人教版九年級上冊數(shù)學(xué) 第24章 圓 尖子生練習(xí)試卷（含答案解析）

人教版九年級上冊數(shù)學(xué)第24章圓尖子生練習(xí)試卷

選擇題（共5小題）

1.已知。。的半徑為2,A為圓內(nèi)一定點，AO=1.P為圓上一動點，以AP為邊作等腰△

APG,AP=PG,ZAPG=120°,OG的最大值為（）

A.1+A/3B.1+273C.2+VsD.2V3-1

2.如圖，。。中，弦ABLC。，垂足為E,尸為血的中點，連接ARBF、AC,AF交CD

于過尸作H/_LAC,垂足為G,以下結(jié)論：?CF=DF：②HC=BF：③MF=FC：

@DF+AH=BF+AF;其中成立的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.如圖，直線>=1+1與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，尸是該直線上的任一點，過

2

點。（3,0）向以P為圓心，為半徑的。尸作兩條切線，切點分別為E、F,則四

2

邊形PE。尸面積的最小值為（）

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4.如圖，AB,8c是。。的弦，/B=60°,點。在內(nèi)，點。為血上的動點，點M,

N,P分別是AD,DC,CB的中點.若O。的半徑為2,則PN+MN的長度的最大值是（）

1+2正C.2+273D.2+>/3

5.如圖，A3是。。的直徑，AB=10,P是半徑上的一動點，PCLAB交。。于點C,

在半徑02上取點0,使得0Q=CP,OQLAB交O。于點。，點C,。位于42兩側(cè),

連接CD交AB于點R點P從點A出發(fā)沿A。向終點。運動，在整個運動過程中，△

CF尸與△。尸。的面積和的變化情況是（）

B.一直不變

C.先變大后變小D.先變小后變大

二.填空題（共9小題）

6.如圖，等邊△ABC中，AB=2,點。是以A為圓心，半徑為1的圓上一動點，連接C￡）,

取CO的中點E,連接則線段BE的最大值與最小值之和為.

7.如圖，AB是半圓。的直徑，點C在半徑上，過點C做COLAB交半圓。于點Z）.以

CD,CA為邊分別向左、下作正方形CDEF,CAGH.過點B作GH的垂線與GH的延長

線交于點/,M為的中點.記正方形COERCAGH,四邊形8CH/的面積分別為田,

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S2，S3.

Si

(1)若AC：BC=2：3,則一L的值為

S2

（2）若。，O,M在同條直線上，則」s~+^s的值為

8.如圖，直線y=-尤+%（機＞0）與x軸、y軸分別交于點A,B,C是的中點，點。

在直線y=-2上，以C。為直徑的圓與直線AB的另一交點為￡,交y軸于點RG,已

知CE+DE=6圾,FG=2代貝UCD的長是.

9.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=10,8c=8,點。是BC上一點，BC=3CD,

點尸是線段AC上一個動點，以尸。為直徑作。。，點M為奇的中點，連接AM,則AM

的最小值為

10.如圖，半徑為5的。。與y軸相交于A點，B為。。在x軸上方的一個動點（不與點A

重合），C為y軸上一點且NOCB=60°,/為△BC。的內(nèi)心，則△A/。的外接圓的半徑

的取值（或取值范圍）為.

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11.如圖，AB是半圓。的直徑，點C在半圓上，AB=5,AC=4,。是前k的一個動點,

連接AD過點C作CELAD于E,連接BE,則3E的最小值是

12.如圖，已知等邊AABC內(nèi)接于。0,點尸為AB上任意一點(點尸不與點A、點8重合),

連結(jié)尸2、PO,取8C的中點。，取。尸的中點E,連結(jié)。E,若NOED=a,則NP2C的

度數(shù)為..(用含a的代數(shù)式表示)

13.如圖，己知A(6,0),B(4,3)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點，以點8圓心的OB經(jīng)過原

點0,BC±x軸于點C,點。為02上一動點，E為的中點，則線段CE長度的最大

AO=8,點E,E分別在邊AD,BC上，且點8,F關(guān)

于過點E的直線對稱，如果EF與以CD為直徑的圓恰好相切，那么AE=

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AED

三.解答題(共36小題)

15.如圖，。。為△ABC的外接圓，。為0C與48的交點，￡為線段0C延長線上一點,

S.ZEAC^ZABC.

(1)求證：直線AE是。0的切線.

(2)若。為A8的中點，CD=6,AB=16

①求。。的半徑；

②求△ABC的內(nèi)心到點。的距離.

16.如圖，半圓。的直徑AB=20,將半圓。繞點8順針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓。'，與AB交

于點P

(1)求AP的長；

(2)求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留TT).

17.如圖，在△ABC中，AB^AC,以A8為直徑的。。交BC于點。，過點D作跖，AC

于點E,交的延長線于點尸.

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(1)判斷直線。E與O。的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)如果A8=5,BC=6,求。E的長.

18.如圖，己知直線陰交。。于4、8兩點，AE是。。的直徑，點C為。。上■點，且

AC平分/B4E,過C作CD_LE4,垂足為D

(1)求證：CD為O。的切線；

(2)若CD=2AD。。的直徑為20,求線段AC、AB的長.

19.如圖，已知圓。的圓心為。，半徑為3,點M為圓。內(nèi)的一個定點，OM=煙,AB,

是圓。的兩條相互垂直的弦，垂足為

(1)當(dāng)AB=4時，求四邊形AOBC的面積；

(2)當(dāng)48變化時，求四邊形A。8c的面積的最大值.

20.如圖(1),ZABC=90°,O為射線BC上一點，08=4,以點。為圓心，2，水為半

徑作O。交BC于點。、E.

(1)當(dāng)射線8A繞點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)多少度時與相切？請說明理由.

(2)若射線繞點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°時與O。相交于M、N兩點，如圖(2),

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求諭的長.

21.如圖，OOi與。。2相交于點A和8,經(jīng)過A作直線與。。1相交于。，與。。2相交于C,

設(shè)弧8C的中點為弧8。的中點為N,線段CD的中點為K.求證：MKLKN.

22.△ABC的內(nèi)切圓分別切BC、CA、A8于點。、E、F,過點尸作的平行線分別交直

線ZM、DE于點H、G.求證：FH=HG.

23.以。為圓心，1為半徑的圓內(nèi)有一定點A,過A引互相垂直的弦P。，RS.求PQ+RS

的最大值和最小值.

24.如圖，已知銳角△ABC的外心為。，線段0A和BC的中點分別為點M,N.若/A8C

=4/0MN,NACB=6/0MN.求/OMN的大小.

25.設(shè)點。(0,0)、點A(2,0),分別以O(shè)、A為圓心，半徑為2人廠作圓，兩圓在第一

象限的交點為P.

(1)當(dāng)r=l時，求點尸的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)三<r<2時，能否找到一定點。，使尸。為定值？若能找到，請求出。點的坐

標(biāo)及定值；若不能找到，請說明理由.

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y

26.如圖，已知以RtAABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓OO,N3的平分線BE交AC

于。，交。。于E,過E作E尸〃AC交54的延長線于F.

(1)求證：跖是O。切線；

(2)若A8=15,EF=1Q,求AE的長.

27.如圖：已知。為常數(shù)，F(xiàn)i(-^2+20,0),F242+20,0),過三作直線/，點A,

2在直線/上，且滿足4為-4/2=8為-3/2=2。，M,N分別為為三，△2為三的內(nèi)

切圓的圓心.

(1)設(shè)與F]F2相切于點尸1，ON與F]F2切于點尸2，試判斷Pi與P2的位置關(guān)系,

并加以證明；

(2)已知sin/B&為=2，且MN=9,試求°的值.

28.如圖，以RtaABC的直角邊AB為直徑的。。交斜邊AC于點。，過點。作O。的切線

與BC交于點E,弦DM與48垂直，垂足為H.

(1)求證：E為8C的中點；

(2)若。0的面積為12m兩個三角形△A/TO和的外接圓面積之比為3,求4

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OEC的內(nèi)切圓面積Si和四邊形OBED的外接圓面積出的比.

過A,B,C三點的。。交于E,且與C。相切.

(1)求證：AC=BC；

(2)若A2=4,BE=6,求。。的半徑長.

30.如圖，48是。。的直徑，BC交。。于點。，E是弧2。的中點，AE與8C交于點R

ZC=2ZEAB.

(1)求證：AC是。。的切線;

求AP的長.

31.如圖，在△ABC中，/C=90；以8C為直徑的。。交AB于點。，。。的切線DE

交AC于點E.

(1)求證：E是AC中點;

(2)若AB=10,BC=6,連接。，OE,交點為凡求。尸的長.

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32.如圖，點。為RtaABC斜邊AB上的一點，以。4為半徑的O。與3c切于點。，與

AC交于點E,連接AD

(1)求證：AD平分NA4C；

(2)若NBAC=60°,OA=2,求陰影部分的面積(結(jié)果保留n).

33.如圖，AC是O。的直徑，8C是。。的弦，點P是O。外一點，連接E4,PB,AB,己

知/尸8A=NC.

(1)求證：尸8是的切線；

(2)連接OP,若OP〃BC,且OP=8,。。的半徑為2&，求BC的長.

34.如圖，是。。的直徑，點C在AB的延長線上，CO與。O相切于點。，CELAD,

交A。的延長線于點E.

(1)求證：ZBDC=ZA；

(2)若CE=2眄,DE=2,求AD的長.

(3)在(2)的條件下，求弧的長.

35.已知△ABC內(nèi)接于O。，過點A作直線EE

(1)如圖①，A8是直徑，要使E尸是。。的切線，還須添加一個條件是(只需寫出三

種情況).

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(I)(II)(III)

(2)如圖(2),若AB為非直徑的弦，/CAE=/B,則所是的切線嗎？為什么？

圖①圖②

36.如圖，在△A8C中，AB=AC,以45為直徑作半圓。0,交8C于點。，連接AD過

點。作DELAC,垂足為點E.

(1)求證：。石是。。的切線；

(2)當(dāng)OO半徑為3,CE=2時，求8。長.

37.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,是/BAC的平分線，經(jīng)過A、。兩點的圓的圓

心。恰好落在AB上，O。分別與A3、AC相交于點E、F.

(1)判斷直線BC與。。的位置關(guān)系并證明；

(2)若的半徑為2,AC=3,求的長度.

38.已知：如圖1,在。。中，直徑AB=4,CD=2,直線A。，8C相交于點E.

(1)NE的度數(shù)為；

(2)如圖2,與C。交于點尸，請補全圖形并求/E的度數(shù)；

(3)如圖3,弦A3與弦C。不相交，求NAEC的度數(shù).

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E

39.如圖，。是△ABC的外心,/是AABC的內(nèi)心，連A/并延長交BC和。。于。、E兩點.

(1)求證：EB=EI-,

(2)若A3=4,AC=3,BE=2,求A/的長.

40.如圖，在△ABC中，AB=AC,以A8為直徑作(DO,分別交AC、BC于點。、E,點、F

在AC的延長線上，且NA=2/C8F.

(1)求證：與相切.

(2)若BC=CF=4,求8尸的長度.

41.如圖，以△ABC的邊AB為直徑的。。交AC的中點D,DE與0。相切，且交BC于E.若

OO的直徑為5,AC=8.求。E的長.

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42.在。。中，AB是0O直徑，AC是弦，ZBAC=50°.

(I)如圖(1),。是A8上一點，AD=AC,延長CD交。。于點E,求/CEO的大?。?/p>

(II)如圖(2),。是AC延長線上一點，AD=AB,連接2。交。。于點E,求NCE。

43.如圖，在O。中，為直徑，AC為弦.過BC延長線上一點G,作GOLAO于點Z),

交AC于點E,交。。于點RM是GE的中點，連接CRCM.

(1)判斷CM與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若CM=6,C尸=4,求MF的長.

44.如圖，。。的直徑AB的長為2,點C在圓周上，/CAB=30°,點。是圓上一動點,

￡>E〃A8交。1的延長線于點E,連接CD交42于點?

圖1

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(I)如圖1,當(dāng)/AC￡>=45°時，請你判斷。E與O。的位置關(guān)系并加以證明；

(II)如圖2,當(dāng)點尸是CO的中點時，求△CZJE的面積.

45.如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的圓交AC于點。，交BC于點、E,延長

AE至點尸，使EF=AE,連接月3,FC.

(1)求證：四邊形ABEC是菱形；

(2)若AO=7,BE=2,求半圓和菱形A2PC的面積.

46.如圖，已知AB是。。的直徑，C,。是。。上的點，OCHBD,交于點E,連結(jié)

BC.

(1)求證：AE=ED-,

(2)若AB=10,/CBD=36°,求京的長.

47.已知是。。的直徑，AB=2,點C,點。在。。上，C￡>=1,直線A。，BC交于點

E.

(I)如圖1,若點E在。。外，求NAEB的度數(shù).

(II)如圖2,若點E在。。內(nèi)，求的度數(shù).

48.如圖，已知。。是等邊三角形ABC的外接圓，點。在圓上，在CD的延長線上有一點

F,DF=DA,AE〃BC交CF于E.

(1)求證：EA是O。的切線；

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(2)求證：BD=CF.

49.如圖，AB是。。的直徑，弦CD垂直平分04垂足為點連接并延長CO交。。于

點、E,分別連接。E,BE,DB,其中NED8=30°,NCDE的平分線DN交CE于點G,

交。。于點N,延長CE至點R使尸6=即.

(1)求證：。/是。。的切線；

(2)若OO半徑r為8,求線段DB,8E與劣弧。E所圍成的陰影部分的面積.

50.如圖，A反是圓。的直徑，AE平分/曲8,交。。于點E,過點E的直線FGLAR垂

足為R3為直徑。以上一點，點E、歹分別在矩形ABC。的邊BC和C。上.

(1)求證：直線FG是。。的切線；

(2)若AL>=8,￡8=5,求。。的直徑.

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參考答案與試題解析

選擇題（共5小題）

1.已知。。的半徑為2,A為圓內(nèi)一定點，49=1.尸為圓上一動點，以AP為邊作等腰△

APG,AP=PG,NAPG=120°,0G的最大值為（）

A.1+V3B.1+25/3C.2+VsD.2V3-1

【解答】解：如圖，將線段04繞點。順時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段。T,連接AT,GT,

OP.則AO=OT=1,AT=M，

???△AOT,△APG都是頂角為120。的等腰三角形,

：.ZOAT=ZPAG=30°,

0APAV3

J.ZOAP^ZTAG,==

ATAGV

?0A=AT；

"AP肅

：.^OAP^/\TAG,

-0P-0A-V3

??-,"：OP=2,

TGTA3

；.TG=2?,

OGWOT+GT,

：.0GW]+2?,

，0G的最大值為l+2?,

故選：B.

2.如圖，O。中，弦AB，。，垂足為E,尸為CBD的中點，連接AF、BF、AC,AF交CD

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于M,過尸作FHJ_AC,垂足為G,以下結(jié)論：?CF=DF；②HC=BF：@MF=FC-.

@DF+AH=BF+AF）其中成立的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：為奇的中點，

???CF=DF,故①正確，

：.ZFCM=ZFAC,

'：ZFCG=ZACM+ZGCM,ZAME=NFMC=ZACM+ZFAC,

：.ZAME^NFMC=ZFCG>ZFCM,

：.FC>FM,故③錯誤，

'：AB±CD,FHLAC,

：.ZAEM=ZCGF=90°,

/.ZCFH+ZFCG^9Q°,ZBAF+ZAME^90°,

：.NCFH=NBAF,

：.HC=BF,故②正確，

VZAGF=90°,

/.ZCAF+ZAFH^90°,

六誦的度數(shù)+6的度數(shù)=180°,

.?.西的度數(shù)+品的度數(shù)=180。，

/.AH+S=W1+DF=CH+AF=AF+BF.故④正確，

故選：C.

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3.如圖，直線y=L+l與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，尸是該直線上的任一點，過

2

點、D(3,0)向以P為圓心，LB為半徑的。尸作兩條切線，切點分別為E、F,則四

2

邊形尸EDF面積的最小值為()

A.B.C.2-y5

【解答】解：如圖，連接。尸，

,直線與x軸、y軸分別相交于A、3兩點，

當(dāng)x=0時，y=l,當(dāng)y=0時，x=-2,

(-2,0),B(0,1),

,'-AB=V22+12=V5,

:過點。(3,0)向以尸為圓心，虱8為半徑的OP作兩條切線，切點分別為￡、F,

2

：.DE=DF,PEIDE,

:PE=PF,PD=PD,

.,.△PED與△PFD(SSS),

尸的半徑為運,

2

當(dāng)。尸_LAP時，。尸最小，止匕時。尸=AZ>sinNBAO=5X

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"/四邊形PEDF面積=2SAPED=2XLPEXDE=4五E,

22_

，四邊形PEDF面積的最小值為唱.J（泥）2_（半）2=平.

故選：A.

4.如圖，AB,5。是。。的弦，NB=60°,點。在NB內(nèi)，點。為前上的動點，點M,

N,P分別是AD,DC,C8的中點.若。0的半徑為2,則PN+MN的長度的最大值是（

VZAOC=2ZABC=120°,

??Q=OC,OH1AC,

：.ZCOH=ZAOH=60°,CH=AH,

.?.a/=A#=OC?sin60。=?,

：.AC=2^,

,:CN=DN,DM^AM,

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：.MN=1AC=43>

?：CP=PB,AN=DN,

:.PN=LBD,

2

當(dāng)2。是直徑時，PN的值最大，最大值為2,

C.PM+MN的最大值為2+73.

故選：D.

5.如圖，AB是。。的直徑，AB=10,P是半徑。4上的一動點，PCLAB交。。于點C,

在半徑08上取點。，使得O0=CP,OQLAB交O。于點。，點C,。位于A3兩側(cè)，

連接C。交A3于點尸，點尸從點A出發(fā)沿A。向終點0運動，在整個運動過程中，△

C燈與△。尸。的面積和的變化情況是（）

A.一直減小B.一直不變

C.先變大后變小D.先變小后變大

【解答】解:連接。C,OD,PD,CQ.設(shè)PC=%，OP=?0F=a,

\9PC.LAB,QD1AB,

：.ZCPO=ZOQD=90°,

?；PC=OQ,OC=OD,

：.RtAOPC^Rt^DQO,

OP=DQ=y,

「?S陰=S四邊形PCQ。-S^PFDS^CFO—~(x+y)"-—,(y-cz)y--(x+cz)x—xy+—

22-2-2

-X),

'JPC//DQ,

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?PC=PF；

"DQ而，

???x-_--y----a-,

ya+x

??d—~y~Xj

.?.5陰=封+工(j-x)(y-x)=—(，+y2)=-^_

222

故選：B.

二.填空題(共9小題)

6.如圖，等邊△ABC中，AB=2,點。是以A為圓心，半徑為1的圓上一動點，連接CZ),

取C￡?的中點E,連接BE,則線段BE的最大值與最小值之和為_2f

,：AABC是等邊三角形，

；.BA=BC=AC=BT=2,ZACB=60°,

：.ZCAT=9Q°,

.?.AT=CT?sin60。=2?,

VAD=1,

；.2愿-1WZ)TW2V^1，

:CB=BT,CE=DE,

：.BE=1-DT,

2

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...2依愿+1,

22

線段BE的最大值與最小值之和為2?,

故答案為2a.

7.如圖，AB是半圓。的直徑，點C在半徑。4上，過點C做COLAB交半圓。于點。.以

CD,CA為邊分別向左、下作正方形COERCAGH.過點B作GH的垂線與G8的延長

線交于點/,M為印的中點.記正方形CDEF,CAGH,四邊形8CH/的面積分別為反,

S2,S3.

(1)若AC：BC=2：3,則包的值為3；

s2—2一

(2)若。，O,M在同條直線上，則￥1*的值為生涯.

s3—2—

【解答】解：（1）如圖，利用A。，BD.

?*AB是直徑，

\ZADB=90°,

：DC.LAB,

*.ZACD=ZDCB=90°,

ZADC+ZCAD=90°,ZADC+ZBDC=9Q°,

?.NBDC=/DAC,

,?AACDsADCB,

\CD：CB=AC：CD,

**AC：CB=2：3,

??可以假設(shè)AC=2心BC=3k,

\CCT=613,

.S1^CD26k2^j

s2AC24k22

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故答案為3.

2

(2)當(dāng)。.O.M共線時，設(shè)C0=a,AC=b,

"：crr=AC-BC,

2

b

22.,22_,2112

：.AB=b+^—=a,CO=OA-AC=-g---^,HM=MI=±HL=-LCB=^—,

bb2b222b

"."CO//HM,

?DC=OC；

"DH面r

a+ba"

2b

整理得：(k)[(k)2+k-l]=0

aaa

?.awo,

a

.?.2=回減二/Ll(舍棄)，

a22

..S1+S2=aj^j=1+必2,

...S[+S2-5-遙

8.如圖，直線y=-x+m（機＞0）與x軸、y軸分別交于點A,B,C是AB的中點，點。

在直線y=-2上，以為直徑的圓與直線AB的另一交點為E,交y軸于點凡G,己

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知CE+DE=6瓜FG=2后,則CD的長是3、/.

【解答】解：如圖，設(shè)。的中點為。'，延長BA交直線y=-2于直線y=-2交

y軸于尸，作C乩LOB于X,連接O'F,作A7_L￡)M于J,O'NLFG手N.

：。。是0。'的直徑，

：.ZCED=90°,

?直線y=-x+〃z(m>0)與x軸、y軸分別交于點A,B,

.*.A(m,0),B(0,m),

：.OA=OB,

???N043=45°,

?：0A〃DM,

：.ZEMD=ZOAB=45°,

VZDEM=9G°,

:?ED=EM,

：.EC+ED=EC+EM=CM=6加，

\'JA±DM,

：.ZAJM^90°,

：.AJ=JM=2,AM=2%,

.?.BC=CA=4,歷

第24頁共74頁

.*.A(8,0).B(0,8),C(4,4),設(shè)0(加，-2),則O'N=l-(zn+4),O'F=1.CD

22

=f'V(m-4)2+62,

'：O'N±FG,

:.FN=E

在RtZkOEN中，(旄)2+A(777+4)2=A[(777-4)2+62],

44

解得根=1,

=

CDV(1-4)2+62=3^'

故答案為3旄.

9.如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=10,BC=8,點。是BC上一點，BC=3CD,

點P是線段AC上一個動點，以尸。為直徑作O。，點M為奇的中點，連接AM,則AM

的最小值為

【解答】解：如圖，連接。M,CM,過點A作ATUCM交CM的延長線于T.

,?*PM=DM-

：.0M±PD,

：.ZMOD=90°,

/.ZMCD=^ZMOD=45°,

2

VZACB=9Q°,

第25頁共74頁

ZACT=45°,

'：AT±CT,

：.ZATC^9Q°,

VAC=10,

：.AT=AC-sm450=5&,

'：AM^AT,

：.AM的最小值為5近,

故答案為5^2.

10.如圖，半徑為5的。。與y軸相交于A點，B為。。在無軸上方的一個動點（不與點A

重合），C為y軸上一點且NOCB=60°,/為△BC。的內(nèi)心，則△A/。的外接圓的半徑

的取值（或取值范圍）為—殳旦_.

【解答】解：如圖,

：.ZCBO+ZCOB=120°,

?:/是內(nèi)心，

?.ZIOB=1.ZCOB,/IBO=L/CBO,

22

第26頁共74頁

ZIOB+ZIBO=1.(.ZCOB+CBO}=60°,

2

：.ZOIB=1SO°-ZIOB-Z/BO=120°,

\"OA=OB,ZAOI=ZBOI,01=01,

：.AAZO^ABOZ(SAS),

ZAIO=ZBIO=120°,

作△AO/的外接圓OG,連接AG,OG,作GO_LOA于。.

VZAZO=120°=定值，。4=5=定值，

點G的運動軌跡是0A，

△40/的外接圓的半徑是定值，

'：GA=GO,GD1OA,ZAGO=120°,

ZAGD=^-ZAGO=120°,AD=OD=L,

5__

AG=——=2=5A/3_

sin60°V3,3

2

故答案為芻返.

3

11.如圖，AB是半圓。的直徑，點C在半圓上，AB=5,AC=4,。是祕上的一個動點,

連接AD.過點C作CE±AD于E,連接BE,則BE的最小值是—用-2.

【解答】解：如圖，連接2。、BC.

A..........a'S

*.?CELAD,

：.ZA￡C=90°,

二在點。移動的過程中，點E在以AC為直徑的圓上運動,

第27頁共74頁

VAB是直徑，

ZACB=90°,

在Rt^ABC中，：AC=4,AB=5,

???BC=4AB2-AC2=152.42=3,

在RtZ!\BC。，中，BO'=qBe?+C0'^2^+3V13>

?：O'E+BE^O'B,

...當(dāng)O'、E、B共線時，BE的值最小，最小值為O'B-O'￡=713-2,

故答案為：，13-2.

12.如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于OO,點尸為第上任意一點（點尸不與點A、點8重合）,

連結(jié)尸8、P0,取BC的中點。，取。尸的中點E,連結(jié)若/OED=a,則/P2C的

度數(shù)為60。+a.（用含a的代數(shù)式表示）

【解答】解：如圖：連接。。、OB,

:等邊△ABC內(nèi)接于O。，

：.OD±BC,OD^IJOB,Z(9B￡>=30°.

2

點是OP的中點，

OE^OP,

2

?：OB=OP,

：.OD=OE,

；.NOED=NODE=a.,

第28頁共74頁

/EOD=180°-2a.

因為四邊形。OEB內(nèi)角和為360°,

AZB￡D=360°-90°-60°-(180-2a)-a=30°+a,

ZEOB=180°-30°-(30+2a)=120-2a.

?：OB=OP,

；.NP=NOBP=L(180°-ZPOB)=1■(180-120+2a)=30°+a.

22

AZPBC=ZOBP+ZOBC=30°+a+30°=60°+a.

故答案為60°+a.

13.如圖，己知A(6,0),B(4,3)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點，以點8圓心的OB經(jīng)過原

點。，軸于點C,點。為OB上一動點，E為的中點，則線段CE長度的最大

值為5+/H.

【解答】解：如圖，作點A關(guān)于點C的對稱點A',連接A4',BD,DA'.

由題意AC=C4'=2,BC=3,BD=OB=y^2^2=5,

=

",BA'=+22V13,

"：AC=CA',DE=EA,

：.EC=1.DA',

2

'：DA'WBD+BA',

：.DA'W5+'T，

：.DA'的最大值為5+%GE

第29頁共74頁

：.EC的最大值為5r萬,

2

故答案為且Y亙.

2

14.如圖，矩形中，AB=4,A￡)=8,點E,尸分別在邊A。，BC上，且點8,尸關(guān)

于過點E的直線對稱，如果EF與以C。為直徑的圓恰好相切，那么AE=6-源.

由題意易知四邊形是矩形，設(shè)AE=BW=尤,

由切線長定理可知，ED=EM,FC=FM,

；B、月關(guān)于EH對稱，

：.HF=BH=x,ED=EM=8-x,FC=FM=8-2x,￡F=16-3x,

在RtAEFH中，??EF2=EIT+HF1,

42+.r2=(16-3x)L

解得x=6-6+疾(舍棄)，

??AE~()-

故答案為:6-、后.

三.解答題(共36小題)

15.如圖，O。為△ABC的外接圓，。為。C與的交點，E為線段0C延長線上一點,

且NEAC=/ABC.

(1)求證：直線AE是O。的切線.

(2)若。為A8的中點，CD=6,AB=16

①求。。的半徑；

②求△A8C的內(nèi)心到點0的距離.

第30頁共74頁

【解答】解：（1）證明：連接AO,并延長AO交。。于點R連接CF

是直徑

，ZACF=90°

：.ZF+ZFAC^9Q°,

??ZF=ZABC,ZABC=ZEAC

J.ZEAC^ZF

：.ZEAC+ZFAC=90°

：.ZEAF^9Q°,且AO是半徑

直線AE是O。的切線.

(2)①如圖，連接A。，

第31頁共74頁

?.?。為AB的中點，過圓心，

：.OD±AB,AD^BD^1AB=8,

2

,/AC>2=A￡)2+DO2,

：.AO2=82+(AO-6)2,

；.AO=空，

3

???o。的半徑為空；

3

②如圖，作/CAB的平分線交CD于點H,連接BH,過點“作出0_1_4(7,HNLBC,

\'OD±AB,AD=BD

C.AC^BC,且AD=BD

，CD平分NACB,且AH平分NCAB

...點五是△ABC的內(nèi)心，＞HM±AC,HN±BC,HDLAB

:.MH=NH=DH

22=

在RtAACD中，AC=7AD-K：D782+62=10=BC,

,?*SAABC=SAACH+SAABH+SABCH^

JLX16X6=工義10XMH+工X16XOH+上義10XNH,

2222

:.DH=),

3

OH=CO-CH=CO-(CD-DH),

，OH=空-(6-&)-5.

33

16.如圖，半圓。的直徑AB=20,將半圓。繞點8順針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓。'，與交

于點尸.

(1)求AP的長;

第32頁共74頁

（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留TT）.

【解答】解：(1)AOBA'=45°,O'P=O'B,

.?.△O'尸8是等腰直角三角形，

：.PB=^p2BO,

：.AP=AB-BP=2Q-10A/2；

（2）陰影部分面積為：

S陰影=S扇形。A1p+SA（ypg——XTTX100+10X10X25it+50.

42

17.如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的O。交BC于點。，過點。作E/LAC

于點E,交A8的延長線于點凡

（1）判斷直線。E與。。的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）如果AB=5,BC=6,求。E的長.

【解答】解：（1）相切，理由如下:

連接AD,OD,

為。。的直徑，

AZADB=9Q°.

：.AD±BC.

第33頁共74頁

9

：AB=ACf

；?CD=BD=LBC.

2

?：OA=OB,

J.OD//AC.

：.ZODE=ZCED.

u：DELAC,

：.ZODE=ZCED^90°.

：.OD±DE.

???OE與。。相切.

(2)由(1)知NADC=90°，

???在RtZVlDC中，由勾股定理得

AD=/c2GBe尸巾2Gx6)2=4.

'：SACD^^AD'CD^1AC'DE,

22

.\AX4X3=AX5D￡.

22

5

18.如圖，已知直線剛交。。于A、8兩點,AE是。。的直徑，點C為。。上一點，且

AC平分/B4E,過C作CQ_LB4,垂足為D

(1)求證：CD為。。的切線；

(2)若CD=2A。，。。的直徑為20,求線段AC、AB的長.

第34頁共74頁

【解答】證明：(1)連接0C

???點。在。0上，OA=OC,

：.ZOCA=ZOAC,

VCD±B4,

：.ZCDA=90°,

：.ZCAD+ZDCA=9Q°,

?「AC平分NB4E,

：.ZDAC=ZCAO,

：.ZDCO=ZDCA+ZACO=ZDCA+ZDAC=90°,

???C。是。。切線.

(2)作0P_LA8于R

AZOCD=ZCDF=ZOFD=90°,

???四邊形CDFO是矩形，

：.OC=FD,OF=CD,

,.?C7)=2A0,設(shè)AZ)=x,則O尸=CD=2x,

,：DF=OC=10,

.*.AF=10-x,

在RtA4OP中，A/+O產(chǎn)=。儲，

(10-x)2+(2x)2=d,

解得x=4或0(舍棄)，

，AO=4,AF=6,AC=4&,

?/OF±AB,

：.AB=2AF^12.

19.如圖，已知圓。的圓心為。，半徑為3,點M為圓。內(nèi)的一個定點，OM=煙,A3、

第35頁共74頁

C