4.6正弦定理與余弦定理

4.6正弦定理與余弦定理(課標(biāo)要求精細(xì)考點(diǎn)素養(yǎng)達(dá)成借助向量的運(yùn)算,探索三角形邊長與角度的關(guān)系,掌握余弦定理、正弦定理解三角形的個數(shù)問題通過正、余弦定理對三角形解的個數(shù)進(jìn)行討論,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)與三角形面積有關(guān)的問題通過解決與三角形面積和形狀有關(guān)的問題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)三角形中的邊角互化通過利用正、余弦定理解三角形,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下列說法正確的有().A.在△ABC中,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinCB.若acosA=bcosB=ccosC,則C.在△ABC中,“sinA>sinB”是“A>B”的充要條件D.在△ABC中,若a2+b2<c2,則△ABC是為鈍角三角形2.(對接教材)在△ABC中,a=7,b=8,cosC=1314,則c=3.(對接教材)若在△ABC中,2acosB=c,則△ABC的形狀一定是().A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形4.(易錯自糾)(多選)對于△ABC,有如下判斷,其中正確的是().A.若sin2A=sin2B,則△ABC為等腰三角形B.在銳角三角形ABC中,一定有sinA>cosBC.若a=8,c=10,A=π6,則符合條件的△ABCD.若sin2A+sin2B>sin2C,則△ABC是銳角三角形5.(真題演練)(2023·全國乙卷文)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若acosBbcosA=c,且C=π5,則B=()A.π10 B.π5 C.3π10 解三角形——解的個數(shù)問題典例1在△ABC中,A=α0<α<π2,b=m.分別根據(jù)下列條件,求邊長a(1)△ABC有一解;(2)△ABC有兩解;(3)△ABC無解.1.在已知三角形兩邊及其中一邊的對角,求該三角形的其他邊角的問題時,首先必須判明是否有解,例如在△ABC中,已知a=1,b=2,A=60°,則sinB=basinA=3>1,問題就無解,如果有解,那么需判斷是一解,還是兩解2.正、余弦定理可將三角形邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,也可將角(三角函數(shù))的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系.3.在三角形的判斷中注意應(yīng)用“大邊對大角”.4.已知邊多優(yōu)先考慮余弦定理,角多優(yōu)先考慮正弦定理.訓(xùn)練1(2023·江蘇錫山高中質(zhì)檢)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,若b=10,A=π6,且△ABC有唯一解,則a的取值范圍是三角形面積問題典例2(2024·南京學(xué)情調(diào)研)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asinB+3bcosA=0.(1)求角A的大小;(2)若a=3,sinBsinC=14,求△ABC的面積使用三角形面積公式的常用策略1.對于面積公式S=12absinC=12acsinB=12bcsinA2.與面積有關(guān)的問題,一般要用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.訓(xùn)練2(2023·江蘇丹陽中學(xué)模擬預(yù)測)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別是a,b,c,若△ABC的面積是3(b2+c2-A.π3 B.2π3 C.π6三角形中的邊角互化典例3(2023·湖北黃岡中學(xué)調(diào)研)在銳角三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asin2B=bsinA.(1)若a=3,b=7,求c;(2)求acosC-ccosA解三角形時,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理進(jìn)行邊角互化;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式,則考慮用正弦定理進(jìn)行邊角互化,以上特征都不明顯時,則要考慮兩個定理都有可能用到.訓(xùn)練3(2023·江蘇灌云中學(xué)質(zhì)檢)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且asinAcsinC=(bc)sinB.(1)求角A的大小;(2)若△ABC為銳角三角形,求bc的取值范圍三角形面積(周長)的范圍1.三角形面積的最值核心技巧:利用不等式ab≤a+b22≤a22.三角形面積的取值范圍核心技巧:利用正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,代入面積公式,再結(jié)合輔助角公式,根據(jù)角的取值范圍,求面積的取值范圍.典例1在△ABC中,C=π3,邊長c=3,求a+b的取值范圍典例2在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=3,bccosA=a2,則△ABC面積的最大值為.

訓(xùn)練(2023·江蘇張家港期末)在銳角三角形ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足2bcosC=2ac.若△ABC的外接圓的面積為16π3,則△ABC面積的取值范圍是一、單選題1.在△ABC中,a=3,b=7,B=60°,則c等于().A.1 B.2 C.1或2 D.2或32.(2023·江蘇常州一中月考)在△ABC中,A=30°,BC=1,則△ABC外接圓的半徑為().A.1 B.12 C.2 3.(2023·山東泰安一中月考)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若c=4,ba=1,cosC=14,則△ABC的面積是()A.1 B.34 C.15 D.4.(2023·江蘇常州一中調(diào)研)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,A=θ,a=3,b=2,若△ABC有兩解,則θ的取值范圍為().A.0,π3 B.0,π4 C.二、多選題5.(2023·湖北武漢一中調(diào)研)在△ABC中,已知角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且b=6,sinA=2sinC,則以下四個結(jié)論正確的有().A.△ABC不可能是直角三角形B.△ABC有可能是等邊三角形C.當(dāng)A=B時,△ABC的周長為15D.當(dāng)B=π3時,△ABC的面積為66.(2024·江蘇江陰期初質(zhì)量檢測)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=23,c=3,A+3C=π,則下列結(jié)論正確的是().A.cosC=33 B.sinB=23C.a=1 D.S△ABC三、填空題7.在△ABC中,AB=2,D為AB的中點(diǎn),若BC=DC=2,則AC的長為.

8.在△ABC中,若C=3B,則cb的取值范圍為四、解答題9.(2023·江蘇南通二模)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinC=3sinAsinB.(1)若A=π3,求cosB的值(2)若c=6,求△ABC的面積.10.(2023·浙江溫州中學(xué)調(diào)研)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知bsinA=3acosB.(1)求角B的大小;(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知,使得△ABC存在且唯一確定,求△ABC的面積.條件①:a=4,b=3.條件②:ca=1,b=7.注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計(jì)分.11.(2023·江蘇海門期末)我國油紙傘的制作工藝巧妙.如圖1,傘不管是張開還是收攏,傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角∠BAC,且AB=AC,從而保證傘圈D能夠沿著傘柄滑動.如圖2,傘完全收攏時,傘圈D已滑到D'的位置,且A,B,D'三點(diǎn)共線,AD'=40cm,B為AD'的中