2020學年新素養(yǎng)同步人教A版高中數(shù)學必修第二冊練習：模塊綜合檢測

模塊綜合檢測

（時間：120分鐘，滿分：150分）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

1.已知i為虛數(shù)單位，則z=j與在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解析：選上=意=/券=亨=一,+3，

其對應的點（一|,寸位于第二象限.

2.（2019?高考全國卷II）設a,￡為兩個平面，則a〃夕的充要條件是（）

A.。內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行

B.。內(nèi)有兩條相交直線與夕平行

C.。，￡平行于同一條直線

D.a,￡垂直于同一平面

解析：選B.對于4,a內(nèi)有無數(shù)條直線與“平行，當這無數(shù)條直線互相平行時，a與￡

可能相交，所以A不正確；對于B,根據(jù)兩平面平行的判定定理與性質(zhì)知，B正確；對于C,

平行于同一條直線的兩個平面可能相交，也可能平行，所以C不正確；對于。，垂直于同一

平面的兩個平面可能相交，也可能平行，如長方體的相鄰兩個側面都垂直于底面，但它們是

相交的，所以。不正確.綜上可知選B.

3.如圖所示的直觀圖，其平面圖形的面積為（）

A.3B.6

C.3小D.羊

解析：選B.由直觀圖可得，該平面圖形是直角邊邊長分別為4,3的直角三角形，其面積

為S=gx4X3=6.

4.在120個零件中，一級品24個，二級品36個，三級品60個，用分層隨機抽樣法從

中抽取容量為20的樣本，則在一級品中抽取的比例為（）

A±B，

A.D36

D6

201

解析：選D.由題意知抽取的比例為‘命=不故選D.

5.從某校高三年級隨機抽取一個班，對該班50名學生在普通高校招生體驗中的視力情

況進行統(tǒng)計，其結果的頻率分布直方圖如圖所示，若某專業(yè)對視力要求在0.9及以上，則該班

學生中能報該專業(yè)的人數(shù)為()

t頻率

搬

1.75----------T-I

L

00

S石

O.50

O.25

0.30.50.70.91.11.31.5視力

A.10B.20

C.8D.16

解析：選B.由頻率分布直方圖，可得視力在0.9及以上的頻率為(1.00+0.75+0.25)X0.2

=0.4,人數(shù)為0.4X50=20.故選B.

6.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和方差都是2,則這組數(shù)可以是()

A.2,2,3,1B.2,3,-1,2,4

C.2,2,2,2,2,2D.2,4,0,2

解析：選D.易得這四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)都是2,

所以只需計算它們的方差就可以.

第一組數(shù)據(jù)的方差是0.5;第二組數(shù)據(jù)的方差是2.8;

第三組數(shù)據(jù)的方差是0；第四組數(shù)據(jù)的方差是2.

7.已知。=(1,0),b=(l,1),且(a+勸)_L0,則2=()

A.2B.0

C.1D.-1

解析：選D.因為a+勸=(1,0)+(2,A)=(l+2,A),所以(a+勸)-a=(l+2,4)-(1,0)

=1+2.由(a+2))J_a得1+2=0,得2=-1,故選D.

8.從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個，其個位數(shù)為0的概率是()

A.,B.1

c?D1

解析：選D.個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)，則個位數(shù)與十位數(shù)中必有一個奇數(shù)一個偶數(shù)，

所以可以分兩類：

(1)當個位為奇數(shù)時，有5X4=20個，符合條件的兩位數(shù).

(2)當個位為偶數(shù)時，有5X5=25個，符合條件的兩位數(shù).

因此共有20+25=45個符合條件的兩位數(shù)，其中個位數(shù)為0的兩位數(shù)有5個，所以所求

概率為P=45=9-

9.甲、乙兩隊進行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲得冠軍，乙隊需要再

贏兩局才能得到冠軍，若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為()

A2B1

C3D4

解析：選D.設4(i=l,2)表示繼續(xù)比賽時，甲在第i局獲勝，8事件表示甲隊獲得冠軍.

————1113

法一：B=A}+A\A2,故P(B)=尸(A1)+P(A1)尸(4)=2+2X2=木

........——113

法二：P(B)=1—P(A1A2)=I—P(Ai)P(A2)=1—2X2=4,

10.如圖，在△ABC中，Ab=2|Ac,BP=1^BD,若能=4矗+"/，則工■的值為()

解析：選B.因為而=各2,所以而=，b=g(Al)一贏)=,病一g病

~*--?—?2~*■2-*■

所以AP=A8+8P=§A8+§AC,

又崩=疝?+〃啟，

,74

所以2=1,〃=§,從而7=3,故選B.

11.如圖是由16個邊長為1的菱形構成的圖形，菱形中的銳角大小為孑，a=AB,b=CD,

則ab=()

A.-5B.-1

C.-3D.-6

解析：選B.設菱形中過A點的兩鄰邊對應的向量分別表示為i,j,且i的方向水平向右，

則14=1/1=1,〈。＜/〉=60°,從而可=：.因此a=i+〃，b=—3i+yf

所以a-6=(i+2/)(-3i+2/)=-3i2-4ij+4/2=-3X12-4X1X1x1+4X12=-1,故選

B.

12.如圖，在矩形ABCD中，EF//AD,GH//BC,BC=2,AF=R7=3G=1.現(xiàn)分別沿

EF,G”將矩形折疊使得AO與8C重合，則折疊后的幾何體的外接球的表面積為()

A.24n

-16r8

C.—3TD.g兀

解析：選C.由題意可知，折疊后的幾何體是底面為等邊三角形的三棱柱，底面等邊三角

形外接圓的半徑為12-(，=坐.因為三棱柱的高2c=2,所以其外接球的球心與底面外

接圓圓心的距離為1,則三棱柱外接球的半徑為R=Y惇j+「=￥，所以三棱柱外接球

的表面積S=4n/?2=-^n.故選C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分.

13.4,4,6,7,7,8,9,9,10,10的30%分位數(shù)為,75%分位數(shù)為.

解析：因為1OX3O%=3,10X75%=7.5,

”.,X3+X46+7

所以30%分位數(shù)為一二=-y-=6.5,

75%分位數(shù)為迎=9.

答案：6.59

14.同學甲參加某科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三

個問題分別得100分、100分、200分，答錯或不答均得零分.假設同學甲答對第一、二、三

個問題的概率分別為0.8,0.6,0.5,且各題答對與否相互之間沒有影響，則同學甲得分不低

于300分的概率是.

解析：設“同學甲答對第i個題”為事件4G=1,2,3),則尸(AD=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)

=0.5,且4,4,4相互獨立，同學甲得分不低于300分對應于事件A/2A3UAR2A3(J儲A2A3

發(fā)生，故所求概率為P=P(4A2A3UA|4M3UAM2A3)

=P(4A2A3)+P(AIA洶3)+尸(A1A2A3)

=P(4)P(A2)P(A3)+P(4)P(A2>P(A3)+P(彳I)P(A2)P(4)=0.8X0.6X0.5+0.8X0.4X0.5

+0.2X0.6X0.5=0.46.

答案：0.46

15.如圖，在三棱柱ABC-AIBICI中，44」底面ABC,AB1BC,AAt=AC=2,直線4C

與側面A4|Bi8所成的角為30°,則該三棱柱的側面積為.

B

解析：連接4B.因為AAJ■底面ABC,則AAJBC,5LAB1BC,A4nAB=A,所以BCJ_

平面AA1B18,所以直線4C與側面所成的角為NCAiB=30°.又A4i=AC=2,所以

AiC=2p,BC=p.又ABLBC,則AB=yj2,則該三棱柱的側面積為2巾X2+2X2=4+4p

答案：4+4也

16.在矩形A8C￡>中，AB=2,AO=1.邊0c上的動點尸(包含點。，O與CB延長線上的

動點。(包含點B)滿足|5>|=|麗則萩?麗的最小值為

解析：以點A為坐標原點，分別以AB,A。所在直線為x軸，y軸建立如圖所示的平面直

角坐標系,

設尸(x,1),Q(2,)，)，由題意知0WxW2,-2WyW0.因為|5?|=|詼|,

所以|川=|)1,所以x=—

因為或=(一x,-1),由=(2—尤，y~\),

所以必?PQ=—x(2—%)—(y—l)=x2—2x—>,+1=x2—JC+1=(^—2)+3

所以當x=g時，?PQ取得最小值為京

3

答案-

4

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）已知a,b,c是同一平面的三個向量，其中a=（l,?。?

（I）若|c|=4,且。〃〃，求c的坐標；

（2）若回=1,且（a+8），（a-|。，求a與5的夾角6.

解：（1）因為c〃a,所以存在實數(shù)4"GR）,使得c=2a=a,小4）,

又|c|=4,即9=2+372=4,解得丸=±2.

所以c=（2,2小）或c=（-2,—2?。?

（2）因為（a+））_L（a,所以3+6）.（。一多＞）=0,即/一全小一全2=0,所以4—.X2義

5

-

1Xcos2

所以cos6=5,

因為?！闧0,n],所以。=方.

18.(本小題滿分12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為mb,c,已知C=?，a

=2,ZVIBC的面積為小，尸為邊4c上一點.

⑴求c；

(2)若CF=V^BF,求sinNBFC.

解：(1)因為SzM8C=1岫sinC=^X2bXsin弓-=小，所以〃=2小.由余弦定理可得/二/

+b2~2abCOSC=4+12-2X2X2V3XCOSy=4,所以c=2.

.n2n

(2)由(1)彳寸a=c=2,所以A=C=不，ZABC=n-A—C=—^-.

n

CFBF‘in*CF

在△3CF中由正弦定理得.所以sinZCBF=——而一.又因為Cb

sinNCBFsinNBCFBr

=y[2BF,所以

sinNCBF=當,

,2nn

又因為NCBFW-^一，所以NC8b=彳，

所以sinZBFC=sin(ZCBF+ZBCF)=

sin=4

19.體小題滿分12分)如圖所示，凸多面體48CED中，A￡)J_平面ABC,CELL平面A8C,

AC=AD=AB^1,BC=巾,CE=2,F為3c的中點.

(1)求證：AF〃平面8OE；

(2)求證：平面8￡>E_L平面BCE

證明：(1)取BE的中點G,連接GF,GD,因為平面ABC,CE_L平面ABC,所以

AD//EC,且平面4BCL平面4CED因為GF為三角形BCE的中位線，所以G尸〃EC〃D4,

GF—^CE=DA=1.

所以四邊形GFAD為平行四邊形，

所以AF〃GO,又GDu平面BOE,AW平面8OE,所以AF〃平面BOE.

(2)因為4c=AB=1,BC=y/2,

所以AC2+AB2=3C2,

所以ABJ_4c.

所以/為2c的中點，所以AF_LBC.又GFLAF,BCClGF=F,所以AF1平面BCE.

因為AF//GD,所以GO_L平面BCE.義G￡>u平面BDE,

所以平面BDEL平面BCE.

20.(本小題滿分12分)某超市隨機選取1000位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四

種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“J”表示購買，“義”表示未購買.

商品

甲乙丙T

顧客人數(shù)

100XVV

217XVXV

200VVVX

300VXVX

85VXXX

98XVXX

(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率；

(2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率；

(3)如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？

解：(1)從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙，所以顧

客同時購買乙和丙的概率可以估計為^=0.2.

(2)從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時購買了甲、丙、丁，另有

200位顧客同時購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品.

所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為當吉薩=0.3.

(3)法一：顧客同時購買甲和乙的概率可以估計為由記=0.2,顧客同時購買甲和丙的概率

可以估計為----布麗----=0.6,顧客同時購買甲和丁的概率可以估計為丁麗=L

所以如果顧客購買了甲，則該顧客同時購買丙的可能性最大.

法二：從統(tǒng)計表可以看出，同時購買了甲和乙的顧客，也都購買了丙；同時購買了甲和

丁的顧客，也都購買了丙；有些顧客同時購買了甲和丙，卻沒有購買乙或丁.

所以，如果顧客購買了甲，那么該顧客同時購買丙的可能性最大.

21.(本小題滿分12分)為增強市民的環(huán)境保護意識，某市面向全市征召〃名義務宣傳志

愿者，成立環(huán)境保護宣傳組織，現(xiàn)把該組織的成員按年齡分成5組，第1組［20,25),第2組

［25,30),第3組［30,35),第4組［35,40),第5組［40,45］,得到的頻率分布直方圖如圖所

示，已知第1組有5人.

(1)分別求出第3,4,5組志愿者的人數(shù)，若在第3,4,5組中用分層隨機抽樣的方法抽

取6名志愿者參加某社區(qū)的宣傳活動，應從第3,4,5組各抽取多少名志愿者？

(2)在(1)的條件下，該組織決定在這6名志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗，求

第3組至少有1名志愿者被抽中的概率.

解：(1)由題意，因為第1組有5人，則O.O1X5〃=5,“=100,

所以第3組有0.06X5X100=30(人)，

第4組有0.04X5X100=20(人)，

第5組有0.02X5X100=10(人).

所以利用分層隨機抽樣在第3,第4,第5組中分別抽取3人，2人，1人.

(2)記第3組的3名志愿者為Ai,A2,4,第4組的2名志愿者為S,B2,第5組的1名

志愿者為Ci,