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熱點(八)平面對量1.(平面對量基本定理)設(shè)D為△ABC的邊BC的延長線上一點,eq\o(BC,\s\up6(→))=3eq\o(CD,\s\up6(→)),則()A.eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))=-eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))2.(向量共線的坐標(biāo)表示)已知向量a=(4,2),向量b=(x,3),且a∥b,則x=()A.9B.6C.5D.33.(平面對量的應(yīng)用)長江兩岸之間沒有大橋的地方,經(jīng)常通過輪渡進(jìn)行運輸.如圖所示,一艘船從長江南岸A點動身,以5km/h的速度沿eq\o(AD,\s\up6(→))方向行駛,到達(dá)對岸C點,且AC與江岸AB垂直,同時江水的速度為向東3km/h,則該船實際行駛的速度大小為()A.2km/hB.eq\r(34)km/hC.4km/hD.8km/h4.[2024·長春市質(zhì)量檢測(三)](平面對量的模)已知向量a,b滿意|a|=1,|b|=2,a-b=(2,1),則|2a-b|=()A.eq\r(15)B.eq\r(17)C.2eq\r(2)D.2eq\r(5)5.(平面對量平行問題)若向量a=(4,2),b=(6,k),則a∥b的充要條件是()A.k=-12B.k=12C.k=-3D.k=36.[2024·廣東省湛江市高三調(diào)研測試題](平面對量垂直問題)已知向量a=(1,2),向量b=(2,-2),a+kb與a-b垂直,則k=()A.2B.eq\f(10,7)C.eq\f(1,2)D.eq\f(7,10)7.[2024·廣西南寧三校聯(lián)考](平面對量的投影)已知向量a,b滿意|a|=2,|b|=eq\r(2),且a⊥(a+2b),則b在a方向上的投影為()A.-eq\f(1,2)B.-1C.eq\f(1,2)D.18.(平面對量的夾角)設(shè)平面對量a=(-2,1),b=(λ,2),若a與b的夾角為銳角,則λ的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),2))∪(2,+∞)B.(-∞,-4)∪(-4,1)C.(1,+∞)D.(-∞,1)9.[2024·四川省閬中中學(xué)高三月考](平面對量的數(shù)量積)已知在四邊形ABCD中,AB⊥AD,CD=1,eq\o(AB,\s\up6(→))+2eq\o(CD,\s\up6(→))=0,E是BC的中點,則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))=()A.eq\f(3,2)B.2C.3D.410.(數(shù)量積的應(yīng)用)在△ABC中,設(shè)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2-|eq\o(AB,\s\up6(→))|2=2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→)),則動點M的軌跡必通過△ABC的()A.垂心B.內(nèi)心C.重心D.外心11.(平面對量與數(shù)列綜合)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若點A,B,C,O滿意:①eq\o(AB,\s\up6(→))=λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ≠0);②A,B,O確定一個平面;③eq\o(OB,\s\up6(→))=a3eq\o(OA,\s\up6(→))+a98eq\o(OC,\s\up6(→)).則S100=()A.29B.40C.45D.5012.[2024·湖北省隨州市聯(lián)考](平面對量的數(shù)量積)設(shè)A、B、C是半徑為1的圓上三點,若AB=eq\r(2),則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的最大值為()A.3+eq\r(3)B.eq\f(3,2)+eq\r(3)C.1+eq\r(2)D.eq\r(2)[答題區(qū)]題號123456789101112答案13.[2024·合肥市其次次教學(xué)質(zhì)量檢測](平面對量的模)已知向量a=(x,1),b=(1,-2),且a∥b,則|a-b|=________.14.(向量的夾角)已知向量a=(-1,2),b=(1,x),a+b與a垂直,設(shè)a與b的夾角為α,則cosα=________.15.(平面對量在物理中的應(yīng)用)在平面直角坐標(biāo)系中,力F=(2,3)作用于一物體,使該物體從點A(2,0)移動到點B(4,0),則力F對物體做的功為________.16.[2024·河南省鄭州市模擬](平面對量的數(shù)量積)已知P為邊長為2的正方形ABCD所在平面內(nèi)一點,則eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))+eq\o(PD,\s\up6(→)))的最小值為________.熱點(八)平面對量1.Ceq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(BD,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(4,3)eq\o(BC,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(4,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→)))=-eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)),故選C.2.B因為向量a=(4,2),向量b=(x,3)且a∥b,所以4×3=2x,x=6,故選B.3.C(以下解析中速度按向量處理)不妨設(shè)該船經(jīng)過1h到達(dá)點C,由題意畫出向量圖如圖所示,則eq\o(AD,\s\up6(→))為船速,eq\o(AB,\s\up6(→))為水速,eq\o(AC,\s\up6(→))為該船實際行駛的速度,易知|eq\o(AC,\s\up6(→))|=4.故選C.4.C方法一由題意,得|a-b|2=22+12=5,|a-b|2=a2-2a·b+b2=5-2a·b=5,所以a·b=0,所以|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=8,所以|2a-b|=2eq\r(2),故選C.方法二設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))=a,eq\o(OB,\s\up6(→))=b,則eq\o(BA,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→))=a-b.由題意,得|a-b|=eq\r(22+12)=eq\r(5),所以|eq\o(OA,\s\up6(→))|2+|eq\o(OB,\s\up6(→))|2=|eq\o(BA,\s\up6(→))|2,所以O(shè)A⊥OB,所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=0,即a·b=0,所以|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=8,所以|2a-b|=2eq\r(2),故選C.5.D因為向量a=(4,2),b=(6,k),若a∥b,則4k-2×6=0,解得k=3,即a∥b?k=3;反之,若k=3,則a=(4,2),b=(6,3),所以a=eq\f(2,3)b,所以a∥b,即k=3?a∥b.故選D.6.D因為向量a=(1,2),向量b=(2,-2),所以a2=5,b2=8,a·b=-2,又a+kb與a-b垂直,所以(a+kb)·(a-b)=a2-kb2+(k-1)a·b=5-8k-2(k-1)=7-10k=0,所以k=eq\f(7,10),故選D.7.B因為a⊥(a+2b),a·(a+2b)=a2+2a·b=4+2a·b=0,a·b=-2,所以b在a方向上的投影為eq\f(a·b,|a|)=eq\f(-2,2)=-1.故選B.8.B方法一因為a與b的夾角為銳角,所以cos〈a,b〉∈(0,1).又向量a=(-2,1),b=(λ,2),所以cos〈a,b〉=eq\f(a·b,|a||b|)=eq\f(-2λ+2,\r(5)·\r(λ2+4))∈(0,1),整理得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-2λ+2>0,,λ2+8λ+16>0,))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ<1,,λ≠-4,))所以λ的取值范圍為(-∞,-4)∪(-4,1).故選B.方法二因為a與b的夾角為銳角,所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·b>0,,a,b不共線.))又向量a=(-2,1),b=(λ,2),所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-2λ+2>0,,\f(λ,-2)≠\f(2,1),))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ<1,,λ≠-4,))所以λ的取值范圍為(-∞,-4)∪(-4,1).故選B.9.C四邊形ABCD如圖:因為AB⊥AD,eq\o(AB,\s\up6(→))+2eq\o(CD,\s\up6(→))=0,所以四邊形ABCD是直角梯形,由CD=1,eq\o(AB,\s\up6(→))+2eq\o(CD,\s\up6(→))=0,可得|eq\o(AB,\s\up6(→))|=2.E是BC的中點,過E作EF⊥AB于F,則|eq\o(AF,\s\up6(→))|=eq\f(3,4)|eq\o(AB,\s\up6(→))|=eq\f(3,2),可得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))=|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AE,\s\up6(→))|cos∠EAB=|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AF,\s\up6(→))|=2×eq\f(3,2)=3.故選C.10.D|eq\o(AC,\s\up6(→))|2-|eq\o(AB,\s\up6(→))|2=(eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→)))=(eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))=2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→)),∴eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))-2eq\o(AM,\s\up6(→)))=0?eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\o(AM,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))-eq\o(AM,\s\up6(→)))=eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(MC,\s\up6(→))+eq\o(MB,\s\up6(→)))=0,設(shè)E為BC的中點,則eq\o(MC,\s\up6(→))+eq\o(MB,\s\up6(→))=2eq\o(ME,\s\up6(→)),∴eq\o(BC,\s\up6(→))·2eq\o(ME,\s\up6(→))=0?eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(ME,\s\up6(→))?ME為BC的垂直平分線,∴M的軌跡必過△ABC的外心,故選D.11.D通解因為eq\o(AB,\s\up6(→))=λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ≠0),所以A,B,C三點共線.又A,B,O確定一個平面,即A,B,O不共線,所以A,C,O不共線,即eq\o(OA,\s\up6(→)),eq\o(OC,\s\up6(→))不共線.由eq\o(AB,\s\up6(→))=λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ≠0),得eq\o(OB,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→))=λ(eq\o(OC,\s\up6(→))-eq\o(OB,\s\up6(→))),當(dāng)λ≠-1時,eq\o(OB,\s\up6(→))=eq\f(1,1+λ)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(λ,1+λ)eq\o(OC,\s\up6(→)),當(dāng)λ=-1時,eq\o(OA,\s\up6(→))=eq\o(OC,\s\up6(→))(舍去).因為eq\o(OB,\s\up6(→))=a3eq\o(OA,\s\up6(→))+a98eq\o(OC,\s\up6(→)),所以a3=eq\f(1,1+λ),a98=eq\f(λ,1+λ),則a3+a98=1,又?jǐn)?shù)列{an}為等差數(shù)列,所以a1+a100=a3+a98=1,所以S100=eq\f((a1+a100)×100,2)=50.故選D.優(yōu)解由eq\o(AB,\s\up6(→))=λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ≠0),得A,B,C三點共線,又A,B,O確定一個平面,所以A,B,C,O四點共面.依據(jù)eq\o(OB,\s\up6(→))=a3eq\o(OA,\s\up6(→))+a98eq\o(OC,\s\up6(→)),得a3+a98=1,因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列,所以a1+a100=a3+a98=1,所以S100=eq\f((a1+a100)×100,2)=50,故選D.12.C設(shè)圓心為點O,則OA=OB=1,∵AB=eq\r(2),∴AB2=OA2+OB2,則OA⊥OB,∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=(eq\o(OB,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→)))·(eq\o(OC,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→)))=eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))+eq\o(OA,\s\up6(→))2=(eq\o(OB,\s\up6(→))-eq\o(OA,\s\up6(→)))·eq\o(OC,\s\up6(→))+1=eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))+1=|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(OC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(OC,\s\up6(→))〉+1≤eq\r(2)+1,當(dāng)且僅當(dāng)eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))方向相同時取等號.13.答案:eq\f(3\r(5),2)解析:由a∥b,a=(x,1),b=(1,-2),可得-2x=1,解得x=-eq\f(1,2),所以a=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),1)),進(jìn)而得到a-b=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),3)),則|a-b|=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2)))\s\up12(2)+32)=eq\f(3\r(5),2).14.答案:-1解析:a+b=(0,2+x),依據(jù)題意有0+2×(2+x)=0,解得x=-2,所以cosα=eq\f(a·b,|a
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