熱點(diǎn)08圓(原卷版+解析)

熱點(diǎn)08圓考察方向考察方向中考中，圓主要考察方向?yàn)椋簣A周角定理、垂徑定理、切線長(zhǎng)定理圓的內(nèi)接四邊形三角形的內(nèi)切圓、外接圓扇形弧長(zhǎng)、面積及圓錐側(cè)面積的計(jì)算圓與幾何圖形、函數(shù)的綜合運(yùn)用滿分技巧滿分技巧圓的性質(zhì)(I)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等.

(II)軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸.

(III)垂徑定理及推論：

①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧.

④平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夾的弧相等.

【注意】在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑）與圓有關(guān)的角(I)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù).

(II)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半.

②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等.

③90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角.

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角.

（3）切線的判定、性質(zhì)

(I)切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

②到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.

(II)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心.

(III)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng).

(IV)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

（4）三角形的外心和內(nèi)心名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部?jī)?nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.（5）圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角.

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等.

（6）圓中有關(guān)計(jì)算

圓的面積公式：，周長(zhǎng).

圓心角為、半徑為R的弧長(zhǎng).

圓心角為，半徑為R，弧長(zhǎng)為的扇形的面積.

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有?；A(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練A卷（建議用時(shí)：60分鐘）一、單選題1．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，PA，PB是的切線，A、B為切點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)，，在⊙O上，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，面積為的正方形內(nèi)接于⊙O，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．4．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，等邊的頂點(diǎn)在⊙上，邊、與⊙分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)是劣弧上一點(diǎn)，且與、不重合，連接、，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．(2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（

）A． B． C． D．6．(2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)，，是上的三點(diǎn)．若，，則的大小為（

）A． B． C． D．7．(2023·湖南張家界·中考真題）如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，已知為，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．8．(2023·湖南永州·中考真題）如圖，已知是的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，線段交于點(diǎn)M．給出下列四種說法：①；②；③四邊形有外接圓；④M是外接圓的圓心，其中正確說法的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．(2023·湖南·中考真題）一個(gè)圓錐的底面半徑r＝10，高h(yuǎn)＝20，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）A．100π B．200π C．100π D．200π10．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)扇形的半徑為6，圓心角為120°，則該扇形的面積是(

)A．2π B．4π C．12π D．24π11．(2023·湖南湘西·中考真題）如圖，、為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，交于點(diǎn)C，的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D．下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．為等腰三角形 B．與相互垂直平分C．點(diǎn)A、B都在以為直徑的圓上 D．為的邊上的中線12．(2023·湖南婁底·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為的等邊的內(nèi)切圓的半徑為(

)A．1 B． C．2 D．13．(2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，PA、PB為圓O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，PO交AB于點(diǎn)C，PO的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)D，下列結(jié)論不一定成立的是(

)A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD二、填空題14．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，則________度．15．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，弦的長(zhǎng)為4，圓心到弦的距離為2，則的度數(shù)為______．16．(2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)C，AO=3，⊙O的半徑為2，則AC的長(zhǎng)為_____．17．（2012·湖南婁底·中考真題）如圖，⊙O的直徑CD垂直于AB，∠AOC=48°，則∠BDC=度．18．(2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，，則_________．19．(2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)、在上，，則______度．20．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，A、B、C是上的點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)D，且D為OC的中點(diǎn)，若，則BC的長(zhǎng)為___________．21．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）已知圓錐的母線長(zhǎng)為3，底面半徑為1，該圓錐的側(cè)面展開圖的面積為_______．22．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐的母線長(zhǎng)，底面圓的直徑，則該圓錐的側(cè)面積等于________．（結(jié)果用含的式子表示）23．(2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）某同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，制作了一個(gè)側(cè)面積為，底面半徑為6的圓錐模型（如圖所示），則此圓錐的母線長(zhǎng)為____________．24．(2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，則圖中陰影部分的面積是_________．（結(jié)果保留）25．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，方老師用一張半徑為的扇形紙板，做了一個(gè)圓錐形帽子（接縫忽略不計(jì)）．如果圓錐形帽子的半徑是，那么這張扇形紙板的面積是________（結(jié)果用含的式子表示）．26．(2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為直徑，，為弦，過點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），且．（1）若，則的長(zhǎng)為______（結(jié)果保留）；（2）若，則______．三、解答題27．(2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的方格紙格長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)度）中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．(1)將沿軸向左平移5個(gè)單位，畫出平移后的△（不寫作法，但要標(biāo)出頂點(diǎn)字母）；(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的△（不寫作法，但要標(biāo)出頂點(diǎn)字母）；(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留．28．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到．(1)請(qǐng)寫出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)：_________，_________，_________(2)求點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的弧長(zhǎng)．29．(2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，是直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．30．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．以AB為直徑的與線段BC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，垂足為E，ED的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．(1)求證：直線PE是的切線；(2)若的半徑為6，，求CE的長(zhǎng)．31．(2023·湖南衡陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，為⊙的直徑，過圓上一點(diǎn)作⊙的切線交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．(1)直線與⊙相切嗎？并說明理由；(2)若，，求的長(zhǎng)．32．(2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，且．(1)求的度數(shù)；(2)若的半徑為3，求圓弧的長(zhǎng)．33．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙中，直徑與弦相交于點(diǎn)，連接、．(1)求證：；(2)連接，若，，求⊙的半徑．34．(2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的圓O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接CA，CO，CB．(1)求證：∠ACO＝∠BCP；(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號(hào)）．35．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，的頂點(diǎn)、在⊙上，頂點(diǎn)在⊙外，邊與⊙相交于點(diǎn)，，連接、，已知．(1)求證：直線是⊙的切線；(2)若線段與線段相交于點(diǎn)，連接．①求證：；②若，求⊙的半徑的長(zhǎng)度．難點(diǎn)突破難點(diǎn)突破B卷（建議用時(shí)：60分鐘）一、單選題1．(2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧交射線AB，AC于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)?shù)亩ㄩL(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線AE，交BD于點(diǎn)I，連接CI，以下說法錯(cuò)誤的是（）A．I到AB，AC邊的距離相等B．CI平分∠ACBC．I是△ABC的內(nèi)心D．I到A，B，C三點(diǎn)的距離相等2．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，為⊙O的直徑，弦于點(diǎn)E，直線l切⊙O于點(diǎn)C，延長(zhǎng)交l于點(diǎn)F，若，，則的長(zhǎng)度為（）A．2 B． C． D．43．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動(dòng)圓的圓心A沿x軸移動(dòng)，當(dāng)⊙與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．(2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，設(shè)正方形的面積為，黑色部分面積為，則的比值為（

）A． B． C． D．5．(2023·湖南株洲·中考真題）如圖所示，點(diǎn)A、B、C對(duì)應(yīng)的刻度分別為0、2、4、將線段CA繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A首次落在矩形BCDE的邊BE上時(shí)，記為點(diǎn)，則此時(shí)線段CA掃過的圖形的面積為（

）A． B．6 C． D．6．(2023·湖南婁底·中考真題）如圖，在單位長(zhǎng)度為1米的平面直角坐標(biāo)系中，曲線是由半徑為2米，圓心角為的多次復(fù)制并首尾連接而成．現(xiàn)有一點(diǎn)P從A(A為坐標(biāo)原點(diǎn))出發(fā)，以每秒米的速度沿曲線向右運(yùn)動(dòng)，則在第2019秒時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為(

)A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1二、填空題7．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）中國(guó)元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”．“方田一段，一角圓池占之．”意思是說：“一塊正方形田地，在其一角有一個(gè)圓形的水池（其中圓與正方形一角的兩邊均相切）”，如圖所示．問題：此圖中，正方形一條對(duì)角線與⊙相交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的右上方），若的長(zhǎng)度為10丈，⊙的半徑為2丈，則的長(zhǎng)度為_________丈．8．(2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，，為的外接圓，過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①；②；③若，則的長(zhǎng)為；④；⑤若，則．9．(2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，為半⊙O的直徑，，是半圓上的三等分點(diǎn)，，與半⊙O相切于點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），直線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是______________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①；②的長(zhǎng)為；③；④；⑤為定值．10．(2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)P為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PE，切點(diǎn)為M，過A、B兩點(diǎn)分別作PE的垂線AC、BD，垂足分別為C、D，連接AM，則下列結(jié)論正確的是___________.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))①AM平分∠CAB；②AM2＝AC?AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，則的長(zhǎng)為；④若AC＝3，BD＝1，則有CM＝DM＝.11．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P在以MN為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，（點(diǎn)P與M，N不重合）平分，交PM于點(diǎn)E，交PQ于點(diǎn)F．(1)___________________．(2)若，則___________________．三、解答題12．(2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是的直徑，于，是上的一點(diǎn)，交于，，連接交于．(1)求證：CD是的切線；(2)若，，求、的長(zhǎng)．13．(2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，是的直徑，是的切線，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，交于點(diǎn)，(1)求證：；(2)求證：；(3)若的面積，求四邊形的面積．14．(2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，是的直徑，點(diǎn)E是上一動(dòng)點(diǎn)，且不與A，B兩點(diǎn)重合，的平分線交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）如圖2，原有條件不變，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)M，的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，的平分線交的平分線于點(diǎn)Q．求證：無論點(diǎn)E如何運(yùn)動(dòng)，總有．15．(2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰銳角三角形中，，過點(diǎn)B作于D，延長(zhǎng)交的外接圓于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作于F，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．（1）判斷是否平分，并說明理由；（2）求證：①；②．16．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）德國(guó)著名的天文學(xué)家開普勒說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦”．如圖①，點(diǎn)C把線段分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)C為線段的黃金分割點(diǎn)．（1）特例感知：在圖①中，若，求的長(zhǎng)；（2）知識(shí)探究：如圖②，作⊙O的內(nèi)接正五邊形：①作兩條相互垂直的直徑、；②作的中點(diǎn)P，以P為圓心，為半徑畫弧交于點(diǎn)Q；③以點(diǎn)A為圓心，為半徑，在⊙O上連續(xù)截取等弧，使弦，連接；則五邊形為正五邊形．在該正五邊形作法中，點(diǎn)Q是否為線段的黃金分割點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．（3）拓展應(yīng)用：國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征，是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，與黃金分割有著密切的聯(lián)系．延長(zhǎng)題（2）中的正五邊形的每條邊，相交可得到五角星，擺正后如圖③，點(diǎn)E是線段的黃金分割點(diǎn)，請(qǐng)利用題中的條件，求的值．17．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，是的直徑，點(diǎn)、是上不同的兩點(diǎn)，直線交線段于點(diǎn)，交過點(diǎn)的直線于點(diǎn)，若，且．（1）求證：直線是的切線；（2）連接、、、，若．①求證：；②過點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若，求線段的長(zhǎng)度．18．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)為以為直徑的半圓的圓心，點(diǎn)，在直徑上，點(diǎn)，在上，四邊形為正方形，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合），連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．（1）求的值；（2）求的值；（3）令，，直徑（，是常數(shù)），求關(guān)于的函數(shù)解析式，并指明自變量的取值范圍．19．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AD上，連接EF．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，則___________；___________；___________．（直接將結(jié)果填寫在相應(yīng)的橫線上）(3)①記四邊形ABCD，的面積依次為，若滿足，試判斷，的形狀，并說明理由．②當(dāng)，時(shí)，試用含m，n，p的式子表示．熱點(diǎn)08圓考察方向考察方向中考中，圓主要考察方向?yàn)椋簣A周角定理、垂徑定理、切線長(zhǎng)定理圓的內(nèi)接四邊形三角形的內(nèi)切圓、外接圓扇形弧長(zhǎng)、面積及圓錐側(cè)面積的計(jì)算圓與幾何圖形、函數(shù)的綜合運(yùn)用滿分技巧滿分技巧圓的性質(zhì)(I)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等.

(II)軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸.

(III)垂徑定理及推論：

①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧.

④平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夾的弧相等.

【注意】在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧、平分弦所對(duì)的劣弧，在這五個(gè)條件中，知道任意兩個(gè)，就能推出其他三個(gè)結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時(shí)，平分的弦不能是直徑）與圓有關(guān)的角(I)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù).

(II)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半.

②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等.

③90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角.

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角.

（3）切線的判定、性質(zhì)

(I)切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

②到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.

(II)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn).

③經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心.

(III)切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng).

(IV)切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

（4）三角形的外心和內(nèi)心名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部?jī)?nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.（5）圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角.

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等.

（6）圓中有關(guān)計(jì)算

圓的面積公式：，周長(zhǎng).

圓心角為、半徑為R的弧長(zhǎng).

圓心角為，半徑為R，弧長(zhǎng)為的扇形的面積.

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有?；A(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練A卷（建議用時(shí)：60分鐘）一、單選題1．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，PA，PB是的切線，A、B為切點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．答案:B分析：根據(jù)切線的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：∵PA，PB是的切線，∴，，，則，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和，掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)，，在⊙O上，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．答案:B分析：直接利用圓周角定理即可得．【詳解】解：，由圓周角定理得：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題關(guān)鍵．3．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，面積為的正方形內(nèi)接于⊙O，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．答案:C分析：連接BD、AC，由題意易得，然后根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式可求解．【詳解】解：連接BD、AC，∵四邊形是正方形，且面積為18，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)度為；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長(zhǎng)計(jì)算及正多邊形與圓，熟練掌握弧長(zhǎng)計(jì)算及正多邊形與圓是解題的關(guān)鍵．4．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，等邊的頂點(diǎn)在⊙上，邊、與⊙分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)是劣弧上一點(diǎn)，且與、不重合，連接、，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．答案:C分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)即可求得答案．【詳解】解：是等邊三角形，，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．5．(2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（

）A． B． C． D．答案:C分析：作直徑AD，連接CD，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠B=60°，關(guān)鍵圓周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解．【詳解】解：作直徑AD，連接CD，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=60°，∵AD為直徑，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B=60°，則∠DAC=30°，∴CD=AD，∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，∴AD=2，∴OA=OB=AD=．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．6．(2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)，，是上的三點(diǎn)．若，，則的大小為（

）A． B． C． D．答案:B分析：首先根據(jù)圓周角定理求得的度數(shù)，根據(jù)的度數(shù)求即可．【詳解】解：∵∴∠BOC=2，∵，，故選：B．【點(diǎn)睛】考查了圓周角定理及兩銳角互余性質(zhì)，求得的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．7．(2023·湖南張家界·中考真題）如圖，四邊形為的內(nèi)接四邊形，已知為，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．答案:C分析：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠A，根據(jù)圓周角定理計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A＝180°?∠BCD＝60°，由圓周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．8．(2023·湖南永州·中考真題）如圖，已知是的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，線段交于點(diǎn)M．給出下列四種說法：①；②；③四邊形有外接圓；④M是外接圓的圓心，其中正確說法的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案:C分析：由切線長(zhǎng)定理判斷①，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)判斷②，利用切線的性質(zhì)與直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，判斷③，利用反證法判斷④．【詳解】如圖，是的兩條切線，故①正確，故②正確，是的兩條切線，取的中點(diǎn)，連接，則所以：以為圓心，為半徑作圓，則共圓，故③正確，M是外接圓的圓心，與題干提供的條件不符，故④錯(cuò)誤，綜上：正確的說法是個(gè)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線長(zhǎng)定理，三角形的外接圓，四邊形的外接圓，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．(2023·湖南·中考真題）一個(gè)圓錐的底面半徑r＝10，高h(yuǎn)＝20，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）A．100π B．200π C．100π D．200π答案:C分析：先利用勾股定理計(jì)算出母線長(zhǎng)，然后利用扇形的面積公式計(jì)算這個(gè)圓錐的側(cè)面積．【詳解】解：這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)＝＝10，這個(gè)圓錐的側(cè)面積＝×2π×10×10＝100π．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查圓錐的側(cè)面積，解題的關(guān)鍵是熟知母線的定義及圓錐側(cè)面積的公式．10．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)扇形的半徑為6，圓心角為120°，則該扇形的面積是(

)A．2π B．4π C．12π D．24π答案:C分析：根據(jù)扇形的面積公式S=計(jì)算即可．【詳解】S=，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，掌握扇形的面積公式S=是解題的關(guān)鍵．11．(2023·湖南湘西·中考真題）如圖，、為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，交于點(diǎn)C，的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)D．下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．為等腰三角形 B．與相互垂直平分C．點(diǎn)A、B都在以為直徑的圓上 D．為的邊上的中線答案:B分析：連接OB，OC，令M為OP中點(diǎn)，連接MA，MB，證明Rt△OPB≌Rt△OPA，可得BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，可推出為等腰三角形，可判斷A；根據(jù)△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，可得PM=OM=BM=AM，可判斷C；證明△OBC≌△OAC，可得PC⊥AB，根據(jù)△BPA為等腰三角形，可判斷D；無法證明與相互垂直平分，即可得出答案．【詳解】解：連接OB，OC，令M為OP中點(diǎn)，連接MA，MB，∵B，C為切點(diǎn)，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴為等腰三角形，故A正確；∵△OBP與△OAP為直角三角形，OP為斜邊，∴PM=OM=BM=AM∴點(diǎn)A、B都在以為直徑的圓上，故C正確；∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB，∵△BPA為等腰三角形，∴為的邊上的中線，故D正確；無法證明與相互垂直平分，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．12．(2023·湖南婁底·中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為的等邊的內(nèi)切圓的半徑為(

)A．1 B． C．2 D．答案:A分析：連接AO、CO，CO的延長(zhǎng)線交AB于H，如圖，利用內(nèi)心的性質(zhì)得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠CAB=60°，CH⊥AB，則∠OAH=30°，AH=BH=AB=3，然后利用正切的定義計(jì)算出OH即可．【詳解】設(shè)的內(nèi)心為O，連接AO、BO，CO的延長(zhǎng)線交AB于H，如圖，∵為等邊三角形，∴CH平分，AO平分，∵為等邊三角形，∴，，∴，，在中，∵，∴，即內(nèi)切圓的半徑為1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．13．(2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，PA、PB為圓O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，PO交AB于點(diǎn)C，PO的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)D，下列結(jié)論不一定成立的是(

)A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD答案:D分析：先根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得OP⊥AB，根據(jù)菱形的性質(zhì)，只有當(dāng)AD∥PB，BD∥PA時(shí)，AB平分PD，由此可判斷D不一定成立．【詳解】∵PA，PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，所以A成立；∠BPD＝∠APD，所以B成立；∴AB⊥PD，所以C成立；∵PA，PB是⊙O的切線，∴AB⊥PD，且AC＝BC，只有當(dāng)AD∥PB，BD∥PA時(shí)，AB平分PD，所以D不一定成立，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.二、填空題14．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，則________度．答案:31分析：根據(jù)圓周角定理進(jìn)行求解即可；【詳解】解：由圓周角定理可知：故答案為：31．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．15．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙O中，弦的長(zhǎng)為4，圓心到弦的距離為2，則的度數(shù)為______．答案:分析：先根據(jù)垂徑定理可得，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)即可得．【詳解】解：由題意得：，，，，，是等腰直角三角形，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．16．(2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)C，AO=3，⊙O的半徑為2，則AC的長(zhǎng)為_____．答案:分析：根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OCA=90°，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：連接OC，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)C，∴OC⊥AB，即∠OCA=90°，在Rt△OCA中，AO=3，OC=2，∴AC=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．17．（2012·湖南婁底·中考真題）如圖，⊙O的直徑CD垂直于AB，∠AOC=48°，則∠BDC=度．答案:24【詳解】解：連接OB，∵⊙O的直徑CD垂直于AB，∴∴∠BOC=∠AOC=48°，∴∠BDC=∠AOC=×48°=24°18．(2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，，則_________．答案:分析：圓上弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓周角等于圓心角的一半，再利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】解:根據(jù)圓上弦長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓周角等于圓心角的一半，，，，為等腰三角形，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一，為的角平分線，，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了弦長(zhǎng)所對(duì)應(yīng)的圓周角等于圓心角的一半和等腰三角形三線合一的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)性質(zhì)求出，再利用角平分線或三角形全等都能求出解．19．(2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)、在上，，則______度．答案:120分析：利用同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半得出，則．【詳解】解：∵，是弧AC所對(duì)的圓周角，是弧AC所對(duì)的圓心角，∴，∴，故答案為：120．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，熟練掌握“同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半”是解題的關(guān)鍵．20．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，A、B、C是上的點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)D，且D為OC的中點(diǎn)，若，則BC的長(zhǎng)為___________．答案:7分析：根據(jù)垂徑定理可得垂直平分，根據(jù)題意可得平方，可得四邊形是菱形，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，連接，A、B、C是上的點(diǎn)，，，D為OC的中點(diǎn)，，四邊形是菱形，，．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，菱形的性質(zhì)與判定，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．21．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）已知圓錐的母線長(zhǎng)為3，底面半徑為1，該圓錐的側(cè)面展開圖的面積為_______．答案:分析：根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求解即可．【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開圖是扇形該圓錐的側(cè)面展開圖的面積為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積公式，熟記公式是解答的關(guān)鍵．22．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐的母線長(zhǎng)，底面圓的直徑，則該圓錐的側(cè)面積等于________．（結(jié)果用含的式子表示）答案:分析：根據(jù)圓錐的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×母線長(zhǎng)÷2，即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)題意，∵圓錐的母線長(zhǎng)，底面圓的直徑，∴圓錐的側(cè)面積為：；故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了求圓錐的側(cè)面積，解題的關(guān)鍵是利用了圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解．23．(2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）某同學(xué)在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，制作了一個(gè)側(cè)面積為，底面半徑為6的圓錐模型（如圖所示），則此圓錐的母線長(zhǎng)為____________．答案:10分析：根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：側(cè)＝．即可求得【詳解】側(cè)＝故答案為10【點(diǎn)睛】根本考查了圓錐的側(cè)面積公式：側(cè)＝，理解和牢記公式是解題的關(guān)鍵．24．(2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，則圖中陰影部分的面積是_________．（結(jié)果保留）答案:分析：由，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)S陰影=S扇形AOB－可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∴S陰影=S扇形AOB－，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理、扇形的面積計(jì)算，根據(jù)題意求得三角形與扇形的面積是解答此題的關(guān)鍵．25．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，方老師用一張半徑為的扇形紙板，做了一個(gè)圓錐形帽子（接縫忽略不計(jì)）．如果圓錐形帽子的半徑是，那么這張扇形紙板的面積是________（結(jié)果用含的式子表示）．答案:分析：由題意易得該扇形的弧長(zhǎng)為，然后根據(jù)扇形面積計(jì)算公式可求解．【詳解】解：由題意得：該扇形的弧長(zhǎng)即為圓錐底面圓的周長(zhǎng)，即為，∴該扇形的面積為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形面積計(jì)算公式及圓錐的側(cè)面展開圖，熟練掌握扇形面積計(jì)算公式及圓錐的側(cè)面展開圖是解題的關(guān)鍵．26．(2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為直徑，，為弦，過點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），且．（1）若，則的長(zhǎng)為______（結(jié)果保留）；（2）若，則______．答案:

分析：（1）根據(jù)圓周角定理求出∠AOD=70°，再利用弧長(zhǎng)公式求解；（2）解直角三角形求出BC，AD，BD，再利用相似三角形的性質(zhì)求出DE，BE，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵，∴的長(zhǎng)；故答案為：；（2）連接，∵是切線，是直徑，∴，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的相關(guān)知識(shí)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握各性質(zhì)及判定定理，正確尋找相似三角形解決問題是解題的關(guān)鍵．三、解答題27．(2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的方格紙格長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)度）中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．(1)將沿軸向左平移5個(gè)單位，畫出平移后的△（不寫作法，但要標(biāo)出頂點(diǎn)字母）；(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的△（不寫作法，但要標(biāo)出頂點(diǎn)字母）；(3)在（2）的條件下，求點(diǎn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)（結(jié)果保留．答案:(1)見解析(2)見解析(3)分析：（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，即可；（2）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，即可；（3）利用弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，(即△A2OB2）即為所求；（3）解：在中，，．【點(diǎn)睛】本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，勾股定理、弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)．28．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．將繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到．(1)請(qǐng)寫出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)：_________，_________，_________(2)求點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的弧長(zhǎng)．答案:(1)（1，1）；（0，4）；（2，2）(2)2π分析：（1）將△ABC繞著點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C1，點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)即為點(diǎn)A，B，C繞著點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的點(diǎn)，由此可得出結(jié)果．（2）由圖知點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角是90o，OB=4，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可計(jì)算求出．【詳解】（1）解：將△ABC繞著點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C1，點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)即為點(diǎn)A，B，C繞著點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的點(diǎn)，所以A1（1，1）；B1（0，4）；C1（2，2）（2）解：由圖知點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的弧長(zhǎng)所對(duì)的圓心角是90度，OB=4，∴點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的弧長(zhǎng)==2π【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換和弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換的定義和弧長(zhǎng)公式．29．(2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于圓，是直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．答案:(1)見解析(2)1分析：（1）連接，根據(jù)圓周角推論得，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)得，，用ASA證明，即可得；（2）根據(jù)題意和全等三角形的性質(zhì)得，根據(jù)四邊形ABCD內(nèi)接于圓O和角之間的關(guān)系得，即可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，即可得【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，為直徑，，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，，在和中，，，；（2）解：，，，又四邊形內(nèi)接于圓，，又，，又，，，即：，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，理解相關(guān)性質(zhì)定理，正確添加輔助線是解題關(guān)鍵．30．(2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．以AB為直徑的與線段BC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，垂足為E，ED的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．(1)求證：直線PE是的切線；(2)若的半徑為6，，求CE的長(zhǎng)．答案:(1)見解析(2)3分析：（1）連接AD、OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證得，根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)可證得，然后根據(jù)切線的判定即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求得CD、CE

即可．【詳解】（1）證明：連接AD、OD，記，，∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵OD是⊙O的半徑，∴直線PE是⊙O的切線．（2）連接AD，∵AB是直徑，∴，∴．又∵，∴，∵，，∴，又∵，∴為等邊三角形，∴，，∴，在中，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，難度適中，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．31．(2023·湖南衡陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，為⊙的直徑，過圓上一點(diǎn)作⊙的切線交的延長(zhǎng)線與點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．(1)直線與⊙相切嗎？并說明理由；(2)若，，求的長(zhǎng)．答案:(1)相切，見解析(2)分析：（1）先證得：，再證，得到，即可求出答案；（2）設(shè)半徑為；則：，即可求得半徑，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可．【詳解】（1）證明：連接．∵為切線，∴，又∵，∴，，且，∴，在與中；∵，∴，∴，∴直線與相切．（2）設(shè)半徑為；則：，得；在直角三角形中，，，解得【點(diǎn)睛】本題主要考查與圓相關(guān)的綜合題型，涉及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行線性質(zhì)、勾股定理及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．(2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，且．(1)求的度數(shù)；(2)若的半徑為3，求圓弧的長(zhǎng)．答案:(1)(2)分析：（1）證明是等邊三角形，得到，從而計(jì)算出的度數(shù)；（2）計(jì)算出圓弧的圓心角，根據(jù)圓弧弧長(zhǎng)公式計(jì)算出最終的答案．【詳解】（1）如下圖，連接AO∵是的切線∴∴∵∴∵∴∴∴∴是等邊三角形∴∵∴（2）∵∴圓弧的長(zhǎng)為：∴圓弧的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形、等腰三角形、等邊三角形和圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角形、等邊三角形和圓的相關(guān)知識(shí)．33．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，在⊙中，直徑與弦相交于點(diǎn)，連接、．(1)求證：；(2)連接，若，，求⊙的半徑．答案:(1)證明見解析(2)⊙的半徑為3分析：（1）利用，同弧所對(duì)的圓周角相等，得到，再結(jié)合對(duì)頂角相等，即可證明；（2）利用，得到，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，再利用直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，即可求得⊙的半徑．【詳解】（1）證明：在⊙中，∵，∴，又∵,∴．（2）解：∵，由（1）可知，，∵直徑，∴，∴在中，，，∴，∴，即⊙的半徑為3．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本知識(shí)，相似三角形的判定，以及含角的直角三角形．主要涉及的知識(shí)點(diǎn)有同弧所對(duì)的圓周角相等；兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；直徑所對(duì)的圓周角是直角；直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．34．(2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，C是圓O被直徑AB分成的半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)C的圓O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接CA，CO，CB．(1)求證：∠ACO＝∠BCP；(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若AB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π和根號(hào)）．答案:(1)見解析(2)30°(3)2π﹣2分析：（1）由AB是半圓O的直徑，CP是半圓O的切線，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，從而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度數(shù)是30°；（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC，即得S△ABC，再利用陰影部分的面積等于半圓減去S△ABC即可解題．【詳解】（1）∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圓O的切線，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度數(shù)是30°；（3）由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴S△ABC＝BC?AC＝×2×2＝2，∴陰影部分的面積是﹣2＝2π﹣2，答：陰影部分的面積是2π﹣2．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及圓的切線性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用等知識(shí)，題目難度不大．35．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，的頂點(diǎn)、在⊙上，頂點(diǎn)在⊙外，邊與⊙相交于點(diǎn)，，連接、，已知．(1)求證：直線是⊙的切線；(2)若線段與線段相交于點(diǎn)，連接．①求證：；②若，求⊙的半徑的長(zhǎng)度．答案:(1)見解析(2)①見解析；②分析：（1）根據(jù)圓周角定理可得∠BOD=2∠BAC=90°，再由OD∥BC，可得CB⊥OB，即可求證；（2）①根據(jù)∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，可得∠BAC=∠ODB，即可求證；②根據(jù)，可得，即，再由勾股定理，即可求解．【詳解】（1）證明∶∵∠BAC=45°，∴∠BOD=2∠BAC=90°，∴OD⊥OB，∵OD∥BC，∴CB⊥OB，∵OB為半徑，∴直線是⊙的切線；（2）解：①∵∠BAC=45°，∴∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，∴∠ODB=45°，∴∠BAC=∠ODB，∵∠ABD=∠DBE，∴；②∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴或（舍去）．即⊙的半徑的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握切線的判定，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．難點(diǎn)突破難點(diǎn)突破B卷（建議用時(shí)：60分鐘）一、單選題(共0分)1．(2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧交射線AB，AC于兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)?shù)亩ㄩL(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線AE，交BD于點(diǎn)I，連接CI，以下說法錯(cuò)誤的是（）A．I到AB，AC邊的距離相等B．CI平分∠ACBC．I是△ABC的內(nèi)心D．I到A，B，C三點(diǎn)的距離相等答案:D分析：根據(jù)作圖先判斷AE平分∠BAC，再由三角形內(nèi)心的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：A.由作圖可知，AE是∠BAC的平分線，∴I到AB，AC邊的距離相等，故選項(xiàng)正確，不符合題意；B.∵BD平分∠ABC，三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，∴CI平分∠ACB，故選項(xiàng)正確，不符合題意；C.由上可知，I是△ABC的內(nèi)心，故選項(xiàng)正確，不符合題意，D.∵I是△ABC的內(nèi)心，∴I到AB，AC，BC的距離相等，不是到A，B，C三點(diǎn)的距離相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查尺規(guī)作圖，涉及三角形內(nèi)心的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握基本的尺規(guī)作圖和三角形內(nèi)心的性質(zhì)．2．(2023·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，為⊙O的直徑，弦于點(diǎn)E，直線l切⊙O于點(diǎn)C，延長(zhǎng)交l于點(diǎn)F，若，，則的長(zhǎng)度為（）A．2 B． C． D．4答案:B分析：根據(jù)垂徑定理求得，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，則△OED是等腰直角三角形，得出，根據(jù)切線的性質(zhì)得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，進(jìn)而即可求得CF=OC=OD=．【詳解】解：∵BC為⊙O的直徑，弦AD⊥BC于點(diǎn)E，，，∴AE=DE=2，∴∠COD=2∠ABC=45°，∴△OED是等腰直角三角形，∴OE=ED=2，∴，∵直線l切⊙O于點(diǎn)C，∴BC⊥CF，∴△OCF是等腰直角三角形，∴CF=OC，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，等弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系，切線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求得CF=OC=OD是解題的關(guān)鍵．3．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，直角坐標(biāo)系中，以5為半徑的動(dòng)圓的圓心A沿x軸移動(dòng)，當(dāng)⊙與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．答案:D分析：當(dāng)⊙與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則此時(shí)⊙A與直線相切，（需考慮左右兩側(cè)相切的情況）；設(shè)切點(diǎn)為，此時(shí)點(diǎn)同時(shí)在⊙A與直線上，故可以表示出點(diǎn)坐標(biāo)，過點(diǎn)作，則此時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)算出長(zhǎng)度，最終得出結(jié)論．【詳解】如下圖所示，連接，過點(diǎn)作，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)可表示為，∴，，在中，，又∵半徑為5，∴，∵，∴，則，∴，∴，∵左右兩側(cè)都有相切的可能，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．4．(2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，設(shè)正方形的面積為，黑色部分面積為，則的比值為（

）A． B． C． D．答案:A分析：根據(jù)題意，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則圓的半徑為a，分別表示出黑色部分面積和正方形的面積，進(jìn)而即可求得的比值．【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則圓的半徑為a∴，圓的面積為∵正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱∴黑色部分面積為圓面積的一半∴∴，故選：A．5．(2023·湖南株洲·中考真題）如圖所示，點(diǎn)A、B、C對(duì)應(yīng)的刻度分別為0、2、4、將線段CA繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A首次落在矩形BCDE的邊BE上時(shí)，記為點(diǎn)，則此時(shí)線段CA掃過的圖形的面積為（

）A． B．6 C． D．答案:D分析：求線段CA掃過的圖形的面積，即求扇形ACA1的面積.【詳解】解：由題意，知AC=4,BC=4-2=2,∠A1BC=90°.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得A1C=AC=4.在Rt△A1BC中，cos∠ACA1==.∴∠ACA1=60°.∴扇形ACA1的面積為=.即線段CA掃過的圖形的面積為.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了扇形面積的計(jì)算和解直角三角形，熟練掌握扇形面積公式是解本題的關(guān)鍵．6．(2023·湖南婁底·中考真題）如圖，在單位長(zhǎng)度為1米的平面直角坐標(biāo)系中，曲線是由半徑為2米，圓心角為的多次復(fù)制并首尾連接而成．現(xiàn)有一點(diǎn)P從A(A為坐標(biāo)原點(diǎn))出發(fā)，以每秒米的速度沿曲線向右運(yùn)動(dòng)，則在第2019秒時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為(

)A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1答案:B分析：先計(jì)算點(diǎn)P走一個(gè)的時(shí)間，得到點(diǎn)P縱坐標(biāo)的規(guī)律：以1，0，-1，0四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期依次循環(huán)，再用2019÷4=504…3，得出在第2019秒時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為是-1．【詳解】解：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一個(gè)用時(shí)為秒．如圖，作于D，與交于點(diǎn)E．在中，∵，，∴，∴，∴，∴第1秒時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E，縱坐標(biāo)為1；第2秒時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，縱坐標(biāo)為0；第3秒時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F，縱坐標(biāo)為﹣1；第4秒時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G，縱坐標(biāo)為0；第5秒時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H，縱坐標(biāo)為1；…，∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)以1，0，﹣1，0四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期依次循環(huán)，∵，∴第2019秒時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為是﹣1．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型中的點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是找出點(diǎn)P縱坐標(biāo)的規(guī)律：以1，0，-1，0四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期依次循環(huán)．也考查了垂徑定理．二、填空題7．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考中考真題）中國(guó)元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”．“方田一段，一角圓池占之．”意思是說：“一塊正方形田地，在其一角有一個(gè)圓形的水池（其中圓與正方形一角的兩邊均相切）”，如圖所示．問題：此圖中，正方形一條對(duì)角線與⊙相交于點(diǎn)、（點(diǎn)在點(diǎn)的右上方），若的長(zhǎng)度為10丈，⊙的半徑為2丈，則的長(zhǎng)度為_________丈．答案:分析：如圖，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，再解直角三角形求出AO的長(zhǎng)度，則．【詳解】解：如圖，設(shè)⊙與AD邊的切點(diǎn)為點(diǎn)C，連接OC，則（丈），，由正方形的性質(zhì)知，對(duì)角線AB平分，∴，∴（丈），∴（丈），∴（丈），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，圓的切線的定義，解直角三角形等，通過解直角三角形求出AO的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．8．(2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，，為的外接圓，過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是______．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①；②；③若，則的長(zhǎng)為；④；⑤若，則．答案:②④⑤分析：①根據(jù)線段垂直平分線定理，為的直徑，為的弦，即可得出結(jié)論；②根據(jù)段垂直平分線得出∠A+∠AED=90°，再證∠A+∠ABC=90°，等量代換即可；③根據(jù)已知條件先得出∠EBC的度數(shù)，再利用圓周角定理得∠EOC=2∠EBC，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可；④根據(jù)角角相似證明△EFD∽△BFE即可得出結(jié)論；⑤先根據(jù)勾股定理得出BF的長(zhǎng)，再根據(jù)等面積法得出ED，根據(jù)角角相似證明Rt△ADE∽R(shí)t△ACB，得出，即可計(jì)算出結(jié)果．【詳解】解:①∵DE是的垂直平分線∴為的直徑，為的弦．故①不正確．②∵DE是的垂直平分線∴DE⊥AB∴∠A+∠AED=90°∵∴∠A+∠ABC=90°∴故②正確．③連接OD的長(zhǎng)為．故③錯(cuò)誤．④∵DE⊥AB，F(xiàn)是的切線∴∠FEB=∠EDF=90°又∠EFD=∠EFD∴△EFD∽△BFE∴．故④正確．⑤∵，∴BF=∵∴在Rt△EDB中，，∵DE是的垂直平分線，∴，AE=BE=8，∵在Rt△ADE和Rt△ACB中，∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°∴Rt△ADE∽R(shí)t△ACB∴∴∴AC=10.24又AE=BE=8∴CE=AC-AE=10.24-8=2.24．故⑤正確．綜上所述：正確的有②④⑤．故答案為：②④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，相似三角形的判定及性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)及定理、勾股定理、切線的性質(zhì)、等面積法是常用的計(jì)算邊長(zhǎng)的方法、靈活進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵9．(2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，為半⊙O的直徑，，是半圓上的三等分點(diǎn)，，與半⊙O相切于點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），直線交于點(diǎn)，于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是______________．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①；②的長(zhǎng)為；③；④；⑤為定值．答案:②⑤分析：①先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，再根據(jù)半圓上的三等分點(diǎn)可得，然后根據(jù)圓周角定理可得，最后假設(shè)，根據(jù)角的和差、三角形的外角性質(zhì)可得，這與點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)相矛盾，由此即可得；②根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得；③先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角的和差即可得；④先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得對(duì)應(yīng)角與不可能相等，由此即可得；⑤先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，由此即可得．【詳解】如圖，連接OP與半⊙O相切于點(diǎn)是半圓上的三等分點(diǎn)是等邊三角形由圓周角定理得：假設(shè)，則又點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)不是一個(gè)定值，與相矛盾即PB與PD不一定相等，結(jié)論①錯(cuò)誤則的長(zhǎng)為，結(jié)論②正確是等邊三角形，，則結(jié)論③錯(cuò)誤，即對(duì)應(yīng)角與不可能相等與不相似，則結(jié)論④錯(cuò)誤在和中，，即又是等邊三角形，即為定值，結(jié)論⑤正確綜上，結(jié)論正確的是②⑤故答案為：②⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、圓的切線的性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的題①，先假設(shè)結(jié)論成立，再推出矛盾點(diǎn)是解題關(guān)鍵．10．(2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)P為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PE，切點(diǎn)為M，過A、B兩點(diǎn)分別作PE的垂線AC、BD，垂足分別為C、D，連接AM，則下列結(jié)論正確的是___________.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))①AM平分∠CAB；②AM2＝AC?AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，則的長(zhǎng)為；④若AC＝3，BD＝1，則有CM＝DM＝.答案:①②④分析：連接OM，由切線的性質(zhì)可得OM⊥PC，繼而得OM∥AC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等邊對(duì)等角即可求得∠CAM＝∠OAM，由此可判斷①；通過證明△ACM∽△AMB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可判斷②；求出∠MOP＝60°，利用弧長(zhǎng)公式求得的長(zhǎng)可判斷③；由BD⊥PC，AC⊥PC，OM⊥PC，可得BD∥AC//OM，繼而可得PB=OB=AO，PD=DM=CM，進(jìn)而有OM=2BD＝2，在Rt△PBD中，PB=BO=OM=2，利用勾股定理求出PD的長(zhǎng)，可得CM＝DM＝DP＝，由此可判斷④.【詳解】連接OM，∵PE為⊙O的切線，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正確；∵AB為⊙O的直徑，∴∠AMB＝90°，∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴，∴AM2＝AC?AB，故②正確；∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴的長(zhǎng)為，故③錯(cuò)誤；∵BD⊥PC，AC⊥PC，OM⊥PC，∴BD∥AC//OM，∴△PBD∽△PAC，∴，∴PB＝PA，又∵AO=BO，AO+BO=AB，AB+PB=PA，∴PB=OB=AO，又∵BD∥AC//OM，∴PD=DM=CM，∴OM=2BD＝2，在Rt△PBD中，PB=BO=OM=2∴PD==，∴CM＝DM＝DP＝，故④正確，故答案為①②④.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，綜合性較強(qiáng)，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.11．(2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)P在以MN為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，（點(diǎn)P與M，N不重合）平分，交PM于點(diǎn)E，交PQ于點(diǎn)F．(1)___________________．(2)若，則___________________．答案:

1

分析：(1)過E作于G，可得，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得，又平分，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得；由，，，且，根據(jù)“等角的余角相等”可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)“等角對(duì)等邊”可得，即有；由，，可得，從而可得在中有，將、、代入可得，，既而可求得的值．【詳解】(1)如圖所示，過E作于G，則，∵M(jìn)N為半圓的直徑，∴，又∵平分，,∴．∵平分，∴，∵，∴,又，∴，又∵，∴，∴,又∵，∴．∵，，∴，∴在中，,又∵,∴，∴將，，代入得，,∴，即．（2）∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴∴，即，設(shè)，則，解得：，或（舍去），∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了圓周角的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例的性質(zhì)等知識(shí)．(1)中解題的關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求得，，再通過平行線分線段成比例的性質(zhì)得到，進(jìn)行等量代換和化簡(jiǎn)后即可得解．三、解答題12．(2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是的直徑，于，是上的一點(diǎn)，交于，，連接交于．(1)求證：CD是的切線；(2)若，，求、的長(zhǎng)．答案:(1)證明見詳解(2)分析：（1）連接OD，由可以推出，從而證明即可；（2）作交BC于點(diǎn)M，根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，然后再根據(jù)平行得到即可求解．（1）證明：連接OD，如圖所示：OD為經(jīng)過圓心的半徑CD是的切線．（2）如圖所示：作交BC于點(diǎn)M，，令，在，解得：【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線證明，勾股定理，相似三角形，全等三角形的判定等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握幾何基礎(chǔ)知識(shí)并聯(lián)系各知識(shí)體系并正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．(2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，是的直徑，是的切線，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，交于點(diǎn)，(1)求證：；(2)求證：；(3)若的面積，求四邊形的面積．答案:(1)詳見解析(2)詳見解析(3)18分析：（1）根據(jù)圓切線的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)圓的性質(zhì)證，即可證明；（3）由得，進(jìn)而得，所以，由即可求解；（1）證明∵是的直徑，是的切線，∴，，∴，∴．（2）證明∵，∴，∵，，∴，∵是直徑，∴，∵，∴，∴．（3）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)、三角形的全等、相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．14．(2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，是的直徑，點(diǎn)E是上一動(dòng)點(diǎn)，且不與A，B兩點(diǎn)重合，的平分線交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）如圖2，原有條件不變，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)M，的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，的平分線交的平分線于點(diǎn)Q．求證：無論點(diǎn)E如何運(yùn)動(dòng)，總有．答案:（1）見詳解；（2）見詳解；（3）見詳解分析：（1）連接OC，先證明∠EAC=∠OCA，可得CO∥AE，進(jìn)而即可求證；（2）連接BC，可證，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（3）由三角形外角的性質(zhì)可得∠QBM-∠QAM=∠Q，∠CBM-∠CAM=∠ACB，結(jié)合角平分線的定義，可得∠ACB=2∠Q，同理：∠AEB=2∠P，進(jìn)而即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接OC，∵的平分線交于點(diǎn)C，∴∠EAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠EAC=∠OCA，∴CO∥AE，∵，∴CO⊥CD，∴是的切線；（2）連接BC，∵是的直徑，∴∠ACB=90°，∵，∴∠D=90°，即：∠ACB=∠D，∵∠DAC=∠CAB，∴，∴，即：，∵AB=2AO，∴；（3）證明：∵∠QBM是的一個(gè)外角，∴∠QBM-∠QAM=∠Q，同理：∠CBM-∠CAM=∠ACB，∵的平分線交的平分線于點(diǎn)Q，∴∠CBM=2∠QBM，∠CAM=2∠QAM，∴∠ACB=2∠Q，同理：∠AEB=2∠P，∵∠ACB和∠AEB都是直徑所對(duì)的圓周角，∴∠ACB=∠AEB=90°，∴，即：無論點(diǎn)E如何運(yùn)動(dòng)，總有．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，切線的判定定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理及其推論，切線的判定定理，是解題的關(guān)鍵．15．(2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰銳角三角形中，，過點(diǎn)B作于D，延長(zhǎng)交的外接圓于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作于F，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．（1）判斷是否平分，并說明理由；（2）求證：①；②．答案:（1）平分，理由見解析；（2）①證明見解析；②證明見解析．分析：（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)圓周角