遼寧省名校聯(lián)盟2024-2025學年高考數(shù)學模擬調(diào)研卷三試題

Page12絕密★啟用前2024年一般高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬試題數(shù)學（三）本試卷共4頁，22小題，滿分150分．考試用時120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復數(shù)為純虛數(shù)，且，則z=（）A． B． C．或 D．或3．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的離心率為2，點M為左頂點，點F為右焦點，過點F作x軸的垂線交C于A，B兩點，則∠AMB=（）A．45° B．60° C．90° D．120°4．函數(shù)的部分圖像大致為（）A． B． C． D．5．北京2024年冬奧會的祥瑞物冰墩墩和雪容融特別可愛，某老師用祥瑞物的小掛件作為獎品激勵學生學習，設計嘉獎方案如下：在不透亮的盒子中放有大小、形態(tài)完全相同的6張卡片，上面分別標有編號1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中不放回地抽取兩次卡片，每次抽取一張，只要抽到的卡片編號大于4就可以中獎，已知第一次抽到卡片中獎，則其次次抽到卡片中獎的概率為（）A． B． C． D．6．在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，△PBC為等邊三角形，二面角P－BC－A為30°，則異面直線PC與AB所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．已知△ABC中，，，，在線段BD上取點E，使得，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當時，，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，全科免費下載公眾號《中學僧課堂》部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．隨著我國碳減排行動的逐步推動，我國新能源汽車市場快速發(fā)展，新能源汽車產(chǎn)銷量大幅上升，2017－2024年全國新能源汽車保有量y（單位：萬輛）統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：年份2017年2024年2024年2024年2024年年份代碼x12345保有量y/萬輛153.4260.8380.2492784由表格中數(shù)據(jù)可知y關于x的閱歷回來方程為，則（）A．B．預料2024年底我國新能源汽車保有量高于1000萬輛C．2017－2024年全國新能源汽車保有量呈增長趨勢D．2024年新能源汽車保有量的殘差（觀測值與預料值之差）為71.4410．已知圓，圓，則（）A．無論k取何值，圓心始終在直線上B．若圓O與圓有公共點，則實數(shù)k的取值范圍為C．若圓O與圓的公共弦長為，則或D．與兩個圓都相切的直線叫做這兩個圓的公切線，假如兩個圓在公切線的同側(cè)，則這條公切線叫做這兩個圓的外公切線，當時，兩圓的外公切線長為11．已知函數(shù)（其中ω＞0，0＜φ＜π）的圖像與x軸相鄰兩個交點之間的最小距離為，當時，f（x）的圖像與x軸的全部交點的橫坐標之和為，則（）A． B．f（x）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增C．f（x）的圖像關于點對稱 D．f（x）的圖像關于直線對稱12．已知拋物線（p＞0）的焦點為F，斜率為的直線過點F交C于A，B兩點，且點B的橫坐標為4，直線過點B交C于另一點M（異于點A），交C的準線于點D，直線AM交準線于點E，準線交y軸于點N，則（）A．C的方程為 B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知，則______．14．若的綻開式中存在常數(shù)項，則n的一個值可以是______．15．已知數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，，，記數(shù)列的前n項和為，若不等式對隨意恒成立，則n的最小值為______．16．我國古代大多數(shù)城門樓的底座輪廓大致為上、下兩面相互平行，且都是矩形的六面體（如圖），現(xiàn)從某城樓中抽象出一幾何體ABCD－EFGH，其中ABCD是邊長為4的正方形，EFGH為矩形，上、下底面與左、右兩側(cè)面均垂直，，，，且平面ABCD與平面EFGH的距離為4，則異面直線BG與CH所成角的余弦值為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．在數(shù)列中，，．（1）求的通項公式；（2）求的前n項和．18．如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，．（1）若，求；（2）求的取值范圍．19．近年來，我國加速推行垃圾分類制度，全國垃圾分類工作取得主動進展．某城市推出了兩套方案，并分別在A，B兩個大型居民小區(qū)內(nèi)試行．方案一：進行廣泛的宣揚活動，通過設立宣揚點、發(fā)放宣揚單等方式，向小區(qū)居民和社會各界宣揚垃圾分類的意義，講解分類垃圾桶的運用方式，垃圾投放時間等，定期召開垃圾分類會議和學問宣揚教化活動；方案二：智能化垃圾分類，在小區(qū)內(nèi)分別設立分類垃圾桶，垃圾回收前端分類智能化，智能垃圾桶操作簡潔，居民可以通過設備進行自動登錄、自動稱重、自動積分等一系列操作．建立垃圾分類激勵機制，比如，垃圾分類換積分，積分可兌換禮品等，激發(fā)了居民參加垃圾分類的熱忱，帶動居民主動主動地參加垃圾分類．經(jīng)過一段時間試行之后，在這兩個小區(qū)內(nèi)各隨機抽取了100名居民進行問卷調(diào)查，記錄他們對試行方案的滿足度得分（滿分100分），將數(shù)據(jù)分成6組：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）請通過頻率分布直方圖分別估計兩種方案滿足度的平均得分，推斷哪種方案的垃圾分類推廣措施更受居民歡迎（同一組中的數(shù)據(jù)用該組中間的中點值作代表）；（2）估計A小區(qū)滿足度得分的第80百分位數(shù)；（3）以樣本頻率估計概率，若滿足度得分不低于70分說明居民贊成推行此方案，低于70分說明居民不太贊成推行此方案．現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機抽取5個人，用X表示贊成該小區(qū)推行方案的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．20．如圖，在多面體PABCFE中，PA⊥平面ABC，，且，D為PA的中點，連接BD，PC，點M，N滿足，．（1）證明：平面PEF；（2）若，，求直線PC與平面PEF所成角的正弦值．21．已知橢圓（a＞b＞0），左頂點為A，上頂點為B，且，過右焦點F作直線l，當直線l過點B時，斜率為．（1）求C的方程；（2）若l交C于P，Q兩點，在l上存在一點M，且，則在平面內(nèi)是否存在兩個定點，使得點M到這兩個定點的距離之和為定值？若存在，求出這兩個定點及定值；若不存在，請說明理由．22．已知函數(shù)．（1）求f（x）在區(qū)間內(nèi)的極大值；（2）令函數(shù)，當時，證明：F（x）在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個零點．數(shù)學（三）一、選擇題1．D【解析】由得，解得，由得，即，即(4－x)(x＋1)≥0且x＋1≠0，解得，所以．故選D項．2．C【解析】設(a，b∈R)，則，因為復數(shù)為純虛數(shù)，所以解得又，所以或，解得或，所以或．故選C項．3．C【解析】由題意得，即，又，所以，設點A在x軸上方，則，又，所以，，因為，所以，所以．故選C項．4．C【解析】由題知f(x)的定義域為R，又，所以f(x)為奇函數(shù)，解除A，B項；，解除D項．故選C項．5．B【解析】若事務為“第一次抽到卡片中獎”，事務為“其次次抽到卡片中獎”，則，，故．故選B項．6．A【解析】如圖，由，得∠PCD為異面直線AB與PC所成的角或其補角，設E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點，連接PE，PF，EF，由底面ABCD為正方形，△PBC為等邊三角形，得PE⊥BC，F(xiàn)E⊥BC，所以∠PEF=30°．設AB=2，則，由余弦定理得PF=1，又PF⊥AD，F(xiàn)D=1，所以，又PC=CD=2，所以．故選A項．7．D【解析】由題意知∠AEB是向量與向量的夾角，，，，，，則．故選D項．8．A【解析】因為f′(x)＞2x，所以f′(x)?2x＞0，構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)－x2，當x∈(0，＋∞)時，F(xiàn)′(x)=f′(x)?2x＞0，F(xiàn)(x)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，且F(2)=0，又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以F(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以F(x)在區(qū)間(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞減，且F(－2)=0．不等式xf(x－1)＋2x2＞x3＋x整理得xf(x－1)＋2x2－x3－x＞0，即x[f(x－1)－(x－1)2]＞0，當x＞0時，f(x－1)－(x－1)2＞0，則x－1＞2，解得x＞3；當x＜0時，f(x－1)－(x－1)2＜0，則－2＜x－1＜0，解得－1＜x＜1，又x＜0，所以－1＜x＜0．綜上，不等式xf(x－1)＋2x2＞x3＋x的解集為．故選A項．二、選擇題9．BCD【解析】由題得，，代入可得，A項錯誤；2024年的年份代碼為7，代入得，高于1000萬輛，B項正確；C項明顯正確；將x=5，代入得，相應的殘差為784－712.56=71.44，D項正確，故選BCD項．10．ACD【解析】圓心Ck的坐標為，在直線上，A項正確；若圓O與圓Ck有公共點，則1≤|OCk|≤3，所以，解得或，B項錯誤；將圓O與圓Ck的方程作差可得公共弦所在直線的方程為，則圓心O到直線的距離，則，解得或k=±1，C項正確；當時，圓O與圓Ck外切，圓心距為3，半徑差為1，則外公切線長為，D項正確．故選ACD項．11．AB【解析】令f(x)=0，則，所以，k∈Z或，k∈Z，解得，k∈Z或，k∈Z，所以f(x)的圖像與x軸相鄰兩個交點之間的最小距離為，所以，解得ω=2，所以，所以f(x)的周期，當時，，令f(x)=0，即，又0＜φ＜π，所以或，所以或，由得，所以，，A項正確；由，得，所以f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，B項正確；，所以f(x)的圖像不關于點對稱，C項錯誤；，所以f(x)的圖像不關于直線對稱，D項錯誤．故選AB項．12．ABD【解析】由題意得，，所以，以整理得p2＋6p－16=0，又p＞0，解得p=2，所以C的方程為x2=4y，A項正確；準線方程為y=－1，B(4，4)，F(xiàn)(0，1)，直線l1的方程為，與x2=4y聯(lián)立解得x=－1或x=4，所以，則，B項正確；設點，由題意知m≠±1且m≠±4，所以直線，令y=－1，得，即，所|以．同理可得，，所以，D項正確；當m=2時，E(－6，－1)，，所以，，則|BD|＞|AE|，C項錯誤．故選ABD項．三、填空題13．【解析】由，得，則．14．4(答案不唯一)【解析】，的綻開式的通項公式為，取n=4，r=1，得，可得的綻開式的常數(shù)項為，所以n的一個值可以是4．15．9【解析】由題知，則，所以，所以，所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，，那么，因為對隨意x∈(0，2024]恒成立，則只需即可，令，則f(x)在區(qū)間(0，2024]上單調(diào)遞增，所以，所以，即，即，解得n≥9，又，所以n的最小值為9．16．【解析】如圖，把此六面體補成正方體，連接AH，AC，由題可知，所以∠AHC是異面直線BG與CH所成角或其補角，在△AHC中，，，，則．四、解答題17．解：（1）因為，且20－3×6=2＞0，20－3×7=－1＜0，所以當n≤7時，，此時是以20為首項，－3為公差的等差數(shù)列，則；當n≥8時，，，，，?，可得數(shù)列是個搖擺數(shù)列，則．綜上，（2）當n≤7時，；當n≥8，且n為奇數(shù)時，，當n≥8，且n為偶數(shù)時，，所以．綜上，18．解：（1）在△ABD中，因為，DA=2，∠DAB=60°，由余弦定理得，解得AB=1，由，得AB⊥DB，此時Rt△CDB≌Rt△ABD，可得∠ABC=120°．在△ABC中，AB=1，BC=2，由余弦定理得，解得，所以．（2）設∠ADB=θ，由題意可知，在△ABD中，由余弦定理得，在△ACD中，，由余弦定理得，所以，因為，所以，，所以的取值范圍是．19．解：（1）設A小區(qū)方案一滿足度平均分為，則(45×0.006＋55×0.014＋65×0.018＋75×0.032＋85×0.020＋95×0.010)×10=72.6，設B小區(qū)方案二滿足度平均分為，則(45×0.005＋55×0.005＋65×0.010＋75×0.040＋85×0.030＋95×0.010)×10=76.5，因為72.6＜76.5，所以方案二的垃圾分類推行措施更受居民歡迎．（2）因為前4組的頻率之和為0.06＋0.14＋0.18＋0.32=0.7＜0.8，前5組的頻率之和為0.06＋0.14＋0.18＋0.32＋0.2=0.9＞0.8，所以第80百分位數(shù)在第5組，設第80百分位數(shù)為x，則0.7＋(x－80)×0.020=0.8，解得x=85，所以A小區(qū)滿足度得分的第80百分位數(shù)為85分．（3）由題意可知方案二中，滿足度不低于70分的頻率為0.8，低于70分的頻率為0.2，現(xiàn)從B小區(qū)內(nèi)隨機抽取5個人，則X～B，X的全部可能取值為0，1，2，3，4，5，，，，，，，X的分布列為X01234P由二項分布知．20．（1）證明：連接AF交PC于點N'，因為，PA=2CF，所以，又PN=2NC，則點N'與點N重合，所以AN=2NF，同理，連接AE交DB于點M，得AM=2ME，所以，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF．（2）解：由題意可知，，在△PEF中，，，所以AC2=AB2＋BC2，所以AB⊥BC，以B為坐標原點，BC，BA，BE所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以P(0，2，4)，E(0，0，1)，F(xiàn)(2，0，2)，C(2，0，0)，，，，設平面