適用于新教材2025版高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示6.3.3平面向量加減運(yùn)算的坐標(biāo)表示教師用書新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE6.3.2平面對(duì)量的正交分解及坐標(biāo)表示6.3.3平面對(duì)量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.平面對(duì)量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)分別為i,j,取{i,j}作為基底,對(duì)于平面內(nèi)的隨意一個(gè)向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得a=,有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作.

2.平面對(duì)量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則:a+b=;

a-b=.

3.若O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),則=,=,

=.

一、單選題1.(教材改編題)已知向量a,b滿意a+b=(1,3),a-b=(3,-3),則a,b的坐標(biāo)分別為()A.(4,0),(-2,6) B.(-2,6),(4,0)C.(2,0),(-1,3) D.(-1,3),(2,0)2.如圖,{e1,e2}是一個(gè)基底,且e1=(1,0),e2=(0,1),則向量a的坐標(biāo)為 ()A.(1,3) B.(3,1)C.(-1,-3) D.(-3,-1)3.已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),則向量= ()A.(-7,-4) B.(1,2)C.(-1,4) D.(1,4)4.假如將=32,12,繞原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°得到,則的坐標(biāo)是 ()A.-12,32 B.32,-12C.(-1,3) D.-32,12二、多選題5.已知=(-2,4),則下列說法不正確的是 ()A.A點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,4)B.B點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,4)C.當(dāng)B是原點(diǎn)時(shí),A點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,4)D.當(dāng)A是原點(diǎn)時(shí),B點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,4)6.以A(0,1),B(1,0),C(3,2)三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作平行四邊形,則第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)可以是()A.(2,3) B.(2,-1)C.(4,1) D.(-2,-1)三、填空題7.(教材改編題)在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,向量的坐標(biāo)是.

8.已知在平面直角坐標(biāo)系中,A(0,0),B(1,0),C(2,1),若=,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.

四、解答題9.已知長方形ABCD的長為4、寬為3,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,i是x軸上的單位向量,j是y軸上的單位向量,試求和的坐標(biāo).10.(1)已知a=(1,2),b=(-3,4),求向量a+b,a-b的坐標(biāo);(2)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=,=,求M,N及的坐標(biāo).一、選擇題1.已知向量a=3,4,b=2,-5,c=3,1,若=a+b+c,且A(1,1),則向量的終點(diǎn)A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9)2.已知A(-3,0),B(0,2),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C在∠AOB內(nèi),且∠AOC=45°,設(shè)=λ+(1-λ)(λ∈R),則λ的值為 ()A.15 B.13 C.25 二、填空題3.如圖,在?ABCD中,AC為一條對(duì)角線,若=(2,4),=(1,3),則=.

4.已知平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)依次為(3,-1),(1,2),(m,1),(3,n),則msinα+ncosα的最大值為.

三、解答題5.如圖所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E,用向量的方法證明:DE∥BC.6.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,=a,=b.四邊形OABC為平行四邊形.(1)求向量a,b的坐標(biāo).(2)求向量的坐標(biāo).(3)求點(diǎn)B的坐標(biāo).6.3.2平面對(duì)量的正交分解及坐標(biāo)表示6.3.3平面對(duì)量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示必備學(xué)問·落實(shí)1.單位向量xi+yja=(x,y)2.(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)3.(x1,y1)(x2,y2)(x2-x1,y2-y1)知能素養(yǎng)·進(jìn)階【基礎(chǔ)鞏固組】1.C2a=(a+b)+(a-b)=(4,0),于是a=(2,0),所以b=(-1,3).2.A因?yàn)閑1,e2分別是與x軸,y軸方向相同的兩個(gè)單位向量,由題圖可知a=e1+3e2,依據(jù)平面對(duì)量坐標(biāo)的定義可知a=(1,3).3.A設(shè)C(x,y),因?yàn)?(-4,-3),所以(x,y-1)=(-4,-3),所以x=-4,y-1=-3,所以x=-4,y=-2,所以C(-4,-2).所以=(-4-3,-2-2)=(-7,-4).4.D設(shè)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°得到的的坐標(biāo)為(x,y),則x=||cos(120°+30°)=-32,y=||·sin(120°+30°)=12,由此可知B點(diǎn)坐標(biāo)為-32,125.ABC只有當(dāng)向量起點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí),向量坐標(biāo)與向量終點(diǎn)坐標(biāo)相同.6.ACD設(shè)D(x,y),若=,則(1,-1)=(x-3,y-2),即x-3=1解得x=4,y若=,則(1,-1)=(3-x,2-y),即3解得x=2,y若=,則(-2,-2)=(x,y-1),即x解得x=-2,7.【解析】因?yàn)锳(2,2),B(1,1),所以=(-1,-1).答案:(-1,-1)8.【解析】設(shè)D(x,y),因?yàn)?,所以2-1=答案:(1,1)9.【解析】由題圖知,CB⊥x軸,CD⊥y軸,因?yàn)锳B=4,AD=3,所以=4i+3j,所以=(4,3).因?yàn)?+=-+,所以=-4i+3j,所以=(-4,3).10.【解析】(1)a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6),a-b=(1,2)-(-3,4)=(4,-2);(2)由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),可得=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則=(x1+3,y1+4)=(1,8),x1=-2,y1=4;=(x2+3,y2+4)=(6,3),x2=3,y2=-1,所以M(-2,4),N(3,-1),=(3,-1)-(-2,4)=(5,-5).【素養(yǎng)提升組】1.A=a+b+c=3,4+2,-5+3設(shè)終點(diǎn)為Bx,y,則x-所以x-1=8所以終點(diǎn)B的坐標(biāo)為(9,1).2.C如圖所示,因?yàn)椤螦OC=45°,所以設(shè)C(x,-x),則=(x,-x).又因?yàn)锳(-3,0),B(0,2),所以λ+(1-λ)=(-3λ,2-2λ),所以x=-3λ,3.【解析】=-=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),=+=-=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).答案:(-3,-5)4.【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,則=,即(3-3,n+1)=(m-1,1-2),即m-1=0,n+1=-1,得m=1,n=-2,得msinα+ncosα=sinα-2cosα=5sin(α+φ),其中tanφ=-2,故msin答案:55.【證明】如圖,以E為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,EC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)||=1,則||=1,||=2.因?yàn)镃E⊥AB,而AD=DC,所以四邊形AECD為正方形,所以可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1).因?yàn)?(-1,1)-(0,0)=(-1,1),=(0,1)-(1,0)=(-1,1),所以=,所以∥,即DE∥BC.6.【解析】(1)過A點(diǎn)作AM⊥x軸于點(diǎn)M,如圖.則OM=