第13講 函數y=Asin（ωx+φ）的圖像與性質（3大考點）-2022-2023學年高一數學考試滿分全攻略（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

第13講函數y=Asin（3x+6）的圖像與性質（3大考點）

Q考點考向

—函數y=Hsin（0x+O）的圖象

1.函數y=/sin（。才+。）的有關概念

y=Jsin(3才+

振幅周期頻率相位初相

0)

T=

13

U>0,。>0)Af-?-3*+00

2nT2n

—

2.用五點法畫y=4sin（ox+。）一個周期內的簡圖

用五點法畫y=/fsin（Qx+。）一個周期內的簡圖時，要找五個關鍵點，如下表所示:

_±Jt0Jl—03-。2Ji一。

X

G)233G)233G)

JI3五

3才+0JI

0~22n

y=Jsin(QX+

0A0-A0

0)

3.由函數/=5打X的圖象變換得到y=4sin（3x+0）（力＞0,。＞0）的圖象的兩種方法

法一法二

一

步

驟2

一

-

步

驟

3

一

一

步

得到片Asin（3%+6的圖象驟4

_

二函數y=Asin（s+°）與函數y=Acos（5+°）的性質

函數y=Asin（5+°）與函數y=24cos（s+0）可看作是由正弦函數y=sinx,余弦函數了=以）5%

復合而成的復合函數，因此它們的性質可由正弦函數丁=5也%,余弦函數丁=以光］類似地得到：

（1）定義域：R；

（2）值域：［-AA］；

（3）單調區(qū)間：求形如y=Asin（8+°）與函數y=48$（5+夕）（4口>0）的函數的單調區(qū)間可以通過

解不等式的方法去解答，即把公r+e視為一個“整體”，分別與正弦函數丁=411犬，余弦函數>=<：05%的

單調遞增（減）區(qū)間對應解出x,即為所求的單調遞增（減）區(qū)間.比如：由

TT7T

2k?！?lt;a）x+（p<2k7r+-（keZ）解出x的范圍所得區(qū)間即為增區(qū)間，由

22

7T

2攵萬+1W奴+9<2%%+三（左€2）解出了的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間.

（4）奇偶性：正弦型函數y=Asin（3x+°）和余弦型函數y=Acos（公r+e）（A,3>0）不一定具備奇偶

JT

性.對于函數丁=Asin（5+e）,當夕=%左（攵EZ）時為奇函數，當°=Z;T±5（Z￡Z）時為偶函數；對于

JT

函數〉=Acos（s+e）,當夕=%/（左￡z）時為偶函數，當o=Za±3（&￡z）時為奇函數.

（5）周期：函數y=Asin（ax+9）及函數丁=71以）$（5+0）的周期與解析式中自變量太的系數有關，其

周期為T='.

co

（6）對稱軸和對稱中心

77

與正弦函數y=sinx比較可知，當。X+Q=%乃±彳（2ez）時，函數y=Asin（a）x+e）取得最大值（或最

TT

小值），因此函數y=Asin（cox+（p）的對稱軸由/工+夕=攵乃土,依￡z）解出，其對稱中心的橫坐標

cox+（p=k7r（kGz）,即對稱中心為f——9,0）（攵Gz）.同理，y=Acos（〃猶+0）的對稱軸由

CDX+（p=k7l（kGZ）解出，對稱中心的橫坐標由。入+0=壯士萬（&EZ）解出.

u考點精講

一.五點法作函數y=Asin（a）x+（p）的圖象（共4小題）

1.（2021秋?水磨溝區(qū)校級期末）用“五點法”作y=2sinx的圖象時，首先描出的五個點的橫坐標是（）

兀兀

A.Q,—,兀，3打，2兀B.0,3兀，n

224'2，4

JT兀兀2兀

C.0,TT,2n,3n,4KD.0,

6,3，2'3

［分析］根據y=2sinx與y=siar的關系進行判斷即可.

【解答】解：y—2sirLv與y=siar對應五點的橫坐標相同，則五點法對應五點的橫坐標

ITQ

0,—,兀，，兀，2兀，

故選：A.

【點評】本題主要考查五點法作圖，根據＞=24聯與丁=411天的關系是解決本題的關鍵，是基礎題.

2.(2021秋?香坊區(qū)校級期末)已知函數f(x)=2sin&x立卷＞xCR.

(1)運用五點作圖法在所給坐標系內作出/(x)在彳以一名，寫_］內的圖像；

(2)求函數/(x)的對稱軸，對稱中心和單調遞增區(qū)間.

【分析】(1)通過列表描點用五點作圖法即可作出f(x)在一個周期上的圖象；

(2)利用正弦函數的對稱軸方程，求解/(x)的對稱軸：通過正弦函數的對稱中心，求解/(x)的對稱中

心；利用正弦函數的單調增區(qū)間，即可求函數/(x)的單調增區(qū)間.

【解答】解：⑴函數f(x)=2sinx6R,

列表如下：

工+三0TT3-2n

262

X-兀2冗5兀8打11K

33333

y020-20

262

可得函數/(x)的對稱軸為彳=等+2也，依Z,

令工+-^-=日，

26

7T

即x=--+2Anr,keZ

3

故對稱中心為(-2L+2E,0)(jiez)

3

令2E-2LwL+2I_W2hT+2L,Z6Z,解得4聞-依z,

226233

可得函數/"(x)的單調增區(qū)間為［4E-竺，4內1+”］,依Z.

33

【點評】本題考查正弦函數的圖象與性質，函數的單調性以及正弦函數對稱性，屬于基礎題.

3.(2021秋?肇慶期末)函數y=sin(2x^4^L)在區(qū)間［工，兀］上的簡圖是()

32

V

【分析】根據三角函數的性質判斷各個選項即可得到結論.

【解答】解：因為y=f(x)=sin(2乂n匕)，f(0)=且，所以排除BD；

32

由2k兀-■兀＜2k兀依Z,得k兀-1；；4x《k兀-2^'反工，

所以可知函數/(x)在囁，%］上單調遞增.在［0,需］上單調遞減，所以排除A.

故選：C

【點評】本題主要考查三角函數圖象的判斷，根據三角函數的單調性是解決本題的關鍵.

4.(2021秋?惠農區(qū)校級期末)己知函數f(x)域sin(2x4^-)，^eR求：

(1)求函數f(x)在［0,7T］上的單調遞減區(qū)間；

(2)畫出函數在［0,7T］上的圖像.

n

TT715。377｝組界57T

~8TS4；8：

【分析】(1)由2配+三?班+工?2匕1+”，依2得》的范圍，即可得解函數/G)在［0,司上的單調遞

242

減區(qū)間.

(2)根據用五點法作函數y=Asin(3x+0)的圖像的步驟和方法，作出函數/(x)在［0,可上的圖像.

【解答】解：⑴因為f(x)f歷sin

令2E+2Lw2x+2Lw2hr+^2L,kez,解得而+2LwxWhr+-^2L,kez,

24288

令4=0得：函數/a)在區(qū)間［o,m上的單調遞減區(qū)間為：［2L,亞］.

88

(2)f(x)=2sin(2JC+-2E_),列表如下:

兀

X0K35兀7兀71

V888

2x+—1T3兀2n9兀

44224

f(X)1001

描點連線畫出函數/(X)在一個周期上［0,TI］的圖象如圖所示:

【點評】本題主要考查用五點法作函數》=4出(OJX+0)的圖象，以及函數、=45皿(UU+0)的單調性，屬

于中檔題.

二.函數y=Asin(o)x+(p)的圖象變換(共9小題)

5.(2022秋?青銅峽市校級期中)將函數f(x)=2sin(2xf)的圖象向左平移左后，所得圖象對應的函

數為()

兀JT

A-g(x)=2sin(2x-B-g(x)=2sin(2x"^-)

c-g(x)=2sin(2x-［；)D-g(x)=2sin

【分析】由條件利用函數y=4sin(3x+(p)的圖象變換規(guī)律即可求得g(x)的解析式，

【解答】解：將函數/G)=2sin(2x-2L)的圖象向左平移三個單位，

34

得到函數g(x)=2sin［2(x+—L)-2L］=2sin(2x+.2L)的圖象.

436

故選：B.

【點評】本題主要考查函數y=Asin(a)A+(p)的圖象變換規(guī)律，考查了函數思想，屬于基礎題.

6.(2021秋?光明區(qū)期末)要得到函數y=siirv+cosx的圖象，只需將函數yScos2x的圖象上所有的點

()

A.先向右平移三個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)

8

B.先向左平移？L個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的上（縱坐標不變）

82

C.先向右平移三個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）

D.先向左平移三個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標縮短到原來的工（縱坐標不變）

42

【分析】利用兩角和的余弦公式化簡為y=&cos（x-2L）,再由函數丫=48$（3x+（p）的圖象變換規(guī)律

得出結論.

【解答】解：y=sinx+cosjc=V^cos(%--2L),

將函數y=J5cos2x的圖象上所有的點向右平移衛(wèi)個單位長度得到y=&cos2（》-衛(wèi)_）=J5cos（2x-

再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍得到y=&cos（x-2L）.

故選：A.

【點評】本題主要考查誘導公式，函數y=Asin（3x+（p）的圖象變換規(guī)律，統一這兩個三角函數的名稱，

是解題的關鍵，屬于基礎題.

7.（2022秋?晉江市校級期中）己知函數f（x）=sinxcosx-Fcos2xX&.

（1）求函數f（x）的單調遞減區(qū)間；

（2）將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移三個

6

單位，得到函數g（X）的圖象，當xE［-y,兀］時，求函數g（x）的取值范圍.

【分析】（1）直接利用三角函數的關系式的變換，把函數的關系式變形成正弦型函數，進一步求出函數的

單獨叫遞減區(qū)間；

（2）利用函數的圖象的平移變換和伸縮變換的應用求出結果.

【解答】解：（1）函數f（x）=sinxcosx"§='^_sin2x-亭~（l+cos2x）=

,71、

sin（2x^-）-

令~^+2k冗《2x-g42k兀+'0~'（攵€Z）,

整理得：翳+k兀4x《k兀咤L（髭Z）,

故函數的單調遞減區(qū)間為：［且L+kii,k打包口，（依Z）.

(2)將函數/(x)的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移三個

6

單位,得到函數g(x)=sin(X-2L)的圖象,

6

TT

由于:x€［—)兀］，

所以:兀二「兀5兀i

TTI

故sinE［，1］-

故函數g(x)的取值范圍為1］.

【點評】本題考查的知識要點：三角函數關系式的變換，正弦型函數的性質的應用，主要考查學生的運算

能力和數學思維能力，屬于基礎題.

8.(2021秋?寧縣期末)已知函數/(x)=sin(n-a)x)coscox-cos2(3乂4^~)(3＞。)的最小正周期為

1T.

(1)求/(X)圖象的對稱軸方程;

(2)將/(x)的圖象向左平移工個單位長度后，得到函數g(x)的圖象，求函數g(x)在［0,三］上的

62

值域.

【分析】(1)由二倍角公式及誘導公式，可得函數的解析式，進而求出函數的對稱軸的方程;

(2)由函數的平移可得g(x)的解析式，再由自變量的范圍，求出函數的值域.

,兀、

1+cos(2WX+-Z-)[][]

【解答】解：(1)/(x)=sinoircosoir-----------------——=Asin2(Dx+—sin2a)x-'=sin23x-A,

22222

3>0,所以函數的最小正周期7=22三=71：,可得3=1,

23

所以f(x)=sin2x-A,

可得對稱軸滿足的條件2x=2L+hT,依Z,

2

即對稱軸方程為x=2L+Kn,左z；

42

⑵吟)

(2)由(1)可得g(x)—f)=sin[2(x+——)]-2=sin.^1—9

6622

因為.詫[0,—],

2

所6以二I、I2gx+-兀--cG.r[-兀--,—4?！猐],

333

所以sin(2x+-^-)e［-I］,

32

所以g(X)的值域為［-1-L，工］?

222

【點評】本題考查三角恒等變形及三角函數的性質的應用，屬于基礎題.

9.(2022秋?長安區(qū)校級月考)已知f(x)=2sin2(3xg)-1(3>0)，給出下列結論:

①若/(X/)=1,f(X2)=-b且陽-切加"=TT,則3=1；

②存在3c(0,2),使得f(x)的圖象向左平移工■個單位長度后得到的圖象關于y軸對稱；

6

③若/(x)在［0,2m上恰有7個零點，則3的取值范圍為里■］；

L2424J

④若/(X)在［玲，上單調遞增，則3的取值范圍為(0,1］,

其中，所有錯誤結論的編號是()

A.①②B.①③C.②③D.②④

【分析】根據已知函數解析式變形，求得函數的最小正周期為工，由已知條件可得函數的最小正周期，求

3

得3的值判斷①；求出變換后的函數解析式，由對稱性求得3值判斷②；求出函數的零點，再由已知列關

于3的不等式，求出3范圍判斷③；求出函數的增區(qū)間，由題意列關于3的不等式組，求得3范圍判斷

④.

2

【解答】解：；f(x)=2sin(0)x+~^-)-l=-cos(20))=sin(23x+~^~)'

：.f(x)的最小正周期為22LJL.

23GO

對于①：因為/(XI)=1,f(X2)=-b-X2\min=Tt,

所以/(X)的最小正周期為T=如，

.?.22^=2兀=3,，故①錯誤；

232

對于②：將『(X)的圖象向左平移三個單位長度后得到的函數為y=sin(23xv"4)，

636

若其圖象關于)，軸對稱，

則粵冗，k€z,

362

解得a)=l+3匕依Z,

當&=0時，o)=16(0,2).故②正確;

對于③：設■器，

當x€［0,2n］時，t=2G)x」^E［―,43兀

666

若/(X)在［0,2可上有7個零點，

即)，=如/在tC［3-,40?！梗萆嫌?個零點，

66

兀

所以7兀443n-t^-<8H>

解得我43〈里，故③錯誤；

24%24

對于④：由4+2卜兀w23x*W3+2kn，k€Z>

解得-兀+卜兀wx4兀+卜兀,k€Z-

333633

取后=0,可得———《xW無’

3363

71

若/(X)在［,工］上單調遞增,

^64」

兀n

則

兀兀

634

解得0<3故④正確.

綜上，①③錯誤,②④正確,

故選：B.

【點評】本題考查了三角函數的圖象與性質，屬于中檔題.

10.(2021秋?衡陽縣期末)已知函數f(x)=Asin(3x+(p)(A>0,3>0,|<p|<—)的部分圖像如圖所

2

示.則能夠使得y=2siar變成函數/(x)的變換為()

A.先橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再向左平移三

224

B.先橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再向左平移三

12

C.先向左平移三，再橫坐標變?yōu)樵瓉淼墓け?/p>

62

D.先向左平移匹，再橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍

24

【分析】由頂點坐標求出A,由周期求出3,由五點作圖求出年，可得/(x)的解析式，再根據函數)=Asin

(u)x+(p)的圖象變換規(guī)律，得出結論.

【解答】解：根據函數/(無)=4sin(3x+(p)(A>0,3>0,|<p|<2L)的部分圖像，

2

可得A=2,lx2兀=5兀.兀,?'?3=2.

40)126

再根據五點法作圖，2X工+(p=2L,.?.(p=三，故f(x)=2sin(2x+工).

6266

故把y=2sinx的圖像先向左平移,，再把橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得函數/(x)的圖像.

也可先把y=2sinx的圖像的橫坐標變?yōu)樵瓉淼纳媳?，可得y=sin2x的圖像，

2

再向左平移二個單位，可得函數f(x)=2sin(2X+2L)的圖像，

126

故選：C.

【點評】本題主要考查由函數y=Asin(3x+(p)的部分圖象求函數的解析式，由頂點坐標求出4,由周期求

出3,由五點作圖求出叩，函數y=Asin(o)x+(p)的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題.

11.(2021秋?衡陽期末)已知函數/(x)=2sin(a)x+(p)的部分圖象如圖所示，將函數/(x)的圖象向右

平移三個單位長度，得到函數g(X)的圖象，則g(cp)=()

6

D.1

【分析】由周期求出3,由五點作圖求出隼，可得/(x)的解析式，再利用函數y=Asin(3x+(p)的圖象變

換規(guī)律，求得g(x)的解析式，從而求得g(<p).

【解答】解：根據函數/(x)=2sin(3"(p)的部分圖象，可得旦x22L=3L-三，，3=2.

4①123

再根據五點法作圖，2X?L+<p=m.?.5=匹，

33

故/(x)=2sin(2x+1I_).

將函數/(x)的圖象向右平移三個單位長度，得到函數g(x)=2sin2x的圖象,

6

則g(q>)=2sin2<p=2sinZ2L=J^,

3

故選:B.

【點評】本題主要考查由函數y=Asin(sx+(p)的部分圖象求函數的解析式，由周期求出3,由五點作圖

求出<p,還考查了函數y=Asin(3x+(p)的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題.

12.(2021秋?新鄉(xiāng)期末)若將函數f(x)=2cos(2x*)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的.,縱坐標

不變，再向右平移工個單位長度，得到函數g(x)的圖象.

8

(1)求g(x)圖象的對稱中心；

⑵若f(2x)Vg(x>求tan的值?

【分析】(1)由題意利用函數y=Asin(3"(p)的圖象變換可求函數解析式

g(x)=2cos[4(x^-)-*^-]=2cos(4x-^-),利用余弦函數的對稱性即可求解?

/兀\

TTsin

(2)由題意利用誘導公式，同角三角函數基本關系式可求tan(4%不)工=2.進而利用

n

cos

二倍角的正切公式即可求解.

【解答】解：(1)將函數f(x)=2cos(2x哈)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的1，縱坐標不變，再

k=

向右平一移1個單位長度，得到g(x)=2cos[4(xT")-^]2cos(4x/~>

oob0

由4x—^-]-+k兀(Aez),

得(Aez),

244

故g(無)圖象的對稱中心為(葛-丹L,0)&ez).

，c、riiHis±*/旦/兀、/兀、/7T7T、.7T、

⑵山避忌得2cos(4X-H-^-)=COS(4X^-)=CQS(4X-^—二sin

/兀、

JTsin

所以tan(4x-+^-^)-

/兀、=2-

COS(4x-^)

/兀、

2tan

4

故tan(8x+-^-)-

1-tan2(4x-t^~)

【點評】本題考查了函數)'=Asin(3x+<p)的圖象變換，余弦函數的對稱性，誘導公式，同角三角函數基

本關系式以及二倍角的正切公式的應用，考查了轉化思想和函數思想的應用，屬于中檔題.

13.(2022秋?渝中區(qū)校級月考)已知函數f(x)=3sin(3x+?)(|。|<子)滿足對任意的底氏都

有f(x)=f(2：-x>且f(0)=-七

(1)求滿足條件的最小正數3及此時/(X)的解析式；

(2)若將問題(1)中的/(無)的圖象向右平移三個單位得到函數g(x)的圖象，設集合A={x|0WxWir},

6

集合3={x|f(x)+g(x)■卜求ACB.

【分析】(1)由題意，利用正弦函數的圖象的對稱性以及/(0)=-§,求出⑴和3,可得函數的解析式.

2

(2)由題意，利用函數y=4sin(3x+<p)的圖象變換規(guī)律，求得g(x)的解析式，可得集合8,從而求出

ACB.

【解答】解：(1)???函數f(x)=3sin(3x+0)(|0|<g)滿足對任意的xeR，都有

f(x)=fW-x)，

...函數/"(x)的圖象關于直線x=2L對稱,

3

.,.wx2L+(p=jtn+—,k€Z①.

32

-3,...=-X.^=-2L

V/(0)=3sin(pSin(p

226

再結合①可得3=3A+2,Z6Z,；.3=2,f(x)=3sin(2x-—).

6

(2)把f(x)=3sin(2x--ZL)的圖象向右平移三個單位，得到函數g(x)=3sin(2x-2L)=-3cos2x

662

的圖象.

設集合A={x|0WxWit},

,集合B—{x|f(x)+g(x)￡)={M3sin⑵-看)-3cos2x=—)={x|W-sin2x-9cos2%=亞}=

2222

{x|sin(2x--2I_)=A}

62

={x\2x--=2lai+—^2kn+^lk&Z}={jc|x=jtrr+—nglcn+—,髭Z},

66662

：.ACyB={—,2L}.

62

【點評】本題主要考查正弦函數的圖象的對稱性，正弦函數的性質，函數)，=Asin(3x+(p)的圖象變換規(guī)

律，屬于中檔題.

三.由y=Asin（a）x+（p）的部分圖象確定其解析式（共12小題）

14.（2021秋?灌云縣校級期末）在①直線x=2L是函數/（x）圖象的一條對稱軸，②函數/（x）的最大值

6

為2,③函數/（x）的圖象與），軸交點的縱坐標是1這三個條件中任選兩個補充在下面題目中，并解答.

已知函數/（X）=Asin（2x+<p）（A〉0,0〈0-

（1）求函數/（x）的解析式；

（2）求函數/（x）在［0,子］上的值域.

【分析】（1）把2x+（p看成一個整體，利用y=sinx的性質可求函數/（X）的解析式；（2）利用換元法的思

想求函數值域.

【解答】解：（1）選擇①②，易知A=2,

因為2x2L+(p=2&ii+2L,k6Z,0<(p<—,：.q)=2L

6226

所以/(x)=2sin(2x*^-。),

選擇①③，因為2義工+<p=2Hr+?I_,kEZ,0<(p<—,：.a)=—

6226

所以/(x)=Asin(2x-+-

又f(O)=1,所以Asin~^-=1,=1,解得A=2,

所以/(x)=2sin

選擇②③，易知A=2,

而/(0)=Asin(p=2sin(p=1,所以sin(p=-^,

2

又OVcpvJL,A(p=—.

26

所以/(x)=2sin

(2)由(1)知/(x)=2sin(2x4^-)，

當O&w今時，*2x吟《平，

則當即*=三時，/(X)mw=2;

626

當2x+—J2Lt即x=2L時，f(X)而"=-1,

662

所以函數/(x)在［0,上的值域是［-1,2］.

【點評】本題考查三角函數的性質，屬于基礎題.

15.(2021秋?河北區(qū)期末)函數/(x)=Asin(wx+(p)(A>0,3>0,|<p|<—)的部分圖象如圖所示:

2

(1)求函數/(x)的解析式；

(2)求函數/(x)的最小正周期與單調遞減區(qū)間；

【分析】(1)根據函數/(X)的部分圖求出A、T、3和(p的值，即可寫出函數/(x)的解析式;

(2)根據函數f(x)的解析式求出最小正周期和單調遞減區(qū)間；

(3)求出花［0,2L］時2x+2L的取值范圍，即可得出函數f(x)的值域.

24

【解答】解：(1)由函數/(x)=Asin(3x+(p)的部分圖象知，

A=2,T=22L-(-_ZL)=K,所以3=^2L=2,

88T

由五點法畫圖知，(-工，0)是五點中的第一個點，

8

則2義(--2L)+(p=o,解得(p=_ZL,

84

所以函數/(x)=2sin(2x+—).

(2)函數/(元)的最小正周期為7=7T,

令三依z,解得住Z,

24288

所以/(x)的單調遞減區(qū)間為［三+E,且L+E］,

88

(3)當x6［0,工］時，2x+—e［—,且L］,

2444

所以2sin(2x+—)6[-&,2],

4

所以函數/'(x)在[0,三]上的值域為[-&,2].

2

【點評】本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了數形結合與函數思想，是基礎題.

(多選)16.(2022秋?聊城期中)已知函數f(x)=Asin(3x+0)(A>0，①>0,0<0<今)的

部分圖像如圖所示，將該函數圖象向右平移工個單位后，再把所得曲線上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(縱

12

坐標不變)，得到函數g(X)的圖象,則下列選項中正確的有()

A/、/兀、

/、/兀、

B.g(x)=sin

C.》=更是曲線y=g(x)的對稱軸

3

D.直線是曲線y=/(X)的一條切線

2

【分析】根據函數圖象可確定A,3的值，利用特殊點代入函數解析式確定<p,即可得到函數解析式，判斷

A；根據三角函數圖象的平移變換可得到g(x)表達式，判斷B；將X="代入驗證，可判斷C；利用導

3

數的幾何意義求得曲線的切線方程，可判斷D.

【解答】解：由圖象知A=I,22L/Z2LJL),解得3=2,

3=八21212J

將x*1■代入/(*)中得sin(2X表+。)=1，貝1J2又今+(1)=2k兀得-(k￡Z)，

因為0<。<3，。,f(x)=sin(2xV~>4正確；

由于將函數/(x)圖象向右平移喘個單位后，得函數y=sin[2(xn)4]=sin(2x哈)的圖象，

再把所得曲線上點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標不變)，得到函數丫=$1門(/乂2乂吟”sin(x*)

的圖象，故g(x)=sinB錯誤;

將x=4：代入g（x）=sin（乂好卷）中,sinx=^P■是曲線）1=g（》）的*j稱軸，C正

確；

f'(x)=2cos令/(X)=L即2cos(2乂4-)=1，，cos(2xV-)卷1

可得x=°時滿足cos(2x+-^~')V，此時f(0)=sin^~=手'

則f(x)=sin(2x+^~)在點(0，處的切線方程為y^^~=x-。，,'?y=x+^^_，。正確?

故選：ACD.

【點評】本題考查了三角函數的圖象和性質，屬于中檔題.

17.（2022秋?洪山區(qū)校級期中）函數/（x）=sin（3x+（p）（a）>0,|<p|<ir）的部分圖象如圖所示，其中MN

〃x軸.

（1）求函數y=/（x）的解析式；

（2）將），=/（x）的圖像向右平移—■個單位，再向上平移2個單位得到y=g（x）的圖像，求且（:）的值.

【分析】（1）由題意，先求出它的一條對稱軸方程，根據周期求出3,由五點法作圖求出<p的值，可得函

數的解析式.

（2）根據函數y=4sin（3x+<p）的圖象變換規(guī)律得到g（x）的解析式，再根據兩角和差的正弦公式求得g

（2L）的值.

8

【解答】解：（1）根據函數/（無）=sin（a）x+（p）（a）>0,|（p|<ir）的部分圖象，

兀兀

可得函數的圖象關于直線尤='_*=-工對稱，且L+?L=3x22L,；.3=2.

231234W

再根據五點法作圖，可得2X且L+<p=O,求得9=-亞，

126

故函數/（x）=sin（2x-旦L）.

6

（2）將y—fCx）的圖像向右平移？^個單位，可得y=sin（2r-----且L）=sin（2x--，T）=sin（2x+Z...）

42633

的圖象;

再向上平移2個單位得到y=g(x)=sin(法+空)+2的圖像.

3

44*/兀、兀.z7T7Tx.TV7T7T.7T、

故^=s.m—11—+2=sin+2=sm()+2=(sincoscossin)+2

1212343434

=巫X亞-亞)+2=VLV2.+2.

22224

【點評】本題主要考查由函數y=Asin(3x+(p)的部分圖象求解析式，由周期求出3,由五點法作圖求出(p

的值，函數y=Asin（3x+<p）的圖象變換規(guī)律，三角函數的圖象和性質，兩角和差的三角公式，屬于中檔

題.

18.（2022秋?海門市期中）信息1：某同學用“五點法”作函數

f（x）=Asin（3x+。）（A>0，3>0,|。|〈今）在某一個周期內的圖象時,列表并填入了部分數

據，見下表：

兀

o）x+（p0KIT32n

T2

Xa

一近

Asin(a)x+(p)00

2

信息2：如圖，4、C為函數f（x）=Asin（3x+0）（A>0，3>0,