第16講矩形的折疊問題-2023年中考數(shù)學重點核心知識點專題講練(原卷版+解析)

第16講矩形的折疊問題題型一：利用對稱的性質，結合方程思想求值【例1】如圖，一張寬為3，長為4的矩形紙片ABCD，先沿對角線BD對折，點C落在C'的位置，BC'交AD于G，再折疊一次，使點D與點A重合，得折痕EN，EN交AD于M【對稱性質】①線段相等：CD=C'D=AB,BC=BC',EA=ED,NA=ND,AM=DM;②角相等：∠C'BD=∠CBD,∠C'DB=∠CDB;③全等三角形：△CBD≌△CBD，△④垂直平分：BD垂直平分CC'，NE垂直平分AD；1．(2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點M在AB邊上，把△BCM沿直線CM折疊，使點B落在AD邊上的點E處，連接EC，過點B作BF⊥EC，垂足為F，若CD=1,CF=2，則線段AE的長為（

）A．5?2 B．3?1 C．132．(2023·山東濟寧·?？级＃┤鐖D，矩形OABC中，OA=4，AB=3，點D在邊BC上，且CD=3DB，點E是邊OA上一點，連接DE，將四邊形ABDE沿DE折疊，若點A的對稱點A'恰好落在邊OC上，則OE3．(2023·河南鄭州·鄭州外國語中學?？寄M預測）如圖，已知在長方形紙條ABCD中，點G在邊BC上，BG=2CG，將該紙條沿著過點G的直線翻折后，點C、D分別落在邊BC下方的點E、F處，且點E、F、B在同一條直線上，折痕與邊AD交于點H，HF與BG交于點M．設AB=t，那么△GHM的周長為______（用含t的代數(shù)式表示）4．(2023·山東泰安·校考二模）已知在矩形ABCD中，AB=4，AE=2，點G、F、H、E是分別邊AB、BC、DC、AD上的點，分別沿HE，GF折疊矩形恰好使DE、BF都與EF重合，則AD=_______．5．(2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點B落在邊AD上的點F處．若點E在邊AB上，AB＝3，BC＝5，則AE＝________．6．(2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，點E在BC邊上，將△CDE沿DE翻折得到△FDE，點F落在AE上．若CE=3cm，AF=2EF，則AB=7．(2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，對折矩形紙片ABCD，使得AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點A的對應點A'落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM．連接MF，若MF⊥BM，AB=6cm，則AD的長是____________8．(2023·山東濰坊·中考真題）小瑩按照如圖所示的步驟折疊A4紙，折完后，發(fā)現(xiàn)折痕AB′與A4紙的長邊AB恰好重合，那么A4紙的長AB與寬AD的比值為___________．9．(2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=2,AD=3，點E為邊BC上一點，將△DCE沿DE翻折，點C的對應點為點F，過點F作DE的平行線交AD于點G，交直線BC于點H．若點G是邊AD的三等分點，則10．(2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，把一張矩形紙片沿對角線折疊，若BC＝9，CD＝3，那么陰影部分的面積為_____．11．(2023·吉林長春·模擬預測）【推理】如圖1，在邊長為10的正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結BE，CF，延長CF交AD于點G，BE與CG交于點M．(1)求證：CE=DG．【運用】(2)如圖2，在【推理】條件下，延長BF交AD于點H．若CE=6，求線段DH的長．【拓展】(3)如圖3，在【推理】條件下，連結AM．則線段AM的最小值為．12．(2023·河南鄭州·鄭州外國語中學校考模擬預測）如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC=12，∠ACO=30°(1)求B、C兩點的坐標；(2)把矩形沿直線DE對折使點C落在點A處，DE與AC相交于點F，求四邊形ADCE的面積；(3)若點M在直線DE上，平面內是否存在點N，使以O、F、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.13．(2023·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），將△ACB沿AC對折到△ACE的位置，AE和CD交于點F．(1)求證：△CEF≌△ADF；(2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．14．(2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形ABCD為矩形AB=22，BC=4，點E在BC上，CE=AE，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF(1)求EF的長；(2)求sin∠CEF的值．15．(2023·河南·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．(1)操作判斷操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內部點M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當點M在EF上時，寫出圖1中一個30°的角：______．(2)遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．①如圖2，當點M在EF上時，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關系，并說明理由．(3)拓展應用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當FQ＝1cm時，直接寫出AP的長．題型二：結合相似或者三角函數(shù)求值【例2】1．如圖，點E是矩形ABCD中CD邊上一點，△BCE沿BE折疊得到對應的△BFE，且點C的對應點F落在AD上．若tan∠DFE=512，BC=316．(2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）矩形紙片ABCD中，E為BC的中點，連接AE，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，連接CF．若AB=4，BC=6，則CF的長是（

）A．3 B．175 C．72 17．(2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線，AB＝6，BC＝8，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，連結BE，DF．將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，若翻折后，點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，連結GF．則下列結論不正確的是（

）A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF⊥BC18．(2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點E在矩形ABCD的AB邊上，將△ADE沿DE翻折，點A恰好落在BC邊上的點F處，若CD=3BF，BE=4，則AD的長為（

）A．9 B．12 C．15 D．1819．(2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖是一張矩形紙片ABCD，點E為AD中點，點F在BC上，把該紙片沿EF折疊，點A，B的對應點分別為A'，B'，A'E與BC相交于點G，B'A．22 B．4105 C．2020．(2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，在矩形紙片ABCD中，點E、F分別在矩形的邊AB、AD上，將矩形紙片沿CE、CF折疊，點B落在H處，點D落在G處，點C、H、G恰好在同一直線上，若AB=9，AD=6，BE=3，則DF的長是（

）A．72 B．4 C．92421．(2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝3，AD＝4，AC，BD為矩形的對角線，E是AD邊的中點，點F是CD上一點，連接EF，將△DEF沿EF折疊，當點G落在矩形對角線上時，則折痕EF的長是_____．22．(2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，折痕為MN，點M，N分別在邊AD，BC上，點C，D的對應點分別在E，F(xiàn)且點F在矩形內部，MF的延長線交BC與點G，EF交邊BC于點H．EN=2，AB=4，當點H為GN三等分點時，MD的長為______．23．(2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中ABBC=23．動點M從點A出發(fā)，沿邊AD向點D勻速運動，動點N從點B出發(fā)，沿邊BC向點C勻速運動，連接MN．動點M，N同時出發(fā)，點M運動的速度為v1，點N運動的速度為v2，且v1<v2．當點N到達點C時，M，N兩點同時停止運動．在運動過程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形24．(2023·遼寧丹東·校考二模）如圖，矩形ABCD中，AB=12，BC=13，點E為AD上一點，且∠ABE=30°，將△ABE沿BE翻折，得到△A'BE，連接CA'并延長，與AD25．(2023·浙江寧波·校考三模）如圖，在矩形ABCD中(AD>AB)，點E為BC的中點，點F為邊BC上的動點，連結AF，DE．將△ABF沿著AF翻折，使點B的對應點B'恰好落在線段DE上．若A,B',C三點共線，則cos∠26．(2023·山東濟南·統(tǒng)考模擬預測）如圖，矩形紙片ABCD，AD:AB=2:1，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，把紙片如圖沿EF折疊，點A，B的對應點分別為A'，B'，連接AA'并延長交線段27．(2023·河南信陽·校考一模）如圖，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=4，點P為線段AB上一動點，過點P作PE⊥AB交AD于點E，沿PE將∠A折疊，點A的對稱點為點F，連接EF、DF、CF，當△CDF為等腰三角形時，AP的長為______．28．(2023·湖南株洲·統(tǒng)考模擬預測）如圖，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF把紙片展平，再一次折疊紙片，使點A落在EF上的點A'處，并使折痕經過點B，得到折痕BM，若矩形紙片的寬AB=43，則折痕BM29．(2023·廣東惠州·?？既＃┤鐖D，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點C恰落在邊AD上的點F處；點G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點A恰落在線段BF上的點H處，有下列結論：①∠EBG=45°；②30．(2023·廣東揭陽·?？既＃┤鐖D1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，E是CD邊上一點，連接AE，將矩形ABCD沿AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上點F處，延長AE交BC的延長線于點G．(1)求線段CE的長；(2)如圖2，M，N分別是線段AG，DG上的動點（與端點不重合），且∠DMN=∠DAM，設DN=x．①求證四邊形AFGD為菱形；②是否存在這樣的點N，使△DMN是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．第16講矩形的折疊問題（解析）題型一：利用對稱的性質，結合方程思想求值【例1】如圖，一張寬為3，長為4的矩形紙片ABCD，先沿對角線BD對折，點C落在C'的位置，BC'交AD于G，再折疊一次，使點D與點A重合，得折痕EN，EN交AD于M【對稱性質】①線段相等：CD=C'D=AB,BC=BC',EA=ED,NA=ND,AM=DM;②角相等：∠C'BD=∠CBD,∠C'DB=∠CDB;③全等三角形：△CBD≌△CBD，△④垂直平分：BD垂直平分CC'，NE垂直平分AD；答案:7分析：由折疊的性質與矩形的性質，證得△BGD是等腰三角形，則在Rt△ABG中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AG的長，又由△ABG≌△C'DG，得到【詳解】解：由折疊的性質得：∠GBD=∠CBD，AM=DM=12AD∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC=4，∴∠ADB=∠CBD，∴∠GBD=∠ADB，∴BG=DG，設AG=x，則BG=DG=4?x，∵在Rt△ABG中，A∴3∴x=78，即在△ABG和△C∠BAG=∠D∴△ABG≌△C∴∠EDM=∠ABG，∴EM又MD=2，∴EM=7故答案為：712【點睛】本題考查了折疊的性質，全等三角形的判定與性質，三角函數(shù)的性質以及勾股定理，解題的關鍵是注意數(shù)形結合與方程思想的應用．1．(2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點M在AB邊上，把△BCM沿直線CM折疊，使點B落在AD邊上的點E處，連接EC，過點B作BF⊥EC，垂足為F，若CD=1,CF=2，則線段AE的長為（

）A．5?2 B．3?1 C．13答案:A分析：先證明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=5，從而可得AD=BC=5，最后求得AE的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵BF⊥∴∠BFC=∠CDE，∵把△BCM沿直線CM折疊，使點B落在AD∴BC=EC，在△BFC與△CDE中，∠∴△BFC≌△CDE（AAS），∴DE=CF=2，∴CE=∴AD=BC=CE=5，∴AE=AD-DE=5?2故選：A．【點睛】本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定和性質、折疊的性質，勾股定理的應用，解決本題的關鍵是熟練掌握矩形中的折疊問題．2．(2023·山東濟寧·?？级＃┤鐖D，矩形OABC中，OA=4，AB=3，點D在邊BC上，且CD=3DB，點E是邊OA上一點，連接DE，將四邊形ABDE沿DE折疊，若點A的對稱點A'恰好落在邊OC上，則OE答案:3分析：連接A'D，AD，根據(jù)矩形的性質得到BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B【詳解】解：連接A'D，∵四邊形OABC是矩形，∴BC=OA=4，∵CD∴CD=3，∴CD∵將四邊形ABDE沿DE折疊，點A的對稱點A'恰好落在邊OC∴A'D在Rt△A'CD=∴Rt△∴A∴A∵A∴2∴OE故答案為：32【點睛】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質，全等三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．3．(2023·河南鄭州·鄭州外國語中學?？寄M預測）如圖，已知在長方形紙條ABCD中，點G在邊BC上，BG=2CG，將該紙條沿著過點G的直線翻折后，點C、D分別落在邊BC下方的點E、F處，且點E、F、B在同一條直線上，折痕與邊AD交于點H，HF與BG交于點M．設AB=t，那么△GHM的周長為______（用含t的代數(shù)式表示）答案:2分析：過點M作MN⊥GE，連接BF，利用矩形和折疊的性質，推出△HMG【詳解】如圖，過點M作MN⊥GE，連接∵點E、F、B在同一條直線上，∴點F在BE上，∵將長方形紙條ABCD沿HG翻折，∴∠E=∠D=90°，∵BG=2∴BG=2∴cos∠BGE∴∠BGE∵四邊形ABCD是矩形，∴MH∥∴∠HMG∴∠MHG∴△HMG∵∠MFE∴四邊形MNEF為矩形，∴MN=∵∠MGN∴MG=∴△GHM的周長=3×故答案為：23【點睛】本題考查矩形的折疊問題，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質．熟練掌握矩形的性質和折疊的性質，證明△HMG4．(2023·山東泰安·?？级＃┮阎诰匦蜛BCD中，AB=4，AE=2，點G、F、H、E是分別邊AB、BC、DC、AD上的點，分別沿HE，GF折疊矩形恰好使DE、BF都與EF重合，則AD=_______．答案:7分析：設DE=x，根據(jù)折疊的性質得出BF=EF=DE=x．過E作EM⊥BC于M，則【詳解】解：設DE=∵分別沿HE，GF折疊矩形恰好使DE、BF都與∴BF=過E作EM⊥BC于M，則四邊形∵AB=4，AE∴EM=AB=4，BM在Rt△EMF中，∵∴EM2+解得x=5則DE=5∴AD=故答案為：7．【點睛】本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了矩形的性質，勾股定理，列出關于x的方程是解題的關鍵．5．(2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點B落在邊AD上的點F處．若點E在邊AB上，AB＝3，BC＝5，則AE＝________．答案:43##分析：由折疊性質可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性質有CD=AB=3，BC=AD=5，勾股定理求得DF，AF．設BE=EF=x，則AE=AB-BE，在直角三角形AEF中，根據(jù)勾股定理，建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：由折疊性質可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性質有CD=AB=3，BC=AD=5，∵∠D=90°，∴DF=所以AF=所以BE=EF=x，則AE=AB-BE=3-x，在直角三角形AEF中:AE∴3?x解得x=∴AE=3?故答案為：43【點睛】本題考查了圖形折疊的性質，勾股定理，矩形的性質，在直角三角形AEF中運用勾股定理建立方程求解是關鍵．6．(2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，點E在BC邊上，將△CDE沿DE翻折得到△FDE，點F落在AE上．若CE=3cm，AF=2EF，則AB=答案:3分析：由將△CDE沿DE翻折得到△FDE，點F落在AE上，可得EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，由矩形的性質得∠DFE=∠C=90°=∠DFA，從而得AF=6cm，AD=AE=9cm，進而由勾股定理既可以求解?！驹斀狻拷猓骸邔ⅰ鰿DE沿DE翻折得到△FDE，點F落在AE上，CE=3∴EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，∵AF=2EF，∴AF=6cm，∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=DF，AD∥∴∠ADE=∠DEC=∠DEF，∴AD=AE=9cm，∵在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2∴62+DF2=92，∴DF=35AB=DF=35故答案為∶35【點睛】本題考查矩形的性質、勾股定理及軸對稱，熟練掌握軸對稱的性質是解題的關鍵．7．(2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）如圖，對折矩形紙片ABCD，使得AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點A的對應點A'落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM．連接MF，若MF⊥BM，AB=6cm，則AD的長是____________答案:5分析：根據(jù)直角三角形的中線定理，先證明四邊形AOA'M【詳解】解：如下圖所示，設A'∵點E是中點，∴在Rt△ABM和Rt△∴∠OAE∵∠OBE∴∠OAE∵∠OAE∴∠AOE∴AO//∵AM∴四邊形AOA∴AM=∴AM=∴△AOM∴∠∴tan∠∴AM=2∵MF⊥BM，∴∠A∴∠DMF∵DF=∴MD=∴AD=故答案為：53【點睛】本題考查矩形的折疊、直角三角形、等邊三角形的性質，解題的關鍵是證明△AOM8．(2023·山東濰坊·中考真題）小瑩按照如圖所示的步驟折疊A4紙，折完后，發(fā)現(xiàn)折痕AB′與A4紙的長邊AB恰好重合，那么A4紙的長AB與寬AD的比值為___________．答案:2分析：判定△AB′D′是等腰直角三角形，即可得出AB′=2AD，再根據(jù)AB′=AB，再計算即可得到結論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=∠DAB=90°，由操作一可知：∠DAB′=∠D′AB′=45°，∠AD′B′=∠D=90°，AD=AD′，∴△AB′D′是等腰直角三角形，∴AD=AD′=B′D′，由勾股定理得AB′=2AD，又由操作二可知：AB′=AB，∴2AD=AB，∴ABAD=2∴A4紙的長AB與寬AD的比值為2．故答案為：2．【點睛】本題主要考查了矩形的性質以及折疊變換的運用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．9．(2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=2,AD=3，點E為邊BC上一點，將△DCE沿DE翻折，點C的對應點為點F，過點F作DE的平行線交AD于點G，交直線BC于點H．若點G是邊AD的三等分點，則答案:33或分析：過點E作EM⊥GH于點M，根據(jù)題意可得四邊形HEDG是平行四邊形，證明HE=FE，等面積法求得ME，勾股定理求得【詳解】①如圖，過點E作EM⊥GH于點∵DE∥∴四邊形HEDG是平行四邊形∴∵折疊∴∠∵∠即∠∴∠∴∠∵∠∴△∴HM=∴∵四邊形ABCD是矩形∴∠Rt△EDC∴∵ME⊥∴∴Rt△HME∴②如圖，當AG=同理可得HE=EC=∴DE∴Rt△HME∴故答案為：33或【點睛】本題考查了勾股定理，折疊，矩形的性質，平行四邊形的性質與判定，掌握以上知識，注意分類討論是解題的關鍵．10．(2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，把一張矩形紙片沿對角線折疊，若BC＝9，CD＝3，那么陰影部分的面積為_____．答案:7.5分析：利用矩形與軸對稱的性質先證明FB=FD,【詳解】解：∵把一張矩形紙片沿對角線折疊，BC＝9，CD＝3，∴AD∴∠ADB∴∠FDB∴FB∴AF∴F解得：FB=∴S故答案為：7.5【點睛】本題考查的是矩形的性質，軸對稱的性質，勾股定理的應用，證明FB=11．(2023·吉林長春·模擬預測）【推理】如圖1，在邊長為10的正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結BE，CF，延長CF交AD于點G，BE與CG交于點M．(1)求證：CE=DG．【運用】(2)如圖2，在【推理】條件下，延長BF交AD于點H．若CE=6，求線段DH的長．【拓展】(3)如圖3，在【推理】條件下，連結AM．則線段AM的最小值為．答案:(1)見解析(2)14(3)5分析：（1）利用ASA證明△BCE≌△CDG（2）連接HE，利用等角對等邊證明HG=HF，設DH=x，則（3）取BC的中點O，連接OM，AO，利用勾股定理求出AO，直角三角形斜邊上中線的性質得MO的長，再利用三角形三邊關系可得答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC=∠BCD∴∠DCG∵正方形ABCD沿BE折疊，∴∠BCM∴∠CBM∴∠CBM∴△BCE∴CE=（2）解：連接HE，∵正方形ABCD沿BE折疊，∴∠BCF=∠BFC∵AD∥∴∠HGF∵∠BFC∴∠HGF∴HG=設DH=x，則由勾股定理得，6?x解得x=∴DH=（3）解：取BC的中點O，連接OM，AO，則BO=5，AO∵∠BMC=90°，O為∴MO=∵AM≥∴AM的最小值為AO?故答案為：55【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，翻折的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，三角形三邊關系等知識，運用勾股定理列方程是解題的關鍵．12．(2023·河南鄭州·鄭州外國語中學?？寄M預測）如圖，平面直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC=12，∠ACO=30°(1)求B、C兩點的坐標；(2)把矩形沿直線DE對折使點C落在點A處，DE與AC相交于點F，求四邊形ADCE的面積；(3)若點M在直線DE上，平面內是否存在點N，使以O、F、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.答案:(1)B(63,6)(2)S(3)N（33，?3），分析：（1）含30°角直角三角形的性質及勾股定理得AO、OC的長度，則可得B、C的坐標；（2）由折疊性質得AD=CD，AF=CF，可證明△AEF≌△CDF，則AE=CD，由矩形可知，四邊形ADCE（3）分三種情況考慮：以OF，F(xiàn)M為邊；FM為邊，OF為對角線；若OF為邊，F(xiàn)M為對角線；分別利用菱形的性質及相關知識即可求得點【詳解】（1）∵∠ACO=30°，AO∴由勾股定理得：OC∴B(63,6)（2）由折疊的性質得：AD=CD∵四邊形OABC是矩形∴∴∠∵∠∴△∴∵∴四邊形ADCE是平行四邊形設CD=x∵在Rt△AOD∴x解得：x∴（3）若以OF，∵F是AC中點∴由（1）知，OD∴D設直線DE的解析式為y把點D與點F的坐標分別代入得：2解得：k∴直線DE解析式y(tǒng)∵四邊形ONMF是菱形∴OF∴ON的解析式y(tǒng)設N∴a解得：a∴N若FM為邊，OF為對角線，如圖∵四邊形ADCE是平行四邊形，AD∴四邊形ADCE是菱形∴AD∴∠∴∠∴∠∴△∴AO∴AD是OF的垂直平分線∵四邊形ONFM是菱形∴ND是OF的垂直平分線∴M與D重合，即M設N∵OF與DN互相平分∴b∴b=3∴N若OF為邊，F(xiàn)M為對角線如圖∵直線DE解析式y(tǒng)∴直線與y軸的交點為（∵F(33，∴OF∵四邊形OFNM是菱形，OF∴OM∴M是直線y=∵四邊形OFNM是菱形，OF∴FN∥OM，∴N綜上所述N（33，?3），【點睛】本題考查了一次函數(shù)，菱形的判定與性質，矩形的性質，全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的判定等知識，涉及分類討論思想，靈活運用這些知識是解題的關鍵．13．(2023·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），將△ACB沿AC對折到△ACE的位置，AE和CD交于點F．(1)求證：△CEF≌△ADF；(2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．答案:(1)證明見解析(2)tan∠DAF＝64?分析：（1）根據(jù)矩形的性質得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根據(jù)折疊的性質得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代換得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根據(jù)AAS證明三角形全等即可；（2）設DF＝a，則CF＝8﹣a，根據(jù)矩形的性質和折疊的性質證明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理表示出DF的長，根據(jù)正切的定義即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根據(jù)折疊的性質得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF與△ADF中，∠CFE∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：設DF＝a，則CF＝8﹣a，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根據(jù)折疊的性質得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝64?x∴tan∠DAF＝DFAD＝64?【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定與性質，矩形的性質，翻折變換（折疊問題），根據(jù)矩形的性質和折疊的性質證出AF＝CF是解題的關鍵．14．(2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形ABCD為矩形AB=22，BC=4，點E在BC上，CE=AE，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF(1)求EF的長；(2)求sin∠CEF的值．答案:(1)17(2)8分析：(1)先由RtΔABE可求得AE的長度，再由角度關系可得∠FAE(2)過F作FM⊥CE于M，利用勾股定理列方程，即可求出EM的長度，同時求出【詳解】（1）設BE=x，則∴AE=在RtΔABE中，∴(22∴x=1∴BE=1，AE∵AE=∴∠1=∠2，∵∠ABC∴∠CAB∴∠CAB由折疊可知ΔFAC∴∠FAC=∠CAB∴∠FAC∴∠FAE在RtΔFAE中，（2）過F作FM⊥BC于M，∴∠FME=∠FMC=90°，設EM=a,則EC=3-a，在Rt△FME中，在Rt△FMC中，∴FE∴(17∴a=∴EM=∴FM=∴sin∠CEF【點睛】此題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，矩形的性質，通過添加輔助線構建直角三角形是解題的關鍵．15．(2023·河南·統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．(1)操作判斷操作一：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內部點M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當點M在EF上時，寫出圖1中一個30°的角：______．(2)遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．①如圖2，當點M在EF上時，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關系，并說明理由．(3)拓展應用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當FQ＝1cm時，直接寫出AP的長．答案:(1)∠BME或∠ABP或∠(2)①15，15；②∠MBQ(3)AP=40分析：（1）根據(jù)折疊的性質，得BE=12BM，結合矩形的性質得（2）根據(jù)折疊的性質，可證RtΔ（3）由（2）可得QM=QC，分兩種情況：當點Q在點F的下方時，當點Q在點F的上方時，設（1）解：∵∴∵∠BEM=90°，sin∠∴∠∴∠∵∠∴∠（2）∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°由折疊性質得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∵∴Rt∴∠∵∠∴∠②∵∴∴∠（3）當點Q在點F的下方時，如圖，∵∴QC由（2）可知，QM設AP∴P即8?解得：x∴AP=當點Q在點F的上方時，如圖，∵∴QC由（2）可知，QM設AP∴P即8?解得：x∴AP=【點睛】本題主要考查矩形與折疊，正方形的性質、勾股定理、三角形的全等，掌握相關知識并靈活應用是解題的關鍵．題型二：結合相似或者三角函數(shù)求值【例2】1．如圖，點E是矩形ABCD中CD邊上一點，△BCE沿BE折疊得到對應的△BFE，且點C的對應點F落在AD上．若tan∠DFE=512，BC=3【一線三等角】當折疊的頂點落在邊上時，會出現(xiàn)一線三等角的相似。答案:2分析：根據(jù)三角函數(shù)設DE=5x，則DF=12x,依次求出EF、CE、CD、AB，結合折疊證△ABF～△∠DFE，根據(jù)相似三角形的性質求出AF，以及BC=3解方程，即可求出．【詳解】依題意：∵tan設DE=5x，則DF=12x,∴EF=D由折疊可知：∴CE=EF=13x，∴AB=CD=CE+DE=13x+5x=18x，由矩形翻折可知：∵∠BFE=∠90°∴∠DFE+∠AFB=∠90°，∵∠A=∠90°∴∠ABF+∠AFB=∠90°，∴∠ABF=∠DFE，∴△ABF～△∠DFE，∴AF即AF5x解得：AF=15x∵BC=3，∴BC=AD=AF+DF=12x+15解得x=2CE=13x=13×2故答案為：2．【點睛】本題考查了折疊的性質、三角函數(shù)、勾股定理以及相似三角形的判定和性質；根據(jù)翻折證明三角形相似、利用三角函數(shù)構建線段相等是解題的關鍵．16．(2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）矩形紙片ABCD中，E為BC的中點，連接AE，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，連接CF．若AB=4，BC=6，則CF的長是（

）A．3 B．175 C．72 答案:D分析：連接BF交AE于點G，根據(jù)對稱的性質，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=12BF，根據(jù)E為BC中點，可證BE=CE=EF，通過等邊對等角可證明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函數(shù)（或相似）求出BF，則根據(jù)【詳解】連接BF，與AE相交于點G，如圖，∵將△ABE沿AE折疊得到∴△ABE與△∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=1∵點E是BC中點∴BE=CE=DF=1∴AE∵sin∠∴BG∴BF∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=180°∴FC故選D【點睛】本題考查了折疊對稱的性質，熟練運用對稱性質證明相關線段相等是解題的關鍵．17．(2023·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線，AB＝6，BC＝8，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，連結BE，DF．將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，若翻折后，點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，連結GF．則下列結論不正確的是（

）A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF⊥BC答案:D分析：根據(jù)矩形的性質以及勾股定理即可判斷A，根據(jù)折疊的性質即可求得HD,BG，進而判斷B，根據(jù)折疊的性質可得∠EGB【詳解】∵BD是矩形ABCD的對角線，AB＝6，BC＝8，∴∴故A選項正確，∵將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，∴BG=∴DG=4∴故B選項正確，∵EG∴EG∥HF，故C正確設AE=a，則∴ED∵∠∴tan∠即EG∴∴AE=3若FG則CFBF=∵CF∴CFBF≠GD∴FG不平行CD即GF不垂直BC，故D不正確．故選D【點睛】本題考查了折疊的性質，矩形的性質，勾股定理，平行線分線段成比例，掌握以上知識是解題的關鍵．18．(2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點E在矩形ABCD的AB邊上，將△ADE沿DE翻折，點A恰好落在BC邊上的點F處，若CD=3BF，BE=4，則AD的長為（

）A．9 B．12 C．15 D．18答案:C分析：根據(jù)折疊的性質可得AE=EF,AD=FD，設BE=x，則CD=3x，則AE=AB?BE=CD?【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∵將△ADE沿DE翻折，點A恰好落在BC∴FD=AD∵CD=3BF，設BF=x，則CD=3在Rt△BEF中即42解得x=3∴BF=3,∵∠EFD=∠A∴∠BEF∴tan∠BEF∴BFBE∴3∴FC在Rt△FCD中，∴AD故選C．【點睛】本題考查了矩形與折疊的性質，正切的定義，勾股定理，掌握折疊的性質以及勾股定理是解題的關鍵．19．(2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖是一張矩形紙片ABCD，點E為AD中點，點F在BC上，把該紙片沿EF折疊，點A，B的對應點分別為A'，B'，A'E與BC相交于點G，B'A．22 B．4105 C．20答案:A分析：令BF=2x，CG=3x，F(xiàn)G=y，易證△CGA'∽△CFB'，得出CG【詳解】解：過點E作EH⊥BC于點H，又四邊形ABCD為矩形，∴∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC，∴四邊形ABHE和四邊形CDEH為矩形，∴AB=EH，ED=CH，∵BFGC∴令BF=2x，CG=3x，F(xiàn)G=y，則CF=3x+y，B'F=2由題意，得∠C又∠GC∴△CG∴CGCF則3x整理，得x+解得x=-y（舍去），y=3x，∴AD=BC=5x+y=8x，EG=3x，HG=x，在Rt△EGH中EH2+HG2=EG2，則EH2+x2=(3x)2，解得EH=22x，EH=-2∴AB=22∴ADAB故選：A．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理求邊長等知識，借助于相似三角形找到y(tǒng)=3x的關系式是解決問題的關鍵．20．(2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，在矩形紙片ABCD中，點E、F分別在矩形的邊AB、AD上，將矩形紙片沿CE、CF折疊，點B落在H處，點D落在G處，點C、H、G恰好在同一直線上，若AB=9，AD=6，BE=3，則DF的長是（

）A．72 B．4 C．924答案:D分析：由折疊的性質可得BC=CH=6，∠DCF=∠GCF，BE=EH=3，∠B=∠CHE=90°，由“AAS”可證△【詳解】解：如圖，延長EH交CF于點P，過點P作MN⊥CD于∵將矩形紙片沿CE、CF折疊，點B落在H處，點D落在G處，∴BC=CH=6，∠在△CPH和△∠CHP∴△CPH∴NP=∵∠B=∠BCD∴四邊形BCNM是矩形，又∵CN=∴四邊形BCNM是正方形，∴MN=∴EM=3∵EP∴3+NP∴NP=2∵tan∠DCF∴26∴DF=3故選：D．【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質，全等三角形的判定和性質，矩形的判定和性質，勾股定理等知識，添加恰當輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．21．(2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝3，AD＝4，AC，BD為矩形的對角線，E是AD邊的中點，點F是CD上一點，連接EF，將△DEF沿EF折疊，當點G落在矩形對角線上時，則折痕EF的長是_____．答案:52或分析：分兩種情況，分別畫出圖形：當G在AC上時，連接DG交EF于M，證明∠AGD＝90°，從而EF∥AC，得EF是△ADC的中位線，可得EF＝52；當G在BD上，設BD交EF于N，證明△ABD∽△DEF，可得5EF＝32【詳解】解：當G在AC上時，連接DG交EF于M，如圖甲所示：∵E是AD中點，∴AE＝DE，∵將△DEF沿EF折疊，∴DE＝GE，∠DME＝∠GME＝90°，∴AE＝DE＝GE，∴∠EAG＝∠EGA，∠EDG＝∠EGD，∵∠EAG+∠EGA+∠EDG+∠EGD＝180°，∴2∠EGA+2∠EGD＝180°，∴∠EGA+∠EGD＝90°，即∠AGD＝90°，∴∠AGD＝∠DME，∴EF∥AC，∵E是AD中點，∴EF是△ADC的中位線，∴EF＝12∵AC＝AB2+BC∴EF＝52當G在BD上，設BD交EF于N，如圖乙所示：∵將△DEF沿EF折疊，∴∠DNF＝90°，∴∠DFN＝90°﹣∠FDN＝∠ADB，∵∠EDF＝90°＝∠BAD，∴△ABD∽△DEF，∴BDEF＝AB∵BD＝AC＝5，DE＝12∴5EF＝3∴EF＝103綜上所述，折痕EF的長是52或10故答案為：52或10【點睛】本題考查矩形中的翻折問題，涉及相似三角形的判定與性質，三角形的中位線等知識，解題的關鍵是掌握翻折的性質．22．(2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD折疊，折痕為MN，點M，N分別在邊AD，BC上，點C，D的對應點分別在E，F(xiàn)且點F在矩形內部，MF的延長線交BC與點G，EF交邊BC于點H．EN=2，AB=4，當點H為GN三等分點時，MD的長為______．答案:213分析：由折疊得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，證明ΔGHE～ΔNHE【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，CD=AB=4，∠D=∠C=90°，∴∠DMN=∠GNM，由折疊得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，∴∠GMN=∠GNM，∠GFH=∠NEH，∴GM=GN，又∠GHE=∠NHE，∴ΔGHE∴NHGH∵點H是GN的三等分點，則有兩種情況：①若NHGH=∴EH=13由勾股定理得，NH=∴GH=2NH=43∴GM=GN=GH+NH=213∴MD=MF=GM-GF=213②若NHGH=2∴EH=23EF=由勾股定理得，NH=∴GH=12NH=∴GM=GN=GH+NH=5；∴MD=MF=GM-GF=5?1=4綜上，MD的值為213【點睛】本題主要考查了矩形的性質，折疊的性質，等腰三角形的判定與性質以及相似三角形的判定與性質等知識，進行分類討論是解答本題的關鍵．23．(2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中ABBC=23．動點M從點A出發(fā)，沿邊AD向點D勻速運動，動點N從點B出發(fā)，沿邊BC向點C勻速運動，連接MN．動點M，N同時出發(fā)，點M運動的速度為v1，點N運動的速度為v2，且v1<v2．當點N到達點C時，M，N兩點同時停止運動．在運動過程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形答案:3分析：在矩形ABCD中ABBC=23，設AB=2a,BC=3a，運動時間為t，得到CD=AB=2a,【詳解】解：如圖所示：在矩形ABCD中ABBC=23，設∴CD在運動過程中，將四邊形MABN沿MN翻折，得到四邊形MA∴B若在某一時刻，點B的對應點B'∴D在RtΔB'CN中，∵∠A∴∠A∵∠CN∴∠A∴ΔED∴DE∵D∴DE=3∴A'E在ΔA'EM∠A∴ΔA'EM∴A'M∴v故答案為：35【點睛】本題屬于矩形背景下的動點問題，涉及到矩形的性質、對稱性質、中點性質、兩個三角形相似的判定與性質、勾股定理及兩個三角形全等的判定與性質等知識點，熟練掌握相關性質及判定，求出相應線段長是解決問題的關鍵．24．(2023·遼寧丹東·?？级＃┤鐖D，矩形ABCD中，AB=12，BC=13，點E為AD上一點，且∠ABE=30°，將△ABE沿BE翻折，得到△A'BE，連接CA'并延長，與AD答案:26?12分析：作A'H⊥BC于H.由△【詳解】解：作A'H⊥∵∠ABC=90°，∴∠A∴A'H∴CH∵△CDF∽△∴DF∴DF∴DF故答案為：26?123【點睛】本題考查翻折變換、矩形的性質、勾股定理、直角三角形30度角性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．25．(2023·浙江寧波·?？既＃┤鐖D，在矩形ABCD中(AD>AB)，點E為BC的中點，點F為邊BC上的動點，連結AF，DE．將△ABF沿著AF翻折，使點B的對應點B'恰好落在線段DE上．若A,B',C三點共線，則cos∠答案:

23分析：當A，B'，C三點共線時，連結三點，根據(jù)矩形的性質得出AD∥EC，△AB'D∽△CB'E，繼而得出ABAC【詳解】如圖，當A，B'∵在矩形ABCD中(AD>AB)，點∴AD∥EC，AD=BC，∴△∴B'∴ABAC∴cos∠B當這樣的點B'即以AB為半徑的⊙A與DE∴∠∵E為BC的中點，則BE=∵AB∴△∴AE∴∠∵AD∴∠∴∠CED∴∠CED∴∠∵BC=∴CE=2∴DE=4故答案為：23，4【點睛】本題考查了矩形與折疊問題，相似三角形的性質與判定，求余弦值，切線的性質，含30度角的直角三角形的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．26．(2023·山東濟南·統(tǒng)考模擬預測）如圖，矩形紙片ABCD，AD:AB=2:1，點E，F(xiàn)分別在AD，BC上，把紙片如圖沿EF折疊，點A，B的對應點分別為A'，B'，連接AA'并延長交線段答案:2分析：利用矩形判定及性質證得，根據(jù)折疊性質則可得出EF是AA'的垂直平分線，則由直角三角形性質及矩形性質證明相似三角形判定推出△ADG【詳解】解：過F作FH⊥AD于H，設EF交AA∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD∵FH∴∠AHF∴四邊形ABFH是矩形，∴AB∵AD∴AD∵把紙片如圖沿BF折疊，點A，B的對應點分別為A'，B∴EF是A∴∠AKE∴∠DAG∵∠FHE∴△ADG∴AG∴EF故答案為：22【點睛】本題考查了矩形的折疊問題，掌握折疊的性質、矩形及相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．27．(2023·河南信陽·?？家荒＃┤鐖D，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=4，點P為線段AB上一動點，過點P作PE⊥AB交AD于點E，沿PE將∠A折疊，點A的對稱點為點F，連接EF、DF、CF，當△CDF為等腰三角形時，AP的長為______．答案:0或2或2+1或22分析：分類討論：如圖1，當DF=CD時，如圖2，當CF=CD=4【詳解】解：如圖1，當DF=CD時，點F與A重合或在點當F與A重合時，P與A也重合，此時AP=0∵在菱形ABCD中，AB=4∴作DN⊥AB于在Rt△ADN中，∵AD=4，∴AP如圖2，當CF=CD=4時，點F與B點F與B重合，PE是AB的垂直平分線，∴AP當F在F'處時，過C作CM⊥AB則可得MF'=2則AF'=4AP=2如圖3中，當FD=AF=2∴AP綜上所述：當△CDF為等腰三角形時，AP的長為0或2或2+1或22故答案為0或2或2+1或22或【點睛】