，H，T，G，連接BE交半圓點(diǎn)F，連接TD，SH并延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)F，Q為所求點(diǎn)．第5題解圖【解析】如解圖，連接PE，CF，設(shè)BE與CP交于點(diǎn)R，∵eq\f(EG,BG)＝eq\f(8,6)＝eq\f(4,3)，eq\f(PB,CB)＝eq\f(4,3)，∴eq\f(EG,BG)＝eq\f(PB,CB).∵∠EGB＝∠PBC＝90°，∴△EGB∽△PBC，∴∠EBG＝∠PCB.∵∠EBG＋∠CBE＝90°，∴∠PCB＋∠CBE＝90°，∴∠CRB＝90°.∵CF＝CB，∴∠PCF＝∠PCB.∵PC＝PC，∴△PFC≌△PBC，∴∠PFC＝∠PBC＝90°，∴PF與半圓相切于點(diǎn)F.∵CD＝CB，∠PCB＝∠TCD，CP＝CT，∴△PCB≌△TCD，∴∠CDT＝∠CBP＝90°，∴QD與半圓相切于點(diǎn)D.∵HP∥SC，HP＝SC，∴四邊形HPCS為平行四邊形，∴SH∥CP，∴eq\f(TC,SC)＝eq\f(TD,QD)，∴eq\f(5,4)＝eq\f(4,QD).解得QD＝eq\f(16,5).6.(Ⅰ)eq\r(5)；【解析】AB＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).(Ⅱ)如解圖①，取格點(diǎn)T，連接BT交△ABC的外接圓于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．第6題解圖①【解析】如解圖②，連接PC，由題意知，eq\f(PN,BN)＝eq\f(CM,BM)＝2，∴MN∥PC，MN＝eq\f(1,3)PC，∴當(dāng)PC取最大值時(shí)，MN取得最大值，∴當(dāng)PC是直徑時(shí)，MN的值最大，由作圖知BP⊥BC，∴PC是圓的直徑，則點(diǎn)P即為所求．第6題解圖②7.(Ⅰ)eq\r(13)－3；【解析】BC＝BO－OC＝eq\r(22＋32)－3＝eq\r(13)－3.(Ⅱ)如解圖①，取格點(diǎn)E，連接AE與⊙O的交點(diǎn)即為點(diǎn)D，取格點(diǎn)F，連接DF，與OA的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.第7題解圖①【解析】如解圖②，連接BD，OD，設(shè)AE與OB交于點(diǎn)M，∵OD＝OA＝3，OM＝OM，又∵OB⊥AE，∴∠DMO＝∠AMO＝90°，∴△DMO≌△AMO(HL)，∴∠DOM＝∠AOM.∵OB＝OB，∴△DOB≌△AOB(SAS)．∵AB⊥OA，∴BD⊥OD，∵OD為⊙O半徑，∴BD為⊙O的切線；∵點(diǎn)F是點(diǎn)B關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)P在OA上，∴BP＋DP＝DP＋PF，當(dāng)點(diǎn)D、P、F三點(diǎn)共線即DP＋PF＝DF時(shí)有最小值，此時(shí)BP＋DP取得最小值，則點(diǎn)D，P即為所求．第7題解圖②8.(Ⅰ)eq\r(17)；【解析】AB＝eq\r(12＋42)＝eq\r(17).(Ⅱ)如解圖①，取格點(diǎn)D并連接AD交網(wǎng)格線于點(diǎn)E，連接BE交AC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．第8題解圖①【解析】如解圖②，取格點(diǎn)M，連接CM，CM與網(wǎng)格線交于點(diǎn)J，可知J為CM的中點(diǎn)，連接AJ與BE交于點(diǎn)I，可知BE⊥AJ，∵J為MC的中點(diǎn)，∴CJ＝MJ＝eq\f(1,2)CM，∵M(jìn)C⊥AC，AC＝MC，∴sin∠JAC＝eq\f(JC,AJ)＝eq\f(\r(5),5)，∴eq\f(PI,AP)＝eq\f(\r(5),5)，∴PI＝eq\f(\r(5),5)AP，∵AP＋eq\r(5)BP＝eq\r(5)(eq\f(\r(5),5)AP＋PB)＝eq\r(5)(PI＋PB)≥eq\r(5)BI，∴點(diǎn)P即為所求作．第8題解圖②類型三角度問題典例精講例3(Ⅰ)eq\f(\r(17),2)；【解析】AB＝eq\r(22＋（\f(1,2)）2)＝eq\f(\r(17),2).(Ⅱ)如解圖①，取圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF與AC相交，得圓心O，設(shè)AB與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)D，連接DO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)Q，連接QC并延長(zhǎng)，與點(diǎn)B，O的連線BO相交于點(diǎn)P，連接AP，則點(diǎn)P滿足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB.例3題解圖①【解析】如解圖②，取圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E、F，連接EF交AC于點(diǎn)O，∵∠EAF＝90°，∴EF為圓的直徑，由題意知過點(diǎn)A、B的圓的圓心在邊AC上，∴點(diǎn)O為該圓的圓心，連接DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)Q，連接AQ，BQ，QC，OB，QC的延長(zhǎng)線交OB于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)M，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴OD⊥AB，∵∠OAB＝30°，∴∠AOD＝∠BOD＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AQB＝60°，∵OD為AB的垂直平分線，∴AQ＝QB，∴△AQB為等邊三角形，∴∠QAB＝60°，∵∠CAB＝30°，∴∠QAC＝∠BAC，∴點(diǎn)O為△AQB三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)，∴∠OBQ＝∠OBA＝30°，∠QOC＝∠BOC＝60°，易得△QOC≌△BOC，∴∠OQC＝∠OBC，∵∠CBA＝50°，∴∠PBC＝∠CBA－∠OBA＝50°－30°＝20°，∴∠OQC＝20°，∴∠PQB＝30°－20°＝10°，∵∠QDM＝90°，∴∠QMD＝90°－20°＝70°，∵∠QMD＝∠ABC＋∠PCB，∴∠PCB＝70°－50°＝20°，∴∠PCB＝∠PBC，∵∠OBQ＝∠OBA，易得△PBA≌△PBQ，∴∠PAB＝∠PQB＝10°，∴∠PAC＝30°－10°＝20°，∴∠PAC＝∠PBC＝∠PCB＝20°，則點(diǎn)P即為所求．例3題解圖②針對(duì)演練1.(Ⅰ)5；【解析】AB＝eq\r(32＋42)＝5.(Ⅱ)如解圖，取格點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．第1題解圖【解析】如解圖，連接PA，PB，由格點(diǎn)P的位置知，PA⊥AB，PA＝AB，則△PAB是等腰直角三角形，則∠ABP＝45°，則點(diǎn)P即為所求．2.(Ⅰ)eq\f(\r(53),2)；【解析】AB＝eq\r(12＋（\f(7,2)）2)＝eq\f(\r(53),2).(Ⅱ)如解圖，取格點(diǎn)M，N，連接MN交網(wǎng)格線于點(diǎn)T，連接PT交線段AB于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q為所求點(diǎn).第2題解圖【解析】如解圖，取格點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)，CE，DF交于點(diǎn)S，連接PS，則PS⊥AB，且PS＝AB，連接TS，則TS⊥PS，TS＝PS，連接PT，則△PST為等腰直角三角形，∴∠PTS＝45°.∵PS⊥AB，TS⊥PS，∴AB∥TS，∴∠PQB＝∠PTS＝45°，∴∠PQA＝135°，∴∠PQA＝3∠PQB.3.(Ⅰ)23；【解析】∠α＝eq\f(1,3)∠MAN＝eq\f(1,3)×69°＝23°.(Ⅱ)如解圖①，讓直尺有刻度的一邊過點(diǎn)A，設(shè)該邊與過點(diǎn)B的豎直方向的網(wǎng)格線交于點(diǎn)C，與過點(diǎn)B的水平方向的網(wǎng)格線交于點(diǎn)D，保持直尺有刻度的一邊過點(diǎn)A，調(diào)整點(diǎn)C、D的位置，使CD＝5cm，畫射線AD，此時(shí)∠MAD即為所求的∠α.第3題解圖①【解析】如解圖②，取CD